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EVERALDO GOMES LEANDRO 
POLIKALC: A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE 
APRENDIZAGEM PARA O ENSINO DE 
CÁLCULOS ARITMÉTICOS NO ENS...
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EVERALDO GOMES LEANDRO 
POLIKALC: A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM 
PARA O ENSINO DE CÁLCULOS ARITMÉTICOS NO ENSI...
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EVERALDO GOMES LEANDRO 
POLIKALC: A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM 
PARA O ENSINO DE CÁLCULOS ARITMÉTICOS NO ENSI...
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Aos meus pais Dalva e João, por possibilitarem a realização desse sonho. 
Aos meus irmãos Lilian e Eder por sempre esta...
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AGRADECIMENTOS 
Aos meus pais João e Dalva por todo amor e carinho dados a mim, 
acreditando nos meus sonhos e dando to...
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“Está pelo menos equivocado o educador matemático que não percebe 
que há muito mais na sua missão de educador do que e...
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RESUMO 
Percebendo a importância de se trabalhar nas aulas de Matemática, 
principalmente nas séries iniciais, com os d...
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LISTA DE FIGURAS 
Figura 1 Relações entre os cálculos segundo o NCTM............ 20 
Figura 2 Espiral de Aprendizagem.....
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LISTA DE QUADROS 
Quadro 1 Dimensões para criação de ambientes de aprendizagem 
versus PoliKalc...........................
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SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................ 11 
2 As Tecnologia...
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1 INTRODUÇÃO 
A ideia da discussão sobre Tecnologias de Informação e 
Comunicação (TICs), ensino de cálculos aritmétic...
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MG, aparentemente não terem consolidado alguns conceitos e saberes 
matemáticos do campo aritmético. Seguimos o viés d...
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suporte para a criação do Objeto de Aprendizagem, discutiremos as 
tecnologias da Sociedade de Informação, apoiaremos ...
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2 As Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para o 
Ensino e a Aprendizagem de Matemática 
Para compreendermos...
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Sociedade de Informação4 que podem possibilitar o desenvolvimento de 
trabalhos em aulas de Matemática nas escolas. 
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Deste modo, percebe-se que o uso, de computadores e calculadoras6, 
pode ser pensado e estar alinhado com a ideia de c...
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também estarem conectados e contribuirem para o avanço tecnológico, mas 
interagem com a tecnologia de forma diversa d...
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tecnológica. O direito ao acesso, argumentam esses autores, pode ser visto 
como projeto social que tem por finalidade...
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Outro ponto que nos fez querer que o código fosse aberto é a 
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aritméticos. Assim, no próximo capítulo discutiremos o ensino e a 
aprendizagem do nosso foco trabalho.
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3 O ensino e a aprendizagem de cálculos mentais, exatos, 
aproximados e com calculadora 
Algumas pesquisas (GOMES, 200...
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Por meio do esquema apresentado, suponhamos que exista um 
problema a ser resolvido e para resolvê-lo um sujeito neces...
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pagar. Seis livros, seis parcelas de uma soma simples, nenhuma delas 
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Outro ponto que necessita estar claro em relação ao cálculo mental é 
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 Promove o sentido do número e a compreensão do sistema decimal; 
 Encoraja a criatividade; 
 Permite liberdade e f...
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3.2 Os Cálculos Exatos e Aproximados 
Os cálculos exatos perpassam todos os anos escolares e são 
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que a sua minicalculadora faria todas as contas por ...
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mas também não podem ser vistas como o mal que assola a aprendizagem 
dessa disciplina escolar. 
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que aparecem no visor por exemplo. 
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será apertar diversas vezes a tecla = acrescentando, a cada vez que 
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4 PERCURSO METODOLÓGICO 
Entendemos que esse trabalho de conclusão de curso está alicerçado 
em duas dimensões. Na dim...
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Outro ponto está presente no caráter temporal incluso na pesquisa: a 
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5 METODOLOGIA DE CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE 
APRENDIZAGEM (OA) 
O ensino de cálculos mentais, exatos e aproximados, quand...
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Segundo Reis (2010) mesmo com as diferentes dinâmicas de 
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Quadro 1 Dimensões para criação de ambientes de aprendizagem versus PoliKalc 
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Fernandes (2013, p.2) argumenta que “pensada para o contexto 
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fases: (1) Concepção do Projeto; (2) Planejamento13; (3) Implementação; (4) 
Avaliação. 
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Figura 3 Fases de elaboração da PoliKalc 
5.1.1 A Concepção do Projeto 
Amante e Morgado (2001) sugerem na primeira fa...
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um Objeto de Aprendizagem que agregasse quatro calculadoras que 
denominamos de Kalc Exata, Aproximada, Quebrada e Men...
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Deste modo, tentamos caracterizar o público alvo, quinta fase da 
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5.1.2 O Planejamento 
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Figura 6 Interfaces de alguns botões 
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Figura 7 Tipos de estrutura trazidas por Amante e Morgado (2001) 
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5.1.3.1 A Kalc Exata 
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5.1.3.2 A Kalc Quebrada 
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Suponhamos que se quebre a tecla 7 da Kalc Quebrada. Pensemos na 
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Resolução de problemas em que as crianças parecem 
buscar formas de arredondar os números porque os 
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A Kalc Aproximada permitirá ao professor elaborar atividades e 
aulas com foco no desenvolvimento de estratégias com o...
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Figura 14 Caixa de Aproximações 
Enfatizamos que as estimativas e os cálculos aproximados são 
importantes instrumento...
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5.1.3.4 A Kalc Mental 
Figura 15 Interface Kalc Mental 
Nosso objetivo com essa calculadora, que denominamos de Kalc 
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qual estratégia conveniente a ser mostrada na caixa de diálogo? Quantas 
estratégias serão mostradas dentro da vasta v...
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A Kalc Mental agrupa, no primeiro momento, dezenas com 
dezenas20, unidades com unidades e assim por diante. No exempl...
PoliKalc: A Criação de um objeto de aprendizagem para o ensino e a aprendizagem de cálculos aritméticos no ensino fundamental
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PoliKalc: A Criação de um objeto de aprendizagem para o ensino e a aprendizagem de cálculos aritméticos no ensino fundamental

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PoliKalc: A Criação de um objeto de aprendizagem para o ensino e a aprendizagem de cálculos aritméticos no ensino fundamental

  1. 1. 1 EVERALDO GOMES LEANDRO POLIKALC: A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA O ENSINO DE CÁLCULOS ARITMÉTICOS NO ENSINO FUNDAMENTAL LAVRAS - MG 2014
  2. 2. 2 EVERALDO GOMES LEANDRO POLIKALC: A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA O ENSINO DE CÁLCULOS ARITMÉTICOS NO ENSINO FUNDAMENTAL Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Colegiado do Curso de Matemática, para a obtenção do título de Licenciado em Matemática. Orientadora Dra. AMANDA CASTRO OLIVEIRA Coorientadora Esp. STEFÂNIA EFIGÊNIA IZÁ LAVRAS – MG 2014
  3. 3. 3 EVERALDO GOMES LEANDRO POLIKALC: A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM PARA O ENSINO DE CÁLCULOS ARITMÉTICOS NO ENSINO FUNDAMENTAL Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Colegiado do Curso de Matemática, para a obtenção do título de Licenciado em Matemática. Aprovada em 12 de Fevereiro de 2014. Dr. Ronei Ximenes Martins UFLA Dra. Rosana Maria Mendes UFLA Ma. Silvia Maria Medeiros Caporale UFLA Dra. Amanda Castro Oliveira Orientadora _______________________________________________ LAVRAS – MG 2014
  4. 4. 4 Aos meus pais Dalva e João, por possibilitarem a realização desse sonho. Aos meus irmãos Lilian e Eder por sempre estarem ao meu lado. Aos(às) professores(as) do Departamento de Ciências Exatas da UFLA, em especial a minha orientadora Amanda Castro Oliveira pela amizade, orientação, paciência e confiança. À minha coorientadora Stefânia Efigênia Izá pela amizade e por ser reflexo para mim de uma profissional competente e realizada. Ao amigo Antônio José de Lima Batista por compartilhar seus conhecimentos e contribuir para o êxito dessa pesquisa. A todos(as) meus(minhas) amigos(as) que torceram por mim ao longo desse caminhar. DEDICO
  5. 5. 5 AGRADECIMENTOS Aos meus pais João e Dalva por todo amor e carinho dados a mim, acreditando nos meus sonhos e dando todo o apoio nessa trajetória. Aos meus irmãos Eder e Lilian e meu cunhado Daniel por estarem sempre ao meu lado, serem exemplos e amigos. Aos meus sobrinhos Davi e Lívia por inundarem nossa família de alegria. À minha avó Terezinha que sempre teve grande consideração por mim e por ser uma mulher guerreira. À toda minha família por estarem sempre presentes. Às minhas orientadoras Amanda e Stefânia por depositarem confiança em mim e a esse trabalho e por serem amigas desde o primeiro momento que as conheci. Aos professores do Departamento de Ciências Exatas, em especial as professoras Ana Claudia Pereira, Sílvia Caporale e Rosana Mendes e ao professor José Antônio por proporcionarem inúmeras oportunidades e momentos formativos. Ao professor Ronei Ximenes Martins pelas contribuições feitas a esse trabalho. Aos integrantes do Grupo de Pesquisa “Relações entre filosofia e educação para a sexualidade na contemporaneidade: a problemática da formação docente” e em especial a professora Claudia Maria Ribeiro por ser uma pessoa especial no meu processo formativo. Aos amigos e amigas que conheci no CEFET-MG, em especial ao Isaac, Sandra, Camila e Thaís por todo esse tempo de amizade mesmo que separados. Às minhas amigas do Curso de Licenciatura em Matemática, em especial a Maria, Andreia e Marina por viverem comigo os momentos mais especiais. Ao grupo do PIBID da Matemática, em especial aos amigos e amigas Camila, Dayana, Simone, Rodrigo, Irís, Nilvana, Paola, Anderson, Lívia, Karine, Juliana, Daniela, Lorraini e Lilian e a professora Zilda Altomare pelos ricos momentos de formação. À galera do vôlei, Mônica, Thayna, Pedro, Válter, Luciana, Eryck, Imara, Marciel, Josilene e Náthaly pelos momentos divertidos que passamos juntos. Aos amigos e amigas do coração Antônio Lima, Jesimar, Rivaney Felix, Rodrigo Benta, Rodrigo Fisgo, Mateus Silva, Ullisses Vargas, Christianne Rocha, Mariane Pinheiro, Lismara e Wagner Souza por serem especiais em minha vida. Aos amigos e amigas de diversas partes do mundo que conheci no intercâmbio, em especial a Lariane dos Santos, Henrique, Herko, Almaa, Daniel, Ale Sanchez, Chris Töpfer, Kari, Sofie, Denise Sosa, Melisa, Elizabeth Martinez, Valeria Cazares, Anthony Darquey, Justine Couallier, Arnaud Nano e Brenda Hernandez por proporcionarem momentos re-copados.
  6. 6. 6 “Está pelo menos equivocado o educador matemático que não percebe que há muito mais na sua missão de educador do que ensinar a fazer continhas ou a resolver equações e problemas absolutamente artificiais, mesmo que, muitas vezes, tenha a aparência de estar se referindo a fatos reais” (D’AMBROSIO, 2005, p.46).
  7. 7. 7 RESUMO Percebendo a importância de se trabalhar nas aulas de Matemática, principalmente nas séries iniciais, com os diferentes tipos de cálculos aritméticos surge o desafio desse trabalho exposto pela pergunta diretriz: “Como utilizar Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para uma mudança de prática de ensino de cálculos aritméticos no ensino fundamental em uma perspectiva Construcionista?” Para responder tal questionamento o presente trabalho de conclusão de curso teve por objetivo: criar um Objeto de Aprendizagem (OA) na perspectiva Construcionista para ser utilizado no ensino de cálculos aritméticos (mentais, com calculadora, com algoritmo: exatos e aproximados). A abordagem metodológica alicerçou-se na pesquisa qualitativa e para a criação do Objeto de Aprendizagem foi utilizada a metodologia de concepção e desenvolvimento de aplicações educacionais. Ao final da pesquisa, como resultado e produto final, foi criada a PoliKalc: um OA para o ensino a aprendizagem de cálculos aritméticos. Através da trajetória de trabalho, pudemos perceber que é possível ensinar e aprender cálculos aritméticos com a mediação das TICs para a construção de saberes necessários à inclusão dos aprendizes na Sociedade de Informação. Para isso há que se ter materiais que auxiliem o professor no ensino desses conteúdos. Assim, a PoliKalc vem com o desafio de ser um desses materiais. Palavras-chave: Educação Matemática. Tecnologias de Informação e Comunicação. Ensino e aprendizagem de cálculos aritméticos. Objeto de Aprendizagem. PoliKalc.
