Groupes, Permutations, Anneaux, Arithmétique dans Z, Corps commutatif, Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K, Fonctions polynomiales, racines, Espaces vectoriels, K-algèbres, Espaces vectoriels de type fini, Matrices, Déterminants, Fractions rationnelles, Produit scalaire sur un R-ev, Espace vectoriel euclidien, R-ev euclidien orienté de dimension 2, R-ev euclidien orienté de dimension 3, Espaces affines, Géométrie dans un espace affine euclidien

1. ! " #
# $
%
& ' ( ) )
$ (
*
+ ' ) ∈ ) ,
) ) ) $ - ! ! ##
• ! # . ) / ' { }=
(
• ! # . ) #!=
. = ) { }= ) ∅ ) $ (
. ≠ ) #! ) $ !
0 #(
• ! # . )
#)!=
. #)! ) / ) $ (
. / ) / ) )
, - ! 1 0 #( #! ( */ ! #)
$ (
• . 2∈ ( . ! #( + #! + ( .
+ ) #)((()! +=
. #)((()! + ) ) $ (
. / ) / ) +
( #)((()! ( */ ! #)
$ ) ' (
'
! # % ! #
! # , /$ - /
) $ ! # (
3# *
%
. ( 4 )
) #! (
touscours.net

2. *
5
∈ ) + '
6 (
)
• = , -( /
) /
• = ,
-( . λ= λ= ) #)!
. ≠λ )
λ
λ
= ( . = ( * (
• . ≥ ) − (
+ )((() )
)((() ( & )α ≤≤ ≤≤ '
+++=
+++=
+++=
#!(((
#!(((
#!(((
)))
)))
)))
ααα
ααα
ααα
. [ ])) ) =∈∀ α ) )((() −
)((() − ( ) #)((()! − (
* #)((()! / (
. / )α ) [ ])∈ / ) )α !
#)
λ
α
α
)
)
−← [ ]) −∈
=−
=−
=−
(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
)((()
λ
λ
λ
5 [ ])) −∈− λ '
− ! #( 7 $
)((() −βββ ' #! =−
−
=
λβ ( *
( =+
−
=
γβ
−
=
−= λβγ ) ' ' #)((()!
/ β ) ' (
+
. ) / $ ! # ) ) (
• ( /
( ≤ ! ) ) / #
• * 4 ) ≤ ( * =
touscours.net

3. 8
$ 9
! ' #
: '
• . ) { }=
• . ) (
; < < =< <(
% , -
. ( 4
(
*
. (
• . ) (
• . ) #)((()!= ) " 2∈
. #)((()!= (
. ) (
. ) / [ ])) ∈ /
)((() ! #( . [ ])∈ '
#)((()!;∉ ( #))((()!1= ( .
) / ( . ) ( /
) ! ' ) )
#)((()))((()! #(
'
. (
! # 5 (
! # . ) / (
: ' ' )
) '
) $ / ) (
' , /$ -
. (
! # 5 ≥ (
! # . ) / (
%
. (
6⇔
⇔
⇔
touscours.net

4. >
* ! $ ' #
) / 6 #!
⇐ . ' 6 ( 5/
$ ! # 6 (
& $ (
. (
. = ) { }= ∅ (
. ) #)((()!= ( )
∈ ' / )
#))((()! + ) '
(
%
. (
. (
≤ ) ) =
*
• 5 / / (
* 6 ( * ≤
! ' #)((()! ) /
) ≤ #
• . = ) #)((()! ( /
= ( / ( * = (
%
. (
! #(
*
. (
• . = ) { } ( ! #
• . ) <≤ ( . #)((()!
( / (
#)((())((()! + ( & #)(((!; += (
(
. ∈ ( *
∈
++
∈
+++++= (((((( ( ! #)((()!
# / ∈ ( * += (
+ ' ) ' { }=∩
. ∩∈ ) ++= ((( −+ ++= ((( ( *
(((((( =−−−++ −+ ( #)((()!
) (((((( ======== − ( * = (
* { }⊂∩ ( * { }=∩ (
* ⊕=
touscours.net

