SlideShare a Scribd company logo
Wstep
   ˛                     Twierdzenia               Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




           Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe
            Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛   edu

                                         Aleksander Pohl

                                Wy˙ sza Szkoła Zarzadzania i Bankowo´ ci
                                  z                 ˛               s


                                         10 marzec 2009




Aleksander Pohl                                                                     WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Plan prezentacji


        Wstep
           ˛


        Twierdzenia


        Prawa Rachunku Predykatów


        Postscriptum




Aleksander Pohl                                                         WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Plan prezentacji


        Wstep
           ˛


        Twierdzenia


        Prawa Rachunku Predykatów


        Postscriptum




Aleksander Pohl                                                         WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia    Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛
                                 edu
              Klasyczny rachunek logiczny to system logiczny, na
          ◮
                                              ´
              który składaja sie rachunek zdan oraz rachunek
                            ˛˛
              predykatów pierwszego rz˛ edu (czyli rachunek
              kwantyfikatorów). Klasyczny rachunek logiczny w pełni
              wystarcza do przeprowadzenia zdecydowanej wiekszo´ ci
                                                             ˛   s
                         ´
              rozumowan matematycznych.
              Tautologia to definicja, twierdzenie lub zdanie warunkowe,
          ◮
              które jest uniwersalnie prawdziwe w ka˙ dej niepustej
                                                     z
              dziedzinie (np. Zachodzi p lub nie p)
              Term to wyra˙ enie składajace sie ze zmiennych oraz
                           z             ˛    ˛
          ◮
              symboli funkcyjnych o dowolnej liczbie argumentów
              (w tym o zerowej liczbie argumentów, czyli stałych)
              z pewnego ustalonego zbioru.
Aleksander Pohl                                                           WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia      Prawa Rachunku Predykatów      Postscriptum




Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛
                                 edu


              Rachunek predykatów pierwszego rzedu (ang. first
                                                           ˛
          ◮
              order predicate calculus) to system logiczny, w którym
              kwantyfikatory moga mówi´ tylko o obiektach, nie za´ o ich
                                     ˛    c                             s
              zbiorach. Tak wiec nie moga wystepowa´ kwantyfikatory
                                 ˛          ˛        ˛      c
                                                                  s´
              typu dla ka˙ dej funkcji X na Y. . . istnieje własno´ c p, taka
                           z
              ˙
              ze. . . czy dla ka˙ dego podzbioru X zbioru Z. . .
                                z

              Rachunek ten nazywa sie te˙ po prostu rachunkiem
                                    ˛z
          ◮
              kwantyfikatorów.




Aleksander Pohl                                                                 WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia         Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛
                                 edu

        System rachunku predykatów pierwszego rz˛
                                                edu składa sie z:
                                                             ˛
              1, “a“, π – stałych
          ◮

              a, b, c, x, y, z – zmiennych
          ◮

              f (x), g(x, y) – funkcji n-argumentowych dla pewnego
          ◮
              n naturalnego
              has(x, y) – relacji n-argumentowych dla pewnego
          ◮
              n naturalnego
              ∨ ∧ ¬ ⇒ – symboli logicznych (takich jak alternatywa,
          ◮
              koniunkcja, negacja czy implikacja)
              ∀ ∃ – kwantyfikatora ogólnego i egzystencjalnego
          ◮




Aleksander Pohl                                                               WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia    Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Rachunki wy˙ szych rz˛
           z         edów

        Rachunek drugiego rz˛
                            edu:
              ∀F : F (x) ∨ ¬F (x)
          ◮

              W ogólnym wypadku nie jest równowa˙ ny rachunkowi
                                                z
          ◮
              pierwszego rz˛
                           edu
              Nie istnieje dobry model dowodów dla rachunków drugiego
          ◮
              rz˛
                edu – nie u˙ ywany przez logików
                            z
              W teorii zło˙ ono´ ci definiujemy klasy problemów
                          z    s
          ◮
              rachunkiem drugiego rz˛  edu
        W rachunkach wy˙ szych rz˛
                       z         edów predykaty staja sie
                                                     ˛˛
        parametrami


Aleksander Pohl                                                          WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Plan prezentacji


        Wstep
           ˛


        Twierdzenia


        Prawa Rachunku Predykatów


        Postscriptum




Aleksander Pohl                                                         WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia     Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛
                                 edu –
twierdzenia



