Le formule che generano le terne pitagoriche

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Le formule che generano le terne pitagoriche

  1. 1. Le formule che generano le terne pitagoriche Di Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.itUna terna pitagorica è una terna di numeri interi positivi a, b, c tale che ܽଶ ൅ ܾ ଶ ൌ ܿ ଶ . Si definisce ternapitagorica primitiva una terna pitagorica tale che MCD(a,b,c)=1. Si prova facilmente che se MCD(a,b)=1oppure MCD(a,c)=1 oppure MCD(b,c)=1 allora la terna pitagorica a,b,c è primitiva. Altrettanto facilmente siprova che se a, b, c è una terna pitagorica primitiva anche ka, kb, kc è una terna pitagorica (non primitiva).La relazione più famosa che ci permette di calcolare tutte le terne pitagoriche è la seguente: ሺ݉ଶ െ ݊ଶ ሻଶ ൅ ሺ2݉݊ሻଶ ൌ ሺ݉ଶ ൅ ݊ଶ ሻଶDove m, n sono numeri interi positivi mentre per trovare le terne primitiva basterà porre la condizione cheil massimo comun divisore di due qualsiasi elementi della terna deve essere pari all’unità.Fatte queste premesse, già note ai più, vediamo come sia invece possibile costruire una infinità di formuleche generano terne pitagoriche.Se m = ab, n = cd allora sostituendo nella formula abbiamo ሺܽଶ ܾ ଶ ൅ ܿ ଶ ݀ଶ ሻଶ ൌ ሺ2ܾܽܿ݀ሻଶ ൅ ሺܽଶ ܾ ଶ െ ܿ ଶ ݀ଶ ሻଶAbbiamo 4 parametri a, b, c, d. se fissiamo a piacere tre parametri a, b, c e facciamo variare il quarto(ovvero d) otterremo una infinità di nuove relazioni. Per esempio possiamo pensare a=b=c=1. Quindiሺ1 ൅ ݀ଶ ሻଶ ൌ ሺ2݀ሻଶ ൅ ሺ1 െ ݀ଶ ሻଶ ma ovviamente il lettore si potrà divertire esplorando altri casi.
  2. 2. Fissando invece due dei quattro parametri otteniamo formula a due incognite simili (ma diverse) dallaformule di partenza. Sempre a titolo di esempio ponendo a=1 c=2 ho infatti terne al variare di b, d:ሺܾ ଶ ൅ 4݀ଶ ሻଶ ൌ ሺ4ܾ݀ሻଶ ൅ ሺܾ ଶ െ 4݀ଶ ሻଶ.Il ragionamento si può estendere considerando ݉ ൌ ܽଵ…… ܽ௤ , ݊ ൌ ܾଵ … … . ܾ௟ ma ciò ci porterebbe arelazioni ben più complesse.Naturalmente possiamo anche pensare ݉ ൌ ܽ േ ܾ; ݊ ൌ ܿ േ ݀ e sostituendo come fatto precedentementetali relazioni nella più conosciuta ሺ݉ଶ െ ݊ଶ ሻଶ ൅ ሺ2݉݊ሻଶ ൌ ሺ݉ଶ ൅ ݊ଶ ሻଶ abbiamo formule con 4 incognite a,b, c, d. Fissiamo 3 delle 4 incognite (a, b, c) e facciamo variare d tra i numeri interi positivi: otterremonuovamente altre inaspettate relazioni. Un metodo analogo consiste nel porre m = n+h quindi dopo lasostituzione fissare h: ad ogni h fissato corrisponderà tutta una classe di formule che generano delleparticolari terne. Quindi manipolando opportunamente m e n in ሺ݉ଶ െ ݊ଶ ሻଶ ൅ ሺ2݉݊ሻଶ ൌ ሺ݉ଶ ൅ ݊ଶ ሻଶpossiamo ricavare formule per tutta una serie di particolari classi di terne pitagoriche. Tali formule, per ilragionamento sopra esposto, sono infinite ed in particolare sono una infinità numerabile.

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