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se trata de las integrales dobles, con aplicacion en momentos, centro de masa y momentos de inersia

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Integrales dobles

  1. 1. 75Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLESEn este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas comogeométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles ypara las integrales triples. 3.1 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional. 3.1.1. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA En el capítulo 1 de este trabajo, se explicó el significado intrínseco de la integral doble de una función f positiva en una región bidimensional D, ∫∫ f ( x, y ) dA , D como el volumen del sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f . Ahora, si se considera que f ( x, y ) = 1 , entonces la integral anterior queda como: ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫∫ D D dA (III.1)Recuerde que la integraldoble f ( x, y ) dA , ∫∫ Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene Dtambién puede escribirsecomo que: n mLim ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij n m ∫∫ dA = Lim ∑∑ ∆AijP →0 i =1 j =1 (III.2) D P →0 i =1 j =1UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  2. 2. 76Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones donde ∆Aij es el área del rectángulo genérico denotado Dij , el cual puede observarse en la figura 3.1 y xi (xi*,yj*) d = ym yj Dij yj yj-1 D c = y0 a = x0 xi-1 xi xn= b x Figura 3.1 Región D dividida en subrectángulos Dij En otras palabras, la integral ∫∫D dA representa el volumen de un sólido de sección transversal constante, cuya base es la región D y cuya altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas características, el volumen se obtiene como el producto del área de la base y la altura del mismo. A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una región plana. ÁREA DE UNA FIGURA PLANA Sea D una región bidimensional D , tal que D ⊆ 2 . Sea A el área de la región D , entonces: A = ∫∫ dxdy (III.3) DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  3. 3. 77Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus AplicacionesRecuerde que una región Observe que si la región D es de tipo 1, la ecuación anteriorD es de tipo 1 si secumple: queda como: ( x, y ) a ≤ x ≤ b ∧  g( x) g ( x) [ y ] f ( x ) dx b b D=   A=∫ ∫ dydx = ∫ (III.3)   f ( x ) ≤ y ≤ g ( x )  a f ( x) a b A = ∫  g ( x ) − f ( x )  dx (III.4) a   Donde la última integral, representa el área comprendida entre las gráficas de y = f ( x ) y y = g ( x ) en el intervalo cerrado [ a,b ] . Esta integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro de las aplicaciones de la integral definida. EJEMPLO 3.1 Dibuje la región D y calcule su área, empleando las integrales dobles: ∫∫ D dxdy y ∫∫ D dydx , D = { ( x, y ) x ≥ y 2 − 2y ∧ x ≤ 4 − y2 } Solución: La región D se encuentra acotada por las gráficas de las parábolas horizontales x = y 2 − 2 y y x = 4 − y 2 , tal como se puede observar en la siguiente figura. Recuerde que la gráfica x = y2 − 2 y de la ecuación: D x = ay 2 + by + c Es una parábola horizontal x = 4 − y2 Figura 3.2 Región D del ejemplo 3.2UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  4. 4. 78Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones a) Para calcular el área de la región por medio de la integral doble ∫∫D dxdy , es necesario definir los límites de integración, que se ilustran en la figura 3.3 DObserve que la región Des una región tipo 2, porlo cual el área se obtiene Valor de x a Valor de x aempleando una sola la entrada de D la salida de Dintegral doble de la x = y2 − 2 y x = 4 − y2forma ∫∫D dxdy . Figura 3.3 Región D del ejemplo 3.1 como una región tipo 2 Por tanto el área se obtiene como: 2 4− y 2 2 A=∫ ∫ 2 dxdy = ∫  4 − 2 y 2 + 2 y  dy = 9   −1 y −2 y −1 A = ∫∫ dxdy = 9 D b) Cuando se desea calcular el área D con el orden de integraciónPara la primera curva: x = y2 − 2 y inverso, esto es A = ∫∫ dydx , entonces, se necesita conocer lasSe tiene que: D y = 1± 1+ x ecuaciones de las curvas en función de la variable x y además identificar los límites de integración, que a continuación sePara la segunda curva: x = 4 − y2 muestran en la figura 3.4entonces: y = ± 4− xUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  5. 5. 79Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a Valor de y a la salida de D1 x=0 la salida de D2 y = 1+ 1+ x y = 4− x x=3 Valor de y aEn este caso, la región D la salida de D 3queda dividida en tres y = 4− xregiones tipo 1,identificadas como: D1,D2 y D3.. D1 D2 Valor de y a D3 la entrada de D1 y = 1− 1+ x Valor de y a la entrada de D2 Valor de y a la entrada de D3 y = 1− 1+ x y = − 4− x Figura 3.4 Región D del ejemplo 3.1 como tres regiones tipo 1 Entonces D = D1 ∪ D2 ∪ D3 , donde: {( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0 ∧ 1 − 1 + x ≤ y ≤ 1 + 1 + x } D1 = D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 3 ∧ 1 − 1 + x ≤ y ≤ 4 − x } 2 D = {( x, y ) 3 ≤ x ≤ 4 ∧ − 4 − x ≤ y ≤ 4 − x } 3 Así: A = ∫∫ dydx + ∫∫ dydx + ∫∫ dydx D1 D2 D3 0 1+ 1+ x 3 4− x 4 4− x A=∫ ∫ dydx + ∫ ∫ dydx + ∫ ∫ dydx −1 1− 1+ x 0 1− 1+ x 3 − 4− x ( ) 0 3 4Al comparar los dos A = ∫ 2 1 + xdx + ∫ 4 − x − 1 + 1 + x dx + ∫ 2 4 − xdxcálculos de área de la −1 0 3región D del ejemplo 3.1,resulta mucho mássencillo emplear la 4 19 4integral ∫∫ dxdy que A= + + =9 D 3 3 3con el orden inverso. A = ∫∫ dydx = 9 DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  6. 6. 80Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 3.2 Dada la región D , determine las ecuaciones de las curvas que la limitan y calcule su área empleando las integrales dobles: ∫∫D dxdy y ∫∫ D dydx . C2 C1 C3 D Figura 3.5 Región D del ejemplo 3.2 Solución: Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región D son:Las ecuaciones de lascurvas en función de la C1 : y = 16 x + 20variable y son: y − 20C1 : x = 16 C2 : y = −2 x + 20 y 20 − yC2 : x = 2 y C3 : y = 4 x 2C1 : x = ± 2 a) Para el cálculo del área de la región D por medio de la integral doble ∫∫D dxdy , se necesita saber que valor toma la variable x a la entrada y salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar estos valores.UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  7. 7. 81Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de x a Valor de x a la entrada de D3 la salida de D3La región D no es una y − 20región tipo 2, sin x= 20 − y 16 D3 x=embargo se puede dividir 2en tres regiones: D1, D2y D3., que sí lo son. Poresta razón, para resolver y = 16la integral doble Valor de x a Valor de x a∫∫D dxdy se debe la entrada de D2 D2 la salida de D2emplear la propiedad y − 20 y x= x=aditiva respecto a la 16 y=4 2región de integración. Valor de x a Valor de x a la entrada de D1 D1 la salida de D1 y y x=− x= 2 2 Figura 3.6 Región D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2 Como D = D1 ∪ D2 ∪ D3 , entonces: A = ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy D1 D2 D3 donde:   y y   D1 = ( x, y ) − ≤x≤ ∧ 0 ≤ y ≤ 4   2 2     y − 20 y   D2 = ( x, y ) ≤x≤ ∧ 4 ≤ y ≤ 16    16 2    y − 20 20 − y  D3 = ( x, y ) ≤x≤ ∧ 16 ≤ y ≤ 20   16 2  y y 20 − y 4 16 20 A=∫ ∫ 2 y dxdy + ∫ ∫ 2 y − 20 dxdy + ∫ ∫ 2 y − 20 dxdy 0 − 4 16 2 16 16 4 16  y y − 20  20  45 9y  A=∫ ydy + ∫  −  dy + ∫16  −  dy 4  2 16  0    4 16  16 157 9 A= + + = 36 3 6 2UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  8. 8. 82Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones A = ∫∫ dxdy = 36 D b) En la figura 3.7 se muestran los límites de integración para la integral interna de A = ∫∫ dydx . D Valor de y a la salida de D2 y = −2 x + 20 Valor de y aLa región D puede la salida de D1 D2dividirse en dos regiones y = 16 x + 20tipo 1, identificadascomo: D1 y D2 ; es decir: D = D1 ∪ D2 Valor de y a la entrada de D2 D1 y = 4x2 Valor de y a la entrada de D1 y = 4x2 x=0 Figura 3.7 Región D del ejemplo 3.2 como dos regiones tipo 1 Luego: A = ∫∫ dydx + ∫∫ dydx , donde: D1 D2 D1 = {( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0 ∧ 4 x 2 ≤ y ≤ 16 x + 20 } D2 = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 4 x2 ≤ y ≤ −2 x + 20} 0 16 x + 20 2 − 2 x + 20 A=∫ ∫ 2 dydx + ∫ ∫ dydx −1 4x 0 4 x2 A = ∫ (16 x + 20 − 4 x 2 ) dx + ∫ ( −2 x + 20 − 4 x ) dx = 32 + 76 = 36 0 2 2 −1 0 3 3 A = ∫∫ dydx = 36 DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  9. 9. 83Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 3.3 Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre dos círculos concéntricos de radios 2 y 4. Solución: Considere una corona circular con centro en el origen del sistema de coordenadas tal como se observa a continuación.La región D planteada enel ejemplo 3.3 recibe elnombre de corona x2 + y2 = 4circular, y su área es: ( A = π R2 − r 2)dondeR: Radio externor: radio interno D x 2 + y 2 = 16 Figura 3.8 Región D del ejemplo 3.3 Como A = ∫∫ dydx y la región D es simétrica respecto al origen, D entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará A1 = ∫∫ dydx , donde A1 es el área de la región D que se encuentra D1 en el primer cuadrante, denotada como D1 , de manera que: A = 4 A1 La región denotada como D1, se muestra en la figura 3.9.UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  10. 10. 84Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D1.A y = 16 − x 2 x=2 Valor de y aPara calcular el área de la D1.A la salida de D1.Bregión D1, se puededividirla en dos regiones y = 16 − x 2tipo 1:D1 = D1.A ∪ D1.B D1.B Valor de y a la entrada de D1.A y = 4 − x2 Valor de y a la entrada de D1.B Figura 3.9 y=0 Región D1 del ejemplo 3.3 Luego: A1 = ∫∫ dydx + ∫∫ dydx , donde: D1. A D1. B {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ D1.A = 4 − x 2 ≤ y ≤ 16 − x 2 } D = {( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 1.B ∧ 0 ≤ y ≤ 16 − x 2 } 2 16 − x 2 4 16 − x 2 A1 = ∫ ∫ dydx + ∫ ∫ dydx 0 4− x2 2 0 A1 = ∫ 0 2 ( 16 − x 2 − 4 − x 2 dx + ∫ ) 2 4 16 − x 2 dx  π  8π  A1 =  2 3 +  +  −2 3 +  = 3π  3  3  A = ∫∫ dydx = 12π DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  11. 11. 85Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.1.2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO En el capítulo 1 de este trabajo, se determinó que la integral ∫∫ f ( x, y ) dA D representa el volumen del sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral doble también puede emplearse para determinar el volumen de un sólido más general. VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO Sean f : 2 → y g: 2 → dos funciones reales, continuas en una región bidimensional D , tales que f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ D . Sea V el volumen del sólido acotado superiormente por la gráfica de la función g y acotado inferiormente por la gráfica de la función f, entonces: V = ∫∫  g ( x, y ) − f ( x, y )  dA (III.5) D  EJEMPLO 3.4 Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 2 x 2 + y 2 y z = 20 − x 2 − y 2 y plantear su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura 3.10 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la superficie superior es z = 20 − x 2 − y 2 y la superficie inferior viene dada por la ecuación z = 2 x 2 + y 2 .UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  12. 12. 86Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z a la salida de S z = 20 − x 2 − y 2La superficie definida porla ecuación: z = 20 − x2 − y 2Es una semiesfera (partesuperior). SLa superficie definida por Valor de z ala ecuación: la entrada de S z = 2 x2 + y 2 z = 2 x2 + y2Es un cono . Figura 3.10 Sólido S del ejemplo 3.4 El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene mediante la integral doble: V = ∫∫  20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dA D  donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos superficies:  z = 2 x2 + y 2   ⇒ 2 x 2 + y 2 = 20 − x 2 − y 2  z = 20 − x 2 − y 2  4 ( x 2 + y 2 ) = 20 − x 2 − y 2 ⇒ x2 + y 2 = 4 Entonces: D= {( x, y ) x2 + y 2 ≤ 4 }UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  13. 13. 87Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D y = 4 − x2Donde D es una regióntipo 1 y también tipo 2,pero en este ejemplo setrabaja como una regióntipo 1. D Valor de y a la entrada de D y = − 4 − x2 Figura 3.11 Región D del ejemplo 3.4 Es decir, D = {( x, y ) − 2 ≤ x ≤ 2 − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 }En el siguiente capítulo, Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:se mostrará comoresolver una integral de 2 4− x2 V =∫  20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dydxeste tipo, empleando uncambio de variable −2 ∫ − 4− x2  apropiado. Ahora, para resolver esta integral se requiere un procedimiento muy riguroso y largo, por lo cual a continuación sólo se presenta el resultado de esta integral, el cual fue obtenido con software matemático: V = ∫∫  20 − x 2 − y 2 − 2 x 2 + y 2  dA = 19, 77678464 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  14. 14. 88Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Dibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 4 + xy y z = 1 y EJEMPLO 3.5 dentro del cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 , calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las superficies z = 4 + xy y z = 1 y dentro del cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 . Valor de z a la salida de S z = 4 + xy S x2 + y 2 = 1 Valor de z a la entrada de S z =1 Figura 3.12 Sólido S del ejemplo 3.5 El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble: V = ∫∫ [ 4 + xy − 1] dA = ∫∫ [3 + xy ] dA D D donde D es la proyección del sólido S en el plano xy. Esta proyección, se observa en la figura 3.13UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  15. 15. 89Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones DEn este ejemplo, laregión D es de tipo 1 ytambién tipo 2, pero se Valor de x a Valor de x atrabaja como una región la entrada de D la salida de Dtipo 2. x = − 1− y2 x = 1− y2 Figura 3.13 Región D del ejemplo 3.5 En este caso, la región D se define como: D= {( x, y ) − 1− y2 ≤ x ≤ 1− y2 −1 ≤ y ≤ 1 } Por lo tanto la integral de volumen queda como: 1− y 2 [3 + xy ] dxdy = ∫ −1 6 1 1 V =∫ ∫ 2 1 − y 2 dy = 3π −1 − 1− y V = ∫∫ [3 + xy ] dA = 3π D EJEMPLO 3.6 Dibuje el sólido S acotado por z = 1 + x3 y + xy 3 , z = 0 , y = x3 − x y y = x 2 + x y calcule su volumen empleando integrales dobles. Solución: En la figura 3.14 se observa el sólido S, acotado superiormente por z = 1 + x 3 y + xy 3 e inferiormente por z = 0 ; mientras que las superficies y = x3 − x y y = x 2 + x definen las paredes de dicho cuerpo tridimensional.UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  16. 16. 90Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de z a la salida de S z = 1 + x3 y + xy 3 S Valor de z a la entrada de S z=0 Figura 3.14 Sólido S del ejemplo 3.6 Donde, el volumen del sólido S, se obtiene como: V = ∫∫ 1 + x3 y + xy 3 − 0  dA = ∫∫ 1 + x3 y + xy 3  dA D  D  Al proyectar el sólido anterior en el plano xy, se obtiene la región bidimensional D, la cual se aprecia en la figura 3.15 Valor de y a la salida de D y = x3 − xEn la figura 3.15, seobserva que la región Ddel ejemplo 3.6 es unaregión de tipo 1. D Valor de y a la entrada de D y = x2 + x Figura 3.15 Región D del ejemplo 3.6UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  17. 