Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
METODE NUMERIK
INTERPOLASI
Tujuan
 Interpolasi

berguna untuk menaksir hargaharga tengah antara titik data yang sudah
tepat. Interpolasi mempunyai o...
Macam Interpolasi
 Interpolasi

Beda Terbagi Newton
 Interpolasi Lagrange
 Interpolasi Spline
Macam Interpolasi Beda
Terbagi Newton


Interpolasi Linier
Derajat/orde 1 → memerlukan 2 titik
x
1
2
3
4

f(x)
4,5
7.6
9....
Macam Interpolasi Beda
Terbagi Newton
 Interpolasi

Kuadratik
Derajat/orde 2 → memerlukan 3 titik
x = 1 → f(x = 1) = . . ...
Macam Interpolasi Beda
Terbagi Newton
 Interpolasi

Kubik
Derajat/orde 3 → memerlukan 4 titik
…
 Interpolasi derajat/ord...
Interpolasi Linier
 Cara:

menghubungkan 2 titik dengan sebuah
garis lurus
 Pendekatan formulasi interpolasi linier sama...
Interpolasi Linier
 Prosentase

kesalahan pola interpolasi linier :

Harga_hasil_perhitun gan − Harga_sebenarnya
εt =
Har...
Interpolasi Linier (Ex.1)
 Diketahui

suatu nilai tabel distribusi ‘Student
t’ sebagai berikut :
t5% = 2,015
t2,5% = 2,57...
Interpolasi Linier (Ex.1)


Penyelesaian
x0 = 5  f(x0) = 2,015
x1 = 2,5  f(x1) = 2,571
x = 4  f(x) = ?
Dilakukan pende...
Interpolasi Linier (Ex.2)






Diketahui:
log 3 = 0,4771213
log 5 = 0,698700
Harga sebenarnya:
log (4,5) = 0,6532125 (...
Interpolasi Linier
 Pendekatan

interpolasi dengan derajat 1,
pada kenyataannya sama dengan mendekati
suatu harga tertent...
Interpolasi Kuadratik
 Interpolasi

orde 2 sering disebut sebagai
interpolasi kuadratik, memerlukan 3 titik data.
 Bentu...
Interpolasi Kuadratik
 Sehingga

f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
Pendekatan dengan Pendekatan dengan
garis linier
...
Interpolasi Kubik


f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)

dengan:

b0 = f ( x0 )
b1 =

f ( x1 ) ...
Interpolasi Beda Terbagi
Newton


Secara umum:
f1(x) = b0 + b1(x-x0)
f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
f3(x) = b0 + ...
Interpolasi Beda Terbagi
Newton
Dengan:
 b = f(x )
0
0
b

= f[x1, x0]

b

= f[x2, x1, x0]

1
2

…
 b = f[x , x , x , ....
Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
 Hitung

nilai tabel distribusi ‘Student t’ pada
derajat bebas dengan α = 4%, jika ...
Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
Interpolasi Newton Orde 2:  butuh 3 titik
 x =5
f(x0) = 2,015
0
x1 = 2,5
f(x1) = 2...
Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
 f (x)
2

= b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)
= 2,015 + (-0,222) (4-5) +
0,077 (4-5)(4...
Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
Interpolasi Newton Orde 3:  butuh 4 titik
x = 5
f(x0) = 2,015
0
x1 = 2,5

f(x1) = ...
Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)


b0 = f(x0) = 2,015
b1 = -0,222 → f[x1,x0]
b2 = 0,077 → f[x2,x1,x0]
1,476 − 3,365 ...
Interpolasi Beda Terbagi
Newton (Ex.)
 f (x)
3

= b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) +
b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)
= 2,015 + (-0,222...
Kesalahan Interpolasi Beda
Terbagi Newton
R

n

= |f[xn+1,xn,xn-1,…,x0](x-x0)(x-x1)…(x-xn)|

 Menghitung

R1

Perlu 3 ti...
Kesalahan Interpolasi Beda
Terbagi Newton (Ex.)
 Berdasarkan

contoh:
R1 = |f[x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)|
= |0.077 (4-5)(4-2.5...
Interpolasi Lagrange
 Interpolasi

