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Relaciones entre conjuntos

Hay dos relaciones importantes que se tienen entre conjuntos: contenencia e
igualdad

Definición: 1.2.1 Contenencia entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. A es
unsubconjuntode Bsi cada elemento de A es un elemento de B. Si A es
subconjunto de B escribimos         . En símbolos tenemos que,

                           si y solamente si

Cuando A es subconjunto de B se dice también que, A está contenido en B o
que, B contiene a A.

 Ejemplo:




       El conjunto P de enteros pares es un subconjunto de los enteros. Es
       decir,
       En el sistema de los números reales se tienen las siguientes
       contenencias importantes:

Si A no está contenido en, es decir, si hay un elemento que está en A y no está
en B, escribimos      .

Ejemplo:



       El conjunto R de números primos no está contenido en el conjunto M de
       números naturales impares. Es decir



De acuerdo a la definición de contenencia,      cuando la implicación
             es verdadera. Utilizaremos este hecho en la demostración de las
siguientes propiedades sobre contenencia entre conjuntos.

Teorema 1.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene que:

(i)

(ii)
(iii)

 Demostración:

        Como      no tiene elementos, la proposición    es falsa. Por lo tanto
        la implicación           es verdadera 1.
        Puesto que todo elemento pertenece a U, la proposición       es
        verdadera. Por lo tanto la implicación           es verdadera 2.
                      es verdadera3.

Definición: 1.2.2 Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si
tienen los mismos elementos,es decir,



Ejemplo:




Cuando se quiere demostrar que A = B teniendo en cuenta la definición
anterior, debemos probar que i)    y ii)     .

Ilustraremos esta forma de mostrar la igualdad entre dos conjuntos en la
demostración de las siguientes propiedades sobre igualdad entre conjuntos.

Teorema 1.2.2 Dados A, B y C conjuntos, se tiene que:

        A =A.
                              .
                                     .

Demostración:

(i)                          .

Esto implica que:

                .

                    .

Ejercicio:

        Demostrar las partes (i) y (iii) del teorema anterior.
Negando la definición de igualdad entre conjuntos, deducimos que dos
conjuntos no son iguales si no tienen los mismos elementos: 5



Es decir,




Ejemplo:




Decimos que A es subconjunto propio de B si                 .

Utilizamos la notación         para indicar que A es subconjunto propio de B.
Por ejemplo,               .

Contenencia e igualdad entre conjuntos definidos por comprensión

En el caso que los conjuntos estén descritos por comprensión, las relaciones
de contenencia e igualdad se pueden expresar en términos de los predicados
que definen los conjuntos.

Sean,




Como:



Entonces,



Por lo tanto,




Como:
Entonces,

                     .

En otros términos,



Por lo tanto,



Ejemplo:

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Relaciones entre conjuntos

  • 1. Relaciones entre conjuntos Hay dos relaciones importantes que se tienen entre conjuntos: contenencia e igualdad Definición: 1.2.1 Contenencia entre conjuntos. Sean A y B conjuntos. A es unsubconjuntode Bsi cada elemento de A es un elemento de B. Si A es subconjunto de B escribimos . En símbolos tenemos que, si y solamente si Cuando A es subconjunto de B se dice también que, A está contenido en B o que, B contiene a A. Ejemplo: El conjunto P de enteros pares es un subconjunto de los enteros. Es decir, En el sistema de los números reales se tienen las siguientes contenencias importantes: Si A no está contenido en, es decir, si hay un elemento que está en A y no está en B, escribimos . Ejemplo: El conjunto R de números primos no está contenido en el conjunto M de números naturales impares. Es decir De acuerdo a la definición de contenencia, cuando la implicación es verdadera. Utilizaremos este hecho en la demostración de las siguientes propiedades sobre contenencia entre conjuntos. Teorema 1.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene que: (i) (ii)
  • 2. (iii) Demostración: Como no tiene elementos, la proposición es falsa. Por lo tanto la implicación es verdadera 1. Puesto que todo elemento pertenece a U, la proposición es verdadera. Por lo tanto la implicación es verdadera 2. es verdadera3. Definición: 1.2.2 Igualdad entre conjuntos. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos,es decir, Ejemplo: Cuando se quiere demostrar que A = B teniendo en cuenta la definición anterior, debemos probar que i) y ii) . Ilustraremos esta forma de mostrar la igualdad entre dos conjuntos en la demostración de las siguientes propiedades sobre igualdad entre conjuntos. Teorema 1.2.2 Dados A, B y C conjuntos, se tiene que: A =A. . . Demostración: (i) . Esto implica que: . . Ejercicio: Demostrar las partes (i) y (iii) del teorema anterior.
  • 3. Negando la definición de igualdad entre conjuntos, deducimos que dos conjuntos no son iguales si no tienen los mismos elementos: 5 Es decir, Ejemplo: Decimos que A es subconjunto propio de B si . Utilizamos la notación para indicar que A es subconjunto propio de B. Por ejemplo, . Contenencia e igualdad entre conjuntos definidos por comprensión En el caso que los conjuntos estén descritos por comprensión, las relaciones de contenencia e igualdad se pueden expresar en términos de los predicados que definen los conjuntos. Sean, Como: Entonces, Por lo tanto, Como:
  • 4. Entonces, . En otros términos, Por lo tanto, Ejemplo: