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Los conjuntos - Material didáctico

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Material didáctico de apoyo, para desarrollar el tema de los conjuntos, originalmente lo diseñé para desarrollar la temática correspondiente al área de matemática en el primer grado de secundaria, pero también puede utilizarse en el nivel primario.

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Los conjuntos - Material didáctico

  1. 1. UNIDAD I CONJUNTOS EUGENIO MARLON EVARISTO BORJA Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja. Bienvenidos a nuestra Primera Unidad Nuestro tema transversal es Identidad Institucional y Nacional
  2. 2. DIVERSIFICACIÓN CAPACIDADES Razonamientoy demostración • Demuestra y verifica el uso operaciones con conjuntos. Comunicación Matemática • Describe y utiliza Noción de conjunto. Determinación de conjuntos. • Describe y utiliza las Relaciones y operaciones entre conjuntos. • Describe y utiliza los Diagramas de clasificación y organización de información cuantitativa (Venn.). • Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: verbal, tablas, gráficos, etc. Resolución de problemas • Resuelve problemas con las relaciones y operaciones entre conjuntos. • Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican la organización de datos utilizando conjuntos. CONOCIMIENTOS Funciones • Noción de dependencia, función, variables dependientes e independientes. • Representación tabular y gráfica de funciones. • Dominio y rango de funciones lineales. Relaciones lógicas y conjuntos • Noción de conjunto. Determinación de conjuntos. • Relaciones y operaciones entre conjuntos. • Diagramas de clasificación y organización de información cuantitativa (Venn, Carroll, cuadros numéricos, etc.) Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  3. 3. ÍNDICE • CONJUNTO – Definición. – Representación de conjuntos. – Relación de pertenencia. – Determinación de conjuntos. – Clases de conjuntos. – Relación entre conjuntos – Inclusión. – Relación entre conjuntos – Igualdad. – Conjuntos especiales – Conjunto Universal. – Conjuntos especiales – Conjunto Potencia. • Operaciones entre entre conjuntos. – Unión. – Intersección. – Diferencia. – Diferencia Simétrica. – Complemento. – Producto Cartesiano. • Funciones. – Definición. – Dominio y Rango. – Variable Independiente y Dependiente. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  4. 4. CONJUNTO Un conjunto es una colección de objetos que tienen características en común. Cada objeto de un conjunto se llama elemento. Escribir 5 ejemplos de conjuntos en nuestra sociedad. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja. Ejemplo: Conjunto de vocales Conjunto de tortas
  5. 5. NOTACIÓN DE CONJUNTO Diagrama de Venn Euler A={a, e, i, o, u} Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas: A, B, C, D ………. Se puede representar por medio de diagramas o entre llaves. Cuando se representa entre llaves se separan con comas y en el caso de números se separan con punto y coma. Cuando se representa en diagramas es necesario que lleven un punto en el lado izquierdo. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  6. 6. CONJUNTO Ejemplo: Ejemplo: B={1, 3, 5, 7, 9} C C={pato, gallo, pollo} Escribir 5 ejemplos de conjunto gráficamente y entre llaves. Aquí algunos ejemplos de conjuntos. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  7. 7. RELACION DE PERTENENCIA Ejemplo: B={1, 3, 5, 7, 9} C C={pato, gallo, pollo} La relación de pertenencia se establece de elementos a conjunto. •1 Є A •3 Є A •5 Є A •7 Є A •9 Є A •11 ∉ A •13 ∉ A •15 ∉ A •gallo Є A •pollo Є A •pato Є A •zorro ∉ A Se lee: El elemento 1 pertenece al conjunto A. El elemento 15 no pertenece al conjunto A. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  8. 8. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS POR EXTENSIÓN • Un conjunto se representa por extensión cuando se enumera uno a uno cada uno de sus elementos. POR COMPRENSIÓN • Un conjunto se determina por comprensión cuando se recurre a una propiedad que caracteriza todos sus elementos. A={a, e, i, o, u} A={las vocales} ó A={x/x es una vocal} B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B={los números dígitos} ó B={x/x Є N <10} ¿Cuántas formas de determinar conjuntos hay? Existen 2: Por Extensión y Por Comprensión Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  9. 9. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS POR EXTENSIÓN • A={x/x Є N, x es impar y x≤11} • B={x/x Є N, x es impar y 2<x≤9} • C={x/x es una vocal fuerte} • D={x/x es un mes con cinco letras} • E={x/x Є N, múltiplo de 5 y 10≤x ≤30 } POR COMPRENSIÓN • A={1; 3; 5; 7; 9; 11} • B={3; 5; 7; 9} • C={a, e, o} • D={enero, marzo, abril, junio, julio} • E={10; 15; 20; 25; 30} Por Comprensión: F={1; 2; 3; 4; 5; 6} G={gato, tigre, león, leopardo} H={7; 14; 21; 28; 35} I={Pinta, Niña, Santa María} J={55, 66, 77, 88, 99} Por Extensión: K={x/x Є N, x es un número par 5<x<11} L={x/x es un ave domestico} M={x/x es un planeta del sistema solar} N={x/x Є N , x es un numero primo <13} O={x/x es una consonante} Aquí tienen algunos ejemplos de determinación de conjuntos. Determinar los siguientes conjuntos: Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  10. 10. CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS ¿Cuántos clases de conjuntos existen? Existen 4 y son los que se muestran en la tabla Conjuntos Por extensión Por comprensión Características Finito A={a, e, i, o, u} A={x/x es vocal} Se puede enumerar todos sus elementos. Infinito B={0;1;2;3;4;…} B={x/x ∈ ℕ} No se puede terminar de enumerar todos los elementos. Vacio C={ } = Ø C={x/x ∈ ℕ ∧ 1<x<2} No tiene elementos. Unitario D={3} D={x/x ∈ ℕ ∧ 2<x<4} Tiene un único elemento. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  11. 11. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS • B={1; 2; 3; 4; 5} • C={1; 3; 5} • D={2; 4; 6} • E={6; 7; 8; 9} INCLUSIÓN 1. C ⊂ B 2. D ⊄ B 3. B ⊂ B 4. C ⊂ C 5. B ⊄ E ¿A qué se llama relación de Inclusión? Se dice que un conjunto esta incluido en otro si todo elemento del primero es también elemento del segundo. .2 .4 .1 .3 .5 C B 1) .1 .2 .3 .4 .5 B 3) .2 .4 .6 .1 .3 .5 B D 2) .1 .3 .5 C 4) .1 .2 .3 .4 .5 B .6 .7 .8 .9 E5) Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  12. 12. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS Simbólicamente: A ⊂ B ⇔ ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B Se escribe Se lee A ⊂ B A esta incluido en B A es subconjunto de B A ⊄ C A no esta incluido en C A no es subconjunto de C C ⊄ B C no esta incluido en B C no es subconjunto de B Propiedades de la inclusión Reflexiva: Todo conjunto esta incluido en si mismo A ⊂ A Transitiva: Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C Cuando un conjunto esta incluido en otro se dice también que es subconjunto del otro. .d .e B .a .b .c A .i .o .u C Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  13. 13. Simbólicamente: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS • B={b; 2; 3; d; 5} • C={d; 3; 5; b; 2} IGUALDAD DE CONJUNTOS ¿A qué se llama Igualdad de conjuntos? Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. • D={χ; ψ; ω; σ} • E={ω; χ; ψ; σ} .b .2 .3 .d .5 B C E D .ω .χ .ψ .σ B=C D=C Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  14. 14. CONJUNTOS ESPECIALES ¿Cuántas clases de conjuntos especiales existen? Son dos y son los siguientes: • U={plantas} • F={flores} • V={verduras} • R={rosas} CONJUNTO UNIVERSAL (U) O referencial es aquel que se fija de antemano e incluye a todos los elementos que están en discusión. U flores F rosas R verduras V F⊂U, V⊂U, R⊂F, R⊂U Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  15. 15. CONJUNTOS ESPECIALES ¿Y que es un conjunto potencia? • Sea el conjunto: • A={pan, queso} • Donald cuenta con alimentos del conjunto A entonces podemos formar 4 subconjuntos que muestran la manera de comer sus alimentos. • P(A)={{pan},{queso},{pan, queso}, ninguna de las dos} CONJUNTO POTENCIA P(A) Es aquel que está constituido por todos los subconjuntos que es posible formar con los elementos del conjunto A. Cantidad de elementos de P(A)=cantidad de subconjuntos de A=n[P(A)]=2n(A) Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  16. 16. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS • Sean los conjuntos: • A={1; 2; 3; 4; 5} • B={1; 3; 5} • C={2; 4; 6} • D={3; 4; 5} Unión (U) de conjuntos ¿Cuáles son las operaciones entre conjuntos? Existen 6 y son las siguientes: .1 .2 .3 .4 .5 A B A ∪ B A ∪ B={1; 2; 3; 4; 5} C ∪ D={2; 3; 4; 5; 6} .3 .5 C D .2 .4 .6 C∪ D .1 .3 .5 B .2 .4 .6 C B ∪ C B ∪ C={1; 3; 5; 2; 4; 6} Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  17. 17. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B y a ambos. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS • Sean los conjuntos: • A={1; 2; 3; 4; 5} • B={1; 3; 5} • C={2; 4; 6} • D={3; 4; 5} Intersección (∩) de conjuntos ¿Cuál es la segunda Operación entre conjuntos? La segunda es la Intersección .1 .2 .3 .4 .5 A .1 .2 .3B A ∩ B A ∩ B={1; 2; 3} C ∩ D={4} .1 .3 .5 B .2 .4 .6 C B ∩ C B ∩ C={ } .6 .2 .3 .5 .4 C D Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja. C ∩ D