Lagrange pada dasarnya
dilakukan untuk menghindari perhitungan
dari differensiasi terb...
Interpolasi Lagrange
 Pendekatan

orde ke-1
f1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)
x − x1
L0 ( x ) =
x0 − x1

x − x0
L1 ( x ) =
...
Interpolasi Lagrange
 Pendekatan

orde ke-2
f2(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2)
 x − x1  x − x2

L0 ( x ) =...
Interpolasi Lagrange
 Pendekatan

orde ke-3

f3(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) + L3(x)f(x3)
 x − x1  x − x2...
Interpolasi Lagrange (Ex.)
nilai distribusi t pada α = 4 %?
α = 2,5 % → x0 = 2,5
→ f(x0) = 2,571

 Berapa

α=5%

→ x1 = 5...
Interpolasi Lagrange (Ex.)
 Pendekatan

orde ke-1
f1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)
x − x0
x − x1
f1 ( x ) =
f ( x0 ) +
f (...
Interpolasi Lagrange (Ex.)


Pendekatan orde ke-2
f2(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2)

 x − x1  x − x2

∴ f...
Interpolasi Spline
 Tujuan:

penghalusan
 Interpolasi spline linear, kuadratik, kubik.
Interpolasi Cubic Spline

dimana Si adalah polinomial berderajat 3:
p(xi) = di + (x-xi) ci + (x-xi)2 bi + (x-xi)3 ai, i=1,...
Interpolasi Cubic Spline
 Interpolasi

spline kubik menggunakan
polinomial p(x) orde 3
p(x) = di + (x-xi) ci + (x-xi)2 bi...
Interpolasi Cubic Spline


Evaluasi pada titik x=xi menghasilkan:
pi = p(xi) = di
pi” = p”(xi) = 2bi



Evaluasi pada ti...
Interpolasi Cubic Spline


Jadi:
di = p i

p"i+1 −p"i
ai =
6hi


Sehingga:

pi "
bi =
2
pi+1 − pi hip"i+1 +2hip"i
ci =
−...
Interpolasi Cubic Spline (Ex.)
interpolasi
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

