Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
1   Batlaw: BUT-iïn ärxlägq,däslägq.................... W.Bat-ÄrdänäX¶nasan: Professor         ....................   B.Do...
2                                         a11 a12    .    .   . a1n         a21 a22    .    .   . a2n                ...
3zarim n´ toony üïldlüüdtäï tösöötäï, zarim n´ zöwxön matricyn xuw´d              Matricyg toogoor ürjüüläx.güïcätgägdänä....
4Ji²ää 1: A · B      ürjwär matricyg ol, änd                                                                            ...
5b)   XäräwAB ba BA ürjwär matricuud or²dog baïwal tädgäär matricuud      n´ öör öör xämjäästäï baïj bolno.      Ji²ää 2: ...
6Amk   bolno.                         1   2Ji²ää 4: A =                     bol   A2 -yg   ol.                         3  ...
7       30B =          bagana matricaar ögögdjää. Tölöwlösön bütäägdäxüüniïg       50üïldwärläxäd ²aardagdax tüüxiï ädiïn ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Mat1 lec1

1,409 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Mat1 lec1

  1. 1. 1 Batlaw: BUT-iïn ärxlägq,däslägq.................... W.Bat-ÄrdänäX¶nasan: Professor .................... B.Dolgorsürän Lekc 1 Xiqääliïn sädäw: Matric tüün däär xiïx üïldlüüd 1. Matricyn erönxiï oïlgolt, xälbärüüd m mör n bagana büxiï tabliciïn xälbäräär baïrluulagdsan m·n toogm × n xämjäätäï matric gäj närlääd   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n     . . . . . .  A=  .   . . . . .   . . . . . .  am1 am2 . . . amngäj biqnä. Matricyg bürdüülj baïgaa aij toonuudyg tüüniï älemen-tüüd gänä. m mör, n baganataï matricyg Am×n buµu A = (aij ), i =1, m, j = 1, n gäj tämdäglänä. Üünd: i-möriïn dugaar, j-baganyn dugaarµm.m × n xämjäästäï A = (aij ), B = (bij ) 2 matricyn xuw´d aij = bij boltädgääriïg täncüü gäx ba A = B gäj biqnä. Üünd: i = 1, 2, ..., m, j=Matricyn xälbärüüd1, 2, ..., n bolno. :Näg möröös togtson matricyg mör matric gäx ba näg baganaas togt-sonyg bagana matric gänä.   Ji²äälbäl A = (a11 , a12 , ..., a1n ) mör ma- b11   b21    . tric, B =   bagana matric µm. Xäräw matricyn möriïn too   .    .  bm1baganyxaa tootoï täncüü ba tädgääriïn too n ba n ärämbiïn kwadratmatric gänä. Möriïn dugaar n´ baganyn dugaartaïgaa täncüü (i = j)baïx matricyn älementüüd aij -g diagonaliïn gäx ba tädgäär n´ matri-cyn gol diagonaliïg biï bolgono.
  2. 2. 2   a11 a12 . . . a1n   a21 a22 . . . a2n    . . . . . . A=  Kwadrat matricyn a11 , a22 , ..., ann äle-   . . . . . .    . . . . . .  an1 an2 . . . annmentüüd n´ tüüniï gol diagonaliïg, an1 , an−1 2 , ..., a1n älementüüd n´tüüniï xajuugiïn diagonaliïg bürdüülnä. Xäräw kwadrat matriciïngol diagonaliïn bi² büx älementüüd n´ tägtäï täncüü bol diagonal´matric gänä. Xäräw n-ärämbiïn diagonal´ matricyn diagonaliïn büxälementüüd nägtäï täncüü baïwal ug matricyg  n ärämbiïn nägj matric  1 0 . . . 0  0 1 . . . 0     . . . . . . gäx ba E üsgäär tämdäglädäg. E =   . . . . . .  Xäräw duryn     . . . . . .  0 0 . . . 1xämjääst matricyn büx älementüüd tägtäï täncüü bol täg matric gänä.   0 0 ... .  . . ... . O=  ... ... ... ...  Diagonaliïn büx älementüüd n´ täncüü baïx di-  0 0 ... 0   a 0 ... 0  0 a ... 0 agonal´ matricyg skal¶r matric gänä. A =   ... ... ... ...  Xäräw A  0 0 ... akwadrat matricyn aij älementüüd n´ i > j üed tägtäï täncüü bol däädgurwaljin matric gäx ba xarin i < j üed tägtäï täncüü bol dood gur-waljin matric gäj närlädäg.   2 4 −1Ji²äälbäl: A =  0 3 5  dääd gurwaljin matric   0 0 7 4 0 0B =  −1 1 0  dood gurwaljin matric 0 2 3 2. Matric däär güïcätgäx üïldlüüdMatricad toony adil xäsäg üïldlüüdiïg güïcätgäj bolox ba tädgääriïn
