SlideShare a Scribd company logo
1 of 10
Download to read offline
OKUL: İstanbul Atatürk Anadolu Lisesi

PROJE ADI: SONSUZA KADAR PİSAGOR

                                   PROJE RAPORU

Proje Adı: SONSUZA KADAR PİSAGOR


Projenin Amacı:

Bilinen bazı özel dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi
bağıntı olarak ifade etmek ve bulunan bağıntılarla da yeni özel dik üçgenlere
ulaşmak.



Giriş:

 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 gibi üçgenler geometri derslerinde ve
kitaplarında çok sık karşımıza çıkmaktadır. Bu dik üçgenlerle soru hazılanırken, işlem
kolaylığının yanısıra zaman kazancı da hedeflenmektedir. Bu üçgenlerdeki kenar
uzunlukları arasındaki ilişki nedir sorusunun zihnimizde oluşturduğu merak,
hazırladığımız projenin tohumlarının atılmasına sebep oldu. Dik kenarların ve
hipotenüsün uzunlukları arasındaki ilişkiler ile bunların ortak özellikleri incelenerek
proje oluşturuldu. Örneğin “8, 15, 17 üçgeni (3+5), (3.5), (3.5+2) olarak ifade
edilebilir mi?” ve “Bu bağıntı kullanılan özel üçgenin herhangi bir katı alındığı zaman
da sağlanır mı?” sorusunun cevabı aranmıştır. Ayrıca bu sorulara ek olarak “Diğer
özel dik üçgenlerde aynı bağıntı kullanılabilir mi, yeni özel dik üçgenleri bu yolla elde
etmek mümkün müdür?” sorularını da beraberinde getirmiştir.

Yöntem:

Yöntemimizin aşamaları aşağıdaki gibidir.

1. aşama: Bir dik üçgen çizilir.

2. aşama: Bilinen dik üçgenlerden herhangi birisinin dik kenar uzunlukları ve
hipotenüsü iki sayının toplamı veya birinin k katı ile diğerinin toplamı şeklinde yazılır.
Seçilmiş olan özel dik üçgenin katlarında da bu sayısal ilişkinin varolup olmadığı
kontrol edilir.

3. aşama: Ortaya çıkan bu uzunlukların pisagor teoremi yardımıyla eşitliğinin
sağlanıp sağlanmadığına bakılır.

4. aşama: Eğer eşitlik sağlanıyorsa farklı sayılarla eşitliğin sağlaması yapılmaya
devam edilir. Daha sonra dik kenar uzunlukları bir sayının x katı ve başka bir pozitif
tamsayının toplamı ile ifade edilirek genellenmiş olur. Eğer eşitlik sağlanmadıysa bu
işlem kenar uzunlukları farklı şekillerde ilişkilendirilerek ifade edilmeye çalışılırak ilk
aşamaya dönülür.




                                             1
a, b, m, n, x Z  ve            uN

1.durum:

Özel durum:




Ön koşul :
a  2.b        b  1
İspat :
 a  2.b    a.b  2          a.b  2 
          2                 2                   2



a 2  4.a.b  4b 2  a 2b 2  4.a.b  4  a 2b 2  4a.b  4
a 2  4.a.b  4b 2  0
 a  2.b   0
          2



 a  2.b   0
a  2.b

Genel durum:




Ön koşul :
a  x.b  b  1
İspat :
 a  x.b    a.b  x          a.b  x 
          2                 2                   2



a 2  2.a.b.x  x 2b 2  a 2b 2  2.a.b.x  x 2  a 2b 2  2.a.b.x  x 2
a 2  2.a.b.x  b 2 x 2  0
 a  x.b   0
          2



 a  x.b   0
a  x.b


                                                         2
Örnekler:
Özel durum:
b=3 alınırsa a=2b a=6 olur
 a  2.b    a.b  2   a.b  2
           2            2             2



6  2.32  6.3  22  6.3  22
122  162  202
400  20
           2


(3k,4k,5k         k=3)

b=2 alınırsa a=2.b a=4 olur
 a  2.b    a.b  2   a.b  2
           2            2             2