17. 91Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Por lo tanto, la región D se define como: D= {( x, y ) − 1 ≤ x ≤ 0 x 2 + x ≤ y ≤ x3 − x } La integral de volumen queda como: 0 x3 − x V =∫ ∫ 1 + x3 y + xy 3  dydx   −1 x2 + x 0 x  13 7 x9 517 V =∫  − x11 + − x8 − 4 x 7 − 2 x 6 + x3 − x 2 − 2 x  dx = −1  4 4  1260 517 V = ∫∫ 1 + x3 y + xy 3  dA = D  1260 3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA A continuación, se explica como determinar la masa de una figura plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en cada punto ( x, y ) ∈ D .En la figura 3.16 laregión D es nohomogénea, por lo cualsu sombreado no esuniforme.Adicionalmente:ρ ( x, y ) = 0 ∀ ( x, y ) ∉ DLa densidad tieneunidades de masa porárea unitaria.Para esta aplicación,considere que la funcióndensidad ρ es continuaen la región D . Figura 3.16 Región D no homogéneaUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  18. 18. 92Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Si se escoge un punto arbitrario ( xi* , y j* ) ∈ Dij , entonces la masa de este subrectángulo, denotada como mij , se obtiene como: mij = ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij (III.6) Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede estimar mediante la doble suma de Riemann: n m m ≈ ∑∑ ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij (III.7) i =1 j =1 Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la norma de la partición P tienda a cero, se tiene: n m m = Lim ∑∑ ρ ( xi* , y j * )∆Aij (III.8) P →0 i =1 j =1 n m m = Lim ∑∑ ρ ( xi* , y j * )∆Aij = ∫∫ ρ ( x, y ) dA (III.9) P →0 D i =1 j =1 Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene mediante:El cálculo de masa de MASA DE UNA FIGURA PLANAuna región D , tambiénpuede emplearse paracalcular la carga Considere una lámina plana de densidad variable ρ ( x, y ) ,eléctrica, Q, distribuidasobre una región D . que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa, Q = ∫∫ σ ( x, y ) dA D denotada m , se obtiene como:Donde σ es la funcióndensidad de carga. m = ∫∫ ρ ( x, y ) dA (III.10) DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  19. 19. 93Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas EJEMPLO 3.7 x = y 2 − 1 y x = 2 y 2 − 2 , cuya densidad es igual a la unidad. Solución: Recuerde que la densidad se calcula como m = ∫∫ ρ ( x, y ) dA , por D lo tanto para esta placa se tiene: m = ∫∫ dA D Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de integración. D Valor de x a Valor de x a la entrada de D la salida de D x = 2 y2 − 2 x = y2 −1 Figura 3.17 Región D del ejemplo 3.7 Entonces la región D está definida como: D= {( x, y ) 2 y2 − 2 ≤ x ≤ y2 −1 ∧ −1 ≤ y ≤ 1 } Por lo tanto: 4 dxdy = ∫ (1 − y 2 ) dy = 1 y 2 −1 1 m=∫ ∫ −1 2 y − 22 −1 3 1 y 2 −1 4 m=∫ ∫ dxdy = −1 2 y 2 − 2 3UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  20. 20. 94 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 3.8 Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas 3 2 y= x − 6 x + 4 y y = 2 x − 2 , cuya densidad varía de acuerdo a la 2 función ρ ( x, y ) = 1 + 2 x . Solución:Según la definición delvalor absoluto El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble  x − 2 si x − 2 ≥ 0 m = ∫∫ ρ ( x, y ) dA , por lo tanto: D x−2 =  2 − x si x − 2 < 0  m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA Dentonces 2 x − 4 si x≥2 A continuación se muestra la región D.  y= 4 − 2 x si x<2  y = 2x − 4 y = −2 x + 4La región D debedividirse en dos regionestipo 1, tal que: D = D1 ∪ D2 D 3 2 y= x − 6x + 4 2 Figura 3.18 Región D del ejemplo 3.8 Entonces: m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA = ∫∫ (1 + 2 x ) dA + ∫∫ (1 + 2 x ) dA D D1 D2 Donde  3 2  D1 = ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ x − 6 x + 4 ≤ y ≤ −2 x + 4   2   3 2  D2 = ( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧ x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2 x − 4  2  UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  21. 