        Wa˙ niejsze twierdzenia:
          z
              twierdzenie o zwarto´ ci
                                  s
          ◮

              twierdzenie Herbranda
          ◮

              twierdzenie Craiga
          ◮




Aleksander Pohl                                                           WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia      Prawa Rachunku Predykatów         Postscriptum




Twierdzenie o zwarto´ ci
                    s

                                   ´
        Twierdzenie o zwartosci (ang. compactness theorem) to
                                  ˙          ´                 ´
        twierdzenie mówiace, ze nieskonczony zbiór zdan rachunku
                              ˛
        predykatów pierwszego rz˛      edu jest spełnialny (istnieje jego
        model – czyli zbiór obiektów matematycznych, które go
                                                 ´
        spełniaja), je´ li tylko ka˙ dy jego skonczony podzbiór jest
                 ˛    s            z
        spełnialny.


        Równowa˙ nie, je´ li taki zbiór jest sprzeczny, to istnieje jego
                z       s
           ´
        skonczony podzbiór, który jest sprzeczny.



Aleksander Pohl                                                                  WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia    Prawa Rachunku Predykatów     Postscriptum




Twierdzenie Herbranda
        Rozwiniecie Herbranda dla formuły rachunku predykatów
                ˛
        pierwszego rz˛
                     edu, to formuła, w której:
              wszystkie kwantyfikatory ogólne (tak˙ e zmienne wolne)
                                                  z
          ◮
              ∀x : φ(x) zostały zastapione przez koniunkcje
                                         ˛
              φ(x1 ) ∧ φ(x2 ) ∧ . . . ∧ φ(xn ),
              wszystkie kwantyfikatory egzystencjalne ∃x : φ(x) przez
          ◮
              alternatywy φ(x1 ) ∨ φ(x2 ) ∨ . . . ∨ φ(xn ),
                                                               ´
              gdzie x1 , x2 , . . . , xn to pewien podzbiór skonczony
          ◮
              uniwersum Herbranda (które zawiera wszystkie zamkniete  ˛
              termy zło˙ one ze stałych i symboli funkcyjnych
                         z
              wystepujacych w formule).
                  ˛      ˛


Aleksander Pohl                                                            WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia     Prawa Rachunku Predykatów      Postscriptum




Twierdzenie Herbranda



              Formuła jest tautologia, gdy ka˙ de jej rozwiniecie
                                     ˛       z               ˛
          ◮
              Herbranda jest tautologia.
                                       ˛

              Formuła nie jest tautologia, gdy które´ jej rozwiniecie
                                          ˛         s            ˛
          ◮
              Herbranda nie jest tautologia.˛




Aleksander Pohl                                                              WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia           Prawa Rachunku Predykatów           Postscriptum




Twierdzenie Craiga


                                 ˙
        Twierdzenie Craiga mówi, ze:
              dla ka˙ dego zdania rachunku predykatów pierwszego
                     z
          ◮
              rz˛
                edu postaci X ⇒ Y bedacego tautologia
                                         ˛˛                  ˛
                                                           ˙
              istnieje interpolant, czyli taka formuła Z , ze:
          ◮
                      X ⇒ Z i Z ⇒ Y sa tautologiami i
                                           ˛
                  ◮

                                          ˙
                      w Z nie wystepuje zadna relacja ani symbol funkcyjny
                                   ˛
                  ◮

                      (w tym stała), która nie wystepuje jednocze´ nie w X i Y .
                                                   ˛             s




Aleksander Pohl                                                                         WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia    Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Problem rozstrzygalno´ ci
                     s

              Teoria T w jezyku L jest rozstrzygalna, je´ li istnieje
                          ˛                             s
          ◮
              algorytm, który dla ka˙ dego zdania X napisanego w jezyku
                                    z                                 ˛
              L rozstrzyga, czy T dowodzi X .



              Rachunek predykatów pierwszego rz˛   edu jest
          ◮
                                           ´                     ´
              nierozstrzygalny (w przeciwienstwie do rachunku zdan),
              ale nadaje sie do komputerowej analizy (co ju˙
                           ˛                                z
              niekoniecznie mo˙ na powiedzie´ o rachunku predykatów
                                z            c
              wy˙ szych rz˛
                 z        edów, które dopuszczaja kwantyfikowanie po
                                                  ˛
              zbiorach).