 4  2.2   4.2  2         4.2  2 
          2               2                   2



8   6  10
    2      2        2



400  20
             2


(3k,4k,5k         k=2)

b=5 alınırsa a=2.b a=10 olur
 a  2.b    a.b  2   a.b  2
           2            2             2



10  2.5  10.5  2            10.5  2 
              2               2                   2



 20   48   52
     2        2       2



2704   52 
              2


(5k,12k,13k         k=4)

Genel Durum:
b=2 ve x=1 alınırsa a=x.b a=2 olur
 a  x.b    a.b  x    a.b  x 
           2             2              2



2  1.22  2.2  12  2.2  12
42  32  52
25  5
         2


(3k,4k,5k         k=1)

b=5 ve x=3 alınırsa a=x.b a=15 olur
 a  x.b    a.b  x    a.b  x 
           2             2              2



15  3.52  15.5  32  15.5  32
302  722  782
900  30
            2


(5k,12k,13k         k=6)




                                                      3
b=7 ve x=1 alınırsa a=x.b a=7 olur
           a  x.b    a.b  x    a.b  x 
                     2             2              2



           7  1.7    7.7 1   7.7  1
                   2                  2               2



          14   48   50
                2       2        2



          2500   50 
                        2


          (7k,24k,25k            k=2)

          b=4 ve x=2 alınırsa a=x.b a=8 olur
           a  x.b    a.b  x    a.b  x 
                     2             2              2



          8  2.4  8.4  2  8.4  2 
                   2                  2                   2



          16   30   34
               2        2      2



          1156   34 
                        2


          (8k,15k,17k            k=2)


2.durum:

Özel durum:




Ön koşul :
a  3.b
İspat :
 a  3.b    3.a.b  1         3.a.b  1
           2                 2                    2



a 2  6.a.b  9b 2  9a 2b 2  6.a.b  1  9a 2b 2  6.a.b  1
a 2  6.a.b  9b 2  0
 a  3.b   0
           2



 a  3.b   0
a  3.b




                                                              4
Genel durum:




Ön koşul :
a  x.b
İspat :
 a  x.b    x.a.b  1         x.a.b  1
          2                  2                    2



a 2  2.a.b.x  x 2b 2  x 2 a 2b 2  2.a.b.x  1  x 2 a 2b 2  2.a.b.x  1
a 2  2.a.b.x  x 2b 2  0
 a  x.b   0
          2



 a  x.b   0
a  x.b

En genel durum:




Ön koşul :
m.a  n.b
İspat :
 m.a  n.b    m.a.n.b  1            m.a.n.b  1
              2                     2                      2



m 2 a 2  2.m.a.n.b  n 2b 2  m 2 a 2 .n 2b 2  2.m.a.n.b  1  m 2 a 2 .n 2b 2  2.m.a.n.b  1
m 2 a 2  2.m.a.n.b  n 2b 2  0
 m.a  n.b   0
              2



 m.a  n.b   0
m.a  n.b




                                                               5
Örnekler:
Özel durum:
b=1 alınırsa a=3.b a=3 olur
 a  3.b    3.a.b 1  3.a.b  1
           2             2              2



3  3.12  3.3.1  12  3.3.1  12
62  82  102
100  10
           2


(3k,4k,5k       k=2)

Genel Durum:
b=4 ve x=1 alınırsa a=x.b a=4 olur
 a  x.b    x.a.b 1   x.a.b  1
           2             2               2



4  1.42  1.4.4  12  1.4.4  12
82  152  172
289  17 
           2


(8k,15k,17k       k=1)

En genel durum:
b=1 , n=6 , m=3 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=2 olur
 m.a  n.b    m.a.n.b 1   m.a.n.b  1
             2               2                 2



3.2  6.12  3.2.6.1  12  3.2.6.1  12
122  352  372
1369  37
             2


(12k,35k,37k        k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)

b=3 , n=3 , m=9 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=1 olur
 m.a  n.b    m.a.n.b 1   m.a.n.b  1
             2               2                 2



 9.1  3.3   9.1.3.3 1         9.1.3.3  1
            2                  2                      2