interpolasi

interpolasi

  • Be the first to comment

interpolasi

  1. 1. METODE NUMERIK INTERPOLASI
  2. 2. Tujuan  Interpolasi berguna untuk menaksir hargaharga tengah antara titik data yang sudah tepat. Interpolasi mempunyai orde atau derajat.
  3. 3. Macam Interpolasi  Interpolasi Beda Terbagi Newton  Interpolasi Lagrange  Interpolasi Spline
  4. 4. Macam Interpolasi Beda Terbagi Newton  Interpolasi Linier Derajat/orde 1 → memerlukan 2 titik x 1 2 3 4 f(x) 4,5 7.6 9.8 11.2 Berapa f(x = 1,325) = ? Memerlukan 2 titik awal : x=1 x=2
  5. 5. Macam Interpolasi Beda Terbagi Newton  Interpolasi Kuadratik Derajat/orde 2 → memerlukan 3 titik x = 1 → f(x = 1) = . . . . x = 2 → f(x = 2) = . . . . f (x = 1,325) = ? x = 3 → f(x = 3) = . . . .
  6. 6. Macam Interpolasi Beda Terbagi Newton  Interpolasi Kubik Derajat/orde 3 → memerlukan 4 titik …  Interpolasi derajat/orde ke-n → memerlukan n+1 titik  Semakin tinggi orde yang digunakan untuk interpolasi hasilnya akan semakin baik (teliti).
  7. 7. Interpolasi Linier  Cara: menghubungkan 2 titik dengan sebuah garis lurus  Pendekatan formulasi interpolasi linier sama dengan persamaan garis lurus. f1 ( x ) = f ( x0 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) ( x − x0 ) + ( x1 − x0 )
  8. 8. Interpolasi Linier  Prosentase kesalahan pola interpolasi linier : Harga_hasil_perhitun gan − Harga_sebenarnya εt = Harga_sebenarnya
  9. 9. Interpolasi Linier (Ex.1)  Diketahui suatu nilai tabel distribusi ‘Student t’ sebagai berikut : t5% = 2,015 t2,5% = 2,571 Berapa t4% = ?
  10. 10. Interpolasi Linier (Ex.1)  Penyelesaian x0 = 5  f(x0) = 2,015 x1 = 2,5  f(x1) = 2,571 x = 4  f(x) = ? Dilakukan pendekatan dengan orde 1 : f1 ( x ) = f ( x0 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) ( x − x0 ) + ( x1 − x0 ) (2,571 − 2,015) ( 4 − 5) = 2,015 + 2,5 − 5 = 2,2374 ≈ 2,237
  11. 11. Interpolasi Linier (Ex.2)    Diketahui: log 3 = 0,4771213 log 5 = 0,698700 Harga sebenarnya: log (4,5) = 0,6532125 (kalkulator). Harga yang dihitung dengan interpolasi: log (4,5) = 0,6435078 0,6435078 − 0,6532125 εt = ∗ 100% = 1,49% 0,6532125
  12. 12. Interpolasi Linier  Pendekatan interpolasi dengan derajat 1, pada kenyataannya sama dengan mendekati suatu harga tertentu melalui garis lurus.  Untuk memperbaiki kondisi tersebut dilakukan sebuah interpolasi dengan membuat garis yang menghubungkan titik yaitu melalui orde 2, orde 3, orde 4, dst, yang sering juga disebut interpolasi kuadratik, kubik, dst.
  13. 13. Interpolasi Kuadratik  Interpolasi orde 2 sering disebut sebagai interpolasi kuadratik, memerlukan 3 titik data.  Bentuk polinomial orde ini adalah : f2(x) = a0 + a1x + a2x2 dengan mengambil: a0 = b0 – b1x0 + b2x0x1 a1 = b1 – b2x0 + b2x1 a2 = b2
  14. 14. Interpolasi Kuadratik  Sehingga f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) Pendekatan dengan Pendekatan dengan garis linier kelengkungan dengan b0 = f ( x0 ) b1 = f ( x1 ) − f ( x 0 ) → f [ x 1, x0 ] ( x1 − x0 ) f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x 0 ) − ( x2 − x1 ) ( x1 − x0 ) → f [ x , x , x ] b2 = 2 1 0 ( x2 − x0 )