21. 95Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener la masa de la placa con la forma de la región D. Valor de y a Valor de y a la salida de D 2 la salida de D1 y = 2x − 4 y = 4 − 2x x=2 D2 D1 Valor de y a la entrada de D2 Valor de y a 3 la entrada de D1 y = x2 − 6 x + 4 2 3 2 y= x − 6x + 4 2 Figura 3.19 Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1 Entonces: 2 4− 2 x 4 2 x−4 m=∫ 0 ∫ 3 2 x −6 x + 4 (1 + 2 x ) dydx + ∫ 2 ∫ 3 x −6 x+ 4 (1 + 2 x ) dydx 2 2 2 2 13  4 29 2  m = ∫  −3x 3 + x 2 + 4 x  dx + ∫  −8 − 3x3 + x − 8 x  dx 0  2  2  2  40 80 m= + = 40 3 3 m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA = 40 DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  22. 22. 96Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS El momento estático de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa y la distancia que la separa de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes coordenados. Considere una lámina o placa plana D, dividida en subrectángulos Dij , tal como se muestra en la siguiente figura:Los momentos estáticosson momentos de“equilibrio”.M x es una medida de latendencia a girar en tornoal eje x, análogamente, M y es una medida de latendencia a giraralrededor del eje y. Figura 3.20 Región general D no homogénea Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada subrectángulo Dij , denotado como M xij , viene dado por: M x ij = y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij (III.11) Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada subrectángulo, se tiene que: n m M x ≈ ∑∑ y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij (III.13) i =1 j =1UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  23. 23. 97Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta en la expresión anterior: n m M x = Lim ∑∑ y j * ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij (III.14) P →0 i =1 j =1 n m M x = Lim ∑∑ y j* ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA (III.15) P →0 D i =1 j =1 Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se denota M y , se obtiene como: n m M y = Lim ∑∑ xi* ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA (III.16) P →0 D i =1 j =1 MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función ρ: 2 → , la cual es continua ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces el momento estático alrededor del eje x, denotado M x , se obtiene como: M x = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA (III.17) D Mientras que el momento estático alrededor del eje y, denotado M y , se calcula como: M y = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA (III.18) DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  24. 24. 98 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 3.9 Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7. La región del ejemplo 3.7 Solución: se muestra a continuación Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera: M x = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA y M y = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA . D D Entonces: ydxdy = ∫ y (1 − y 2 ) dy = 0 1 y 2 −1 1 Y se encuentra acotada Mx = ∫ ∫ 2 −1 2 y − 2 −1 por las curvas x = y 2 − 1 y x = 2 y2 − 2 . 