18  80  82
      2      2         2



6724  82 
             2


(9k,40k,41k       k=2 yeni elde edilmiş özel üçgen)

b=2 , n=2 , m=4 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=1 olur
 m.a  n.b    m.a.n.b 1   m.a.n.b  1
             2               2                 2



 4.1  2.2   4.1.2.2 1         4.1.2.2  1
            2                  2                      2



8  15  17 
    2       2        2



289  17 
            2


(8k,15k,17k       k=1 )




                                                 6
3.durum:

Özel durum:




Ön koşul :
a b 1
İspat :
a  b        (a 2  b 2  1) 2   a 2  b 2 
          2                                         2



a 2  2.a.b  b 2  a 4  b 4  1  2  a 2b 2  a 2  b 2   a 4  2a 2b 2  b 4
a 2  2.a.b  b 2  1
  a  b   1
              2



a  b       1
          2


a b 1
a  b olduğu için                 a b 1

Genel durum:




Ön koşul :
a  b  x ( x tek sayı)
 u  (u  1)  x 2  2 u  1  x 2
                     ..
İspat :
 a  b    2.a.b  u            2.a.b  u  1
          2                   2                         2



a 2  2.a.b  b 2  4a 2b 2  4.a.b.u  u 2  4a 2b 2  u 2  1  2  2.a.b  u  2.a.b.u 
a 2  2.a.b  b 2  4.a.b  2.u  1
a 2  2.a.b  b 2  2.u  1
a  b        2.u  1
          2



x 2  2.u  1



                                                             7
Örnekler
     Özel Durum:
      a=5 ve b=4 olsun a  b  1
       a  b            (a 2  b2  1)2   a 2  b2 
                     2                                         2



      5  4             (52  42  1) 2   52  42 
                     2                                        2



      9        (40) 2   41
            2                          2



      1681   41
                               2


      (9k,40k,41k                    k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)

      a=6 ve b=5 olsun a  b  1
       a  b            (a 2  b2  1)2   a 2  b2 
                     2                                         2



       6  5            (62  52  1) 2   62  52 
                     2                                        2



      11           (60) 2   61
                2                          2



      3721   61
                               2


      (11k,60k,61k                    k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)

      Genel Durum:
      a  b  x ( x tek sayı)                          a=3 ve b=2 olsun 3-2=1=x(tek sayı)
      2u  1  x               2
                                   2u+1= 1         2
                                                        u=0 olur.
       a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1
                     2                         2                    2



      3  22  2.3.2  02  2.3.2  0  12
      52  122  132
      169  13
                  2


      (5k,12k,13k                    k=1)

      a  b  x ( x tek sayı)                          a=5 ve b=2 olsun 5-2=3=x(tek sayı)
      2u  1  x 2                 2u+1= 3 2           u=4 olur.
       a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1
                     2                         2                    2



      5  22  2.5.2  42  2.5.2  4  12
      72  242  252
      625  25
                  2


      (7k,24k,25k                   k=1)

      a  b  x ( x tek sayı)                          a=8 ve b=5 olsun 8-5=3=x(tek sayı)
      2u  1  x           2
                                   2u+1= 3         2
                                                       u=4 olur.
       a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1
                     2                         2                    2



      8  5   2.8.5  4   2.8.5  4  1
               2               2                   2



      13  84  85
           2         2        2



      7225  85
                     2


      (13k,84k,85k                    k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)

                                                                        8
4.durum:




Ön koşul :
a  b  x ( x çift sayı)
                   x2           x2
u  (u  2)           2u  2   x 2  4.u  4
                   2            2
İspat :
 a  b    a.b  u          a.b  u  2 
          2               2                       2



a 2  2.a.b  b 2  a 2b 2  2.a.b.u  u 2  a 2b 2  u 2  4  2  a.b.u  2.u  2.a.b 
a 2  2.a.b  b 2  4.u  4
a  b        4.u  4
          2



x 2  4.u  4

          Örnekler
          a  b  x ( x çift sayı) a=5 ve b=3 olsun 5-3=2=x(çift sayı)
          x2  4u  4 2 2  4u  4 u=0 olur
           a  b    a.b  u    a.b  u  2
                   2             2                 2



