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Ecuaciones diferenciales de primer
orden
       Una ecuación Diferencial de primer orden se
       puede expresar de la si...
Observe que el miembro de la izquierda
       representa el diferencial del producto de la función
       buscada y(x) con...
Solución General…


      Integrando miembro a miembro




      Finalmente, se obtiene



Capítulo IX: Ecuaciones Diferen...
Ejemplo 1

  Encontrar la solución general para y´-2xy=x
  Solución General:
     Para este caso tenemos: p(x)=-2x y g(x)=...
Ejemplo 2

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    Encontrar la solución                   2     2...
Fórmula :




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Ejemplo 3

    Encontrar la solución
      general para
                                          xy´+2 y = senx
     Solu...
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena)   Clase 19
Aplicando integración por partes




Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena)   Clase 19
Teorema

    Si las funciones p y g son continuas en un
      intervalo (a,b) que contiene el punto xo,
      entonces exi...
Ejemplo

                                           xy´+2 y = 4 x
       Encontrar la solución                            ...
Con la condición y=2 y x=1 , se obtiene 2=1+C/1 entonces, C=1




Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce Di...
Ejercicio

    Encontrar la solución
      particular                         y´− y = 2 xe ; y (0) = 1
                   ...
Ejercicios de autoaprendizaje




Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena)   Clase 19
Ejercicios de autoaprendizaje
    Respuestas




Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) ...
Ecuaciones de Bernoulli

        Existen ecuaciones diferenciales que no son
        lineales pero se pueden transformar e...
y´+ p ( x) y = g ( x) y                    n




Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) ...
Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena)   Clase 19
Simplificando se tiene




           Esta última ecuación es lineal respecto a la variable v


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Ecuaciones difirenciales de 1er orden (II)

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Ecuaciones difirenciales de 1er orden (II)

  1. 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden Una ecuación Diferencial de primer orden se puede expresar de la siguiente forma: y´+[ p ( x)]y = g ( x) Para determinar su solución multiplicaremos ambos miembros por la siguiente función: ∫ p ( x ) dx e Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  2. 2. Observe que el miembro de la izquierda representa el diferencial del producto de la función buscada y(x) con la función ∫ p ( x ) dx e Luego Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  3. 3. Solución General… Integrando miembro a miembro Finalmente, se obtiene Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  4. 4. Ejemplo 1 Encontrar la solución general para y´-2xy=x Solución General: Para este caso tenemos: p(x)=-2x y g(x)=x Calculando primero, Luego utilizando la fórmula Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  5. 5. Ejemplo 2 y´− y = x sen(3x ) Encontrar la solución 2 2 general para x Solución: Para este caso tenemos p(x)=-2/x y g(x)=x2sen(3x), luego: Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  6. 6. Fórmula : Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  7. 7. Ejemplo 3 Encontrar la solución general para xy´+2 y = senx Solución: Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  8. 8. Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  9. 9. Aplicando integración por partes Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  10. 10. Teorema Si las funciones p y g son continuas en un intervalo (a,b) que contiene el punto xo, entonces existe una función única y=f(x) que satisface a la ecuación diferencial y´+ p(x)y = g(x) para x є (a,b) que cumple la condición inicial y(xo)=yo Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  11. 11. Ejemplo xy´+2 y = 4 x Encontrar la solución 2 particular de si y(1)=2 Solución: Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  12. 12. Con la condición y=2 y x=1 , se obtiene 2=1+C/1 entonces, C=1 Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  13. 13. Ejercicio Encontrar la solución particular y´− y = 2 xe ; y (0) = 1 2x Rpta: x [( y ( x) = e 2 xe − e + 3 x x ) ] Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  14. 14. Ejercicios de autoaprendizaje Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  15. 15. Ejercicios de autoaprendizaje Respuestas Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  16. 16. Ecuaciones de Bernoulli Existen ecuaciones diferenciales que no son lineales pero se pueden transformar en lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli. Una ecuación de Bernoulli tiene la forma y´+ p( x) y = g ( x) y n donde n≠o y n≠1. Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  17. 17. y´+ p ( x) y = g ( x) y n Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  18. 18. Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  19. 19. Simplificando se tiene Esta última ecuación es lineal respecto a la variable v Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19
  20. 20. Capítulo IX: Ecuaciones Diferenciales ( fuente: Boyce DiPrima – Villena) Clase 19

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