  8. 8. 8 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Relações entre os cálculos segundo o NCTM............ 20 Figura 2 Espiral de Aprendizagem............................................ 35 Figura 3 Fases de Elaboração da PoliKalc................................ 38 Figura 4 Macroestrutura da PoliKalc........................................ 43 Figura 5 Interface tela inicial.....................................................44 Figura 6 Interfaces de alguns botões......................................... 45 Figura 7 Tipos de estrutura ...................................................... 45 Figura 8 Software para elaboração das imagens da PoliKalc...48 Figura 9 Protótipo da Kalc Exata.............................................. 49 Figura 10 Interface Kalc Exata................................................... 50 Figura 11 Bloco de Anotações.................................................... 53 Figura 12 Interface Kalc Quebrada............................................. 53 Figura 13 Interface Kalc Aproximada........................................ 56 Figura 14 Caixa de Aproximações..............................................57 Figura 15 Interface Kalc Mental................................................. 58
  9. 9. 9 LISTA DE QUADROS Quadro 1 Dimensões para criação de ambientes de aprendizagem versus PoliKalc.................................................................................. 32 Quadro 2 Conteúdos organizados na PoliKalc........................... 41 Quadro 3 Ações Realizadas pela calculadora no decorrer da operacionalização............................................................................... 51
  10. 10. 10 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ............................................................................ 11 2 As Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para o Ensino e a Aprendizagem de Matemática .............................................................. 14 3 O ensino e a aprendizagem de cálculos mentais, exatos, aproximados e com calculadora ..................................................................................... 21 3.1 Cálculo Mental: “Conta de cabeça” ou uma possibilidade para o início do ensino e da aprendizagem de cálculos na educação básica? ......... 22 3.2 Os Cálculos Exatos e Aproximados ............................................... 27 3.3 Cálculos com Calculadoras: (In)verdades e possibilidades para o ensino e a aprendizagem da Matemática .................................................... 27 4 PERCURSO METODOLÓGICO .................................................. 32 5 METODOLOGIA DE CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM (OA) .......................................................................... 34 5.1 As três primeiras fases de elaboração da PoliKalc: Concepção do Projeto, Planejamento e Implementação .................................................... 40 5.1.1 A Concepção do Projeto ................................................................ 42 5.1.2 O Planejamento ............................................................................. 45 5.1.3 A Implementação ............................................................................. 53 5.1.3.1 A Kalc Exata ................................................................................. 56 5.1.3.2 A Kalc Quebrada ........................................................................... 60 5.1.3.3 A Kalc Aproximada ....................................................................... 62 5.1.3.4 A Kalc Mental ............................................................................... 65 5.2 Quarta fase de elaboração da PoliKalc: Avaliação do Software ...... 70 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................... 73 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................... 75 ANEXOS .................................................................................................. 79
  11. 11. 11 1 INTRODUÇÃO A ideia da discussão sobre Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs), ensino de cálculos aritméticos e calculadoras em aulas de Matemática e posteriormente a criação de um software para o ensino e a aprendizagem de cálculos surgiu devido a dois momentos formativos vivenciados por mim1 na graduação. O primeiro se refere aos dois módulos do curso de extensão “A utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) no processo de formação docente de licenciados e professores que participavam do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID/Matemática)” que tinha por objetivo oferecer subsídios teórico-metodológicos, em função da formação de licenciandos e professores que participam do grupo PIBID/Matemática da UFLA, buscando a utilização das TICs nos processos de ensinar e aprender Matemática (MENDES, 2013, p.75). Esses módulos que ocorreram durante 2011 e 2012 nos proporcionaram questionamentos acerca das tecnologias para o ensino e a aprendizagem da Matemática, modificaram nossas concepções em relação as TICs e possibilitaram a experimentação de algumas dessas tecnologias em salas de aula do Ensino Fundamental em escolas públicas da cidade de Lavras - MG. O segundo momento formativo, que impulsionou a ideia de elaboração dessa pesquisa e da construção de um software, ocorreu durante 2012 e foi quando participei do Programa Institucional Voluntário de Iniciação Científica (PIVIC/UFLA) com a pesquisa “Fracasso Escolar em Matemática: Descobrindo Possibilidades de Superação”. Tal projeto teve como intuito pesquisar e entender os porquês dos estudantes, de um sexto ano de uma escola municipal da cidade de Lavras - 1 A primeira pessoa do singular, quando utilizada, refere-se ao pesquisador. Quando utilizada a terceira pessoa do plural refere-se ao pesquisador e suas orientadoras.
  12. 12. 12 MG, aparentemente não terem consolidado alguns conceitos e saberes matemáticos do campo aritmético. Seguimos o viés das pesquisas sobre fracasso escolar, afetividade e cognição no ensino e na aprendizagem da Matemática e os estudos sobre cálculo mental para entender tal problemática. Nas aulas de Matemática que acompanhei, os cálculos eram ensinados e avaliados exclusivamente na forma escrita e exata e os alunos chegaram ao 6º Ano com um saber tímido sobre estratégias para se calcular e estimar valores. Assim, nos deparamos com uma das possíveis situações que podem contribuir com o fracasso escolar em Matemática desses estudantes: A inexistência de estratégias de cálculo. Desses dois momentos de formação vivenciados e percebendo que, por diversos motivos, os professores não estavam ensinando os diferentes tipos de cálculos, dentre eles a falta de materiais voltados para o ensino e a aprendizagem de cálculos, passa a existir a ideia de conciliar tecnologia com ensino de cálculos aritméticos. Assim, surge a motivação de criação de um Objeto de Aprendizagem para o ensino de cálculos aritméticos: A PoliKalc. Deste modo, a pergunta que norteou nossas pesquisas, reflexões e discussões foi: “Como utilizar Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para uma mudança de prática de ensino de cálculos aritméticos no ensino fundamental em uma perspectiva Construcionista?” Para responder tal questionamento elencamos um objetivo: criar um Objeto de Aprendizagem (AO) na perspectiva Construcionista para ser utilizado no ensino de cálculos aritméticos (mentais, com calculadora, com algoritmo: exatos e aproximados). O presente relato foi organizado para descrever as etapas da pesquisa e concepção da PoliKalc. A seguir apresentaremos como essas etapas foram organizadas. No capítulo 2, “As Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para o Ensino e a Aprendizagem de Matemática”, para dar
  13. 13. 13 suporte para a criação do Objeto de Aprendizagem, discutiremos as tecnologias da Sociedade de Informação, apoiaremos e trataremos a ideia da existência de softwares livres, discutiremos quem são os sujeitos que se relacionam com as tecnologias e por fim compreenderemos como pode se dar a aprendizagem mediada com tecnologias. No Capítulo 3, “O ensino e a aprendizagem de cálculos mentais, exatos, aproximados e com calculadora”, abordaremos a importância do ensino e da aprendizagem dos diversos tipos de cálculos aritméticos, aclarando-os, e apontaremos como está acontecendo o ensino e a aprendizagem de cada tipo de cálculo aritmético. No Capítulo 4, “Percurso Metodológico”, dissertaremos sobre os caminhos escolhidos e percorridos na elaboração desse trabalho de conclusão de curso e no capítulo 5 “Metodologia de Criação de um Objeto de Aprendizagem (OA)” justificaremos o processo de criação da PoliKalc e entenderemos tal software. Este trabalho de conclusão de curso, vislumbra contribuir, criando um objeto de aprendizagem, com a perspectiva de entendimento de como os sujeitos aprendem imersos em uma sociedade que acorda com o despertar de celulares, passa o dia-a-dia em redes sociais, conectados, utiliza calculadoras para ir ao mercado e dorme ouvindo músicas nos seus MP3, 4, 5, 6... Boa Leitura.
  14. 14. 14 2 As Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para o Ensino e a Aprendizagem de Matemática Para compreendermos em qual contexto se inserirá o Objeto de Aprendizagem2 criado por nós, foi necessário entender a sociedade na qual será inserido, os sujeitos que os utilizarão e em qual perspectiva de ensino e aprendizagem da Matemática estará alicerçado. Assim, este capítulo foi pensado para que houvesse essas discussões que também deram suporte para criação do nosso objeto de aprendizagem. O termo tecnologia provém do grego e seu significado está intrinsecamente ligado ao conhecimento de uma técnica. No dicionário Houaiss Online3, tecnologia é a “teoria geral e/ou estudo sistemático sobre técnicas, processos, métodos, meios e instrumentos de um ou mais ofícios ou domínios da atividade humana”. Em diferentes momentos históricos, diversas técnicas foram criadas para responder às necessidades dos seres humanos. O conhecimento dessas técnicas e o ensino para os seus descendentes foi o que possibilitou o desenvolvimento de uma determinada sociedade. Para Ponte (2000, p. 64): Todas as épocas têm as suas técnicas próprias que se afirmam como produto e também como fator de mudança social. Assim, os utensílios de pedra, o domínio do fogo e a linguagem constituem as tecnologias fundamentais que, para muitos autores, estão indissociavelmente ligadas ao desenvolvimento da espécie humana há muitos milhares de anos. Deste modo, podemos dizer que apagadores, quadros-negros, lápis e outros instrumentos utilizados em salas de aula são tecnologias, mas de qual época? Da atual com certeza (BORBA; PENTEADO, 2003), pois são utilizadas no cotidiano pelos alunos e professores, mas estamos interessados nesse trabalho em discutir as mídias provenientes da atual e denominada 2 Trataremos adiante do significado do termo. 3 Dicionário disponível no endereço <http://200.241.192.6/cgi-bin/ houaissnetb.dll/frame>. Acessado em: 09 de Ago. de 2013.
  15. 15. 15 Sociedade de Informação4 que podem possibilitar o desenvolvimento de trabalhos em aulas de Matemática nas escolas. Assim, para que processos de aprendizagem, com aparatos tecnológicos da Sociedade de Informação, possam ocorrer faz-se necessário um ambiente apropriado. Este deve ter características construtivistas, por entender que o aluno é o centro de sua própria aprendizagem e, por se tratar da utilização de tecnologias, de aspectos construcionistas (PAPERT, 2008) por meio do qual o sujeito constrói conhecimentos usando a tecnologia. A teoria Construcionista está intimamente ligada ao Construtivismo tanto quanto seus teóricos principais. Jean Piaget (1896 - 1980) influenciou Seymour Papert (1928 - hoje) em sua teorização. A Epistemologia Genética Piagetiana5 tenta “explicar a forma como o conhecimento é adquirido pelo sujeito. Piaget nunca se preocupou com a transposição de suas teorias para a sala de aula” (ROSA, 2011, p. 15). Já Papert, que estudou com Piaget em Genebra na Suíça, teve tal preocupação e sua perspectiva “era considerar o uso da matemática para entender como as crianças podem aprender e pensar” (CAMPOS, 2008, p. 79). Assim, surge o Construcionismo que tem como ideia principal propor uma nova abordagem do uso de tecnologias na educação, tendo como: Principal fundamento a utilização do computador para a concretização das construções internas do indivíduo, que, consequentemente, torna-se matéria-prima para novas construções internas. Essas construções, por sua vez, geram novas concretizações. Sendo assim, esse movimento torna-se continuo entre o concreto e o abstrato (CAMPOS, 2008, p. 95) 4 Alguns autores entre eles Maltempi (2005) conceituam a sociedade atual como uma Sociedade do Conhecimento, já outros como Castells (2005), Ponte (2000), Mendes (2013) a denominam como Sociedade de Informação. Nesse trabalho utilizaremos a terminologia de Sociedade de Informação. 5 Teoria apresentada por Jean Piaget que objetiva entender a Gênese do Conhecimento, ou seja, os processos que acorrem com o sujeito e que possibilitam a construção do conhecimento.