              5  32  5.3  02  5.3  0  22
              82  152  172
              289  17 
                          2


          (8k,15k,17k             k=1)

          a  b  x ( x çift sayı) a=8 ve b=2 olsun 8-2=6=x(çift sayı)
              x2  4u  4      6 2  4u  4           u=8 olur
           a  b    a.b  u    a.b  u  2
                     2               2                    2



          8  22  8.2  82  8.2  8  22
          102  242  262
          676  26
                       2


          (5k,12k,13k             k=2)

              a  b  x ( x çift sayı) a=3 ve b=1 olsun 3-1=2=x(çift sayı)
              x2  4u  4      22  4u  4            u=0 olur
           a  b    a.b  u    a.b  u  2
                     2               2                    2



           3  1   3.1  0  3.1  0  2 
                  2              2               2



           4    3   5 
               2       2       2



          25   5
                     2
                           (3k,4k,5k k=1)
                                                                 9
a  b  x ( x çift sayı) a=10 ve b=6 olsun 10-6=4=x(çift sayı)
       x2  4u  4   42  4u  4     u=3 olur
       a  b    a.b  u    a.b  u  2
             2            2                 2



      10  6  10.6  3  10.6  3  2
                2              2               2



      16   63   65
           2         2        2



      4225   65
                     2


      (16k,63k,65k       k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen)



Sonuçlar ve Tartışma:

Bulduğumuz bağıntılarda 3. ve 4. durumda verilen eşitlikler önceki bütün durumları
kapsamaktadır. Kenarlararası ilişkileri en genel biçimde ifade etmemiz gerekirse bu
iki eşitliğin daha kapsamlı olduğunu söyleyebiliriz. Tek basamaklı sayıların değişik
kombinasyonları kullanılarak daha fazla sayıda özel dik üçgen elde edilebilir. Fakat
sayılar büyükçe çıkan sonuçlar da büyük olduğundan bu oranların akılda kalması
zorlaşmaktadır. Ancak daha nitelikli sorular (yarışma soruları gibi) hazırlanacağı
zaman dik üçgenin kenar uzunlukları Z  olması isteniyorsa bu eşitliklerden
faydalanılabilir.
Projemizi inceleyerek bize görüşlerini bildiren Haliç Üniversitesi Öğretim Görevlisi
A. Burcu Özyurt Serim’e, Mimar Sinan Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Sezai Makas’a ve projemizi hazırlarken bize desteklerinden dolayı
okulumuz öğretmenlerine, Okul Müdürümüz Nureddin Turan’a, Müdür Başyardımcısı
İzzet Başyurt’ a, okulumuz 11 Fen/A sınıfına teşekkürlerimizi sunarız.


Kaynaklar:
GÜRLÜ, Ö., (2005), Meraklısına Geometri, Zambak Yayınları, İSTANBUL
MEB KOMİSYONU, (2006), Lise Geometri 1, Milli Eğitim Bakanlığı Yayınları,
ANKARA
KAPLAN E., (2008), Ortaöğretim Matematik 10 Ders Kitabı, Paşa Yayıncılık,
ANKARA




                                                   10

More Related Content

What's hot

Tarihi ve doğasıyla Muğla- PRESENTATION OF MUGLA
Tarihi ve doğasıyla Muğla- PRESENTATION OF MUGLATarihi ve doğasıyla Muğla- PRESENTATION OF MUGLA
Tarihi ve doğasıyla Muğla- PRESENTATION OF MUGLAMehmet Lök
 
Seda Alçay Şantiye Staj Defteri
Seda Alçay Şantiye Staj DefteriSeda Alçay Şantiye Staj Defteri
Seda Alçay Şantiye Staj DefteriStaj Defterim
 
inşaat mühendisliği şantiye staj defteri
inşaat mühendisliği şantiye staj defteriinşaat mühendisliği şantiye staj defteri
inşaat mühendisliği şantiye staj defteriStaj Defterim
 