Aleksander Pohl                                                           WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




                s´
Nierozstrzygalno´ c Problemu Stopu


        def f(g)
          if(zatrzyma_sie(g))
            nieskonczona_petla
          else
            return
          end
        end




Aleksander Pohl                                                         WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia        Prawa Rachunku Predykatów    Postscriptum




                s´
Nierozstrzygalno´ c Problemu Stopu


        Sprawdzamy f(f):
              je´ li sie zatrzyma, to zatrzyma_sie(f) zwróciło false,
                s      ˛
          ◮
                                                         s´
              czyli f nie mo˙ e sie zatrzyma´ – sprzeczno´ c
                               z   ˛        c
              je´ li sie nie zatrzyma, to
                s      ˛
          ◮
                      albo zatrzyma_sie(f) nie zatrzymało sie – wadlie
                                                            ˛
                  ◮

                      zatrzyma_sie,
                                                                s´
                      albo f powinno wykona´ return – sprzeczno´ c
                                           c
                  ◮




Aleksander Pohl                                                               WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Plan prezentacji


        Wstep
           ˛


        Twierdzenia


        Prawa Rachunku Predykatów


        Postscriptum




Aleksander Pohl                                                         WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia      Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Definicje


              A – wyra˙ enie
                      z
          ◮

              x – zmienna
          ◮

              t – term
          ◮

              Stx A – instancjacja A, t instancja x
          ◮

              ∀x : φ(x) – kwantyfikator uniwersalny
          ◮

              ∃x : φ(x) – kwantyfikator egzystencjalny
          ◮




Aleksander Pohl                                                            WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




                              ´
Prawa Klasycznego Rachunku Zdan




              (X ⇒ Y ∧ ¬Y ) ⇒ ¬X – kontrapozycja, Modus Tolens
          ◮

              ((X ⇒ Y ) ∧ X ) ⇒ Y – dedukcja, twierdzenie o odrywaniu,
          ◮
              Modus Ponens




Aleksander Pohl                                                          WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia        Prawa Rachunku Predykatów    Postscriptum




Prawa dla kwantyfikatorów



                  ∀x : φ(x) ⇒ Stx φ       instancjacja uniwersalna
                          φ ⇒ ∀x : φ(x)   generalizacja uniwersalna
                      Stx φ ⇒ ∃x : φ(x)   generalizacja egzystencjalna
                               x
                  ∃x : φ(x) ⇒ Sa φ        instancjacja egzystencjalna




Aleksander Pohl                                                               WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia      Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Formuły równowa˙ no´ ci (1)
               zs



                      ∃x : A ⇔ A                 dla x wolnej w A
                      ∀x : A ⇔ A                 dla x wolnej w A
                      ∃x : A ⇔ Stx A ∨ ∃x : A    dla dowolnego t
                      ∀x : A ⇔ Stx A ∧ ∀x : A    dla dowolnego t




Aleksander Pohl                                                            WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia        Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Formuły równowa˙ no´ ci (2)
               zs



                                           x
                            ∃x : A ⇔ ∃y : Sy A      dla x wolnej w A
                    ∃x : A ∧ B ⇔ A ∧ ∃x : B         dla x wolnej w A
                         ¬∀x : A ⇔ ∃x : ¬A
                         ¬∃x : A ⇔ ∀x : ¬A




Aleksander Pohl                                                              WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia          Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Formuły równowa˙ no´ ci (3)
               zs



                                ∃x ∃y : P(x, y) ⇔ ∃y ∃x : P(x, y)
                                ∀x ∀y : P(x, y) ⇔ ∀y ∀x : P(x, y)
                      ∀x : A(x) ∧ ∀x : B(x) ⇔ ∀x : (A(x) ∧ B(x))
                      ∃x : A(x) ∨ ∃x : B(x) ⇔ ∃x : (A(x) ∨ B(x))




Aleksander Pohl                                                                WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia          Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Formuły wnioskowania



                               ∃x ∀y : P(x, y) ⇒ ∀y ∃x : P(x, y)
                     ∃x : P(x) ∧ ∀x : Q(x) ⇒ ∃x : (P(x) ∧ Q(x))
                     ∀x : P(x) ∨ ∀x : Q(x) ⇒ ∀x : (P(x) ∨ Q(x))
                     ∃x : P(x) ∧ ∃x : Q(x) ⇐ ∃x : (P(x) ∧ Q(x))




Aleksander Pohl                                                                WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia       Prawa Rachunku Predykatów          Postscriptum




Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych Peano (1889)



              0 jest liczba naturalna
                           ˛         ˛
          ◮

              s(n) – nastepnik liczby n
                         ˛
          ◮

              Je´ li n jest liczba naturalna to s(n) jest liczba naturalna
                s                 ˛         ˛                   ˛         ˛
          ◮

              ∀n : s(n) = 0
          ◮

              s(n) = s(m) ⇒ n = m
          ◮




Aleksander Pohl                                                                    WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia         Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych – cd.


