Equazioni diofantee e terne pitagoriche

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Equazioni diofantee e terne pitagoriche

  1. 1. Equazioni diofantee e terne pitagoriche Di Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.itAlcune semplici equazioni diofanteeConsideriamo l’equazione a variabili intere e positive ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݔ‬ଶ ൌ ‫ ݌‬ove p è un numero primo. Dato che unnumero primo è divisibile solo per se stesso e per l’unità possiamo scrivere ‫ ݌‬ൌ ሺ‫ ݕ‬െ ‫ݔ‬ሻሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ovvero ‫ݕ‬െ‫ ݔ‬ൌ1 ௣ିଵ ௣ାଵ൜ il che porta a ‫ ݔ‬ൌ ଶ ; ‫ ݕ‬ൌ ଶ come soluzioni ‫ݕ‬൅‫ ݔ‬ൌ‫݌‬ ‫ݔ‬െ‫ ݕ‬ൌ1Analogamente se ‫ ݌‬ൌ ‫ ݔ‬ଷ െ ‫ ݕ‬ଷ ൌ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻሺ‫ ݔ‬ଶ െ ‫ ݕݔ‬൅ ‫ ݕ‬ଶ ሻ dovrà accadere che ൜ oppure ‫ ݔ‬െ ‫ ݕݔ‬൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ‫݌‬ ଶ ‫ݔ‬െ‫ ݕ‬ൌ‫݌‬൜ ଶ ‫ ݔ‬െ ‫ ݕݔ‬൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ 1 ove p, x, y sono interi positivi ‫ݔ‬െ‫ ݕ‬ൌ1In generale se, p primo e n pari o dispari ‫ ݌‬ൌ ‫ ݔ‬௡ െ ‫ ݕ‬௡ ൌ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻܳሺ‫ݕ .ݔ‬ሻ può accadere che ൜ ܳሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ‫݌‬ ‫ݔ‬െ‫ ݕ‬ൌ‫݌‬oppure ቄܳሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ 1 ‫ݔ‬൅‫ ݕ‬ൌ‫݌‬Mentre se p primo e n dispari ‫ ݌‬ൌ ‫ ݔ‬௡ ൅ ‫ ݕ‬௡ ൌ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻܼሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ basta risolvere ൜ ܼሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ 1Come ultimo esempio consideriamo ݊ ൌ ‫ ݍ݌‬ൌ ‫ ݕ‬ଶ െ ‫ ݔ‬ଶ ൌ ሺ‫ ݕ‬െ ‫ݔ‬ሻሺ‫ ݕ‬൅ ‫ݔ‬ሻ dove p, q sono primi. Allora ௣ା௤ ௣ି௤abbiamo che ‫ ݕ‬ൌ ,‫ݔ‬ ൌ ଶ ଶUn modo di classificare le terne pitagoricheScriviamo una generica terna pitagorica nel seguente modo ‫݌‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ሺ‫ ݕ‬൅ ݄ሻଶ . Fissiamo il valore di h poi ௣మ ି௛మ ௣మ ା௛మfacciamo variare p: ‫ ݕ‬ൌ ଶ௛ ,‫ݔ‬ ൌ‫ݕ‬൅݄ ൌ ଶ௛ . Osserviamo ora che p, h devono essere entrambi pari oentrambi dispari per il fatto che y deve essere intero. Per h = 1 ( e facendo variare p) abbiamo laclassificazione di tutte le terne pitagoriche in cui l’elemento più grande differisce di 1 da un altro elementodella terna. Con questo sistema sviluppare un applicativo che fissato h mi trova tutte le terne pitagoriche alvariare di p è molto semplice e veloce. Al variare poi di h si troveranno tutte le altre terne. In realtà è piùconveniente per la divisibilità fissare p e far variare h perché 2݄ | ሺ‫݌‬ଶ െ ݄ଶ ሻ e 1<h < p (y > 0)

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