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Il teorema della potenza perfetta

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Il teorema della potenza perfetta

  1. 1. Il teorema della potenza perfetta Di Cristiano Armellini cristiano.armellini@alice.itSi consideri ‫ ܣ‬ൌ ܽ௠ ൅ ܾ ௠ dove a, b, m, A sono tutti interi. Moltiplichiamo entrambi i membri per ‫ܣ‬௠ : doposemplici passaggi arriviamo a ‫ܣ‬௠ାଵ ൌ ሺ‫ܽܣ‬ሻ௠ ൅ ሺ‫ܾܣ‬ሻ௠ ovvero si arriva alla relazione molto interessante ሾܽሺܽ௠ ൅ ܾ ௠ ሻሿ௠ ൅ ሾܾሺܽ௠ ൅ ܾ ௠ ሻሿ௠ ൌ ሺܽ௠ ൅ ܾ ௠ ሻ௠ାଵFissati a, b, m abbiamo una terna di potenze perfette in relazione tra loro. La dimostrazione di questaformula può essere anche fatta per induzione su m. La si verifica per m = 0 e poi supponendola vera perm = k la si dimostra per m = k+1Se ‫ ܣ‬ൌ ܽ௠ െ ܾ ௠ con lo stesso ragionamento di sopra arriviamo a ‫ܣ‬௠ାଵ ൌ ሺ‫ܽܣ‬ሻ௠ െ ሺ‫ܾܣ‬ሻ௠ ovvero ‫ܣ‬௠ାଵ ൅ ሺ‫ܾܣ‬ሻ௠ ൌ ሺ‫ܽܣ‬ሻ௠Quindi si giunge alla seguente relazione molto interessante ሺܽ௠ െ ܾ ௠ ሻ௠ାଵ ൅ ሾܾሺܽ௠ െ ܾ ௠ ሻሿ௠ ൌ ሾܽሺܽ௠ െ ܾ ௠ ሻሿ௠Ancora una volta fissati a, b, m abbiamo una terna di potenze perfette in relazione tra loro. Ladimostrazione di questa formula può essere fatta ancora una volta per induzione su m. La si verifica per m =0 e poi supponendola vera per m = k la si dimostra per m = k+1Il ragionamento sopra esposto si può facilmente applicare anche partendo dalla relazione ‫ ܣ‬ൌ ܽ௠ േ ܾ ௠ േ ܿ ௠ േ ‫.. ڮ‬Se invece ܽ௠ ൅ ܾ ௠ ൌ ‫ܣ‬௞ ( opp ܽ௠ േ ܾ ௠ േ ܿ ௠ േ ‫ . . ڮ‬ൌ ‫ܣ‬௞ ሻ moltiplicandi per ‫ܣ‬௠ି௞ entrambi i membriottengo dopo semplici passaggi ‫ܣ‬௠ା௞ ൌ ሺܽ‫ܣ‬ሻ௠ ൅ ሺܾ‫ܣ‬ሻ௠Mentre se ܽ௠ െ ܾ ௠ ൌ ‫ܣ‬௞ abbiamo ‫ܣ‬௠ା௞ ൌ ሺ‫ܽܣ‬ሻ௠ െ ሺ‫ܾܣ‬ሻ௠ con k > 1 ma k diverso da m (a causadell’Ultimo teorema di Fermat)e tutte le variabili intereOsserviamo cheܽ௠ ൅ ܾ ௠ ൌ ‫ ܣ‬è un’equazione diofantea molto studiata e per m dispari si può studiare usando il fatto che ܽ௠ ൅ ܾ ௠ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻሺܽ௠ିଵ െ ܽ௠ିଶ ܾଵ ൅ ‫ ڮ‬ሻ ൌ ‫ܣ‬Inoltre si poteva arrivare allo stesso risultato così: ܽ௠ ൅ ܾ ௠ ൌ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௠ିଵ ሺܽ௠ ൅ ܾ ௠ ሻ ൌ ‫ܣ‬௠ିଵ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௠ ܽ௠ ‫ܣ‬௠ ܾ ௠ ൅ ൌ ‫ܣ‬௠ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬
  2. 2. ሺ‫ܽܣ‬ሻ௠ ൅ ሺ‫ܾܣ‬ሻ௠ ൌ ‫ܣ‬௠ାଵCome pure nel caso ‫ ܣ‬ൌ ܽ௠ െ ܾ ௠ ൌ ሺܽ െ ܾሻሺܽ௠ିଵ ൅ ܽ௠ିଶ ܾଵ ൅ ‫ ڮ‬ሻ ܽ௠ െ ܾ ௠ ൌ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௠ିଵ ܽ௠ െ ‫ܣ‬௠ିଵ ܾ௠ ൌ ‫ܣ‬௠ିଵ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௠ ܽ௠ ‫ܣ‬௠ ܾ ௠ െ ൌ ‫ܣ‬௠ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬ ‫ܣ‬௠ ܽ௠ ൌ ‫ܣ‬௠ାଵ ൅ ‫ܣ‬௠ ܾ ௠Sottolineiamo ancora una volta che sulla base dell’Ultimo teorema di Fermat se ‫ ܣ‬ൌ ܽ௠ ൅ ܾ ௠ non potràmai accadere per m > 2 che ‫ ܣ‬ൌ ܿ ௠Questi ragionamenti ci permettono di caratterizzare le soluzioni di molte equazioni diofantee ed è facilesviluppare programmi informatici per ottenere infinite terne di potenze perfette

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