İnşaat Sektöründe Proje Planlama ve Yönetim
İnşaat Sektöründe Proje Planlama ve Yönetimİnşaat Sektöründe Proje Planlama ve Yönetim
İnşaat Sektöründe Proje Planlama ve YönetimYusuf Yıldız
 
Silindirle Sıkıştırılmış Beton Baraj Uygulamalari
Silindirle Sıkıştırılmış Beton Baraj UygulamalariSilindirle Sıkıştırılmış Beton Baraj Uygulamalari
Silindirle Sıkıştırılmış Beton Baraj UygulamalariOncu Polat
 
Çelik Yapılarda Kaynaklı Birleşimler
Çelik Yapılarda Kaynaklı BirleşimlerÇelik Yapılarda Kaynaklı Birleşimler
Çelik Yapılarda Kaynaklı BirleşimlerYusuf Yıldız
 
Sıvı Volüm Eksikliği Sunum
Sıvı Volüm Eksikliği SunumSıvı Volüm Eksikliği Sunum
Sıvı Volüm Eksikliği Sunumnandacepte.org
 
Staj Defterim-2013/1
Staj Defterim-2013/1Staj Defterim-2013/1
Staj Defterim-2013/1Erol BALABAN
 
e-kütüphane projesi
e-kütüphane projesie-kütüphane projesi
e-kütüphane projesicgoze
 
Chp nin sattığı fabrikalar kurumlar
Chp nin sattığı fabrikalar kurumlarChp nin sattığı fabrikalar kurumlar
Chp nin sattığı fabrikalar kurumlarMestanDemir
 
XYZ Kahve Firması Sosyal Medya Pazarlama Planı
XYZ Kahve Firması Sosyal Medya Pazarlama PlanıXYZ Kahve Firması Sosyal Medya Pazarlama Planı
XYZ Kahve Firması Sosyal Medya Pazarlama PlanıMurat Yaman
 
Vestel
VestelVestel
Vestelfeyaz
 
Makine Mühendisliği Staj Defteri - Mustafa Vural
Makine Mühendisliği Staj Defteri - Mustafa VuralMakine Mühendisliği Staj Defteri - Mustafa Vural
Makine Mühendisliği Staj Defteri - Mustafa VuralStaj Defterim
 
Kaynak sembolleri
Kaynak sembolleriKaynak sembolleri
Kaynak sembollerianiltemiz
 
Kurumsal Sosyal Sorumluluk Projeleri ve Sosyal Medya
Kurumsal Sosyal Sorumluluk Projeleri ve Sosyal MedyaKurumsal Sosyal Sorumluluk Projeleri ve Sosyal Medya
Kurumsal Sosyal Sorumluluk Projeleri ve Sosyal MedyaSocial Media Week Istanbul
 
Burger kıng slayt güneş alp
Burger kıng slayt güneş alpBurger kıng slayt güneş alp
Burger kıng slayt güneş alpGüneş Alp
 

What's hot (20)

Tarihi ve doğasıyla Muğla- PRESENTATION OF MUGLA
Tarihi ve doğasıyla Muğla- PRESENTATION OF MUGLATarihi ve doğasıyla Muğla- PRESENTATION OF MUGLA
Tarihi ve doğasıyla Muğla- PRESENTATION OF MUGLA
 
Seda Alçay Şantiye Staj Defteri
Seda Alçay Şantiye Staj DefteriSeda Alçay Şantiye Staj Defteri
Seda Alçay Şantiye Staj Defteri
 
inşaat mühendisliği şantiye staj defteri
inşaat mühendisliği şantiye staj defteriinşaat mühendisliği şantiye staj defteri
inşaat mühendisliği şantiye staj defteri
 
Talaşlı imalat
Talaşlı imalatTalaşlı imalat
Talaşlı imalat
 
İnşaat Sektöründe Proje Planlama ve Yönetim
İnşaat Sektöründe Proje Planlama ve Yönetimİnşaat Sektöründe Proje Planlama ve Yönetim
İnşaat Sektöründe Proje Planlama ve Yönetim
 
