Teoría de Vibraciones

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Presentación de 66 diapositivas en formato .PDF que contiene ecuaciones y teoría básica de vibraciones.

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Teoría de Vibraciones

  1. 1. UNIVERSIDAD DE LOS ANDESESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICADEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA Y DISEÑO Br. Antonio R. Molina S.
  2. 2. Cinemática y Dinámica de Partículas y Cuerpos RígidosKraken Rollercoaster – Sea World, Orlando FL Br. Antonio R. Molina S.
  3. 3. Sea r P/O el vector de posición de la partícula YP en el espacio respecto al sistemacoordenado global fijo R: P (Xp, Yp, Zp)Su velocidad viene dada como la primera j r P/Oderivada de la posición respecto al tiempo: X k iY su aceleración como la segunda derivada Z (R)de la posición respecto al tiempo: Br. Antonio R. Molina S.
  4. 4. Para el caso de cuerpos rígidos en el plano e1conviene conocer la posición de su centro (R`)de masa G respecto al sistema coordenado Yglobal R mediante el vector de posición r G/O, G (XG, YG, 0)cuya velocidad y aceleración vienen dados e2de forma idéntica al caso estudiado para ω, αpartículas : j r G/OLuego si se desea la velocidad o aceleración Xde otro punto P del cuerpo rígido, se recurre k ia definir un vector r P/G desde el centro demasa al punto en cuestión, derivándoserelaciones adicionales: Z (R) ω= Velocidad Angular α= Aceleración Angular Br. Antonio R. Molina S.
  5. 5. Principio de la Cantidad de Movimiento LinealLa sumatoria de las fuerzas que actúan en uncuerpo equivale a la variación de la cantidadde movimiento lineal del mismo en el tiempo.Debido a que la masa del cuerpo no varía conel tiempo, se obtiene la expresión de la segundaley de Newton: Crash Test – General Motors Company Br. Antonio R. Molina S.
  6. 6. Principio de la Cantidad de Movimiento AngularLa sumatoria de los momentos que actúan enun cuerpo equivale a la variación de lacantidad de movimiento angular del mismo enel tiempo:La cantidad de movimiento angular puede Rotor de Helicóptero – Bell Helicopter Textron Inc.definirse respecto al centro de masa del cuerpoo respecto al origen del sistema coordenado El momento de inercia respecto alglobal de referencia: origen puede calcularse según el teorema de Steiner: Br. Antonio R. Molina S.
  7. 7. Resortes, Masas y AmortiguadoresSuspensión Delantera – Tuningarea.com Br. Antonio R. Molina S.
  8. 8. Son el medio para acumular energía potencial delsistema. También se les denomina elementos de rigidezdel sistema.Resorte de Traslación: La fuerza que actúa en un resortelineal puede determinarse con la siguiente expresión:Donde k es la constante de resorte y x su deflexión. Laenergía potencial acumulada por este elemento sedetermina integrando la expresión anterior:Resorte de Torsión: Resortes Varios - Iran Fanar Lool Co. Br. Antonio R. Molina S.
  9. 9. A continuación se muestran las constantes de resorte para algunos elementoselásticos comunes: B.Balanchandran, E. Magrab. Vibraciones. Thomson Editores. 2006 Br. Antonio R. Molina S.
  10. 10. Es el medio que acumula energía cinética en elsistema. También se le denomina elemento deinercia.Las fuerzas de inercia vienen dadas de acuerdoa la segunda Ley de Newton como:La energía cinética del movimiento de traslaciónviene dada como:Por analogía para el movimiento de rotación setiene: Michelin Active Wheel. Br. Antonio R. Molina S.