  18. 18. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no a B. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS • Sean los conjuntos: • A={1; 2; 3; 4; 5} • B={1; 3; 5} • C={2; 4; 6} • D={3; 4; 5} Diferencia (-) de conjuntos ¿Cuál es la tercera Operación entre conjuntos? La tercera es la Diferencia .1 .2 .3 .4 .5 A .1 .2 .3B A - B A - B={4; 5} C - D={6; 2; 3; 5} .1 .3 .5 B .2 .4 .6 C B - C B - C={1; 3; 5} .6 .2 .3 .5 .4 C D Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja. C - D
  19. 19. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y B. Pero no a ambos. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS • Sean los conjuntos: • A={1; 2; 3; 4; 5} • B={1; 3; 5} • C={2; 4; 6} • D={3; 4; 5} Diferencia Simétrica (∆) de conjuntos ¿Cuál es la cuarta Operación entre conjuntos? La cuarta operación es la Diferencia simétrica .1 .2 .3 .4 .5 A .1 .2 .3B A ∆ B A ∆ B={4; 5} C∆D={6; 2; 3; 5} .1 .3 .5 B .2 .4 .6 C B ∆ C B∆C={1; 3; 5; 2; 4; 6 } .6 .2 .3 .5 .4 C D Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja. C ∆ D
  20. 20. El complemento de un conjunto A’ , es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal U que no pertenecen a A . OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS • Sean los conjuntos: • U={1; 2; 3; 4; 5,6} • A={1; 3; 5} • B={2; 4; 6} • C={3; 4; 5} Complemento (’) de conjuntos ¿Cuál es la quinta Operación entre conjuntos? La quinta operación es el Complemento .2 .4 .6 U .1 .5 .3 A A’ A’={2; 4; 6} C’={1; 2; 6} B’={2; 4; 6 } .1 .2 .6 C .3 .4 .5 U C’ .2 .4 .6 .1 .3 .5 B B’ U Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  21. 21. El producto cartesiano de los conjuntos A y B es un conjunto de pares ordenados (x, y) tal que x ∈ A ∧ y ∈ B. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS • Sean los conjuntos: • B={2; 4; 6} • C={3; 5; 7} Producto Cartesiano (x) de conjuntos ¿Cuál es la sexta Operación entre conjuntos? La sexta operación es el Producto Cartesiano. .2 .4 .6 B .3 .5 .7 C B x C B x C={(2;3),(2;5),(2;7),(4;3),(4;5),(4;7),(6;3),(6;5),(6;7)} Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja.
  22. 22. FUNCIONES: Definición. • Sean los conjuntos: A={2; 4; 6} B={3; 5; 7} ¿Qué es una función? La función es una correspondencia entre dos conjuntos ƒ1={(2;3),(4;5),(6;7)} Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja. .2 .4 .6 A .3 .5 .7 B Dominio Rango .2 .4 .6 A .3 .5 .7 B Dominio Rango •Un conjunto A llamado conjunto de partida o dominio •Un conjunto B llamado conjunto de llegada o rango. •Una regla que asigna a cada elemento de A un único elemento de B. ƒ2={(2;3),(4;5),(6;7)} .2 .4 .6 A .3 .5 .7 B Dominio Rango No es una función .2 .4 .6 A .3 .5 .7 B Dominio Rango No es una función
  23. 23. FUNCIONES: Dominio y Rango. • Sean los conjuntos: • A={a; b; c} • B={β; γ; δ} ¿Qué es el Dominio y Rango de una función? La función es una correspondencia entre dos conjuntos ƒ1={(a;β),(b;γ),(c;δ)} Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja. .a .b .c A .β .γ .δ B Dominio Rango .a .b .c A .β .γ .δ B Dominio Rango •Dado una función ƒ de A en B: •El dominio de ƒ esta formado por todos los elementos de A. •El Rango de ƒ esta formado por subconjunto de B. ƒ2 ={(a; γ),(b;γ),(c; γ)}
  24. 24. FUNCIONES: Variable dependiente e independiente. ¿Cuántas clases de variable existe en una función? Existen 2: •Variable dependiente. •Variable independiente. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja. •Una función ƒ : A => B •La variable x representa cualquier valor del dominio y se llama variable independiente. •Los valores que tome la variable “y” dependen de los valores que tome x, por lo que se denomina variable dependiente. .x A y= ƒ(x) B V. Ind. V. Depen. ƒ (x,y) o (x, ƒ(x)) V. Ind. V. Depen. V. Ind. V. Depen.
  25. 25. FUNCIONES: Variable dependiente e independiente. ¿Cómo se determina el valor de la variable dependiente? El valor de la V. dep. esta en función de la variable independiente. Prof. Eugenio Marlon Evaristo Borja. •La función es ƒ={(1;2),(2;3),(3;4),(4;5)} • Sean los conjuntos: • A={1; 2; 3; 4} • B={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Se define la función ƒ : AB por el criterio y = x+1 Solución Sabemos que ƒ(x) = y = x+1 Esto es ƒ(x)= x+1; reemplazamos en x los elementos de A ƒ(1)=1+1=2 ƒ(2)=2+1=3 ƒ(3)=3+1=4 ƒ(4)=4+1=5

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