Relaciones entre conjuntos

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Relaciones entre conjuntos

  1. 1. Relaciones entre conjuntosHay dos relaciones importantes que se tienen entre conjuntos: contenencia eigualdadDefinición: 1.2.1 Contenencia entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. A esunsubconjuntode Bsi cada elemento de A es un elemento de B. Si A essubconjunto de B escribimos . En símbolos tenemos que, si y solamente siCuando A es subconjunto de B se dice también que, A está contenido en B oque, B contiene a A. Ejemplo: El conjunto P de enteros pares es un subconjunto de los enteros. Es decir, En el sistema de los números reales se tienen las siguientes contenencias importantes:Si A no está contenido en, es decir, si hay un elemento que está en A y no estáen B, escribimos .Ejemplo: El conjunto R de números primos no está contenido en el conjunto M de números naturales impares. Es decirDe acuerdo a la definición de contenencia, cuando la implicación es verdadera. Utilizaremos este hecho en la demostración de lassiguientes propiedades sobre contenencia entre conjuntos.Teorema 1.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene que:(i)(ii)
  2. 2. (iii) Demostración: Como no tiene elementos, la proposición es falsa. Por lo tanto la implicación es verdadera 1. Puesto que todo elemento pertenece a U, la proposición es verdadera. Por lo tanto la implicación es verdadera 2. es verdadera3.Definición: 1.2.2 Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales sitienen los mismos elementos,es decir,Ejemplo:Cuando se quiere demostrar que A = B teniendo en cuenta la definiciónanterior, debemos probar que i) y ii) .Ilustraremos esta forma de mostrar la igualdad entre dos conjuntos en lademostración de las siguientes propiedades sobre igualdad entre conjuntos.Teorema 1.2.2 Dados A, B y C conjuntos, se tiene que: A =A. . .Demostración:(i) .Esto implica que: . .Ejercicio: Demostrar las partes (i) y (iii) del teorema anterior.
  3. 3. Negando la definición de igualdad entre conjuntos, deducimos que dosconjuntos no son iguales si no tienen los mismos elementos: 5Es decir,Ejemplo:Decimos que A es subconjunto propio de B si .Utilizamos la notación para indicar que A es subconjunto propio de B.Por ejemplo, .Contenencia e igualdad entre conjuntos definidos por comprensiónEn el caso que los conjuntos estén descritos por comprensión, las relacionesde contenencia e igualdad se pueden expresar en términos de los predicadosque definen los conjuntos.Sean,Como:Entonces,Por lo tanto,Como:
  4. 4. Entonces, .En otros términos,Por lo tanto,Ejemplo:

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