  11. 11. Son el medio para disipar energía del sistema. Tambiénse les denomina elementos de disipación del sistema.Amortiguamiento Viscoso: La fuerza deamortiguamiento según el modelo ideal deamortiguamiento viscoso es proporcional a lavelocidad:Donde c es la constante de proporcionalidad oamortiguamiento.Amortiguamiento de Coulomb: Resulta de la fricción G - Force - Amortiguadores Gabriel.entre superficies secas y es igual al producto entre elcoeficiente de fricción y la fuerza normal: Br. Antonio R. Molina S.
  12. 12. Movimiento Armónico, Movimiento Periódico, FrecuenciasNaturales, Resonancia Guitarra Clásica – Prudencio Sáez. Br. Antonio R. Molina S.
  13. 13. Es el movimiento periódico más simple. Se repite a sí mismo con regularidad aintervalos de tiempo τ ó período de oscilación. El recíproco del período es lafrecuencia f.El movimiento armónico se representapor medio de la siguiente ecuación:Donde ω se denomina como frecuencia circular en rad/seg Br. Antonio R. Molina S.
  14. 14. En el movimiento armónico la velocidad y la aceleración preceden al desplazamientoen π/2 y π rad respectivamentePuede notarse entonces como la aceleraciónen el movimiento armónico es proporcional aldesplazamiento y está dirigida hacia el origenCualquier función periódica de período τpuede representarse por medio de una seriede Fourier: Teoría de Vibraciones – Thomson W.T. Br. Antonio R. Molina S.
  15. 15. Terminología de VibracionesValor Pico: Es el máximo esfuerzo que sufre la parte vibrante.Valor Medio: Es un valor estático o estacionario efectivo,similar al nivel DC de corriente.Energía de Vibración: Puede estimarse mediante el valormedio cuadrado como:Raíz Media Cuadrada ó RMS: Es la raíz cuadrada del valormedio cuadrado. Las vibraciones son medidas generalmente Medidor de Vibraciones LT-VB8213por medidores RMS.Decibel: Unidad de medida frecuentemente utilizada envibraciones. Se define como una razón de potencias. Br. Antonio R. Molina S.
  16. 16. Un sistema puede encontrarse bajo vibraciónlibre o forzada. La vibración libre ocurrecuando el sistema vibra a una o más de susfrecuencias naturales bajo la acción defuerzas inherentes al sistema mismo.La vibración que tiene lugar bajo excitaciónde fuerzas externas es una vibración forzada.Cuando la excitación es oscilatoria el sistemaes obligado a vibrar a la frecuencia deexcitación. Si ésta coincide con una de lasfrecuencias naturales del sistema, se produceuna situación de resonancia y ocurrenoscilaciones peligrosamente grandes. Puente Tacoma Narrows – Seattle 1940Uno de los casos emblemáticos sobredesastres de la ingeniería es el del colapsodel puente de Tacoma Narrows, en el año1940, derribado por acción del viento. Br. Antonio R. Molina S.
  17. 17. Ecuación de Movimiento, Método de Energía, Método de Rayleigh, Amortiguamiento ViscosoParque Eólico “Antonio Morán” – Comodoro Rivadavia, Argentina. Br. Antonio R. Molina S.
  18. 18. Inicialmente se tiene un resorte no esforzado(posición A de la figura), una vez colocada lamasa al resorte, se alcanza la posición deequilibrio estático B, donde: kΔ ΔDonde Δ es la deflexión estática del resorte. K(Δ+x)Luego partiendo de esta posición de referencia mse mueve la masa una distancia x, donde: x m W W a CDefiniendo la frecuencia natural ωn como: Lo cual indica que se trata de un movimiento armónico. Ésta es una ecuación diferencial homogénea de 2do ordenSe tiene: Br. Antonio R. Molina S.
  19. 19. La ecuación característica de la ecuación Los coeficientes A y B se determinandiferencial obtenida es: con las condiciones iniciales x(0) y v(0), osea:Y las raíces de esta ecuación característicason: Luego recordando que: Se tiene que:La solución general de este tipo deecuación diferencial obedece a la forma: Entonces la frecuencia natural del sistema viene dada como:Por lo que finalmente se obtiene: Br. Antonio R. Molina S.