  16. 16. 16 Deste modo, percebe-se que o uso, de computadores e calculadoras6, pode ser pensado e estar alinhado com a ideia de construção do conhecimento. Por outro lado, quem são os sujeitos que constroem esses conhecimentos? Em relação ao uso de tecnologias, Prensky (2001) propõe uma divisão das pessoas com base nas gerações tecnológicas e cunha os termos nativo digital e imigrante digital que expressam essa divisão. Com base em Prensky, Palfrey e Gasser (2011) utilizam o termo nativo digital para caracterizar os sujeitos nascidos, dentro da Sociedade de Informação na chamada era digital, após 1980 e os que não nasceram, mas estão imersos nessa sociedade, denominaram de imigrante digital. O sujeito considerado nativo digital possui algumas características, como: uma identidade virtual, pois passam a maior parte do tempo conectados através das redes sociais, blogs, jogos online, em meio às inovações tecnológicas. Nesses espaços socializam, se expressam criativamente e compartilham ideias e novidades. Desse modo, muitos nativos digitais não distinguem o online do offline (SANTOS et AL, 2001, p.15845). Deste modo, acreditamos que os nativos se interessam por meios de aprendizagens, com uso de tecnologias, por exemplo, que podem se distinguir da forma como o professor aprendeu. Palfrey e Gasser (2013, p.13) consideram que os imigrantes têm menos familiaridade com o meio digital. A intimidade dos nativos digitais com as inovações tecnologias é considerável quando comparada a dos imigrantes digitais. Há também o grupo de pessoas denominadas de “colonizadores digitais” (SANTOS et al., 2011) que se caracteriza por serem mais velhos, 6 Concordamos com a ideia de Van de Walle (2009, p.130) de que “o termo tecnologia no contexto de Matemática Escolar se refere principalmente às calculadoras de qualquer tipo e aos computadores, incluindo o acesso a internet e outros recursos disponíveis”, assim ao longo desse texto os termos computadores e calculadoras estarão se referindo a diversos tipos de tecnologias voltadas para o ensino de Matemática, dado que grande quantidade de tecnologias utilizadas nas escolas são disponibilizadas em computadores e calculadoras.
  17. 17. 17 também estarem conectados e contribuirem para o avanço tecnológico, mas interagem com a tecnologia de forma diversa dos nativos. Coloca-se nesse contexto as relações entre o professor, o saber e o aluno e deste modo, acreditamos que os professores necessitam atentar para seu papel enquanto educadores exposta por D’Ambrosio (2005, p. 45) quando argumenta que: Nossa missão de educadores tem como prioridade absoluta obter paz nas gerações futuras. Não podemos nos esquecer de que essas gerações viverão num ambiente multicultural, suas relações serão interculturais e seu dia-a-dia será impregnado de tecnologia. Acreditamos que essa impregnação tecnológica necessita ser levada em conta pelo educador matemático que, por sua vez, pode inserir em suas aulas tecnologias que se relacionem com a aprendizagem e o ensino de Matemática para que os estudantes entendam/façam Matemática tanto quanto dominem as tecnologias. Entendemos também que não são quaisquer tipos de softwares que podem ser inseridos em diversas escolas, por conta de seus preços. Assim, dentre as tecnologias disponíveis, acreditamos que a proposta do software livre pode possibilitar maior acesso de usuários às tecnologias de informação e comunicação. Software livre, por sua vez, se refere a “liberdade de usuários executarem, copiarem, distribuírem, estudarem, modificarem e aperfeiçoarem o software.” (PSL BRASIL, 2013). Isso quer dizer que os códigos fonte dos softwares são abertos, podendo assim, serem modificados por qualquer pessoa que entenda da linguagem de programação utilizada, além do usuário ou instituição (no nosso caso a escola) realizar as ações expostas acima. Nessa perspectiva, estamos de acordo com Borba e Penteado (2003, p.17) de que a inserção da informática e de outras mídias na educação deve ser justificada de duas formas: o direito ao acesso e a alfabetização
  18. 18. 18 tecnológica. O direito ao acesso, argumentam esses autores, pode ser visto como projeto social que tem por finalidade a democratização das tecnologias. Por outro lado O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. (BORBA; PENTEADO, 2003, p.17). Assim, nossa proposta de criação de um software livre está alinhada com o direito ao acesso e pode vir a ser utilizado para uma alfabetização tecnológica. Acreditamos que o software livre é um dos caminhos possíveis para a problemática da inserção de tecnologias nas escolas e quando defendemos isso estamos pensando nas possibilidades de instalação, copia e distribuição que tais softwares disponibilizam sem que nos esbarremos em direitos autorais e uso ilegal de programas. Assim nossa proposta de criação da PoliKalc vem no sentido de ser um software livre abrangendo as quatro liberdades (PSL BRASIL, 2013) do usuário desse tipo de software que são:  A liberdade de executar o programa para qualquer propósito;  Liberdade de estudar como o programa funciona, e adaptá-lo para as suas necessidades. Acesso ao código-fonte é um pré-requisito para esta liberdade;  A liberdade de redistribuir cópias de modo que você possa ajudar ao seu próximo;  E a liberdade de aperfeiçoar o programa, e liberar os seus aperfeiçoamentos, de modo que toda a comunidade se beneficie. Acesso ao código-fonte é um pré-requisito para esta liberdade;
  19. 19. 19 Outro ponto que nos fez querer que o código fosse aberto é a possibilidade de colaboração de outros programadores e pesquisadores interessados em dar suas contribuições para a PoliKalc, pois temos consciência de nossas próprias limitações tanto no que diz respeito as técnicas de programação como as limitações dos conhecimentos em relação ao ensino e a aprendizagem dos diversos tipos de cálculos. Deste modo, percebemos também a importância da inserção de tecnologia para a aprendizagem Matemática em sala de aula, observamos que o ensino da Matemática como o das outras ciências está sofrendo processos de transformação. Essas mudanças, sugeridas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs (BRASIL, 1998, p.43), apontam que: As tecnologias, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que exercem nos meios de produção e por suas conseqüências no cotidiano das pessoas. Nessa linha de raciocínio, os PCNs nos mostram a importância da tecnologia para os processos de ensino e aprendizagem da Matemática e enumeram quatro contribuições para se repensar tais processos, são elas:  Relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente;  Evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas;  Possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realização de projetos e atividades de investigação e exploração como parte fundamental de sua aprendizagem;  Permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo. (BRASIL, 1998, p.43). Desta forma e entendendo que “a humanidade está envolvida pela tecnologia” (SKOVSMOSE, 2001, p.77), defendemos que tecnologias devem ser formuladas/criadas para que possam auxiliar no ensino e na aprendizagem da Matemática em seus diferentes campos como a geometria, a álgebra e, no nosso foco de trabalho, os diversos tipos de cálculos
  20. 20. 20 aritméticos. Assim, no próximo capítulo discutiremos o ensino e a aprendizagem do nosso foco trabalho.
  21. 21. 21 3 O ensino e a aprendizagem de cálculos mentais, exatos, aproximados e com calculadora Algumas pesquisas (GOMES, 2007; MEGID, 2009) apontam a importância das construções de estratégias de cálculos para o desenvolvimento de conceitos matemáticos pelos estudantes. Outras (FONTES, 2010; GUIMARÃES; FREITAS, 1997; PARRA, 1996;) se concentram em analisar e refletir sobre o valor, o ensino e/ou a aprendizagem dos cálculos aritméticos nos anos iniciais do ensino fundamental. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1998) e em toda sua extensão é focalizado o papel basilar da compreensão e apropriação dos diversos tipos de cálculos - o mental e o escrito, com calculadora, o exato e o aproximado - em todos os anos do ensino fundamental. O NCTM (National Council of Teachers of Mathematics), por sua vez, elaborou um esquema (Figura 1) para a compreensão das relações entre os cálculos: Figura 1 Relações entre os Cálculos segundo NCTM (apud FONTES, 2010)
  22. 22. 22 Por meio do esquema apresentado, suponhamos que exista um problema a ser resolvido e para resolvê-lo um sujeito necessita fazer um cálculo. Dependendo do problema em questão faz-se uso de um cálculo exato ou aproximado. Se exato, pode-se utilizar estratégias de cálculo mental, algoritmo (utilizando-se da escrita) e/ou uso de calculadora/computador. Por outro lado, se o cálculo requerido for aproximado utiliza-se a estimativa por meio de algoritmo, cálculo mental ou a calculadora/computador. Neste contexto, percebe-se a necessidade de inserção nas salas de aulas de Matemática de práticas de ensino que integrem os cálculos, mas que também seja um projeto contínuo do professor de Matemática. Por outro lado, autoras como Parra (1996) e Fontes (2010) constataram que os cálculos nos anos iniciais são basicamente ensinados na forma escrita e exata por meio de algoritmos pré-estabelecidos, assim intervenções que se proponham a ampliar tais práticas como a defendida nessa pesquisa por meio da criação de um objeto de aprendizagem, contribuem para um novo entendimento em relação ao ensino e a aprendizagem de cálculos. Nesse capítulo pretendemos: caracterizar o ensino e a aprendizagem dos diversos tipos de cálculo (mental, com calculadora, com algoritmo: exatos ou aproximados) e justificar a importância da inserção e do ensino de diferentes estratégias de cálculo em aulas de Matemática utilizando as tecnologias de informação e comunicação. 3.1 Cálculo Mental: “Conta de cabeça” ou uma possibilidade para o início do ensino e da aprendizagem de cálculos na educação básica? À entrada do auditório, umas mocinhas da Universidade encarregam-se da venda dos livros de Torrente. Escolho uma meia dúzia deles e fico à espera de que me façam as contas e digam quanto tenho que
  23. 23. 23 pagar. Seis livros, seis parcelas de uma soma simples, nenhuma delas com mais de dois dígitos. A primeira tentativa falhou, a segunda não foi melhor. Eu olhava, assombrado, o modo como a rapariga ia somando, dizia sete mais seis, treze, e vai um, escrevia 3 na soma, 1 ao lado, e prosseguia, adicionando por escrito os que iam aos que estavam, como, nos velhos tempos, um estudante da primeira classe antes de aprender a usar a memória. Uma colega explicou-me com um sorriso envergonhado: “É que falta a máquina.” Diante daquela florida e ignorante juventude, senti-me, de súbito, infinitamente sábio em aritméticas: pedi o papel e o lápis e, com um ar de triunfo condescendente, rematei a soma num instante,mentalmente. As pobres pequenas ficaram esmagadas, confusas, como se, tendo-lhes faltado os fósforos no meio da selva, lhes tivesse aparecido um selvagem com dois pauzinhos secos e a arte de fazer lume sem calculadora. (SARAMAGO, 1997) Os primeiros indícios de introdução do cálculo mental nos currículos brasileiros datam de 1891 e são encontrados em documentos do Colégio Pedro II. Tal colégio era referência e modelo para outras escolas brasileiras até as primeiras três décadas do século XX7 e a concepção de educação estava direcionada para os exames preparatórios para os estudos superiores (GOMES, 2007). Passados mais de 100 anos, as concepções e o entendimento em relação ao cálculo mental não tiveram grandes mudanças. Quando nos referimos ao cálculo mental, uma das primeiras ideias que nos vem em mente é a ideia de “fazer conta de cabeça”. Tal pensamento não está errado, mas incompleto. Fontes (2010, p. 219), se referindo a concepção que alguns de seus sujeitos de pesquisa tinham em relação ao cálculo mental, afirma que: As crianças não precisam pensar em cálculo mental somente de cabeça, podem escrever as etapas do cálculo mental para registrar as etapas do seu pensamento, podem voltar e conferir como pensaram e mostrar esse caminho aos outros colegas. 7 Em 1931 surge a Reforma Francisco Campos que se torna parâmetro para as escolas da época.