5. ?
* ) (
*
. ( 5 ##!;!#! = (
$
• . 8
= (
@#A)B)C!)#D)?)>!)#8))!E
8
= ( #! = ! #! 8+= #
• . #)!=
8
8#))! 8 = ! #))! 8 ) #)); ! 8 #
*
. ∈8)) λλλ ) ' 88 =++ λλλ (
#!#!#!) 88 =++∈∀ λλλ ( */") )
$ ) ) ) 8 === λλλ (
. (
. / ) #)((()!=
F #; != ( . #!= ! ) = #
2 ≤ #)((()! ≥
2 ≤ ≤
2 ⇔= #)((()!⇔=⇔= (
2 ⇔= ⇔=⇔=⇔= (
2 ⇔== ! $ #
$ ? 8 >
#@)8))>A!#)))?)C!#))))!#))))!#))))E! −
! "
7 ) (
%
. $ (
. #)((()! (
#)((()! (
#)((()))((()! ⊕ (
touscours.net

6. D
2 #)((()))((()! ⊕ (
2 (((((( =+++++++
∈=∈=
λλλ )
== (
& ) = ) [ ])) =∈∀ λ #)((()! (
= ) [ ])) =∈∀ #)((()! (
* #)((()))((()! ( / ⊕ (
' ) #!#!#! +=⊕
%
. $ (
#!#!#!#! ∩−+=+
*
∩= ( ) (
) ) (
* ⊕= (
+=+ )
! # 5 ∩∈ ) =∩∈ ) ∈ ( *
{ }=
∩∈ ( * =
! # +=+ * 60) +⊂+ !
⊂∈∈
+= ) +∈ #
. +∈ (
∈∈
+= ( & ) ∈ ( *
∈∈
+= (
*
∈
⊂∈
∈
++=
* ⊕=+
) #!#!#! +=+
& ) #!#!#! += ! ⊕= #
* #!#!#!#! −+=+
'
. ) $ (
{ }
{ }
=+
=+
⇔
=∩
=+
⇔
=∩
=+
⇔
#!
#8!
#!
#8!
#!
#!
touscours.net

7. C
{ }#!*
#!#!#!#!#8!
#!)
#!#!#!#!#!#!#!#8!#!
#8!#!#!
=∩=∩
=+==+•
=+=+
+=∩−+=+•
•
# $
*
≥ (
≥ (
# * /
/
%
. #)((()!= (
. #)((()! ' ' (
$ ' ϕ '
[ ] =∈∀ #!)) ϕ
*
• G ϕ ) ) ∈ )
=
= ( *
==
== #!#! ϕϕ (
• $ . ϕ /
=
→
#)(((!
ϕ
!5 ' #
ϕ
. ∈1) ) #)((()! ) #1)(((1)1! ∈λ (
1λ+ #1)(((1)1! λλλ +++ (
* #1!#!1#1!#1! λϕϕλλλϕ +=+=+=+
===
) [ ] =∈∀ #!)) ϕ
[ ])∈ ) #)((()((()! )
==#!ϕ
touscours.net

8. B
'
. #)((()!= ) #)((()!= (
/ 0
× ) 0 ) ) [ ] [ ]))) ∈∈ '
[ ]
[ ] #!#!))
#!#!))
)
)
==∈∀
=∈∀
=
ϕ
ϕ
& 0 ) ) ' )
[ ] [ ]))#)! ×∈ ) )
)))
)))
)))
/ ϕ ! , -
/ #
5 #!ϕ
(
3# /
. #)!∈ϕ ) #)((()!= (
! # ϕϕϕϕ 7##!#)(((!#)!!; =
! # ϕ 6 ##!#)(((!#)!! ϕϕϕ (
!8# ϕ 6 ##!#)(((!#)!! ϕϕϕ (
!># ϕ 6 ##!#)(((!#)!! ϕϕϕ (
*
! # 2 . ##!#)(((!#)!!; ϕϕϕ∈ ) ϕλϕϕλ 7#! ∈==
==
(
2 . ϕ7∈ ) #!ϕ= ) " ∈ ( & )
=
= !
#( * ##!#)(((!#)!!;#! ϕϕϕϕλλϕ ∈==
==
! # ' ! #
!8# 2 . ##!#)(((!#)!! ϕϕϕ ϕH∈ )
=
= (
( )
=
== #!ϕϕ ( ##!#)(((!#)!! ϕϕϕ )
[ ])) =∈∀ ( * { }H =ϕ ( * ϕ 6 (
touscours.net