  20. 20. En un sistema vibratorio se da el intercambioconstante de energía entre sus formascinética y potencial. De acuerdo al principiode conservación de la energía se tiene quela suma de la energía cinética y la energíapotencial del sistema es constante y no varíaen el tiempo:Sustituyendo las expresionescorrespondientes a cada tipo de energía : Downhill – downhill.esforos.comDerivando se obtiene la misma expresiónque al aplicar la segunda ley de Newton: Br. Antonio R. Molina S.
  21. 21. El movimiento de varias masas puedeexpresarse en términos del movimiento xde algún punto en específico delsistema, el cual se reduce entonces auno con un solo grado de libertad.La energía cinética resultante puedeescribirse como:Siendo meff una masa equivalenteconcentrada en el punto de estudio. Si Rally Dakar – Volkswagen.se conoce la rigidez de dicho punto, lafrecuencia natural viene dada como: De esta manera es posible tener en cuenta masas previamente ignoradas y llegar así a un mejor estimado de la frecuencia fundamental. Br. Antonio R. Molina S.
  22. 22. La respuesta de un sistema dependerá delamortiguamiento que este presente.Mediante el amortiguamiento se disipa laenergía del sistema.La fuerza de amortiguamiento viscoso esproporcional a la velocidad y si se toma encuenta, la ecuación de movimiento paravibración libre queda como:Esta ecuación diferencial homogénea Rally Dakar – Hummer GMC.tiene tres posibles soluciones. Su ecuacióncaracterística es: Cuyas raíces vienen dadas por: Br. Antonio R. Molina S.
  23. 23. Una posible solución a la ecuación Luego sustituyendo en las raíces se tiene:diferencial obtenida es aquella para la cualambas raíces de la ecuación característicason iguales, lo cual implica que: Que para este caso da como resultado:A este amortiguamiento se le denominaamortiguamiento crítico y viene dadocomo: Finalmente se obtiene la solución de la ecuación diferencial:De aquí que se exprese una razón deamortiguamiento respecto al valor crítico: Los coeficientes A y B se determinan mediante las condiciones iniciales x(0) y v(0) quedando:Que para este caso tiene un valor ζ=1.0 Br. Antonio R. Molina S.
  24. 24. El caso sub-amortiguado es tambiéndenominado movimiento oscilatorio y tiene ζ<1.Cuando el movimiento es oscilatorio las raícesde la ecuación característica son imaginarias ypueden escribirse como:Lo cual nos da otra solución posible de laecuación diferencial en cualquiera de lasformas siguientes: Teoría de Vibraciones – Thomson W.T. Donde ωd es la frecuencia de oscilación amortiguada y viene dada como: Br. Antonio R. Molina S.
  25. 25. El caso sobre-amortiguado es tambiéndenominado movimiento no oscilatorio ytiene ζ>1. Para este caso ambas raíces dela ecuación característica son realesdando como resultado la siguientesolución a la ecuación diferencial:En donde: Teoría de Vibraciones – Thomson W.T. Br. Antonio R. Molina S.
  26. 26. Se define como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes sucesivas, querefleja la rata de caída de las oscilaciones libres.Simplificando queda:Donde τd es el período amortiguadoque viene dado como:Finalmente se tiene: Teoría de Vibraciones – Thomson W.T. Br. Antonio R. Molina S.
  27. 27. Vibración Armónica Forzada, Ecuación de MovimientoTurbina Hidráulica Kaplan - CKD BLANSKO HOLDING. Br. Antonio R. Molina S.
  28. 28. •Un sistema sometido a excitaciónarmónica forzada responde con la mismafrecuencia de la excitación inducida.•La excitación armónica es frecuente ensistemas de ingeniería y es comúnmenteproducida por desbalances en máquinasrotatorias, fuerzas producidas pormáquinas reciprocantes, entre otros.•Si la frecuencia de excitación coincidecon una de las frecuencias naturales delsistema se produce resonancia. Estefenómeno debe evitarse en la mayoría delos casos.•Para evitar que se desarrollen grandes Turbina de Avión – CF6amplitudes se emplean amortiguadores. Br. Antonio R. Molina S.