Silindirle Sıkıştırılmış Beton Baraj Uygulamalari
Silindirle Sıkıştırılmış Beton Baraj UygulamalariSilindirle Sıkıştırılmış Beton Baraj Uygulamalari
Silindirle Sıkıştırılmış Beton Baraj Uygulamalari
 
Çelik Yapılarda Kaynaklı Birleşimler
Çelik Yapılarda Kaynaklı BirleşimlerÇelik Yapılarda Kaynaklı Birleşimler
Çelik Yapılarda Kaynaklı Birleşimler
 
Anksiyete-Sunum
Anksiyete-SunumAnksiyete-Sunum
Anksiyete-Sunum
 
Teknik Rapor Nasıl Yazılır?
Teknik Rapor Nasıl Yazılır?Teknik Rapor Nasıl Yazılır?
Teknik Rapor Nasıl Yazılır?
 
Yonetim ve-organizasyon-hafta-1
Yonetim ve-organizasyon-hafta-1Yonetim ve-organizasyon-hafta-1
Yonetim ve-organizasyon-hafta-1
 
Sıvı Volüm Eksikliği Sunum
Sıvı Volüm Eksikliği SunumSıvı Volüm Eksikliği Sunum
Sıvı Volüm Eksikliği Sunum
 
Staj Defterim-2013/1
Staj Defterim-2013/1Staj Defterim-2013/1
Staj Defterim-2013/1
 
e-kütüphane projesi
e-kütüphane projesie-kütüphane projesi
e-kütüphane projesi
 
Chp nin sattığı fabrikalar kurumlar
Chp nin sattığı fabrikalar kurumlarChp nin sattığı fabrikalar kurumlar
Chp nin sattığı fabrikalar kurumlar
 
XYZ Kahve Firması Sosyal Medya Pazarlama Planı
XYZ Kahve Firması Sosyal Medya Pazarlama PlanıXYZ Kahve Firması Sosyal Medya Pazarlama Planı
XYZ Kahve Firması Sosyal Medya Pazarlama Planı
 
Vestel
VestelVestel
Vestel
 
Makine Mühendisliği Staj Defteri - Mustafa Vural
Makine Mühendisliği Staj Defteri - Mustafa VuralMakine Mühendisliği Staj Defteri - Mustafa Vural
Makine Mühendisliği Staj Defteri - Mustafa Vural
 
Kaynak sembolleri
Kaynak sembolleriKaynak sembolleri
Kaynak sembolleri
 
Kurumsal Sosyal Sorumluluk Projeleri ve Sosyal Medya
Kurumsal Sosyal Sorumluluk Projeleri ve Sosyal MedyaKurumsal Sosyal Sorumluluk Projeleri ve Sosyal Medya
Kurumsal Sosyal Sorumluluk Projeleri ve Sosyal Medya
 
Burger kıng slayt güneş alp
Burger kıng slayt güneş alpBurger kıng slayt güneş alp
Burger kıng slayt güneş alp
 

Viewers also liked

Sosyal Medya Proje Dosyası (Örnek) - Social Media Project File (Example)
Sosyal Medya Proje Dosyası (Örnek) - Social Media Project File (Example)Sosyal Medya Proje Dosyası (Örnek) - Social Media Project File (Example)
Sosyal Medya Proje Dosyası (Örnek) - Social Media Project File (Example)Volkan Çelik
 
Nöroloji Hasta Raporu Örneği
Nöroloji Hasta Raporu ÖrneğiNöroloji Hasta Raporu Örneği
Nöroloji Hasta Raporu ÖrneğiOlgu Çınar
 
üRetim yönetimi proje ödevi
üRetim yönetimi proje ödeviüRetim yönetimi proje ödevi
üRetim yönetimi proje ödeviHabip TAYLAN
 
Proje hazırlama dersi ödevi
Proje hazırlama dersi ödeviProje hazırlama dersi ödevi
Proje hazırlama dersi ödeviNalan Özcan
 
Proje Nasıl Hazırlanır?
Proje Nasıl Hazırlanır?Proje Nasıl Hazırlanır?
Proje Nasıl Hazırlanır?ergungur
 