  24. 24. 24 Outro ponto que necessita estar claro em relação ao cálculo mental é a corriqueira confusão existente quando um sujeito resolve uma operação utilizando um algoritmo 8 mentalmente, algumas vezes escrevendo até a conta armada no ar com os dedos das mãos. Essa ação não é considerada cálculo mental. Não existe também a dicotomia entre cálculo escrito e cálculo mental, uma vez que o cálculo mental pode ser realizado com o apoio de “lápis e papel”, assim: cada vez mais a criança poderá elaborar estratégias observáveis e passíveis de conferência, para torná-la cada vez mais independente desses objetos e aproximando-se cada vez mais do cálculo sem tais recursos concretos (FONTES, 2010, p.32). O cálculo mental algumas vezes é relacionado também com rapidez de resolução. Não necessariamente isso pode ocorrer. Essa concepção de rapidez se dá por entender que em situações cotidianas, como ir a um supermercado, o cálculo exigido mentalmente deve ser rápido e não exato. Assim, surge outro equivoco: a confusão entre cálculo mental e aproximado. Pode-se perceber pelo esquema do NCTM (Figura 1) que há sim uma relação entre os cálculos mentais e aproximados, bem como com o cálculo exato. Suponhamos a seguinte situação: “Pedrinho vai com sua mãe em uma feira no dia de domingo. Ela compra 5 tomates por R$ 3,00, 10 laranjas por R$ 5,00 e algumas peras por R$ 7,00. Depois disso, ela pede para Pedrinho fazer a conta de quanto ela deve pagar ao dono da banca de frutas”. Podemos observar por essa situação que uma das formas de resolução que poderia surgir seria Pedrinho somar os três valores, achando uma resposta exata. O cálculo mental entraria nessa situação a partir do 8 Entendemos por algoritmo “uma série finita de regras a serem aplicadas em uma ordem determinada a um número finito de dados para chegar com certeza (quer dizer, sem indeterminação ou ambiguidades) e em um número finito de etapas, a determinado resultado, e isso independentemente dos dados” (Bouvier, apud Parra (1996, p.189)).
  25. 25. 25 momento em que ele escolheria uma estratégia para encontrar a solução. Pedrinho poderia pensar o seguinte: Primeiramente somaria 7 com 3, encontrando R$10,00 e depois aumentaria 5, encontrando o resulta exato de R$ 15,00. Mas, se os preços fossem R$ 3,75, R$ 5,92 e R$ 7,05 respectivamente. Pedrinho poderia dar uma resposta exata utilizando estratégias de cálculo mental ou dar uma resposta aproximada utilizando ou não essas mesmas estratégias de cálculo mental. Assim, entendemos que uma definição única de cálculo mental se torna difícil de ser elaborada, como acredita Parra (1996, p.186) quando afirma que “‘cálculo mental’ é uma expressão que pode ter muitos significados, dividindo opiniões, provocando dúvidas e expectativas”. Mas, necessitamos nesse trabalho de uma conceituação sobre cálculo mental, possibilitando assim a criação de uma perspectiva didática9 . Assim, nos apoiamos nessa mesma autora quando cita que cálculo mental é: um conjunto de procedimentos em que, uma vez analisados os dados a serem tratados, estes se articulam, sem recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para obter resultados exatos ou aproximados (PARRA, 1996, p.189). Deste modo, continuando suas argumentações, Fontes (2010) e Parra (1996) ao longo de seus escritos nos mostram algumas vantagens da aprendizagem de estratégias de cálculo mental que indicamos a seguir:  As aprendizagens no campo do cálculo mental influem na capacidade de resolver problemas;  Aumento do conhecimento no campo numérico;  Habilita para uma maneira de construção do conhecimento que fornece uma melhor relação do aluno com a Matemática;  Aumenta a capacidade de iniciativa do aluno;  Desenvolve o pensamento flexível; 9 Parra (1996) argumenta que deve-se definir o significado de cálculo mental por uma finalidade prática, para que, a partir daí, possa-se tecer argumentos que justifiquem o ensino do cálculo mental na escola. Assim, necessita-se pautar uma nova perspectiva de ensino diferente da anterior, que focava-se em cálculos exatos e escritos. Tal perspectiva didática inclui o “fornecimento de orientações para o trabalho e a discussão entre professores, assim como sugestões para o tratamento do cálculo mental na aula” (PARRA, 1996, p. 187).
  26. 26. 26  Promove o sentido do número e a compreensão do sistema decimal;  Encoraja a criatividade;  Permite liberdade e flexibilidade na escolha do processo de solução e;  Amplia o conceito de valor posicional de número. Com o passar do tempo, enquanto as relações e o repertório de cálculo vão se expandindo surge espaço para a memorização. Assim, alguns cálculos como, por exemplo, 1 + 1 e 10x10 são rapidamente realizados por estarem memorizados. Esse processo proporciona o aprendizado de conceitos mais sofisticados e abstratos, fato que a aprendizagem apenas do algoritmo seja ela da divisão, subtração, multiplicação ou adição não proporcionam. Em relação aos algoritmos aprendidos na escola, Fontes (2010) acredita que deveriam ser ensinados pelos professores mais tardiamente. O algoritmo permite encontrar as soluções facilmente, mas podem dificultar o processo de compreensão das relações numéricas. Assim, Quando se ‘atropela’ a aprendizagem com o ensino de algoritmos antes do domínio do cálculo, não se trabalha sua lógica, somente sua sequência e regras e, por se tratar de um conhecimento não questionado, apenas memorizado, unilateral, pode bloquear o raciocínio, não permitindo que se realize o estabelecimento de relações, a principal característica do cálculo mental. (FONTES, 2010, p. 36) Portanto, esquecer ou inverter a ideia de que o ensino deve partir de onde o aluno está, pode comprometer a aprendizagem. Aproveitar a vivência que o estudante teve antes de chegar a idade escolar (LORENZATO, 2006) tanto quanto inseri-las em sala de aula oferecendo oportunidades “de resolver problemas em contextos práticos” (CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006, p. 82) pode ser um dos pontos para o ensino e a aprendizagem da Matemática com compreensão. No capítulo 5 mostraremos as estratégias de cálculo mental escolhidas para serem inseridas na PoliKalc.
  27. 27. 27 3.2 Os Cálculos Exatos e Aproximados Os cálculos exatos perpassam todos os anos escolares e são necessários em diferentes conteúdos da Matemática. São ensinados basicamente por meio de algoritmos e na forma escrita. Isso já não acontece com os cálculos aproximados, deixados de lado e julgados como um tipo de cálculo menor, que não tem utilidade. Em sociedade, ao contrário, os cálculos exatos, tanto quanto os aproximados têm diversas utilidades. Assim, é aconselhável que estejam nos mesmos patamares quando um professor planeja ensinar as operações básicas. Livros didáticos (IMENES; LELLIS, 2006; LOPES, 2006) abordam os diversos tipos de cálculo de maneira diferente de livros mais antigos. Imenes e Lellis (2006), por exemplo, em seus livros, de sexto ao nono ano, da coleção “Matemática para todos” traz os cálculos exatos e aproximados contextualizados juntamente com propostas de ensino utilizando calculadoras e o cálculo mental. Percebemos também por meio dos livros didáticos que a maneira de abordar e/ou inserir os cálculos ao longo do tempo sofre mudanças. Lopes (1994) em seu livro didático “Matemática Atual” da oitava série (hoje nono ano) não insere a calculadora como instrumento para aprendizagem de cálculos, 12 anos depois, Lopes (2006) na coleção “Matemática hoje é feita assim” aborda atividades voltadas para o uso da calculadora, bem como trata os outros tipos de cálculos (exatos e aproximados) de maneira contextualizada. 3.3 Cálculos com Calculadoras: (In)verdades e possibilidades para o ensino e a aprendizagem da Matemática
  28. 28. 28 O Rodrigo não entendia por que precisava aprender matemática, já que a sua minicalculadora faria todas as contas por ele, pelo resto da vida, e então a professora resolveu contar uma história. Contou a história do Supercomputador. Um dia disse a professora, todos os computadores do mundo serão unificados num único sistema, e o centro do sistema será em alguma cidade do Japão. Todas as casas do mundo, todos os lugares do mundo terão terminais do Supercomputador. As pessoas usarão o Supercomputador para compras, para recados, para reservas de avião, para consultas sentimentais. Para tudo. Ninguém mais precisará de relógios individuais, de livros ou de calculadoras portáteis. Não precisará mais nem estudar. Tudo que alguém quiser saber sobre qualquer coisa estará na memória do Supercomputador, ao alcance de qualquer um. Em milésimos de segundo a resposta à consulta estará na tela mais próxima. E haverá bilhões de telas espalhadas por onde o homem estiver, desde lavatórios públicos até estações espaciais. Bastará ao homem apertar um botão para ter a informação que quiser. Um dia, um garoto perguntará ao pai: _Pai, quanto é dois mais dois? _Não pergunte a mim – dirá o pai -, pergunte a Ele. E o garoto digitará os botões apropriados e num milésimo de segundo a resposta aparecerá na tela. E então o garoto dirá: _Como é que sei que a resposta é certa? _Porque Ele disse que é certa – responderá o pai. _E se Ele estiver errado? _Ele nunca erra. _ Mas se estiver? _Sempre podemos contar nos dedos. _O quê? _Contar nos dedos, como faziam os antigos. Levante dois dedos. Agora mais dois. Viu? Um, dois, três, quatro. O computador está certo. _Mas, pai, e 362 vezes 17? Não dá para contar nos dedos. A não ser reunindo muita gente e usando os dedos das mãos e dos pés. Como saber se a resposta d’Ele está certa? Aí o pai suspirou e disse: _Jamais saberemos... O Rodrigo gostou da história, mas disse que, quando ninguém mais soubesse matemática e não pudesse pôr o Computador à prova, então não faria diferença se o Computador estava certo ou não, já que a sua resposta seria a única disponível e, portanto, a certa, mesmo que estivesse errada, e... Aí foi a vez da professora suspirar. (VERÍSSIMO, 2001, p. 25) As calculadoras bem como outras tecnologias não podem ser observadas como as redentoras do ensino e da aprendizagem da Matemática,
  29. 29. 29 mas também não podem ser vistas como o mal que assola a aprendizagem dessa disciplina escolar. Dentro dos discursos existentes acerca dos malefícios dos cálculos com calculadoras em aulas de Matemática estão alguns que abordaremos e que entendemos que estão equivocados por se respaldarem em juízos/avaliações superficiais dessa tecnologia. Uma das primeiras ideias que surgem é que a calculadora impossibilitará o aprendizado dos conceitos de número, sistema decimal e suas operações. Mas, as (im)possibilidades do aprendizado desses conceitos vão muito além da utilização ou não dessa mídia. Se pensarmos que uma mídia influência/atrapalha no aprendizado de algum conceito, podemos fazer a mesma analogia para o lápis e o papel, justificando que tais materiais (que são tecnologias) são espécies de “muletas” para a construção de conhecimento. Mas isso não acontece, e concordamos também que: sempre há uma dada mídia envolvida na produção de conhecimento. Dessa forma, essa dependência sempre existirá e estará bastante relacionada ao contexto educacional em que nos encontremos. (BORBA; PENTEADO, 2003, P. 13). Van de Walle (2009, p.131) defende que é mais importante argumentar ou resolver problemas do que o desempenho nas tediosas operações a mão que não envolve o pensar e, assim deve-se ter em mente também que: a calculadora não opera por si mesma e que os alunos precisam decidir o que realizarão com o auxilio desse recurso e, assim, essa ferramenta não restringe a autonomia dos alunos em decidirem quais os procedimentos que adotarão para a resolução de determinado problema. (SELVA; BORBA, p.11, 2010) Deste modo, também é equivocado o argumento de que os estudantes ficariam dependentes das calculadoras e se tornariam preguiçosos na medida em que, dependendo do planejamento do professor, a calculadora se torna um instrumento no qual os estudantes podem interpretar dados,
  30. 30. 30 decidir a melhor maneira de resolver um problema e entender os resultados que aparecem no visor por exemplo. Para Van de Walle (2009) há também a concepção de que os estudantes “devem aprender o ‘modo real’ antes de usar calculadoras”. Mas, tal autor argumenta que, lápis, papel, regras e fórmulas para se calcular, que são considerados modos reais, contribuem pouco para a compreensão. Outro fator determinante é que as calculadoras são rotineiras no dia-a-dia, assim constituem um “modo real” e legítimo para se calcular. Os computadores e as calculadoras perpassam as atividades cotidianas das pessoas. Assim, “é importante não pensar em tecnologia como um fardo extra adicionado à lista de coisas que você – professor – já realiza em sua sala de aula” (VAN DE WALLE, 2009, p.130). Acreditamos que tais mídias devem estar a disposição de estudantes e professores quando forem necessárias, por entendermos que há benefícios a serem observados, tais como: a possibilidade de desenvolvimento de conceitos, trabalho com a exercitação, fortalecimento da resolução de problemas e economia de tempo. Em relação ao desenvolvimento de conceitos utilizando a calculadora, Van de Walle (2009, p. 131), cita um exemplo: Peguemos 796/42 = 18,95348. A tarefa consiste em determinar o resto inteiro dessa divisão. Assim acreditamos que, deste modo, o conceito de divisão está sendo desenvolvido e tal tarefa constitui-se um problema que pode ser resolvido de diferentes formas. A resolução de problemas por sua vez constitui a base do ensino de Matemática atualmente, pois “a maioria, senão todos, dos conceitos e procedimentos matemáticos podem ser ensinados melhor através da resolução de problemas” (VAN DE WALLE, 2009, p. 57). Todavia, existem alguns problemas que requerem cálculos que podem distrair a atenção do sujeito do significado do problema em questão. Assim, a calculadora se insere como material de apoio para a resolução do problema. Há também a possibilidade que reside em exercitar/treinar por meio da calculadora. Por exemplo, coloca-se 5 + 7 na calculadora. O exercício
  31. 31. 31 será apertar diversas vezes a tecla = acrescentando, a cada vez que pressionada, sete unidades. O objetivo é o sujeito descobrir qual será o resultado que aparecerá no visor antes de apertar a tecla de igualdade. Outra possibilidade é descobrir as funções das memórias M+, M- E MRC e planejar atividades a partir dessas funções. Ciente de todas essas possibilidades, Van de Walle (2009, p. 132) acredita que “as calculadoras devem estar nas escrivaninhas dos estudantes a toda hora desde a educação infantil até o ensino médio”. Mas, surgem impedimentos. Entre eles: A viabilidade, da pluralidade de estudantes e escolas brasileiras, de terem acesso a essa tecnologia e a formação dos professores para trabalharem com calculadoras. Deste modo, nosso OA, a PoliKalc, é um software que pode ser instalada nos computadores. Assim, todos os custos referentes aos aparatos físicos que compõem uma calculadora comum, na PoliKalc são inexistentes. Nos próximos capítulos será discutido a metodologia dessa pesquisa bem como a metodologia de construção de um objeto de aprendizagem.