  29. 29. Considerando un sistema de un grado de libertad conamortiguamiento viscoso, excitado por una fuerzaarmónica Fosenωt , se tiene:La solución de esta ecuación consta de dos partes: k cSolución Particular:Donde X es la amplitud de oscilación y Ø es el ángulorespecto a la fuerza excitatriz. La amplitud y la fase se mcalculan sustituyendo la solución particular en la xecuación diferencial del sistema, obteniendo: FosenωtO en forma adimensional: Br. Antonio R. Molina S.
  30. 30. Recordando que:Se tiene: KTM –ATV-450SX – KTV Springs.Puede observarse entonces que tanto la amplitud adimensional como el ángulo defase son funciones solamente de la razón de frecuencias ω/ωn y del factor deamortiguación ζ. Br. Antonio R. Molina S.
  31. 31. Nótese que el factor deamortiguación tiene gran influenciasobre la amplitud y el ángulo defase en la región próxima aresonancia (ω/ωn=1).Para ω/ωn<<1 las fuerzas de inerciay amortiguamiento son pequeñas,La magnitud de fuerza global escasi igual a la fuerza de resorte y elángulo de fase es pequeño.Para ω/ωn=1 la fuerza de inercia esequilibrada por la fuerza de resorte, Teoría de Vibraciones – Thomson W.T.mientras que la fuerza aplicadasupera a la de amortiguación.Para ω/ωn>>1 la fuerza aplicada se Fo Ø Ø kX Ø kXemplea casi totalmente en vencer kX Fo Fo X X Xla gran fuerza de inercia. Br. Antonio R. Molina S.
  32. 32. Cuando ω/ωn=1 el ángulo de fase es90º y la amplitud a la resonancia vienedada como:La ecuación diferencial y su solucióncompleta vienen dadas como: #4510 - NITRO SPORT - Traxxas Br. Antonio R. Molina S.
  33. 33. Desbalance Rotatorio, Balanceo Estático, Balanceo Dinámico,Cabeceo de Ejes Rotatorios. Formula 1 2009 – Codemasters Br. Antonio R. Molina S.
  34. 34. El desbalance en máquinas rotatorias es una fuentecomún de excitación vibratoria. Si se considera un msistema masa-resorte-amortiguador, de un solo grado x ede libertad, excitado por una máquina rotatoria nobalanceada, el desbalance es representado por una ωt Mmasa excéntrica m con excentricidad e que rota avelocidad angular ω.El desplazamiento de m es: k cY la ecuación de movimiento viene dada como:Que también puede escribirse como:Expresión idéntica a la ecuación de movimiento paravibración excitada armónicamente, por lo tanto: Br. Antonio R. Molina S.
  35. 35. La solución estacionaria de la ecuaciónviene dada como:O de forma adimensional como: Rally Subaru – Collin Mc Rae Rally.La solución completa está dada por: Br. Antonio R. Molina S.
  36. 36. El sistema anterior idealiza una unidad masa-resorte-amortiguador con un desbalance rotatorioactuando en un plano. En la realidad es muchomás probable que el desbalance de un rotor estédistribuido en varios planos. Existen dos tipos dedesbalance rotatorio que pueden corregirse.• Desbalance estático:En caso de que las masas no balanceadas seencuentren en un solo plano, como podría ser elcaso de un disco delgado, el desbalanceresultante es una fuerza radial. Este desbalance esfácilmente detectable, colocando el ensamblesobre rieles horizontales de manera que la ruedagire hasta una posición donde el desbalance se Sistema con desbalance estático.localice directamente debajo del eje. Br. Antonio R. Molina S.