1 y 2 −1 1  3 3  8 La densidad es : My = ∫ ∫ xdxdy = ∫  − − y 4 + 3 y 2  dy = − ρ ( x, y ) = 1 −1 2 y 2 −2 −1  2 2  5 ( x, y ) 2 y 2 − 2 ≤ x ≤ y 2 − 1 ∧   D=  Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma   −1 ≤ y ≤ 1   de la región D del ejemplo 3.7 son: M x = ∫∫ ydA = 0 D 8 M y = ∫∫ xdA = − D 5 EJEMPLO 3.10 Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8. La región del ejemplo 3.8 se muestra a continuación Solución: Los momentos estáticos se calculan como: M x = ∫∫ y ρ ( x, y ) dA y D M y = ∫∫ x ρ ( x, y ) dA . D La densidad: 2 4−2 x 4 2 x−4 ρ ( x, y ) = 1 + 2 x Mx = ∫ ∫ 3 2 y (1 + 2 x ) dydx + ∫ ∫ 3 2 y (1 + 2 x ) dydx 0 x −6 x + 4 2 x −6 x+ 4 2 2 Donde D = D1 ∪ D2 ( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧  2 9 135 4  D1 =  3 2   M x = ∫  − x5 + x − 35 x 3 + 10 x 2 + 16 x  dx +   2 x − 6 x + 4 ≤ y ≤ −2 x + 4   0  4 8  ( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4 ∧    4 9 135 4 D2 =   3 2  x − 6 x + 4 ≤ y ≤ 2 x − 4 + ∫  − x5 + x − 35 x3 + 10 x 2 + 16 x dx  2  2  4 8  UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  25. 25. 99 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 8 56 64 Mx = + = 3 3 3 Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene: 2 4− 2 x 4 2 x−4 My = ∫ ∫ 3 2 x (1 + 2 x ) dydx + ∫ ∫ 3 2 x (1 + 2 x ) dydx 0 x −6 x + 4 2 x −6 x + 4 2 2 262 1162 1424 My = + = 15 15 15 Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que: 64 M x = ∫∫ y (1 + 2 x ) dA = D 3 1424 M y = ∫∫ x (1 + 2 x ) dA = D 15 3.1.5. CENTRO DE MASA El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P deEl centro de gravedadtambién es llamado coordenadas (x,y)∈ D , en el cual la región se equilibracentro de masa. horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen deEl significado físico delcentro de gravedad, es las ecuaciones:que la lámina secomporta como si sumasa estuviera Myconcentrada en ese punto. x= (III.19) m Mx y= (III.20) mEl centro de gravedad Donde tanto la masa de la placa plana como los momentosrecibe el nombre decentroide cuando la estáticos se calculan por medio de integrales dobles.densidad es constante. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  26. 26. 100 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones CENTRO DE MASA Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función ρ: 2 → , la cual es continua ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces el centro de gravedad viene dado por: 1 x ρ ( x, y ) dA m ∫∫D x= (III.21) 1 y ρ ( x, y ) dA m ∫∫D y= (III.22) Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como ∫∫ ρ ( x, y ) dA . D EJEMPLO 3.11 Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7. La región del ejemplo 3.7 Solución: está acotada por las curvas x = y2 −1 y El centro de masa es un punto P ( x , y ) ∈ D , tal que sus x = 2 y2 − 2 . Su densidad es : ρ ( x, y ) = 1 coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y III.22. Como ya se calculó la masa y los momentos estáticos paraY adicionalmente seobtuvo: esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.19 1 y 2 −14 m = ∫ ∫ 2 dxdy = y III.20 −1 2 y − 2 3 M x = ∫∫ ydA = 0 8 D My 6 M y = ∫∫ xdA = − 8 x= =−5 =− D 5 m 4 5 3 Mx 0 y= = =0 m 4 3 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  27. 27. 101Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Entonces:  6  P ( x, y ) =  − ,0  5  En la siguiente figura se observa el centro de masa o de gravedad de la placa D descrita en el ejemplo 3.7  6   − ,0   5  D Figura 3.21 Centro de masa de la región D del ejemplo 3.7 EJEMPLO 3.12 Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejemplo 3.8.La región D del ejemplo3.8, tiene una densidad Solución:que varía según: ρ ( x, y ) = 1 + 2 x Sustituyendo el valor de la masa y los momentos estáticos en lasEn los ejemplos 3.8 y ecuaciones que permiten calcular las coordenadas del centro de3.10, se obtuvo: masa, se tiene:m = ∫∫ (1 + 2 x ) dA = 40 D 1424 M x = ∫∫ y (1 + 2 x ) dA = 64 My 178 D 3 x= = 15 =M y = ∫∫ x (1 + 2 x ) dA = 1424 m 40 75 D 15UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  28. 28. 102Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 64 Mx 8 y= = 3 = m 40 15 Luego:  178 8  P ( x, y ) =  ,   75 15  En la figura 3.22 se aprecia la región D y su centro de masa:  178 8   ,   75 15  D Figura 3.22 Centro de masa de la región D del ejemplo 3.8 3.1.6. MOMENTO DE INERCIALos momentos de inercia El momento de inercia de una partícula alrededor de un eje setambién son llamadossegundos momentos. define como el producto de su masa y el cuadrado de la distanciaLos momentos de inercia que la separa de ese eje y se considera como una medida de lason momentos de “giro”. oposición a girar del cuerpo cuando actúa sobre él una fuerza de rotación. Los segundos momentos más importantes son los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados y del origen.UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  29. 29. 103Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones El procedimiento para obtener estos momentos como integrales dobles es similar al que se ilustró para los momentos estáticos, por lo tanto, el momento de inercia de una placa D, respecto al eje x, denotado I x , se calcula como: n m I x = Lim ∑∑ ( y j * ) ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ y 2 ρ ( x, y ) dA (III.23) 2En las ecuaciones III.23y III.24, el cuadrado de x P →0 i =1 j =1 Do de y recibe el nombrede brazo de palanca. Análogamente, el momento de inercia alrededor del eje y se denota como I y y se obtiene como: n m I y = Lim ∑∑ ( xi* ) ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ x 2 ρ ( x, y ) dA 2 (III.24) P →0 D i =1 j =1El momento de inercia La suma de estos dos momentos se conoce como momento dealrededor del origentambién es conocido inercia alrededor del origen, I 0 , donde:como momento polar deinercia. n m I 0 = Lim ∑∑  ( xi* ) + ( y j * )  ρ ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y ) dA 2 2 I0 = I x + I y P →0  i =1 j =1    D (III.25) MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS PLANAS Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene dada por la función ρ: 2 → , la cual es continua ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces los momentos de inercia alrededor de los ejes x y y, denotados I x e I y , se obtienen como: I x = ∫∫ y 2 ρ ( x, y ) dA (III.26) D I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y ) dA (III.27) D El momento polar de inercia, I 0 , es: I 0 = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y ) dA (III.28) DUC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.
  30. 30. 104 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 3.13 Determine los momentos de inercia de la placa plana descrita en el ejemplo 3.7. La gráfica de la región D Solución: del ejemplo 3.7 se muestra a continuación: Los momentos de inercia alrededor de los ejes coordenados se calculan de la siguiente manera: I x = ∫∫ y 2 ρ ( x, y ) dA , D I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y ) dA y I 0 = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y ) dA . D D 4 y 2 dxdy = ∫ y 2 (1 − y 2 ) dy = 1 y 2 −1 1 Cuya densidad es : Ix = ∫ ∫ ρ ( x, y ) = 1 −1 2 y 2 − 2 −1 15 ( x, y ) 2 y 2 − 2 ≤ x ≤ y 2 − 1 ∧    1 y 2 −1 1 7 7  32 Iy = ∫ −1 ∫ 2 y 2 − 2D=  −1 ≤ y ≤ 1   x 2 dxdy = ∫  − y 6 + 7 y 4 − 2 y 2  dy =    −1 3 3  15 1 7 7  12 (x + y 2 ) dxdy = ∫  − y 6 + 6 y 4 − 6 y 2  dy = 1 y 2 −1 I0 = ∫ ∫ 2  −1 3 3  5 2 −1 2 y − 2 Nótese que el momento polar de inercia puede calcularse como se acaba de ilustrar, sin embargo, también puede obtenerse a partir de: 4 32 36 12 I0 = I x + I y = + = = 15 15 15 5 Entonces los momentos de inercia para la placa plana descrita en el ejemplo3.7 son: 4 I x = ∫∫ y 2 dA = D 15 32 I y = ∫∫ x 2 dA = D 15 12 I 0 = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) dA = D 5 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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