  32. 32. 32 4 PERCURSO METODOLÓGICO Entendemos que esse trabalho de conclusão de curso está alicerçado em duas dimensões. Na dimensão de pesquisa o trabalho se organizou com abordagem qualitativa. No que se refere à forma de obtenção dos dados e compreensão do fenômeno estudado, no caso, o uso de TIC como vetor de mudança da prática de ensino de cálculo aritmético, utilizamos a pesquisa bibliográfica. Ela também foi utilizada como fonte para a construção dos conceitos chave do referencial teórico e para identificar referências que dessem base para a concepção da PoliKalc. Na dimensão de desenvolvimento tecnológico, para a construção da PoliKalc acrescentou-se a metodologia de construção/concepção de “Objetos de Aprendizagem/ Desenvolvimento de Aplicações Educacionais”. A metodologia de pesquisa qualitativa, por sua vez, foca o subjetivo, tenta entender os processos que se colocam em um determinado período não se atentando meramente em números, dados estatísticos ou mensurações. Bicudo (2010, p.106) acrescenta que: O qualitativo engloba a ideia do subjetivo, passível de expor sensações e opiniões. O significado atribuído a essa concepção de pesquisa também engloba noções a respeito de percepções de diferenças e semelhanças de aspectos comparáveis de experiência, como, por exemplo, da vermelhidão do vermelho, etc. Essa pesquisa, quando almeja reflexionar sobre tecnologias em aulas de matemática, cálculos, calculadora e a construir um software respalda-se no qualitativo no momento em que toda a discussão proveniente é subjetiva e que: envolve uma postura interpretativa e naturalística diante do mundo. Isso significa que os pesquisadores desse campo estudam as coisas em seus contextos naturais, tentando entender ou interpretar os fenômenos em termos dos sentidos que as pessoas lhes atribuem (FLICK, 2009, p.16).
  33. 33. 33 Outro ponto está presente no caráter temporal incluso na pesquisa: a atual sociedade da informação, mas que não objetiva o levantamento estatístico acerca das tecnologias em salas de aula ou a quantificação de professores que trabalham com cálculo mental em uma determinada localidade dentro dessa temporalidade, por exemplo. Para a criação PoliKalc, contamos com o pesquisador, suas duas orientadoras e os conhecimentos de um programador para que as ideias elaboradas pudessem sair do papel. Compreendemos que a união entre diferentes sujeitos com conhecimentos distintos foi o que possibilitou a construção da PoliKalc, o que não teria acontecido sem essa parceria. O pesquisador por sua vez teve o papel de transmitir as ideias, discutidas com suas orientadoras, para o programador poder elaborar o software. Após a elaboração do OA, o pesquisador se encarregou de descrever o software, bem como, reflexionar sobre seu desenvolvimento e sobre o ensino de cálculos aritméticos com tecnologias, mostrando algumas das possibilidades de uso.
  34. 34. 34 5 METODOLOGIA DE CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM (OA) O ensino de cálculos mentais, exatos e aproximados, quando existentes, se dá por meio de materiais concretos (ábacos, material dourado, etc.) ou na utilização de papel e lápis. A PoliKalc se insere nesse contexto com o desafio de entrelaçar tecnologia com o ensino de cálculos. Nesse sentido, entendemos que a criação de um material desse tipo requer uma metodologia para elaboração de Objetos de Aprendizagem (OA). O termo “Objeto de Aprendizagem” foi apresentado primeiramente por Wayne Hodgins em 1992. Por sua vez Wiley (2000) citado por Reis (2010, 24) define OA como sendo “qualquer recurso digital que pode ser reusado para dar suporte à aprendizagem.” Assim, encontramos um caminho ao estudar a dissertação de Reis (2010) que abordou o processo de construção de OA em Cálculo Diferencial e Integral durante uma atividade de design. Reis (2010, p.26) afirma que “em relação ao planejamento e à construção de Objetos de Aprendizagem não existe um modo que seja considerado ideal”. Complementa mostrando que são elaborados, em sua maioria, por equipes de trabalho interdisciplinares, contendo professores e licenciandos de diferentes áreas, programadores, designers, desenhistas, dentre outros. Durante o processo de criação do OA nos deparamos com a metodologia de “concepção e desenvolvimento de aplicações educacionais” 10 exposta por Amante e Morgado (2001) trazida na dissertação de Reis (2010) e percebemos que era a metodologia que utilizamos para a criação da PoliKalc. 10 Entendemos que a terminologia “Objeto de Aprendizagem” é mais ampla do que “Aplicação Educacional”. Nesse trabalho utilizaremos as duas formas para nos referirmos a PoliKalc.
  35. 35. 35 Segundo Reis (2010) mesmo com as diferentes dinâmicas de trabalho para a criação de um OA, alguns autores, entre eles Amante e Morgado (2001), delimitam fases para a criação de tais objetos. Assim, nos debruçamos no trabalho de Amante e Morgado (2001) para compreender a metodologia de implementação de software que estávamos utilizando, mas que não sabíamos de sua existência na literatura. Tais autoras sugerem quatro fases para a construção de aplicações educacionais: A Concepção do Projeto, a Planejamento, a Implementação e a Avaliação.11 Para a implementação da PoliKalc levamos em conta três aspectos fundamentadores que acreditamos ser relevantes na criação de softwares voltados para o ensino, são eles: O Construcionismo, A Espiral da Aprendizagem e a Aprendizagem Significativa. Em primeiro lugar, observamos as cinco dimensões do construcionismo e da criação de ambientes de aprendizagem utilizando tecnologias. Concordamos que um ambiente propício para aprendizagem exige muito mais do que o estudante e um computador/software e que: é preciso um ambiente acolhedor que propicie a motivação do aprendiz a continuar aprendendo, um ambiente que seja rico em materiais de referência, que incentive a discussão e a descoberta e que respeite as características específicas de cada um (MALTEMPI, 2004, p.266). Na elaboração da PoliKalc, entendemos que se tornou importante observar as cinco dimensões da criação de ambientes de aprendizagem construcionistas para que o software esteja em sintonia com o ambiente que deseja-se criar. As cinco dimensões trazidas por Papert, elucidadas na pesquisa de Maltempi (2004), são denominadas: dimensão pragmática, sintônica, sintática, semântica e social. No Quadro 1 segue as principais características de cada dimensão e como elas se relacionam com a PoliKalc. 11 As primeiras três fases serão detalhadas na seção 5.1 desse capítulo e a quarta fase na seção 5.2.
  36. 36. 36 Quadro 1 Dimensões para criação de ambientes de aprendizagem versus PoliKalc Dimensão Características Relação com a PoliKalc Pragmática Refere-se a sensação que o sujeito tem de estar aprendendo algo que pode ser utilizado de imediato e não em um futuro distante. Perceber que algo aprendido é útil. Traz uma sensação de praticidade e poder, incentivando a busca pelo saber. O aprendizado de cálculos é utilizado corriqueiramente em atividades do dia-a-dia, logo os aprendizados com a PoliKalc serão utilizados de imediato. Sintônica Está relacionada com o aprendizado contextualizado. Fortalece a relação aprendiz-objeto. Aprender cálculos exatos, aproximados, mentais com um objeto (calculadora) presente no meio social. A contextualização se dá por meio do planejamento de atividades com a PoliKalc. Sintática Possibilita ao sujeito o fácil acesso aos elementos básicos que compõem o ambiente de aprendizagem e progredir na manipulação desses. "O ideal seria que os materiais usados pudessem ser acessados sem nenhum pré-requisito e que também oferecessem um escopo de O software proposto foi pensado para ser de fácil manipulação, sua utilização tem poucos pré-requisitos e o desenvolvimento de conceitos por meio do software dependerá dos planejamentos que surgirem.
  37. 37. 37 desenvolvimento ilimitado" (p.267)12. Semântica "Refere-se à importância de o aprendiz manipular elementos que carregam significados que fazem sentido para ele, em vez de formalismos e símbolos” (p.268). A PoliKalc foi planejada com o intuito de ser um desses elementos que carregam significado no qual sua utilização preze pelo conhecer com compreensão. Social "Aborda a integração da atividade com as relações pessoais e com a cultura do ambiente no qual ela se encontra. O ideal é criar ambientes de aprendizagem que utilizem materiais valorizados culturalmente" (p.268) As calculadoras, softwares e computadores são elementos culturais da sociedade atual, sendo valorizados culturalmente. Assim, a PoliKalc vai ao encontro da dimensão social na criação de um ambiente de aprendizagem construcionista. Maltempi (2004) argumenta ainda que a ideia de construção de produtos está diretamente ligada ao Construcionismo. Ao construir produtos o sujeito pode mostrar os resultados a outras pessoas, explicitando as ideias que foram surgindo. Na Polikalc, o produto resultante dependerá dos planejamentos dos professores, e da manipulação das diferentes calculadoras, pois se tratando de um software a principio já programado o planejamento definirá o resultado de uma atividade. O segundo ponto fundamentador na elaboração da PoliKalc foi a espiral de aprendizagem (VALENTE, 1993). Valente denomina esse ciclo em seus trabalhos a partir de 2004. Quando se trabalha com tecnologias que 12 Citações extraídas de Maltempi (2004).
  38. 38. 38 tornam o sujeito construtor do seu próprio conhecimento a espiral de aprendizagem surge por meio da relação sujeito-software. O primeiro ciclo da espiral é definido por Valente (1993) como descrição-execução-reflexão-depuração. Corroboramos com a ideia de que softwares que possibilitam tal espiral fazem com que o sujeito se torne mais autônomo e ativo, assim tentamos fazer com que a PoliKalc, de certa forma, pudesse proporcionar uma espiral de aprendizagem. Na imagem (Figura 2) é representada a espiral de aprendizagem adaptada de Maltempi (2004). Figura 2 Espiral de Aprendizagem baseado em Maltempi (2004). A descrição é entendida como sendo a ação que o sujeito realiza no momento em que passa as suas ideias para o software. Na PoliKalc, essa ação dependerá de qual calculadora o sujeito estará utilizando e do planejamento do professor.