  37. 37. • Desbalance dinámico:En caso de que el desbalance aparezca en másde un plano, la resultante será una fuerza y unmomento de balanceo. El momento de balanceosólo puede ser detectado haciendo girar el rotor.En este tipo de desbalance se establecerán fuerzascentrífugas rotatorias que tenderán a mecer laflecha en sus cojinetes.El cigüeñal de un motor puede considerarse comouna serie de discos delgados con algúndesbalance, los cuales deben ser ensayadosrotando para poder detectar dicho desbalance.La máquina de balanceo consiste en cojinetes Máquina balanceadora de llantas - BFH1000montados sobre resortes que permiten detectar lasfuerzas no balanceadas. Si se conoce la amplitud yfase relativa de cada cojinete, es posibledeterminar y corregir el desbalance. Br. Antonio R. Molina S.
  38. 38. yLos ejes rotatorios tienden a arquearse a ciertasvelocidades como resultado de varias causas, jentre las que se puede mencionar el desbalance G ide masa, el amortiguamiento de histéresis en eleje, fuerzas giroscópicas ó fricción fluida en los ωtcojinetes. e r SSi se considera el caso de un disco de masa m θ xlocalizado en un eje soportado por cojinetes, Ocuyo centro de masa G esta localizado a unadistancia e (excentricidad) del centrogeométrico S del disco, la línea de centros de loscojinetes intersecará al plano del disco en O y elcentro de la flecha será deflectada en r=OS OSe supondrá que el eje (línea e=SG) está rotando Sa velocidad constante ω y que la línea r=OS estácabeceando a una velocidad diferente de ω. Br. Antonio R. Molina S.
  39. 39. yEl vector de posición del centro de masa G del discoviene dado como: j G iDerivando la expresión anterior se obtiene lavelocidad del centro de masa: ωt e r S θ xOrdenando la expresión: ODerivando nuevamente se obtiene la aceleración:Ordenando la expresión: Br. Antonio R. Molina S.
  40. 40. Las ecuaciones de movimiento en las direcciones radial y tangencial vienen dadascomo:Radial:Tangencial:Que dividiendo entre la masa y ordenando dan: Estas son las ecuaciones generales del movimiento de cabeceo.El caso general de cabeceo descrito arriba es un movimiento de excitación propiaen donde las fuerzas que producen el movimiento están controladas por elmovimiento mismo. Br. Antonio R. Molina S.
  41. 41. El caso más simple de cabeceo es el caso estacionario sincrónico donde la velocidadde cabeceo es igual a la velocidad de rotación del eje que ha sido supuestaconstante, por lo tanto:Integrando la condición de cabeceo sincrónico:Donde φ es la constante de integración y representa el ángulo de fase entre e y r.Sustituyendo en las ecuaciones generales de movimiento:Radial:Tangencial:Dividiendo se obtiene la ecuación para el ángulo de fase: Br. Antonio R. Molina S.
  42. 42. A partir del triángulo vectorial mostrado setiene:Sustituyendo en la ecuación de movimientoradial y despejando r, se obtiene la ecuaciónde amplitud: Rotor Wankel – www.RX7club.com(Estas ecuaciones indican que la línea de excentricidad e, precede a la línea de desplazamiento r enel ángulo de fase φ, que depende del amortiguamiento y la razón de velocidades. Cuando lavelocidad de rotación alcanza la frecuencia natural del eje, se llega a una condición de resonanciaen que la amplitud sólo es restringida por el amortiguamiento).
  43. 43. Movimiento del Soporte, Aislamiento Vibratorio, Energía Disipada por Amortiguamiento, Instrumentos Medidores de Vibraciones.Imagen del terremoto de Chile tomada del New York Times (2010). Br. Antonio R. Molina S.