Okul otomasyon rapor
Okul otomasyon raporOkul otomasyon rapor
Okul otomasyon raporEnes Caglar
 
Sosyal Medyada Marka Yönetimi
Sosyal Medyada Marka YönetimiSosyal Medyada Marka Yönetimi
Sosyal Medyada Marka Yönetimilaraab
 
Yeditepe Universitesi Yuksek Lisans Medya Planlama Proje Odevi
Yeditepe Universitesi Yuksek Lisans Medya Planlama Proje OdeviYeditepe Universitesi Yuksek Lisans Medya Planlama Proje Odevi
Yeditepe Universitesi Yuksek Lisans Medya Planlama Proje OdeviCagan Caglar
 
Teknogirişim sermayesi desteği örnek ön başvuru dosyası
Teknogirişim sermayesi desteği örnek ön başvuru dosyasıTeknogirişim sermayesi desteği örnek ön başvuru dosyası
Teknogirişim sermayesi desteği örnek ön başvuru dosyasıKapsam Denetim
 
Teknogirişim sermayesi desteği i̇ş planı hazırlama eğitimi
Teknogirişim sermayesi desteği i̇ş planı hazırlama eğitimiTeknogirişim sermayesi desteği i̇ş planı hazırlama eğitimi
Teknogirişim sermayesi desteği i̇ş planı hazırlama eğitimiKapsam Denetim
 
1512 bireysel aşamalı destek programı
1512 bireysel aşamalı destek programı1512 bireysel aşamalı destek programı
1512 bireysel aşamalı destek programıKapsam Denetim
 
Workattack Trend Raporu Mayıs 2016
Workattack Trend Raporu Mayıs 2016 Workattack Trend Raporu Mayıs 2016
Workattack Trend Raporu Mayıs 2016 Workattack
 
Prof.dr. halit hami oz 05-sağlık kurumlarında bilgi sistemi-sağlık kayıtların...
Prof.dr. halit hami oz 05-sağlık kurumlarında bilgi sistemi-sağlık kayıtların...Prof.dr. halit hami oz 05-sağlık kurumlarında bilgi sistemi-sağlık kayıtların...
Prof.dr. halit hami oz 05-sağlık kurumlarında bilgi sistemi-sağlık kayıtların...Prof. Dr. Halit Hami Öz
 
2016 OTOMOTİV SANAYİ RAPORU
2016 OTOMOTİV SANAYİ RAPORU2016 OTOMOTİV SANAYİ RAPORU
2016 OTOMOTİV SANAYİ RAPORUSunumo
 
Solarux Yoğunlaştırılmış Güneş Enerjisi Sistemi GES
Solarux Yoğunlaştırılmış Güneş Enerjisi  Sistemi GESSolarux Yoğunlaştırılmış Güneş Enerjisi  Sistemi GES
Solarux Yoğunlaştırılmış Güneş Enerjisi Sistemi GESBağımsız çalışan
 
3 proje oluşturma ve yönetme
3 proje oluşturma ve yönetme3 proje oluşturma ve yönetme
3 proje oluşturma ve yönetmefatma_ela
 

Viewers also liked (20)

Sosyal Medya Proje Dosyası (Örnek) - Social Media Project File (Example)
Sosyal Medya Proje Dosyası (Örnek) - Social Media Project File (Example)Sosyal Medya Proje Dosyası (Örnek) - Social Media Project File (Example)
Sosyal Medya Proje Dosyası (Örnek) - Social Media Project File (Example)
 
Gayrimenkul Değerleme Raporu Örneği
Gayrimenkul Değerleme Raporu ÖrneğiGayrimenkul Değerleme Raporu Örneği
Gayrimenkul Değerleme Raporu Örneği
 
Nöroloji Hasta Raporu Örneği
Nöroloji Hasta Raporu ÖrneğiNöroloji Hasta Raporu Örneği
Nöroloji Hasta Raporu Örneği
 
üRetim yönetimi proje ödevi
üRetim yönetimi proje ödeviüRetim yönetimi proje ödevi
üRetim yönetimi proje ödevi
 
Proje hazırlama dersi ödevi
Proje hazırlama dersi ödeviProje hazırlama dersi ödevi
Proje hazırlama dersi ödevi
 
Proje Nasıl Hazırlanır?
Proje Nasıl Hazırlanır?Proje Nasıl Hazırlanır?
Proje Nasıl Hazırlanır?
 