  39. 39. 39 O OA realiza então o segundo momento do ciclo, a execução dos comandos, mostrando na tela ou caixa de texto/diálogo, dependendo da calculadora, o resultado. Em seguida o sujeito faz uma reflexão sobre os dados mostrados pela PoliKalc partindo para uma comparação com o que havia planejado. Tomemos como exemplo a Kalc Mental: O sujeito digitou a operação 9 + 7 na calculadora. No momento em que apertar a tecla de igualdade é a vez da Kalc Mental executar os comandos. Suponhamos que a calculadora mostre o resultado 16 no visor, e na caixa de diálogo sugira uma solução onde se decomponha o 7 em 1 + 6, some primeiro 9 + 1 obtendo 10 e depois acrescente as 6 unidades restantes chegando ao valor de 16. O sujeito, na fase de reflexão, poderá questionar se não há outra estratégia de cálculo mental que possa ser utilizada ou que seria utilizada por ele. Há duas situações que podem ocorrer: A estratégia mostrada pela Kalc Mental foi a esperada pelo sujeito ou o resultado fornecido não corresponde ao esperado, assim o estudante necessita depurar a solução dada pela Kalc, identificando as possíveis falhas (se houver) partindo assim para um novo ciclo de descrição. Enfatizamos durante todo esse trabalho de conclusão de curso que dependerá, em certa medida, do planejamento do professor o êxito da PoliKalc. Temos consciência que não podemos prever as ideias de trabalho que podem surgir a partir do software. Deste modo, os exemplos dados ao longo dessa pesquisa são genéricos e não podem ser pensados como única maneira de utilização da calculadora, cabendo ao professor, mediador da aprendizagem, ter a motivação e criatividade de criar problemas e exercícios com a PoliKalc. Entendemos também que a aprendizagem construída por meio da PoliKalc pode ser significativa. Deste modo, o terceiro ponto que fundamenta a criação do OA em questão é o conceito de Aprendizagem Significativa.
  40. 40. 40 Fernandes (2013, p.2) argumenta que “pensada para o contexto escolar, a teoria de Ausubel leva em conta a história do sujeito e ressalta o papel dos docentes na proposição de situações que favoreçam a aprendizagem”. Concordamos que quando tratamos dos diferentes tipos de cálculos estamos recorrendo aos conhecimentos prévios dos estudantes. Suas experiências são necessárias para que, por exemplo, se crie estratégias para se calcular. Não é diferente quando propomos a utilização da PoliKalc para o ensino de cálculos aritméticos, pois estamos pensando em um sujeito que traz uma bagagem de conhecimentos que possibilita a construção de novos conceitos. Fernandes (2013) aponta ainda que há duas condições para que a aprendizagem significativa ocorra, são elas: o conteúdo a ser ensinado deve ser potencialmente revelador e o estudante precisa ter disposição para relacionar o material de maneira consistente e não arbitrária. Gostaríamos que essas ações ocorressem na utilização da PoliKalc, mas tais condições depende dos agentes envolvidos no processo de ensino e de aprendizagem. Abaixo mostramos as fases de elaboração do OA e como este se relaciona com os três pontos (aprendizagem significativa, Construcionismo e espiral de aprendizagem) fundamentadores elencados por nós. 5.1 As três primeiras fases de elaboração da PoliKalc: Concepção do Projeto, Planejamento e Implementação Para a construção da PoliKalc seguimos a metodologia de concepção de aplicações educativas definida por Amante e Morgado (2001). As referidas autoras dividem a elaboração de aplicações educativas em quatro
  41. 41. 41 fases: (1) Concepção do Projeto; (2) Planejamento13; (3) Implementação; (4) Avaliação. A primeira fase “Concepção do projeto” objetiva elaborar a ideia inicial definindo a aplicação que se deseja desenvolver. O “Planejamento” diz respeito a toda sistematização prévia de construção da aplicação/software, criando em muitos casos, o que as autoras denominam de “storyboard” ou “guião de autor”14. A terceira fase, “Implementação”, é a elaboração propriamente dita, utiliza-se do “guião” como ponto de partida. Por sua vez, a quarta fase, “Avaliação”, fixa-se na testagem do produto observando se o software apresenta as características técnicas, funcionais, didáticas e de design que foram imaginados que teria. A ilustração abaixo (Figura 3) mostra as quatro fases e suas subdivisões observadas na elaboração da PoliKalc. Trataremos de cada uma delas nos próximos itens. 13 Estamos utilizando o termo planejamento para designar o termo português planificação utilizado pelas autoras. 14 Storyboard ou guião do autor são termos utilizados para designar um guia detalhado para a elaboração de objetos de aprendizagem/aplicações educacionais. Termos também muito utilizados na industria cinematográfica.
  42. 42. 42 Figura 3 Fases de elaboração da PoliKalc 5.1.1 A Concepção do Projeto Amante e Morgado (2001) sugerem na primeira fase de Concepção de Projeto sete etapas: Ideia Inicial e Definição do Tema, Definição da Equipe, Delimitação dos Conteúdos, Especificação dos Objetivos Pedagógicos da Aplicação, Caracterização do Público Alvo, Definição do Tipo de Aplicação, Previsão dos Contextos ou Contextos de Utilização do Programa. Na primeira etapa as autoras identificam que deve deixar clara a ideia inicial, delimitar o tema da aplicação/software, indagar sobre a pertinência da elaboração da aplicação educacional sobre o assunto e analisar as reais possibilidades da sua concretização. Nossa ideia inicial foi delimitada na criação de um software que abrangesse o tema “Ensino de Cálculos Aritméticos”, assim decidimos por
  43. 43. 43 um Objeto de Aprendizagem que agregasse quatro calculadoras que denominamos de Kalc Exata, Aproximada, Quebrada e Mental. Indagamo-nos durante todo o processo sobre a pertinência de tal software e concordamos que, apesar de ter sido um desafio a conciliação de tecnologia com ensino de cálculos, a contribuição que pode vir a existir na utilização da PoliKalc é relevante e as reais possibilidades de concretização só puderam existir com a definição da equipe de trabalho, assim passamos para a segunda etapa da concepção do projeto: Definição da Equipe. A equipe em questão foi formada pelo pesquisador, sua orientadora, professora da UFLA e ligada a área de Educação Matemática, sua coorientadora professora de Matemática da educação básica e mestranda em Educação e um programador, formado em Ciência da Computação, que desenvolveu o software. A dinâmica de trabalho constituiu-se em discussões do pesquisador com as orientadoras sobre o software. Tais discussões e delineamentos eram discutidos com o programador observando as possibilidades de elaboração. Assim, o pesquisador durante o processo, fazia uma ponte entre os membros dessa pesquisa. A terceira fase se constituiu na delimitação dos conteúdos. Entendemos que a PoliKalc foi pensada objetivando principalmente os conteúdos ligados aos cálculos exatos, aproximados, mentais e com calculadora, mas concordamos que possibilitará trabalhos que visem o entendimento das operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) e do sistema de numeração decimal. A especificação dos objetivos pedagógicos da aplicação, quarta fase da elaboração do projeto, se concentra no ensino e na aprendizagem de cálculos. Alguns objetivos pedagógicos adjacentes foram observados por nós, como as questões éticas que devem estar presentes em um software pensadas em relação a multiplicidade de sujeitos que podem vir a utilizar a PoliKalc e a faixa etária dos possíveis usuários organizando assim, o design e a escrita de maneira compreensível e motivadora para tais sujeitos.
  44. 44. 44 Deste modo, tentamos caracterizar o público alvo, quinta fase da elaboração do projeto. O ensino de cálculos se concentra nos primeiros anos do ensino fundamental, assim pensamos em uma software voltado para sujeitos de uma faixa etária majoritariamente de 6 aos 13 anos de idade. Amante e Morgado (2001, p.131) colocam algumas perguntas para serem pensadas nessa caracterização:  Quais os conhecimentos já adquiridos sobre o assunto?  Quais os interesses/motivações do grupo?  Têm, ou não, familiaridade com a utilização do computador?  Que atitudes denotam face às novas tecnologias? e  Trata-se de um público homogêneo ou muito diferenciado? Entendemos que se trata de um público heterogêneo, não sabendo ao certo quais características os sujeitos, que se depararem com a PoliKalc, terão, nem sobre seus interesses, motivações e atitude perante novas tecnologias. Assim, chegamos a quinta fase da elaboração do projeto, Definição do tipo de Aplicação. Amante e Morgado (2001, p. 131) acreditam que “convêm desde logo concretizar o tipo de produto que se pretende desenvolver, sem prejuízo de redefinições posteriores”. Definimos como produto um Objeto de Aprendizagem que além de trazer informações sobre os cálculos, demonstra alguns procedimentos/métodos de cálculos mentais e aproximados, fornece uma interação sujeito-software através da caixa de texto/diálogo, provê um bloco de anotações possibilitando feedbacks para o professor e para o estudante e seu design está pensando para dar ludicidade ao trabalho. Por último, há de se prever o contexto em que o software estará inserido. Acreditamos que as escolas serão o contexto de maior preponderância na utilização da PoliKalc.
  45. 45. 45 5.1.2 O Planejamento Amante e Morgado (2001, p.132) argumentam que a: [...] segunda fase consubstancia-se na elaboração do storyboard. Trata-se agora de concretizar vários dos aspectos pensados na primeira fase através de um conjunto de procedimentos que conduzirão ao desenvolvimento do storyboard, instrumento fundamental não só na fase de Planejamento, como em todo o processo. Tal fase se constitui em cinco etapas, são elas: Seleção e Organização dos Conteúdos, Definição da Macroestrutura da Aplicação, Desenho da Interface15 (definição da estrutura e dos mecanismos básicos, definição dos mecanismos orientadores da navegação, definição do design básico dos “ecrãs”16), elaboração do storyboard, Discussão e Reajuste do Projeto. Na primeira etapa, Seleção e Organização dos Conteúdos, “é chegado o momento de serem definidos critérios de relevância e estabelecidos os limites sobre a quantidade de informações que os diferentes tópicos podem comportar” (AMANTE e MORGADO, 2001, p. 33). No Quadro 2 é mostrado o esquema elaborado para a definição dos conteúdos selecionados para cada tela da PoliKalc. Quadro 2 Conteúdos Organizados na PoliKalc Tela Textos Imagens Botões Imagem de um Panda apoiado em bambus descansando, Exata. Quebrada. Aproximada. 15 Tais autoras colocam a palavra Interface no masculino, nesse trabalho é utilizada no feminino seguindo as normas brasileiras de concordância nominal. 16 Grafia portuguesa para a palavra tela. Logo, lê-se “definição do design básico das telas”.
  46. 46. 46 Inicial Não há olhando para os botões da Calculadora. No canto superior escrito “PoliKalc”. Mental. Informações. Créditos. Kalc Exata Texto explicando o que é a Kalc Exata. Panda apontando para o quadro de textos com um pedaço de bambu. Quadro de texto em formato de bambu. Setas da caixa de texto. Casinha para voltar para tela inicial. Bloco de Anotações. Kalc Quebrada Texto explicando o que é a Kalc Quebrada. Panda apontando para o quadro de textos com um pedaço de bambu. Quadro de texto em formato de bambu. Setas da caixa de texto. Casinha para voltar para tela inicial. Quebrar teclas. Consertar teclas. Bloco de Anotações. Kalc Aproximada Texto explicando o que é a Kalc Aproximada. Aproximações feitas pelo software. Panda apontando para o quadro de textos com um pedaço de bambu. Quadro de texto em formato de bambu. Setas da caixa de texto. Casinha para voltar para tela inicial. Caixa de Aproximações. Bloco de Anotações. Kalc Mental Texto explicando o que é a Kalc Mental. Estratégias de cálculo mental Panda apontando para o quadro de textos com um pedaço de bambu. Quadro de texto em Setas da caixa de texto. Casinha para voltar para tela inicial. Bloco de
  47. 47. 47 feitas pelo software. formato de bambu. Anotações. Informações Textos explicando as calculadoras. Interfaces das telas. A PoliKalc. Kalc Exata. Kalc Quebrada. Kalc Aproximada. Kalc Mental. Créditos Informações sobre a equipe de trabalho. Desenvolvedores. A definição da Macroestrutura da aplicação, segunda etapa da Planejamento, se torna um elemento que objetiva dar uma visão de como as diferentes telas se relacionam e de como o software está pensado. Assim, para maior entendimento dos textos, imagens e botões (conteúdos selecionados e organizados), que foram sendo escolhidos para compor cada tela da PoliKalc, abaixo (Figura 4) segue o fluxograma17 da macroestrutura do software. 17 Amante e Morgado (2001) argumentam que os fluxogramas são amplamente utilizados para definir o esqueleto ou estrutura geral do software.