  3. 3. 3zarim n´ toony üïldlüüdtäï tösöötäï, zarim n´ zöwxön matricyn xuw´d Matricyg toogoor ürjüüläx.güïcätgägdänä. 1. A matricyg λ toogoor ür-jinä gädäg n´ i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n xuw´d bij = λaij gäsän älemen- 2 4tüüd büxiï B = λA matricyg xälnä. Ji²äälbäl, xäräw A= , 3 2 10 20baïwal 5A = 15 10Mördlögöö. Matricyn büx älementüüdiïn erönxiï ürjigdäxüüniïg ma-tricyn tämdgiïn ömnö gargaj bolno. Ji²äälbäl, 20 12 6 10 6 3 =2· 52 2 0 26 1 0Tuxaïlbal, matric A-g tägäär ürjixäd täg matric baïna. Ööröör xäl- Matricyg nämäx. m×nbäl 0 · A = O. 2. gäsän ijil xämjääst A ba W matricu-udyn niïlbär gädäg n´ i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n cij = aij + bij xuw´dälement büxiï(matricuud älementüüdäärää nämägdänä) C = A + B-gxälnä. Ji²äälbäl, 2 3 0 0 1 4 2 4 4 A= , B= , C =A+B = 1 5 6 2 5 1 3 10 7 Matricyg xasax.Tuxaïn toxioldold A + O = A. 3. Ijil xämjääst xoër matricyn ¶lgawar 4. Matricuudyn ürjix.ömnöx üïldlüüdäär todorxoïlogdono. A − B = A + (−1) · B. A matricyg W matricaar ür-jix n´ näg däx matricyn baganyn too n´ xoër dax´ matricyn möriïntootoï täncüü üed güïcätgägdänä. Änä toxioldold A matricyg W ma-trictaï niïctäï gänä. Tägwäl Am×k · Bk×n ürjwär n´ Cm×n matric baïxbögööd, tüüniï älement cij bür n´ A matricyn i dügäär möriïn älemen-tüüdiïg W matricyn j dügäär baganyn älementüüdäär xargalzan ürjsänürjwärüüdiïn niïlbärtäï täncüü baïna. kcij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aik bkj = ais bsj ; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n s=1
  4. 4. 4Ji²ää 1: A · B ürjwär matricyg ol, änd   −1 0 1 1 0 2 A= ; B= 5 1 4  3 1 0 −2 0 1Bodolt: 1. (Xäräw matricuudyg ürjix bolomjtoï Ürjwär matricynbol) xämjääsiïg ol³ë: A2×3 · B3×3 .2. Ürjwär matric C-iïn älementüüdiïg A matricyn möriïn älementbüriïn W matricyn baganyn xargalzax älementüüdäär ürjüülj daraaxxälbäräär ol³ë. 1(−1) + 0 · 5 + 2(−2) 1 · 0 + 0 · 1 + 2 · 0 1 · 1 + 0 · 4 + 2 · 1 C= . 3(−1) + 1 · 5 + 0(−2) 3 · 0 + 1 · 1 + 0 · 0 3 · 1 + 1 · 4 + 0 · 1 −5 0 3Ändääs C= . 2 1 7 Toony üïldliïn ixänx qanaruud matricyn üïldlüüdiïn xuw´dxüqin tögöldör baïna. 1. A+B=B+A; 2. (A+B)+C=A+(B+C); 3. λ(A + B) = λA + λB; 4. A(B+C)=AB+AC; 5. (A + B) · C = AC + BC; 6. λ(AB) = (λA)B = A(λB); 7. A(BC)=(AB)C.Gäxdää matricyn ürjix üïldliïn xuw´d zarim nägän öwörmöc ²injqanaruud baïdag.a) Xäräw A·B ürjwär matric or²dog baïgaad, ürjigdäxüüniï baïryg sol´sny daraaxB·A ürjwär matric or²ij q bolox ba mön or²ixgüï baïj q bolno. Ünändää, ji²ää 1-d A2×3 · B3×3 ürjwär matric or²ij baïsan, xarin B3×3 · A2×3 ürjwäriïn xuw´d nägdügäär ma- tricyn möriïn too n´ xoërdugaar matricyn bagany tootoï täncüü bi² uqir ug ürjwär or²ixgüï baïna.