  44. 44. En muchos casos el sistema dinámico es excitado porel movimiento del punto de soporte. Considérese el xsistema de la figura, su ecuación diferencial viene mdada como:Haciendo: z = x – y, se tiene:Si el movimiento de la base se supone armónico: k cCuya solución viene dada como: y = Y sen ωtDe esta forma, las curvas de amplitud vs razón defrecuencias son aplicables con el apropiado cambiode ordenada. Br. Antonio R. Molina S.
  45. 45. Las fuerzas vibratorias generadas por máquinas son amenudo inevitables; sin embargo, su efecto puedereducirse sustancialmente agregando resortes xdenominados aisladores. La fuerza transmitida a través mdel resorte y el amortiguador viene dada como:La fuerza excitatriz armónica viene dada a partir de laecuación general de amplitud como: k cLa transmisibilidad de fuerza viene dada según lasiguiente relación: Ft Ø kX Fo X Br. Antonio R. Molina S.
  46. 46. •Puede concluirse entonces que un resorteno amortiguado es superior a un resorteamortiguado para efectos de reducir latransmisibilidad.•Es deseable sin embargo algúnamortiguamiento cuando es necesario queω pase por la región de resonancia.•El aislamiento vibratorio sólo es posiblecuando la relación de velocidades ω/ωn essuperior a √2•Es posible reducir la amplitud de vibraciónapoyando la máquina sobre una gran masa. Planta eléctrica con aislamiento vibratorio en la base - Energiestro Br. Antonio R. Molina S.
  47. 47. El amortiguamiento está presente en todosistema oscilatorio y disipa la energía delmismo en forma de calor o radiación.La pérdida de energía se traduce endecrementos de la amplitud de la vibraciónlibre, pero en el caso de vibración forzada, lapérdida de energía es compensada por laenergía suministrada por la excitación.La disipación de energía es determinadausualmente bajo condiciones de oscilacionescíclicas y la relación fuerza-desplazamiento Disco de Freno al Rojo Vivo - Porscheencierra un área denominada bucla de Haciendo el siguiente cambio:histéresis.La energía perdida por ciclo, debido a la Se Obtiene:fuerza de amortiguación Fd, viene dada por: Br. Antonio R. Molina S.
  48. 48. La energía disipada por ciclo de las ecuaciones Fdanteriores será: xSustituyendo: XLa energía disipada a resonancia viene dada como:Para la representación gráfica Fuerza vs Desplazamiento Fd+kxse debe hallar la ecuación de la elipse como sigue: x XEcuación de la elipse:Si añadimos la fuerza de resorte kx, la bucla de histéresises rotada y se conforma el llamado modelo de Voigh. Br. Antonio R. Molina S.
  49. 49. Muchos medidores de vibración tienen comounidad básica el sistema mostrado en elesquema de abajo. Dependiendo del rangode frecuencia utilizado, el instrumento indicarála velocidad, aceleración o desplazamientorelativo de la masa suspendida con respecto ala caja. La ecuación de movimiento es:La solución estacionaria es entonces: Sismómetro de banda ancha Modelo: BBVS-60, BBVS-120 3 componentes adentro Regeneración electrónica Banda ancha: 50Hz120s k Rango dinámico: DB 140 Supervisión total alejada x m Centro alejado de la masa Consumición de la energía baja c De poco ruido y Br. Antonio R. Molina S.
  50. 50. Esta solución escrita en función de laamplitud y la razón de frecuencias vienedada como:Puede observarse del gráfico de estas Teoría de Vibraciones – Thomson W.T.ecuaciones, que el tipo de instrumento aemplear está determinado por el rango útilde frecuencias con respecto a lafrecuencia natural ωn del instrumento. Br. Antonio R. Molina S.