  48. 48. 48 Figura 4 Macroestrutura da PoliKalc A terceira etapa foi a definição das Interfaces da PoliKalc. Para Amante e Morgado (2001) essa fase é de importância fundamental e dela pode depender, em grande medida, a qualidade do objeto de aprendizagem. O interface é não só responsável pela estruturação do ambiente de aprendizagem, dado que define os acessos à informação, como pela relação que o sujeito estabelece com o programa – as suas características funcionais bem como as visuais podem, ou não, proporcionar uma relação de empatia com o programa (AMANTE; MORGADO, 2001, p.133). Tais autoras complementam que, em linhas gerais, as interfaces devem ser amigáveis e devem permitir a fácil interação do sujeito com o computador/software sem, contudo, necessitar de conhecimentos específicos para manipulá-lo. Mostraremos as interfaces das calculadoras quando estivermos explicando seus funcionamentos nas seção 5.1.3.1 a 5.1.3.4. Abaixo (Figura 5) encontra-se a interface da tela inicial da PoliKalc.
  49. 49. 49 Figura 5 Interface tela inicial. Por se tratar de um público alvo em sua grande maioria de crianças, pensamos em interfaces coloridas, de fácil manipulação. Concordamos também que “se as crianças realmente desejam aprender algo e têm a oportunidade de aprender com o uso, elas fazem mesmo quando o ensino é fraco” (PAPERT, 2008, p.135) e um software necessita ser pensado para que a criança queira usar e nesse sentido o cuidado nas escolhas das interfaces é primordial. Amante e Morgado (2001) elencam três elementos que devem ser pensados na elaboração de interfaces: Definição da estrutura e dos mecanismos básicos de navegação, Definição dos mecanismos orientadores da navegação e definição do design básico das telas. A definição da estrutura e dos mecanismos básicos se referem a Planejamento da estrutura de navegação e a criação dos botões e de como eles se relacionaram. O fluxograma (Figura 4) da macroestrutura da PoliKalc dá uma noção de como as calculadoras se relacionam por meio de botões do tipo voltar e avançar. O Quadro 2, por sua vez mostra quais os botões existentes em cada tela. Na ilustração abaixo (Figura 6) são mostradas as interfaces de alguns botões elaborados.
  50. 50. 50 Figura 6 Interfaces de alguns botões Em relação a estrutura de navegação, Amante e Morgado (2001) apontam em seus trabalhos os tipos existentes por meio do esquema abaixo (Figura 7).
  51. 51. 51 Figura 7 Tipos de estrutura trazidas por Amante e Morgado (2001) Entendemos que a estrutura da PoliKalc, como observado na figura 7, tem mais aspectos do tipo hierárquico, pois cada item se relaciona com outro em uma sequência ramificada com um núcleo central (tela inicial). Assim, passamos para a definição dos mecanismos orientadores da navegação e da definição do design básico das telas. Os mecanismos orientadores são os que possibilitam a identificação de qual tela o sujeito está utilizando em certo momento. Quando a estrutura é não linear e tem dimensões consideráveis esses mecanismos se tornam essenciais. Para a PoliKalc tais mecanismos não foram considerados por
  52. 52. 52 entendermos que não há grande quantidade de telas e subseções e suas dimensões não são grandes. Por último, pensando ainda nas interfaces, para a definição do design básico das telas, concebemos a princípio que o software deveria ter no mínimo 5 telas, uma para a tela inicial, que possibilitasse a navegação para as quatro demais telas, cada uma delas, referentes a uma das quatro calculadoras (Kalc Exata, Quebrada, Aproximada, Mental). No final da elaboração da PoliKalc surgiram mais algumas telas, como as dos blocos de anotações, de informação e de créditos. Das cinco etapas de Planejamento, chegamos à penúltima etapa denominada de elaboração do storyboard. Amante e Morgado (2001) argumentam que à medida que as etapas anteriores foram se concretizando foi-se coletando informações para a criação de um guia para a programação: o storyboard. Nesse trabalho, tanto a fase de Planejamento quanto as fases de concepção do projeto, implementação e avaliação não aconteceram em uma sucessão linear. À medida que planificávamos, estávamos concebendo de diferentes formas o projeto, implementando e avaliando o software constantemente. Deste modo, o storyboard da PoliKalc foi pensando quando as quatro fases estavam em andamento. Amante e Morgado (2001, p.138) sugestionam que, antes do início da implementação, o storyboard já deve estar feito e que: O storyboard é uma peça fundamental. A tentação de conceber no ecrã sem utilizar este recurso é grande [...]. Contudo, não é demais sublinhar que a elaboração do storyboard permite ganhar tempo muito tempo, pois antecipa problemas que de outro modo só surgiriam no decorrer da programação e que, para serem solucionados, implicariam refazer grande parte do trabalho. Além disso, quando se trabalha em equipes multidisciplinares para elaboração de objetos de aprendizagem/aplicações educacionais o
  53. 53. 53 storyboard se insere como ferramenta de diálogo entre os membros da equipe. Sendo assim, o storyboard da PoliKalc, elaborado e discutido em todo o processo com o programador da equipe, constitui-se primeiramente da explicação da perspectiva de trabalho de criação de um objeto de aprendizagem, tendo em vista as dimensões de criação de ambientes construcionistas, pensada também na espiral de aprendizagem. Em segundo lugar o storyboard conteve os esquemas elaborados sobre os conteúdos que seriam organizados na PoliKalc (Quadro 2) e da macroestrutura da PoliKalc (Figura 4). Amante e Morgado (2001) citam ainda que há storyboards complexos por meio dos quais são detalhadas ligações a estabelecer, redação final dos textos a incluir, decisões relativas à estrutura final da aplicação etc. Acreditamos que o storyboard da PoliKalc foi simples em comparação com de outros softwares, mas o diálogo entre os membros da equipe de trabalho deu-se durante todo o processo possibilitando o (re)planejamento constante do objeto de aprendizagem em questão, o que constituiu-se a quinta etapa da Planejamento: a discussão do projeto e seu reajustamento. Assim, chegamos a terceira fase de elaboração da PoliKalc: Implementação. 5.1.3 A Implementação A implementação teve início com a escolha do nome do software. Decidimos pela escolha do nome “PoliKalc”. O prefixo “Poli” refere-se a pluralidade/multiplicidade de calculadoras que tal software contempla. A palavra “Kalc”, por sua vez, faz alusão a palavra calculadora. A PoliKalc foi implementada na linguagem de programação Java, uma plataforma que não é livre, mas na qual o programador conhecia a linguagem. Tal linguagem permite ainda que a PoliKalc possa ser executada em diferentes Sistemas Operacionais, como Windows e Linux.
  54. 54. 54 As imagens presentes na PoliKalc foram feitas no software Inkscape (Figura 8). O Inkscape é um software livre, cuja principal finalidade é lidar com imagens vetoriais, não deixando que as imagens percam resolução ao sofrerem transformações de redimensionamento ou rotação e possibilita a construção de objetos com contornos bem definidos. Figura 8 Software para elaboração das imagens da PoliKalc Para colorir as imagens utilizamos o software livre GIMP (GNU Image Manipulation Program), porque sua manipulação para colorir figuras se tornou mais simples quando comparada ao Inkscape. Amante e Morgado (2001, p. 140) apontam que “depois de escolhida a ferramenta de programação a utilizar, iniciam-se as primeiras experiências de mediatização18”. Assim partimos para as duas etapas de implementação: (1) Elaboração de um Protótipo; (2) Desenvolvimento da Aplicação. Inicialmente fizemos um protótipo da Kalc Exata (Figura 9) para que pudéssemos ter estimativa de espaço, observar em quais locais os elementos e botões se encontrariam, escolher quais cores, tamanho e tipo dos caracteres seriam utilizados, experimentar efeitos etc. 18 Palavra portuguesa para midiatização.
  55. 55. 55 A princípio utilizamos uma imagem de robô encontrada na internet como personagem para o software. Mas, discutimos e chegamos a conclusão que, o software deveria ser totalmente original, para que não esbarrássemos em direitos autorais das imagens, quadros etc. Assim, concordamos em elaborar todos as imagens, botões e quadros que aparecessem na PoliKalc. Figura 9 Protótipo da Kalc Exata. O protótipo em questão pode ser comparado com a interface final da Kalc Exata (Figura 10). Feito o protótipo partimos para a segunda etapa de implementação que se constituiu do desenvolvimento da aplicação propriamente dita. Nas próximas seções é dissertado sobre o desenvolvimento das calculadoras da PoliKalc, mostrando suas interfaces e as ideias que foram surgindo para que se concretizasse um software para o ensino e a aprendizagem dos diferentes tipos de cálculo.
  56. 56. 56 5.1.3.1 A Kalc Exata Figura 10 Interface Kalc Exata A Kalc Exata foi planejada para ser uma calculadora comum, das habitualmente encontradas no dia-a-dia. Ela contém as teclas dos números de 0 a 9 e das quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão), além das teclas de memória (MRC, M+, M-). Na PoliKalc optamos por colocar as memórias aditiva (M+), subtrativa (M-) e a que retoma a memória e limpa (MRC – Memory Recall and Clear). Alguns autores, entre eles Lopes (1997), em suas pesquisas traz propostas de trabalho utilizando calculadoras e as teclas de memória para a aprendizagem de determinados conteúdos matemáticos.19 19 Não foi elencado como objetivo desse trabalho de conclusão de curso criar, abordar e/ou discutir atividades para o ensino e a aprendizagem de cálculos. Os exemplos de atividades/planejamentos são meramente ilustrativos para melhor explicação das funcionalidades das calculadoras da PoliKalc e são caminhos que podem ser seguidos na elaboração de alguma aula e que foram observados por nós na elaboração do software.
  57. 57. 57 Para melhor compreender como se dará um possível trabalho utilizando as teclas de memória tomemos o exemplo trazido por Lopes (1997). Há uma Liquidação e os preços de alguns produtos são: lápis – R$ 0,30 cada; bloco de papel – R$ 0,75 cada; calculadora – R$ 1,20 cada. Suponhamos que alguém necessite comprar 36 lápis, 15 blocos de papel e 18 calculadoras. Os cálculos necessários para encontrar o preço total a se pagar seriam: 36 x 0,30 + 15 x 0,75 + 18 x 1,20. Na resolução à mão, utilizando lápis e papel, Lopes (1997) expõe que há o costume de se fazer quatro operações: 36 x 0,30 que dará o valor gasto com os lápis, 15 x 0,75 valor gasto com os blocos de papel, 18 x 1,20 valor gasto com as calculadoras e por último a adição desses três valores encontrados para chegar ao preço total a ser pago. Utilizando a calculadora e as teclas de memória, tal operação se concentra em digitar a seguinte sequência de teclas: 36 x 0,30 = M+ 15 X 0,75 = M+ 18 x 1,20 = M+ MRC. Abaixo é representada no quadro, adaptada de Lopes (1997), as operações realizadas na/pela calculadora. Quadro 3 Ações realizadas pela calculadora no decorrer da operacionalização Tecla Visor Acumulado na memória O que a calculadora está fazendo 3 6 X 0 . 3 0 = M+ 1 5 3 36 36x 36x0 36x0. 36x0.3 36x0.30 10.8 0 1 15 0 0 0 0 0 0 0 0 10.8 10.8 10.8 Envia o valor registrado no visor para a memória
  58. 58. 58 X 0 . 7 5 = M+ 1 8 X 1 . 2 0 = M+ MRC 15x 15x0 15x0. 15x0.7 15x0.75 11.25 0 1 18 18x 18x1 18x1. 18x1.2 18x1.20 21.6 0 43.65 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 22.05 22.05 22.05 22.05 22.05 22.05 22.05 22.05 22.05 43.65 43.65 Soma o valor 11.25 registrado no visor com 10.8 da memória Soma 21.6 registrado no visor com 22.05 da memória e o MRC exibe o valor acumulado na memória O visor da PoliKalc comporta 12 posições para mostrar números e símbolos, enquanto calculadoras comuns comportam 8 posições e científicas ou financeiras comportam de 10 a 12 posições. A PoliKalc é uma calculadora que arredonda, ao contrário de algumas que truncam. Isso significa que se tentarmos obter o resultado da fração 1/6, pensando nela como a divisão de dois termos, encontraremos o resultado, de 12 posições, igual a 0.1666666667. Lopes (1997, p.3) acredita que tarefas que explorem a calculadora, investigando-a, possibilitam: [...] mergulhar os alunos (as) na introdução ou aprofundamento de conceitos ou procedimentos tais como: frações, números decimais, representações numéricas, ideias de operações, dízimas, aproximações, etc. Assim, um planejamento voltado a conhecer as funcionalidades básicas da calculadora pode ser significativo. Outro ponto presente na PoliKalc é o que chamamos de caixa de criação de problemas, que tem por
  59. 59. 59 objetivo possibilitar aos professores e alunos um espaço em que podem criar seus problemas para serem resolvidos utilizando uma das calculadoras, compartilhar com os estudantes e os estudantes compartilharem com seus colegas os problemas elaborados. Incluímos também em cada calculadora um bloco de anotações (Figura 11). Esse bloco foi pensado para que os estudantes registrem seus pensamentos e resoluções e para que o professor tenha um feedback da atividade que está sendo aplicada. Figura 11 Bloco de Anotações O bloco de anotações foi feito exclusivamente para a PoliKalc. Quando o estudante optar por salvar suas anotações, o software gerará um arquivo, no formato “.kalc”, que pode ser armazenado em qualquer pasta do computador. Quando o estudante ou o professor quiser retomar as anotações salvas terá que selecionar a opção “carregar anotações” e buscá-las na pasta do computador que foram salvas e então, a PoliKalc abrirá o arquivo.