              Suma:
          ◮
                      ∀n : n + 0 = n
                  ◮

                      ∀n ∀m : (m + s(n)) = s(m + n)
                  ◮

              Iloczyn:
          ◮
                      ∀n : (n ∗ 0 = 0)
                  ◮

                      ∀n ∀m : (n ∗ s(m) = n ∗ m + n)
                  ◮

              Indukcja
          ◮
                      P(0) ∧ ∀n : (P(n) ⇒ P(s(n))) ⇒ ∀n : P(s(n))
                  ◮




Aleksander Pohl                                                               WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia          Prawa Rachunku Predykatów      Postscriptum




Rekurencja
              G-ciag dla predykatu binarnego G(x, y)
                   ˛
          ◮
              x = s(y) ⇒ G(x, y) – zachodzi
              Domena jest dobrze okre´ lona ze wzgledu na G je´ li
                                      s            ˛          s
          ◮
                                      ´
              wszystkie G-ciagi sa skonczone
                             ˛    ˛
              Dowód rekurencyjny:
          ◮
                                                              ˙
                      Wybieramy predykat G i dowodzimy, ze wszystkie G-ciagi˛
                  ◮

                               ´
                      sa skonczone
                        ˛
                      Je´ li x jest elementem minimalnym, to dowodzimy, ze P(x )
                                                                        ˙
                         s
                  ◮

                      zachodzi
                      Dla dowolnego x zakładamy, ze P(y ) zachodzi dla
                                                      ˙
                  ◮

                      wszystkich y , takich, ze G(x , y ) zachodzi
                                             ˙
                      Udowadniamy, ze P(x ) zachodzi
                                        ˙
                  ◮

                      Wniosek: ∀x : P(x )
                  ◮



Aleksander Pohl                                                                    WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Plan prezentacji


        Wstep
           ˛


        Twierdzenia


        Prawa Rachunku Predykatów


        Postscriptum




Aleksander Pohl                                                         WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia   Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




Materiały zródłowe
          ´



              W.K. Grassman, J.P. Tremblay „Logic and Discrete
          ◮
              Mathematics – A Computer Science Perspective”
              Slajdy zostały przygotowane za zgoda˛
          ◮
              dr. Michała Korzyckiego na podstawie jego wykładu.




Aleksander Pohl                                                         WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛
Wstep
   ˛                     Twierdzenia       Prawa Rachunku Predykatów   Postscriptum




                                       Dziekuje!
                                          ˛   ˛




Aleksander Pohl                                                             WSZiB
Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu
                                 ˛

More Related Content

Viewers also liked

Prezentacja Rozmowa Kwalifikacyjna
Prezentacja   Rozmowa KwalifikacyjnaPrezentacja   Rozmowa Kwalifikacyjna
Prezentacja Rozmowa Kwalifikacyjna
guest939154
 
2010.11 Raport e-mail marketing - raport Interaktywnie.com
2010.11 Raport e-mail marketing - raport Interaktywnie.com2010.11 Raport e-mail marketing - raport Interaktywnie.com
2010.11 Raport e-mail marketing - raport Interaktywnie.com
ARBOinteractive Polska
 
Prezentacja pro akademia
Prezentacja pro akademiaPrezentacja pro akademia
Prezentacja pro akademia
ProAkademia
 
Tedris mbm-2014
Tedris mbm-2014Tedris mbm-2014
Tedris mbm-2014
MirNamik
 
Łącze Satelitarne
Łącze SatelitarneŁącze Satelitarne
Łącze Satelitarne
3rprezentacja
 
Gospodarka elektroniczna 1
Gospodarka elektroniczna 1Gospodarka elektroniczna 1
Gospodarka elektroniczna 1
piniol
 
Dr. inż. Mateusz Zając (Politechnika Wrocławska): Tiry na tory – to już rzecz...
Dr. inż. Mateusz Zając (Politechnika Wrocławska): Tiry na tory – to już rzecz...Dr. inż. Mateusz Zając (Politechnika Wrocławska): Tiry na tory – to już rzecz...
Dr. inż. Mateusz Zając (Politechnika Wrocławska): Tiry na tory – to już rzecz...
miastowruchu
 