  51. 51. Los sismómetros son instrumentos de bajafrecuencia natural ωn respecto a lafrecuencia ω que se va a medir, estosignifica que la razón ω/ωn es un númerogrande y el desplazamiento relativo Z seaproxima a Y (véase gráfico anterior).Esto se traduce en un movimiento enconjunto de la masa y su caja portante.Los sismómetros son instrumentos de grantamaño, donde el movimiento relativo zes convertido en un voltaje eléctricohaciendo que la masa móvil sea unmagneto y las paredes de la caja Sismómetro portátil formado por un registrador MEQ ybobinas. un sensor RangerLa salida de este instrumento es proporcional a lavelocidad del cuerpo vibrante y la aceleración ydesplazamiento estarán disponibles mediantediferenciadores e integradores respectivamente Br. Antonio R. Molina S.
  52. 52. En el caso del acelerómetro, su frecuencia natural esmucho más alta que la frecuencia de vibración que sedesea medir, esto trae como consecuencia que larelación de velocidades ω/ωn sea un número pequeño,haciendo que Z se vuelva proporcional a la aceleracióndel movimiento a medir. El acelerómetro mas sencillo esel mecánico, que consiste en una masa unida a undinamómetro cuyo eje está en la misma dirección quela aceleración que se desea medir, esto permitedeterminar el módulo de la fuerza, para luego conocerel módulo de aceleración.El acelerómetro es uno de los transductores másversátiles, siendo el más común el piezoeléctrico porcompresión. Cuando el conjunto es sometido avibración, el disco piezoeléctrico se ve sometido a unafuerza variable, proporcional a la aceleración de la Acelerómetro piezoeléctrico de cuarzo.masa. Debido al efecto piezoeléctrico se desarrolla unpotencial variable que será proporcional a laaceleración. Dicho potencial variable se puede registrarsobre un osciloscopio o voltímetro. Br. Antonio R. Molina S.
  53. 53. Matriz de Rigidez, Valores Propios y Vectores Propios, Vibración Libre, FormasModales, Propiedades Ortogonales, Matriz Modal, Amortiguamiento Modal. Suspensión Wrangler - Jeep Br. Antonio R. Molina S.
  54. 54. El análisis de vibración de sistemas con muchos gradosde libertad requiere de métodos matriciales quepermitan una formulación sistemática y simple delproblema considerado.La matriz de flexibilidad de un sistema se formaconsiderando por separado los desplazamientosdebidos a fuerzas unitarias aplicadas y viene dadacomo:La matriz de rigidez de un sistema vibratorio es el inversode la matriz de flexibilidad y viene dada como:La regla general para establecer los elementos de Torre de las Telecomunicaciones Montevideo Uruguayrigidez de cualquier columna, es hacer eldesplazamiento correspondiente a esa columna iguala la unidad, con los demás desplazamientos iguales acero y medir las fuerzas requeridas en cada estación. Br. Antonio R. Molina S.
  55. 55. La vibración libre de un sistema no amortiguadocon varios grados de libertad viene expresadomatricialmente como:Donde: Matriz de masa Arte conceptual - Audi Matriz de rigidez Cuando el movimiento es armónico: Vector desplazamiento Por lo tanto: La ecuación característica del sistemaPre multiplicando por la inversa de la matriz de es el determinante igualado a ceromasa se tiene: como sigue:Donde I es una matriz unitaria y A la matriz delsistema. Br. Antonio R. Molina S.
  56. 56. Las raíces de la ecuación característicason los denominados valores propios y lasfrecuencias naturales del sistema sedeterminan como:Para hallar los vectores propios se haceuso de la matriz adjunta y el inverso de lamatriz :Pre multiplicando por IBI B:Haciendo el cambio de variable: Puente de Alamillo Sevilla – Santiago CalatravaY sustituyendo en la expresión original, seobtiene: Cada vector Xi es un vector propioPara cada λ=λi:Por lo tanto: Br. Antonio R. Molina S.