  15. 15. Interpolasi Kubik  f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) dengan: b0 = f ( x0 ) b1 = f ( x1 ) − f ( x 0 ) → f [ x 1, x0 ] ( x1 − x0 ) f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x 0 ) − ( x2 − x1 ) ( x1 − x0 ) → f [ x , x , x ] f [x2 , x1 ] − f [x1 , x 0 ] b2 = = 2 1 0 ( x2 − x 0 ) ( x2 − x 0 ) b3 = f [x3 , x2 , x1 ] − f [x2 , x1 , x 0 ] → f [ x3 , x2 , x1 , x 0 ] ( x3 − x 0 )
  16. 16. Interpolasi Beda Terbagi Newton  Secara umum: f1(x) = b0 + b1(x-x0) f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) … fn(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + … + bn(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)
  17. 17. Interpolasi Beda Terbagi Newton Dengan:  b = f(x ) 0 0 b = f[x1, x0] b = f[x2, x1, x0] 1 2 …  b = f[x , x , x , . . . ., x ] n n n-1 n-2 0
  18. 18. Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex.)  Hitung nilai tabel distribusi ‘Student t’ pada derajat bebas dengan α = 4%, jika diketahui: t10% = 1,476 t2,5% = 2,571 t5% = 2,015 t1% = 3,365 dengan interpolasi Newton orde 2 dan orde 3!
  19. 19. Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex.) Interpolasi Newton Orde 2:  butuh 3 titik  x =5 f(x0) = 2,015 0 x1 = 2,5 f(x1) = 2,571 x2 = 1 f(x2) = 3,365  b = f(x ) = 2,015 0 0 f ( x1 ) − f ( x 0 ) 2,571 − 2,015 b1 = = = −0,222 ( x1 − x0 ) 2,5 − 5 f ( x2 ) − f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) − ( x2 − x1 ) ( x1 − x0 ) b2 = ( x2 − x0 ) 3,365 − 2,571 2,571 − 2,015 − 1 − 2,5 2,5 − 5 = = 0,077 1−5
  20. 20. Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex.)  f (x) 2 = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) = 2,015 + (-0,222) (4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5) = 2,121
  21. 21. Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex.) Interpolasi Newton Orde 3:  butuh 4 titik x = 5 f(x0) = 2,015 0 x1 = 2,5 f(x1) = 2,571 x2 = 1 f(x2) = 3,365 x3 = 10 f(x3) = 1,476
  22. 22. Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex.)  b0 = f(x0) = 2,015 b1 = -0,222 → f[x1,x0] b2 = 0,077 → f[x2,x1,x0] 1,476 − 3,365 3,365 − 2,571 − 10 − 1 1 − 2,5 − 0,077 10 − 2,5 b3 = 10 − 5 0,043 − 0,077 = 5 = −0,007
  23. 23. Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex.)  f (x) 3 = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1) + b3(x-x0)(x-x1)(x-x2) = 2,015 + (-0,222)(4-5) + 0,077 (4-5)(4-2,5) + (-0,007)(4-5)(4-2,5)(4-1) = 2,015 + 0,222 + 0,1155 + 0,0315 = 2,153
  24. 24. Kesalahan Interpolasi Beda Terbagi Newton R n = |f[xn+1,xn,xn-1,…,x0](x-x0)(x-x1)…(x-xn)|  Menghitung R1 Perlu 3 titik (karena ada xn+1) R1 = |f[x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)|  Menghitung R2 Perlu 4 titik sebagai harga awal R2 = |f[x3,x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)|
  25. 25. Kesalahan Interpolasi Beda Terbagi Newton (Ex.)  Berdasarkan contoh: R1 = |f[x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)| = |0.077 (4-5)(4-2.5)| = 0.1155 R2 = |f[x3,x2,x1,x0](x-x0)(x-x1)(x-x2)| = |-0.007 (4-5)(4-2.5)(4-1)| = 0.0315
  26. 26. Interpolasi Lagrange  Interpolasi Lagrange pada dasarnya dilakukan untuk menghindari perhitungan dari differensiasi terbagi hingga (Interpolasi Newton) n  Rumus: f n ( x ) = ∑ Li ( x ).f ( x i ) i =0 dengan Li ( x ) = n ∏ j =0 j ≠i x − xj xi − x j