  5. 5. 5b) XäräwAB ba BA ürjwär matricuud or²dog baïwal tädgäär matricuud n´ öör öör xämjäästäï baïj bolno. Ji²ää 2: AB ba BA ürjwär matricuudyg ol, änd   0 3 2 1 1 A= , B =  1 5 . 0 3 2 −1 1 0 12 Bodolt: A2×3 · B3×2 = C2×2 = ;  1 17  0 2 −2 B3×2 · A2×3 = D3×3 =  2 16 11 , ööröör xälbäl AB = BA. −2 2 1w) AB ba BA ürjwärüüd xoëulaa or²dog ba A ba W matricuud xoëulaa adilxan xämjäästäï (änä n´ ijil ärämbiïn kwadrat matricuudyg ürjix üed bolomjtoï) toxioldold ürjixiïn kommutatiw (baïr solix) xuul´ erönxiïdöö bieläxgüï. Ööröör xälbäl AB = BA. Ji²ää 3: AW ba WA ürjwärüüdiïg ol, änd 1 2 0 5 A= , B= . 3 4 6 8 12 21 15 20 Bodolt: A·B = ; B·A= , ööröör xälbäl 24 47 30 44 A · B = B · A.g) Xoër täg bi² matricuudyn ürjwär täg matrictaï täncäj bolno. Ööröör xälbäl A·B = 0 ändääs A = 0 buµu B = 0 bolox n´ mördöxgüï. Ji²äälbäl, 1 1 1 1 0 0 A= = 0, B = = 0, bolowq AB = = 1 1 −1 −1 0 0 0. 5. Zäräg däw²üüläx. Kwadrat matric A-yn büxäl äerägm (m > 0) zäräg gädäg n´ A matricyn m ürjwäriïg xälnä. Ööröör m mxälbäl A matric n´: A = A · A · ... · A m udaa ürjsän.Zäräg däw²üüläx üïldäl n´ zöwxön kwadrat matricyn xuw´d todorx-oïlogddogiïg tämdägläe. 0Todorxoïlolt ësoor A = E, A1 = A baïna. Mön Am ·Ak = Am+k , (Am )k =
  6. 6. 6Amk bolno. 1 2Ji²ää 4: A = bol A2 -yg ol. 3 4 1 2 1 2 7 10Bodolt: A2 = · = . 3 4 3 4 15 22Am = 0 täncätgälääs bas A = 0 bolox n´ mördöxgüï gädgiïg anxaarax Xörwösön matric.xärägtäï. 6. A matricyn ärämbiïg öörqlöxgüïgäärmör ba bagany baïryg soliod A matricad ²iljüül´e. A’ matricyg Amatricyn xörwösön matric gänä:     a11 a12 ... a1n a11 a21 ... am1  a21 a22 ... a2n   a12 a22 ... am2  A=  ...  A =  ... ... ...   ... ... ... ...  am1 am2 ... amn a1n a2n ... amnÄnä todorxoïloltoos xäräw A matric n´ m×n xämjäästäï baïwal xör-wösön matric A’ n´ n×m xämjäästäï baïx n´ mördönö. Zarim nomnuudadxörwösön matricyg ööröör AT gäj tämdägläsän baïdag.Xörwöx üïldliïn qanaruud: 1. (A’)’=A; 2. (λA) = λA ; 3. (A+B)’=A’+B’; 4. (AB) = B · A .Ji²ää 5: Üïldwär P1 , P2 , P3 gurwan törliïn bütäägdäxüüniïg üïld-wärläxdää S1 , S2 xoër törliïn tüüxiï ädiïg a²igladag. Tüüxiï ädiïnzardlyn orcyn norm n´:   2 3A =  5 2  matricaar todorxoïlogdono. Änd aij (i = 1, 2, 3; j = 1 41, 2) älement bür n´ i törliïn nägj bütäägdäxüüniïg xiïxäd j törliïntüüxiï ädääs xädän nägj zarcuulagdaxyg üzüülnä. Bütäägdäxüüniïgüïldwärläxäd tölöwlögöö n´ C = (100 80 130) mör matricaar, xarintüüxiï ädiïn töröl tus büriïn nägjiïn örtög n´ (möngön nägjäär)
  7. 7. 7 30B = bagana matricaar ögögdjää. Tölöwlösön bütäägdäxüüniïg 50üïldwärläxäd ²aardagdax tüüxiï ädiïn zarcuulalt ba tüüxiï ädiïnniït örtgiïg todorxoïl.Bodolt: Nägdügäär törliïn tüüxiï ädiïn zarcuulalt n´ S1 = 2 · 100 +5 · 80 + 1 · 130 = 730 nägj bolox ba xoërdugaarynx n´ S2 = 3 · 100 + 2 ·80 + 4 · 130 = 980 nägj bolno. Iïmd tüüxiï ädiïn zarcuulalt n´ S mörmatric bolox tul   2 3 S =C ·A= 100 80 130 · 5 2 = 730 980 1 4matricuudyn ürjwäräär biqij bolno. Tägwäl tüüxiï ädiïn niït örtögQ = 730 · 30 + 980 · 50 = 70900 möngön nägj bolox ba tüüniïg Q = S · B =(C ·A)·B = (70900) matricuudyn ürjwäräär biqij bolno. Tüüxiï ädiïnniït örtgiïg öör daraallaar toocoj bolno: äxlääd nägj bütäägdäxüündzarcuulax tüüxiï ädiïn örtgiïn matricyg ö.x     2 3 210 30 R=A·B = 5 2 · =  250  50 1 4 230bodood, daraa n´ tüüxiï ädiïn niït örtög  210Q = CR = C(AB) = 100 80 130  250  = (70900) olno. 230Änä ji²ää n´ matricyn ürjwäriïn associatiw (xäsäglän nägtgäx) (CA)B =C(AB) qanar bielägdäj baïgaag xaruulj baïna.Tölöwlögöö bolowsruulsan bag² ................................... L.Ariunaa

×