Motywowanie Psychologia Zarzadzania
Motywowanie Psychologia ZarzadzaniaMotywowanie Psychologia Zarzadzania
Motywowanie Psychologia Zarzadzania
Jaroslaw Kozlowski
 
2
22
Strategia employer branding krok po kroku - ebook MJCC
Strategia employer branding krok po kroku - ebook MJCCStrategia employer branding krok po kroku - ebook MJCC
Strategia employer branding krok po kroku - ebook MJCC
MJCC
 

Viewers also liked (12)

Prezentacja Rozmowa Kwalifikacyjna
Prezentacja   Rozmowa KwalifikacyjnaPrezentacja   Rozmowa Kwalifikacyjna
Prezentacja Rozmowa Kwalifikacyjna
 
2010.11 Raport e-mail marketing - raport Interaktywnie.com
2010.11 Raport e-mail marketing - raport Interaktywnie.com2010.11 Raport e-mail marketing - raport Interaktywnie.com
2010.11 Raport e-mail marketing - raport Interaktywnie.com
 
Prezentacja pro akademia
Prezentacja pro akademiaPrezentacja pro akademia
Prezentacja pro akademia
 
Tedris mbm-2014
Tedris mbm-2014Tedris mbm-2014
Tedris mbm-2014
 
Łącze Satelitarne
Łącze SatelitarneŁącze Satelitarne
Łącze Satelitarne
 
Gospodarka elektroniczna 1
Gospodarka elektroniczna 1Gospodarka elektroniczna 1
Gospodarka elektroniczna 1
 
BHP szkolenie
BHP szkolenieBHP szkolenie
BHP szkolenie
 
Dr. inż. Mateusz Zając (Politechnika Wrocławska): Tiry na tory – to już rzecz...
Dr. inż. Mateusz Zając (Politechnika Wrocławska): Tiry na tory – to już rzecz...Dr. inż. Mateusz Zając (Politechnika Wrocławska): Tiry na tory – to już rzecz...
Dr. inż. Mateusz Zając (Politechnika Wrocławska): Tiry na tory – to już rzecz...
 
Motywowanie Psychologia Zarzadzania
Motywowanie Psychologia ZarzadzaniaMotywowanie Psychologia Zarzadzania
Motywowanie Psychologia Zarzadzania
 
2
22
2
 
Strategia employer branding krok po kroku - ebook MJCC
Strategia employer branding krok po kroku - ebook MJCCStrategia employer branding krok po kroku - ebook MJCC
Strategia employer branding krok po kroku - ebook MJCC
 
Metodologia badań
Metodologia badańMetodologia badań
Metodologia badań
 

More from Aleksander Pohl

Systemy ekspertowe 2
Systemy ekspertowe 2Systemy ekspertowe 2
Systemy ekspertowe 2
Aleksander Pohl
 
Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań
Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązańPrzeszukiwanie przestrzeni rozwiązań
Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań
Aleksander Pohl
 
Sztuczna Inteligencja - Prolog 3
Sztuczna Inteligencja - Prolog 3Sztuczna Inteligencja - Prolog 3
Sztuczna Inteligencja - Prolog 3
Aleksander Pohl
 
Sztuczna Inteligencja - Prolog 1
Sztuczna Inteligencja - Prolog 1Sztuczna Inteligencja - Prolog 1
Sztuczna Inteligencja - Prolog 1
Aleksander Pohl
 
Sztuczna Intelignecja - Prolog 2
Sztuczna Intelignecja - Prolog 2Sztuczna Intelignecja - Prolog 2
Sztuczna Intelignecja - Prolog 2
Aleksander Pohl
 
Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe - wprowadzenie
Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe - wprowadzenieSztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe - wprowadzenie
Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe - wprowadzenie
Aleksander Pohl
 
Jena – A Semantic Web Framework for Java
Jena – A Semantic Web Framework for JavaJena – A Semantic Web Framework for Java
Jena – A Semantic Web Framework for Java
Aleksander Pohl
 

More from Aleksander Pohl (11)

Sieci neuronowe
Sieci neuronoweSieci neuronowe
Sieci neuronowe
 
Systemy ekspertowe 2
Systemy ekspertowe 2Systemy ekspertowe 2
Systemy ekspertowe 2
 
Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań
Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązańPrzeszukiwanie przestrzeni rozwiązań
Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań
 