  27. 27. Interpolasi Lagrange  Pendekatan orde ke-1 f1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) x − x1 L0 ( x ) = x0 − x1 x − x0 L1 ( x ) = x1 − x0 x − x0 x − x1 ∴ f1 ( x ) = f ( x0 ) + f ( x1 ) x 0 − x1 x1 − x 0
  28. 28. Interpolasi Lagrange  Pendekatan orde ke-2 f2(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2)  x − x1  x − x2  L0 ( x ) =   x − x  x − x i =0 1  0 2  0 n =2  x − x0 L1 ( x ) =  x −x i =1 0  1 n =2      x − x2   x − x 2  1     j ≠i j ≠i  x − x0 L2 ( x ) =  x −x i =2 0  2 n =2  x − x1     x − x  1   2 j ≠i  x − x1  x − x2  ∴ f2 ( x ) =   x − x  x − x 1  0 2  0   x − x0 f ( x 0 ) +   x −x 0   1  x − x2   x − x 2  1  x − x0  f ( x1 ) +   x −x 0   2  x − x1     x − x f ( x2 ) 1   2
  29. 29. Interpolasi Lagrange  Pendekatan orde ke-3 f3(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) + L3(x)f(x3)  x − x1  x − x2  f2 ( x ) =   x − x  x − x 1  0 2  0  x − x3   x − x0  f ( x 0 ) +   x − x  x −x 3  0  0  1  x − x2   x − x 2  1  x − x3     x − x f ( x1 ) + 3   1  x − x 0  x − x1  x − x3   x − x 0  x − x1  x − x2    f ( x 2 ) +       x − x  x − x  x − x   x − x  x − x  x − x f ( x3 ) 0  2 1  2 3  0  3 1  3 2   2  3
  30. 30. Interpolasi Lagrange (Ex.) nilai distribusi t pada α = 4 %? α = 2,5 % → x0 = 2,5 → f(x0) = 2,571  Berapa α=5% → x1 = 5 → f(x1) = 2,015 α = 10 % → x2 = 10 → f(x2) = 1,476
  31. 31. Interpolasi Lagrange (Ex.)  Pendekatan orde ke-1 f1(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) x − x0 x − x1 f1 ( x ) = f ( x0 ) + f ( x1 ) x 0 − x1 x1 − x 0  4−5   4 − 2,5  = ( 2,571) +   2,5 − 5   5 − 2,5 ( 2,015)      = 2,237
  32. 32. Interpolasi Lagrange (Ex.)  Pendekatan orde ke-2 f2(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2)  x − x1  x − x2  ∴ f2 ( x ) =   x − x  x − x 1  0 2  0   x − x0 f ( x 0 ) +   x −x 0   1  x − x2   x − x 2  1  x − x0  f ( x1 ) +   x −x 0   2  x − x1     x − x f ( x2 ) 1   2  4 − 5  4 − 10   4 − 2,5  4 − 10   4 − 2,5  4 − 5  =  ( 2,571) +   ( 2,015) +   2,5 − 5  2,5 − 10   5 − 2,5  5 − 10  10 − 2,5  10 − 5 (1,476 )           = 2,214
  33. 33. Interpolasi Spline  Tujuan: penghalusan  Interpolasi spline linear, kuadratik, kubik.
  34. 34. Interpolasi Cubic Spline dimana Si adalah polinomial berderajat 3: p(xi) = di + (x-xi) ci + (x-xi)2 bi + (x-xi)3 ai, i=1,2, …, n-1 Syarat: Si(xi) = Si+1(xi), Si’(xi) = Si+1’(xi), Si’’(xi) = Si+1’’(xi)
  35. 35. Interpolasi Cubic Spline  Interpolasi spline kubik menggunakan polinomial p(x) orde 3 p(x) = di + (x-xi) ci + (x-xi)2 bi + (x-xi)3 ai  Turunan pertama dan kedua p(xi) yaitu: p’(x) = ci + 2bi (x-xi) + 3ai (x-xi)2 p”(x) = 2bi + 6ai (x-xi)
  36. 36. Interpolasi Cubic Spline  Evaluasi pada titik x=xi menghasilkan: pi = p(xi) = di pi” = p”(xi) = 2bi  Evaluasi pada titik x=xi+1 menghasilkan: pi = di + (xi+1-xi) ci + (xi+1-xi)2 bi + (xi+1-xi)3 ai p(xi) = di + hi ci + hi2 bi + hi3 ai p”i = 2bi + 6ai (xI+1-xi) p”(xi+1) = 2bi + 6ai hi dimana hi = (xI+1-xi)
  37. 37. Interpolasi Cubic Spline  Jadi: di = p i p"i+1 −p"i ai = 6hi  Sehingga: pi " bi = 2 pi+1 − pi hip"i+1 +2hip"i ci = − hi 6
  38. 38. Interpolasi Cubic Spline (Ex.)

×