9. A
2 . ϕ 6 ∈)((() ( . ' #! =
=
ϕ (
=
=
ϕ ( * =
=
! { }H =ϕ #( *
[ ])) =∈∀ ! #)((()! #( * ##!#)(((!#)!! ϕϕϕ
(
!># ' ! # !8#
'
. = ) = )
ϕ 6 ≤
ϕ 6 ≤
# 7
. ) (
4 (
*
• . ) $ #)!∈ϕ 6 ( &
= ! ≤ ≤ #
• . == ( . #)((()!=
#)((()!= ( 7 $
#)!∈ϕ ' [ ] =∈∀ #!)) ϕ (
! ##!#)(((!#)!! ϕϕϕ #
. 4 (
) #)!∈ϕ ) '
6
66
ϕ
ϕϕ
⇔
⇔
*
. ' == ( . #)((()!= (
6
#!##!#)(((!#)!!
##!#)(((!#)!!6
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
⇔
=⇔
⇔
& 4 / ' (
5 ) 1 0 ' ϕ
/) ) #)((()! )
##!#)(((!#)!!#)((()! ϕϕϕ= (
touscours.net

10. . #)((()!;= ) ##!#)(((!#)!!;#! ϕϕϕϕ = ) ϕ
#!ϕ ( * #!ϕ= (
$
. ) #)((()!= (
[ ]
=
∈
→
)
#!
ϕ (
*# 5 , -
%
. ) $ ) " (
. #)!∈ϕ (
ϕ7 ) #!7#!H ϕϕ += (
*
& ϕH ( ) ⊕= ϕH (
&
#!
7I
ϕ
ϕϕ → ( ϕI ! / ' ' < Jϕ <#
ϕI• 6 { } { } { }H#!)#!I)IH =∩==∈==∈= ϕϕϕϕ
ϕI• 6 . ϕ7∈ ( / #!ϕ ) " ∈ (
∈∈
+=
ϕH
1 (
* ==+= #!#!#1!#! ϕϕϕϕ (
* ϕI ( * #!7 =ϕ (
& ) #!H ϕ−= ( * #!7#!H ϕϕ += (
'
& '
666).
6
6
#!7
ϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⇔⇔=•
≥•
≤•
≤•
# : /
. #)!∈ϕ ) " (
#!7 ϕϕ =
. #)((()! )
##!#)(((!#)!!
###!#)(((!#)!!;!#!7
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
=
==
touscours.net

11. . = ) = ) =#!ϕ )
6K6K6
K
ϕϕϕ ⇔==⇔=⇔=
≤≤
! L #
# %
* ) ≥ (
# M (
: (
5/ #)! ) 2 ! #(
! 2 #(
. #)((()!= (
5 $
+++
→
(((
#)((()!
) " ∈#)((()! (
5/
==
=
→ / '
' [ ] =∈∀ #!)) ϕ ( 5 ϕ
! # #)((()! ! ) #
[ ])∈ )
#)((()!
→
! #)((()(((! # K 6 0 (
5 2 ! , -#)
[ ] #!))2 =∈∀=
=
==
(
* [ ])
#! ∈
2( * 2 4 ' ( 5
#)((()! #)((()! (
3# N
*
G − (
touscours.net

12. $
) (
8) (
%
5 $ $ (
! # . { }#)!O#)!∈ϕ ) ϕH (
! # . ) $ { }O#)!∈ϕ ' ϕH= (
!8# . #)!) ∈ϕϕ ' HH ϕϕ = ) ϕ ϕ )
1 0 ' / $ { }O∈λ ' λϕϕ = (
*
! # . { }#)!O#)!∈ϕ ) ϕ7 ) '
( * ϕ7 ( . #!7 =ϕ )
{ }7 =ϕ #)!=ϕ ( * #!7 =ϕ ! =ϕ7 #(
* #!7#!H −=−= ϕϕ
! # . ( . #)((()! − (
& #)((()! (
. ϕ ' [ ])) −∈ (
=ϕH ! ∈⇔=⇔==
=
#!)ϕ #
!8# . =ϕ ) =H ϕ K =H ϕ ) (ϕϕ == (
. ≠ϕ ) ϕ #)((()! − ) ' /
#)((()! (
{ } { }∈=∈=
==
==
−−
O#!KO#!
#!#!
#!#!
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
* ϕϕ = ! ' [ ] #!#!)) ϕϕ =∈∀
/ / #
'
. #)((()!= ( $
' ) ' ((( =+
( * ) $
' ) (
: #)!∈ ) /' #)((()! =
) ) / #)((()!
#)((()! = (
& ' ) /
/ ! 4 /' #)
/' − (
touscours.net