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczneMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne
 
Systemy ekspertowe 1
Systemy ekspertowe 1Systemy ekspertowe 1
Systemy ekspertowe 1
 
Reprezentacja wiedzy
Reprezentacja wiedzyReprezentacja wiedzy
Reprezentacja wiedzy
 
Sztuczna Inteligencja - Prolog 3
Sztuczna Inteligencja - Prolog 3Sztuczna Inteligencja - Prolog 3
Sztuczna Inteligencja - Prolog 3
 
Sztuczna Inteligencja - Prolog 1
Sztuczna Inteligencja - Prolog 1Sztuczna Inteligencja - Prolog 1
Sztuczna Inteligencja - Prolog 1
 
Sztuczna Intelignecja - Prolog 2
Sztuczna Intelignecja - Prolog 2Sztuczna Intelignecja - Prolog 2
Sztuczna Intelignecja - Prolog 2
 
Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe - wprowadzenie
Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe - wprowadzenieSztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe - wprowadzenie
Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe - wprowadzenie
 
Jena – A Semantic Web Framework for Java
Jena – A Semantic Web Framework for JavaJena – A Semantic Web Framework for Java
Jena – A Semantic Web Framework for Java
 

Rachunek predykatów pierwszego rzędu

  • 1. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Sztuczna Inteligencja i Systemy Ekspertowe Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu Aleksander Pohl Wy˙ sza Szkoła Zarzadzania i Bankowo´ ci z ˛ s 10 marzec 2009 Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 2. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Plan prezentacji Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 3. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Plan prezentacji Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 4. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu Klasyczny rachunek logiczny to system logiczny, na ◮ ´ który składaja sie rachunek zdan oraz rachunek ˛˛ predykatów pierwszego rz˛ edu (czyli rachunek kwantyfikatorów). Klasyczny rachunek logiczny w pełni wystarcza do przeprowadzenia zdecydowanej wiekszo´ ci ˛ s ´ rozumowan matematycznych. Tautologia to definicja, twierdzenie lub zdanie warunkowe, ◮ które jest uniwersalnie prawdziwe w ka˙ dej niepustej z dziedzinie (np. Zachodzi p lub nie p) Term to wyra˙ enie składajace sie ze zmiennych oraz z ˛ ˛ ◮ symboli funkcyjnych o dowolnej liczbie argumentów (w tym o zerowej liczbie argumentów, czyli stałych) z pewnego ustalonego zbioru. Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 5. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu Rachunek predykatów pierwszego rzedu (ang. first ˛ ◮ order predicate calculus) to system logiczny, w którym kwantyfikatory moga mówi´ tylko o obiektach, nie za´ o ich ˛ c s zbiorach. Tak wiec nie moga wystepowa´ kwantyfikatory ˛ ˛ ˛ c s´ typu dla ka˙ dej funkcji X na Y. . . istnieje własno´ c p, taka z ˙ ze. . . czy dla ka˙ dego podzbioru X zbioru Z. . . z Rachunek ten nazywa sie te˙ po prostu rachunkiem ˛z ◮ kwantyfikatorów. Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 6. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu System rachunku predykatów pierwszego rz˛ edu składa sie z: ˛ 1, “a“, π – stałych ◮ a, b, c, x, y, z – zmiennych ◮ f (x), g(x, y) – funkcji n-argumentowych dla pewnego ◮ n naturalnego has(x, y) – relacji n-argumentowych dla pewnego ◮ n naturalnego ∨ ∧ ¬ ⇒ – symboli logicznych (takich jak alternatywa, ◮ koniunkcja, negacja czy implikacja) ∀ ∃ – kwantyfikatora ogólnego i egzystencjalnego ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 7. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rachunki wy˙ szych rz˛ z edów Rachunek drugiego rz˛ edu: ∀F : F (x) ∨ ¬F (x) ◮ W ogólnym wypadku nie jest równowa˙ ny rachunkowi z ◮ pierwszego rz˛ edu Nie istnieje dobry model dowodów dla rachunków drugiego ◮ rz˛ edu – nie u˙ ywany przez logików z W teorii zło˙ ono´ ci definiujemy klasy problemów z s ◮ rachunkiem drugiego rz˛ edu W rachunkach wy˙ szych rz˛ z edów predykaty staja sie ˛˛ parametrami Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 8. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Plan prezentacji Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 9. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rachunek Predykatów Pierwszego Rz˛ edu – twierdzenia Wa˙ niejsze twierdzenia: z twierdzenie o zwarto´ ci s ◮ twierdzenie Herbranda ◮ twierdzenie Craiga ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 10. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Twierdzenie o zwarto´ ci s ´ Twierdzenie o zwartosci (ang. compactness theorem) to ˙ ´ ´ twierdzenie mówiace, ze nieskonczony zbiór zdan rachunku ˛ predykatów pierwszego rz˛ edu jest spełnialny (istnieje jego model – czyli zbiór obiektów matematycznych, które go ´ spełniaja), je´ li tylko ka˙ dy jego skonczony podzbiór jest ˛ s z spełnialny. Równowa˙ nie, je´ li taki zbiór jest sprzeczny, to istnieje jego z s ´ skonczony podzbiór, który jest sprzeczny. Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 11. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Twierdzenie Herbranda Rozwiniecie Herbranda dla formuły rachunku predykatów ˛ pierwszego rz˛ edu, to formuła, w której: wszystkie kwantyfikatory ogólne (tak˙ e zmienne wolne) z ◮ ∀x : φ(x) zostały zastapione przez koniunkcje ˛ φ(x1 ) ∧ φ(x2 ) ∧ . . . ∧ φ(xn ), wszystkie kwantyfikatory egzystencjalne ∃x : φ(x) przez ◮ alternatywy φ(x1 ) ∨ φ(x2 ) ∨ . . . ∨ φ(xn ), ´ gdzie x1 , x2 , . . . , xn to pewien podzbiór skonczony ◮ uniwersum Herbranda (które zawiera wszystkie zamkniete ˛ termy zło˙ one ze stałych i symboli funkcyjnych z wystepujacych w formule). ˛ ˛ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 12. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Twierdzenie Herbranda Formuła jest tautologia, gdy ka˙ de jej rozwiniecie ˛ z ˛ ◮ Herbranda jest tautologia. ˛ Formuła nie jest tautologia, gdy które´ jej rozwiniecie ˛ s ˛ ◮ Herbranda nie jest tautologia.˛ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 13. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Twierdzenie Craiga ˙ Twierdzenie Craiga mówi, ze: dla ka˙ dego zdania rachunku predykatów pierwszego z ◮ rz˛ edu postaci X ⇒ Y bedacego tautologia ˛˛ ˛ ˙ istnieje interpolant, czyli taka formuła Z , ze: ◮ X ⇒ Z i Z ⇒ Y sa tautologiami i ˛ ◮ ˙ w Z nie wystepuje zadna relacja ani symbol funkcyjny ˛ ◮ (w tym stała), która nie wystepuje jednocze´ nie w X i Y . ˛ s Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 14. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Problem rozstrzygalno´ ci s Teoria T w jezyku L jest rozstrzygalna, je´ li istnieje ˛ s ◮ algorytm, który dla ka˙ dego zdania X napisanego w jezyku z ˛ L rozstrzyga, czy T dowodzi X . Rachunek predykatów pierwszego rz˛ edu jest ◮ ´ ´ nierozstrzygalny (w przeciwienstwie do rachunku zdan), ale nadaje sie do komputerowej analizy (co ju˙ ˛ z niekoniecznie mo˙ na powiedzie´ o rachunku predykatów z c wy˙ szych rz˛ z edów, które dopuszczaja kwantyfikowanie po ˛ zbiorach). Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 15. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum s´ Nierozstrzygalno´ c Problemu Stopu def f(g) if(zatrzyma_sie(g)) nieskonczona_petla else return end end Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 16. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum s´ Nierozstrzygalno´ c Problemu Stopu Sprawdzamy f(f): je´ li sie zatrzyma, to zatrzyma_sie(f) zwróciło false, s ˛ ◮ s´ czyli f nie mo˙ e sie zatrzyma´ – sprzeczno´ c z ˛ c je´ li sie nie zatrzyma, to s ˛ ◮ albo zatrzyma_sie(f) nie zatrzymało sie – wadlie ˛ ◮ zatrzyma_sie, s´ albo f powinno wykona´ return – sprzeczno´ c c ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 17. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Plan prezentacji Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 18. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Definicje A – wyra˙ enie z ◮ x – zmienna ◮ t – term ◮ Stx A – instancjacja A, t instancja x ◮ ∀x : φ(x) – kwantyfikator uniwersalny ◮ ∃x : φ(x) – kwantyfikator egzystencjalny ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 19. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum ´ Prawa Klasycznego Rachunku Zdan (X ⇒ Y ∧ ¬Y ) ⇒ ¬X – kontrapozycja, Modus Tolens ◮ ((X ⇒ Y ) ∧ X ) ⇒ Y – dedukcja, twierdzenie o odrywaniu, ◮ Modus Ponens Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 20. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Prawa dla kwantyfikatorów ∀x : φ(x) ⇒ Stx φ instancjacja uniwersalna φ ⇒ ∀x : φ(x) generalizacja uniwersalna Stx φ ⇒ ∃x : φ(x) generalizacja egzystencjalna x ∃x : φ(x) ⇒ Sa φ instancjacja egzystencjalna Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 21. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Formuły równowa˙ no´ ci (1) zs ∃x : A ⇔ A dla x wolnej w A ∀x : A ⇔ A dla x wolnej w A ∃x : A ⇔ Stx A ∨ ∃x : A dla dowolnego t ∀x : A ⇔ Stx A ∧ ∀x : A dla dowolnego t Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 22. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Formuły równowa˙ no´ ci (2) zs x ∃x : A ⇔ ∃y : Sy A dla x wolnej w A ∃x : A ∧ B ⇔ A ∧ ∃x : B dla x wolnej w A ¬∀x : A ⇔ ∃x : ¬A ¬∃x : A ⇔ ∀x : ¬A Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 23. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Formuły równowa˙ no´ ci (3) zs ∃x ∃y : P(x, y) ⇔ ∃y ∃x : P(x, y) ∀x ∀y : P(x, y) ⇔ ∀y ∀x : P(x, y) ∀x : A(x) ∧ ∀x : B(x) ⇔ ∀x : (A(x) ∧ B(x)) ∃x : A(x) ∨ ∃x : B(x) ⇔ ∃x : (A(x) ∨ B(x)) Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 24. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Formuły wnioskowania ∃x ∀y : P(x, y) ⇒ ∀y ∃x : P(x, y) ∃x : P(x) ∧ ∀x : Q(x) ⇒ ∃x : (P(x) ∧ Q(x)) ∀x : P(x) ∨ ∀x : Q(x) ⇒ ∀x : (P(x) ∨ Q(x)) ∃x : P(x) ∧ ∃x : Q(x) ⇐ ∃x : (P(x) ∧ Q(x)) Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 25. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych Peano (1889) 0 jest liczba naturalna ˛ ˛ ◮ s(n) – nastepnik liczby n ˛ ◮ Je´ li n jest liczba naturalna to s(n) jest liczba naturalna s ˛ ˛ ˛ ˛ ◮ ∀n : s(n) = 0 ◮ s(n) = s(m) ⇒ n = m ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 26. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych – cd. Suma: ◮ ∀n : n + 0 = n ◮ ∀n ∀m : (m + s(n)) = s(m + n) ◮ Iloczyn: ◮ ∀n : (n ∗ 0 = 0) ◮ ∀n ∀m : (n ∗ s(m) = n ∗ m + n) ◮ Indukcja ◮ P(0) ∧ ∀n : (P(n) ⇒ P(s(n))) ⇒ ∀n : P(s(n)) ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 27. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Rekurencja G-ciag dla predykatu binarnego G(x, y) ˛ ◮ x = s(y) ⇒ G(x, y) – zachodzi Domena jest dobrze okre´ lona ze wzgledu na G je´ li s ˛ s ◮ ´ wszystkie G-ciagi sa skonczone ˛ ˛ Dowód rekurencyjny: ◮ ˙ Wybieramy predykat G i dowodzimy, ze wszystkie G-ciagi˛ ◮ ´ sa skonczone ˛ Je´ li x jest elementem minimalnym, to dowodzimy, ze P(x ) ˙ s ◮ zachodzi Dla dowolnego x zakładamy, ze P(y ) zachodzi dla ˙ ◮ wszystkich y , takich, ze G(x , y ) zachodzi ˙ Udowadniamy, ze P(x ) zachodzi ˙ ◮ Wniosek: ∀x : P(x ) ◮ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 28. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Plan prezentacji Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 29. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Materiały zródłowe ´ W.K. Grassman, J.P. Tremblay „Logic and Discrete ◮ Mathematics – A Computer Science Perspective” Slajdy zostały przygotowane za zgoda˛ ◮ dr. Michała Korzyckiego na podstawie jego wykładu. Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛
  • 30. Wstep ˛ Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum Dziekuje! ˛ ˛ Aleksander Pohl WSZiB Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu ˛