  60. 60. 60 5.1.3.2 A Kalc Quebrada Figura 12 Interface Kalc Quebrada A Kalc Quebrada tem todas as funcionalidades presentes na Kalc Exata, com mais alguns incrementos e modificações. As cores de uma calculadora em relação a outra foram modificadas para que o software tenha cada tela com uma aparência diferente. Incluímos dois botões, um em formato de martelo e outro com formato de uma chave de boca. O primeiro botão tem a finalidade de quebrar as teclas da calculadora. Quando essa ação acontece a tecla que foi quebrada modifica-se e aparece trincada, inviabilizando sua utilização. Para que tal tecla possa ser novamente utilizada, usa-se o botão em formato de chave de boca que consertará a tecla que foi quebrada. O objetivo da Kalc Quebrada está ligado a compreensão do Sistema de Numeração Decimal, das operações básicas e das relações existentes entre elas. Para entendermos o funcionamento da Kalc Quebrada, trazemos um exemplo de atividade presente no trabalho de Fanizzi (2005) utilizando a ideia de uma calculadora quebrada.
  61. 61. 61 Suponhamos que se quebre a tecla 7 da Kalc Quebrada. Pensemos na operação 740 x 26 e em como essa operação poderá ser resolvida? Fanizzi (2005) nos mostra relatos de alguns de seus estudantes quando perguntados como resolveriam tal operação. Um deles resolve o que foi pedido da seguinte maneira: 740 = 640 + 100 → Cálculo mental 640 x 6 = 3840 → Calculadora 640 x 20 = 12800 → Calculadora 12800 + 3840 = 16640 → Calculadora 100 x 26 = 2600 → Cálculo Mental 16640 + 2600 = 19240 → Calculadora Atentemo-nos a perceber que a calculadora é utilizada em determinados passos, em outros é utilizado o cálculo mental, havendo assim, ligação entre os dois tipos de cálculo. Nesse caso a calculadora foi utilizada como elemento auxiliar para os cálculos mais robustos. Outro ponto a ser destacado é a utilização da decomposição dos números, em centenas, dezenas e unidades. Observe que o estudante decompõe 740 em 640 + 100, assim não precisará utilizar a tecla 7, que está quebrada, para a resolução da multiplicação. Fez o mesmo com o número 26, decompondo-o em 20 dezenas e 6 unidades. Para a resolução, o estudante utilizou a propriedade distributiva com os números decompostos e chegou ao resultado. Carraher, Carraher e Schliemann (2006) ao se referirem ao cálculo mental convertido na forma oral, identificaram dois procedimentos, que denominaram de heurísticas da decomposição e do agrupamento repetido. No fragmento acima, o estudante utiliza da heurística da decomposição que, entre suas utilidades, possibilita mostrar “o conhecimento que a criança tem sobre o sistema de numeração decimal” (CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006, p.59) e se caracteriza por ser um processo de:
  62. 62. 62 Resolução de problemas em que as crianças parecem buscar formas de arredondar os números porque os números redondos não apenas são relacionados ao conhecimento memorizado com maior facilidade [...], mas também porque eles ajudam a evitar a sobrecarga que ocorreria no processamento mental dos dados se a criança tivesse que operar simultaneamente sobre centenas, dezenas e unidades (ibidem, p.59). Outras atividades podem ser elaboradas a partir da Kalc Quebrada. Como por exemplo, quebrar uma quantidade maior de teclas e pedir aos estudantes que tentem encontrar alguns valores dados, utilizando apenas as teclas que restaram. As heurísticas de decomposição e agrupamento repetidos serão retomadas e abordadas na Kalc Mental. O Agrupamento repetido, por sua vez, é adequado para multiplicações e divisões. 5.1.3.3 A Kalc Aproximada Figura 13 Interface Kalc Aproximada Em muitas situações do dia-a-dia não é necessário conhecer o resultado exato de algumas operações aritméticas. Basta conhecer uma solução aproximada por meio de estimativas.
  63. 63. 63 A Kalc Aproximada permitirá ao professor elaborar atividades e aulas com foco no desenvolvimento de estratégias com os cálculos aproximados. A caixa de texto, que nas duas calculadoras anteriores se mantinha estática se torna na Kalc Aproximada e posteriormente na Kalc Mental uma caixa de diálogo. A partir do momento em que digita-se uma operação e aperta-se a tecla de igualdade, aparecerá o arredondamento que a calculadora está programada para fazer (dependendo da seleção de arredondamento feito pelo usuário). Por exemplo: Digita-se 23 x 19 na calculadora. Pensemos que no problema em questão não é necessário encontrar a resposta exata, somente a aproximada. A Kalc Aproximada, por sua vez, está programada para fazer arredondamentos, entre eles, um aonde os números 23 e 19 se transformam em 20 unidades, chegando ao resultado de 400. No visor dessa calculadora, aparecerá o resultado aproximado, e na caixa de diálogo aparecerá para quais números foram arredondados os números digitados inicialmente. Nessa calculadora, o estudante deverá habilitar na Caixa de Aproximações (Figura 14) o arredondamento que se deseja. Por exemplo, dada a operação aritmética 2345 + 234,45, o estudante poderá, ao selecionar uma opção na caixa, decidir se esses dois números serão arredondados em relação a unidade de milhar, a centena, a dezena, a unidade, aos décimos etc. Deste modo, as soluções variam de acordo com as escolhas feitas.
  64. 64. 64 Figura 14 Caixa de Aproximações Enfatizamos que as estimativas e os cálculos aproximados são importantes instrumentos para o cálculo mental. Além disso, segundo Coll e Teberosky (2000, p.114) existem características que fazem com que o cálculo aproximado se diferencie do cálculo exato, entre elas estão:  É realizado, em geral, mentalmente e de forma rápida. Há a substituição dos números por outros mais fáceis de calcular;  O resultado obtido não tem de ser o exato, mas suficientemente próximo a ele;  O resultado pode ser diferente dependendo da pessoa que realiza o cálculo estimado. Entendemos que quando o sujeito tem uma calculadora em mãos raramente irá fazer contas aproximadas, mas a Kalc Aproximada, elaborada por nós, foi pensada para fins didáticos. Assim, entendemos que a Kalc Aproximada, pode acarretar em desdobramentos que auxiliem o entendimento do cálculo aproximado e das estimativas, bem como vislumbra aclarar a importância desse tipo de cálculo no dia-a-dia.
  65. 65. 65 5.1.3.4 A Kalc Mental Figura 15 Interface Kalc Mental Nosso objetivo com essa calculadora, que denominamos de Kalc Mental, é permitir que existam trabalhos iniciais com o cálculo mental nas escolas. Temos em mente que as estratégias de cálculo mental variam de pessoa para pessoa, para que elas possam criar suas próprias estratégias entendemos que é importante que os aprendizes, principalmente nas séries iniciais, tenham ciência da existência de diferentes formas para resolver as operações. Deste modo, a Kalc Mental traz algumas das estratégias mais utilizadas e que foram encontradas nos trabalhos de Carraher, Carraher e Schliemann (2006) e Parra (1996). Quando o estudante digita uma operação na calculadora e aperta a tecla de igualdade aparecerá o resultado no visor e, na caixa de diálogo, aparecerão sugestões de estratégias mentais de resolução. O número de estratégias que aparecerão dependerá da operação utilizada. Alguns desafios surgiram na programação de tal calculadora, por exemplo: Como transformar estratégias de cálculo mental em algoritmos que possam ser reproduzidos por um software?Como a Kalc Mental reconhecerá
  66. 66. 66 qual estratégia conveniente a ser mostrada na caixa de diálogo? Quantas estratégias serão mostradas dentro da vasta variedade existente? Desses desafios, concordamos que o número de estratégias seria limitado e que deveríamos criar categorias nas quais diferentes estratégias estariam presentes. Assim, percebemos que as estratégias de cálculo mental divergem dependendo da operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão). Com isso, para a adição foram elencadas três estratégias de cálculo que a Kalc Mental mostraria no quadro de diálogo: Decomposição e Agrupamento (em centenas, dezenas, unidades e em seus múltiplos e submúltiplos), reagrupamento em torno de um dobro e reagrupamento em torno de 10, 100, 1000 etc. A primeira estratégia consiste em dois passos. Primeiramente a decomposição, que já foi abordada por nós na Kalc Quebrada, que na Kalc Mental aparece com o objetivo de reduzir Os números de tal forma que o problema passa a ter zeros em uma ou mais das casas do sistema de numeração. Pode-se obter esse resultado pela decomposição direta do número em dois componentes, um dos quais é um número redondo (por exemplo, 252 transforma-se em 200 e 52) (CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006, p.59). Assim, por exemplo, tomemos uma operação: 252 + 39. A Kalc Mental irá fazer a decomposição dos dois números (200 + 50 + 2) + (30 + 9). A calculadora foi programada para que dê a maior quantidade de números redondos possível. Após serem decompostos em centenas, dezenas, unidades e/ou em seus múltiplos e submúltiplos os números serão agrupados. O agrupamento, pensado para a Kalc Mental, foi proposital em dois sentidos, em primeiro lugar porque a programação se tornaria mais fácil e, em segundo lugar, porque é uma estratégia de agrupamento comumente encontrada nas resoluções dos estudantes (PARRA, 1996; FONTES, 2010; CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006).
  67. 67. 67 A Kalc Mental agrupa, no primeiro momento, dezenas com dezenas20, unidades com unidades e assim por diante. No exemplo citado a calculadora agrupará 50 + 30 = 80, 9 + 2 = 11 e colocará na linha de baixo da caixa de diálogo o 200 que não somou com nenhuma outra centena juntamente com os resultados parciais encontrados, 80 e 11. Após essas operações, aparecerá na caixa 200 + 80 + 11, possibilitando, para o estudante, a observação de que a adição, entendida como essas três parcelas, se torna, em certa medida, mais simples do que somar diretamente 252 + 39. Nas operações que envolvem adições, ainda aparecem na Kalc Mental outras duas estratégias de cálculo mental: O reagrupamento em torno de um dobro e o reagrupamento em torno de 10, 100, 1000 etc. Parra (1996, p.215) acredita que, além da utilização de resultados memorizados, pode-se resolver operações que envolvem somas por meio de operações mais simples de serem feitas: “Por exemplo, dispor dos pares de parcela que resultam em 10, permite aos alunos tratar diversos cálculos. Assim, para fazer 8 + 6 muitas crianças pensam em (8 + 2) + 4.” O reagrupamento em torno de 1, 10, 100 etc, consiste em encontrar parcelas que resultem em números da forma 10x, onde x pertence aos números inteiros. Por sua vez o reagrupamento em torno do dobro consiste em: Dado uma soma, por exemplo 7 + 8, pensa-se em (7 + 7) + 1. Assim, na Kalc Mental, quando a operação em questão consistir em adições, aparecerão essas três possibilidades de estratégias de cálculo mental. Para as operações que envolvam subtrações selecionamos três estratégias que foram incluídas na Kalc Mental, são elas: decomposição e agrupamento em unidades, dezenas, centenas etc, reagrupamento em torno de números redondos, arredondamento. 20 Quando nos referimos em adições de dezenas com dezenas, estamos pensando em quantidade de unidades, como os números 50 e 30, que podem converter-se em quantidades de dezenas inteiras, no caso 5 e 3 dezenas respectivamente.

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