  57. 57. Los modos normales o vectores propiosdel sistema, son ortogonales con respectoa las matrices de masa y de rigidez.Dada la matriz del modo i-ésimo:Pre multiplicando por la traspuesta deotro modo, digamos j: 1Haciendo lo contrario se tiene: 2 Casa Malinalco - MéxicoComo K y M son matrices simétricas, secumple: Finalmente si i=j:Restando 2 de 1 se obtiene: Que son la masa y rigidez generalizadasQue en el caso de que λi≠λj, del sistema.necesariamente: Br. Antonio R. Molina S.
  58. 58. Es posible desacoplar las ecuaciones El resultado será una matriz diagonal:de movimiento de un sistema con “n”grados de libertad, conociendopreviamente sus vectores propios. Lamatriz formada por los vectorespropios o modos normales es la matrizmodal P, p.ej.: Si se divide cada columna de la matriz modal P por la raíz cuadrada de la masa generalizada Mi, se obtiene la matriz modal reducida. La diagonalización de laPara las operaciones subsiguientes es matriz de masa por la matriz modalnecesaria la traspuesta de la matriz P: reducida genera una matriz unitaria: En el caso de la matriz de rigidez se obtiene la matriz de los valores propios:Ahora, haciendo el producto P`MPpara un ejemplo con 2GDL se obtiene:
  59. 59. La ecuación de movimiento para “n” Como puede observarse, las matrices degrados de libertad, amortiguamiento masa y rigidez se diagonalizan. Sinviscoso y excitación arbitraria viene embargo, la matriz de amortiguamientodada como: sólo se diagonaliza si la amortiguación es proporcional, obteniéndose ecuaciones completamente desacopladas eA partir de la ecuación homogénea no independientes:amortiguada se determinan los valorespropios y los vectores propios delsistema, con la finalidad de generar la Nótese que es la misma ecuaciónmatriz modal y su forma reducida: determinada para sistemas de un solo grado de libertad:Pre multiplicando por P` y haciendo elcambio de variable: Rayleigh introdujo amortiguamiento proporcional como:Se obtiene: Donde α y β son constantes. Br. Antonio R. Molina S.
  60. 60. La aplicación de la matriz modal reducidada como resultado:De manera que para la i-ésima ecuación:El amortiguamiento modal puede definirsepor la ecuación: Boceto de un Sistema de Suspensión Br. Antonio R. Molina S.
  61. 61. Amortiguador de Péndulo Centrífugo, Disipador de HoudailleDisipador Houdaille - Aston Martin V8 Br. Antonio R. Molina S.
  62. 62. Los torques de excitación de sistema rotatorios sonproporcionales a la velocidad de los mismos, es por ello queun amortiguador adecuado deberá tener una frecuencianatural proporcional a la velocidad. El péndulo centrífugo r Φcumple con este propósito.El vector posición del péndulo del sistema mostrado viene Rdado como: Recordar: θDerivando se obtiene la velocidad:Y derivando nuevamente, la aceleración: Br. Antonio R. Molina S.
  63. 63. Haciendo sumatoria de momentos en O´:Suponiendo Φ pequeña, la expresión queda como: r Φ RSuponiendo que el movimiento de la rueda es una θrotación estacionaria mas una oscilación sinusoidal, seescribe:Sustituyendo se obtiene:La frecuencia natural es siempre proporcional a lavelocidad y la oscilación se anula con la misma: Br. Antonio R. Molina S.
  64. 64. En caso de que haya más de una frecuenciaperturbadora, el disipador torsional viscoso noajustado o disipador de Houdaille es efectivo enun amplio rango de operación. Básicamenteconsiste en una masa alojada en una cámaracilíndrica llena de fluido viscoso.Las ecuaciones de movimiento son: J k JdCon movimiento armónico:Sustituyendo: Br. Antonio R. Molina S.
  65. 65. Reordenando: La amplitud viene dada como: Y al realizar las sustituciones:Luego despejando φ0 y sustituyendo en laprimera de las ecuaciones: Se obtiene: Cuya amortiguamiento óptimo viene dado como:Reordenando: A la frecuencia:
  66. 66. Br. Antonio R. Molina S.

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