Okul otomasyon rapor
Okul otomasyon raporOkul otomasyon rapor
Okul otomasyon rapor
 
Gözlem formu 1
Gözlem formu 1Gözlem formu 1
Gözlem formu 1
 
Gereksinim Analizi Dokümanı Hazırlama
Gereksinim Analizi Dokümanı HazırlamaGereksinim Analizi Dokümanı Hazırlama
Gereksinim Analizi Dokümanı Hazırlama
 
Sosyal Medyada Marka Yönetimi
Sosyal Medyada Marka YönetimiSosyal Medyada Marka Yönetimi
Sosyal Medyada Marka Yönetimi
 
Yeditepe Universitesi Yuksek Lisans Medya Planlama Proje Odevi
Yeditepe Universitesi Yuksek Lisans Medya Planlama Proje OdeviYeditepe Universitesi Yuksek Lisans Medya Planlama Proje Odevi
Yeditepe Universitesi Yuksek Lisans Medya Planlama Proje Odevi
 
Teknogirişim sermayesi desteği örnek ön başvuru dosyası
Teknogirişim sermayesi desteği örnek ön başvuru dosyasıTeknogirişim sermayesi desteği örnek ön başvuru dosyası
Teknogirişim sermayesi desteği örnek ön başvuru dosyası
 
Teknogirişim sermayesi desteği i̇ş planı hazırlama eğitimi
Teknogirişim sermayesi desteği i̇ş planı hazırlama eğitimiTeknogirişim sermayesi desteği i̇ş planı hazırlama eğitimi
Teknogirişim sermayesi desteği i̇ş planı hazırlama eğitimi
 
1512 bireysel aşamalı destek programı
1512 bireysel aşamalı destek programı1512 bireysel aşamalı destek programı
1512 bireysel aşamalı destek programı
 
Vadi şehir
Vadi şehirVadi şehir
Vadi şehir
 
Workattack Trend Raporu Mayıs 2016
Workattack Trend Raporu Mayıs 2016 Workattack Trend Raporu Mayıs 2016
Workattack Trend Raporu Mayıs 2016
 
Prof.dr. halit hami oz 05-sağlık kurumlarında bilgi sistemi-sağlık kayıtların...
Prof.dr. halit hami oz 05-sağlık kurumlarında bilgi sistemi-sağlık kayıtların...Prof.dr. halit hami oz 05-sağlık kurumlarında bilgi sistemi-sağlık kayıtların...
Prof.dr. halit hami oz 05-sağlık kurumlarında bilgi sistemi-sağlık kayıtların...
 
2016 OTOMOTİV SANAYİ RAPORU
2016 OTOMOTİV SANAYİ RAPORU2016 OTOMOTİV SANAYİ RAPORU
2016 OTOMOTİV SANAYİ RAPORU
 
Solarux Yoğunlaştırılmış Güneş Enerjisi Sistemi GES
Solarux Yoğunlaştırılmış Güneş Enerjisi  Sistemi GESSolarux Yoğunlaştırılmış Güneş Enerjisi  Sistemi GES
Solarux Yoğunlaştırılmış Güneş Enerjisi Sistemi GES
 
3 proje oluşturma ve yönetme
3 proje oluşturma ve yönetme3 proje oluşturma ve yönetme
3 proje oluşturma ve yönetme
 

More from Sancar Uzundere

More from Sancar Uzundere (7)

2015 YGS LYS
2015 YGS LYS2015 YGS LYS
2015 YGS LYS
 
Genç Sokak 2013 Sunum
Genç Sokak 2013 SunumGenç Sokak 2013 Sunum
Genç Sokak 2013 Sunum
 
2013 ygs lys (iaal) ocak 2013
2013 ygs lys (iaal) ocak 20132013 ygs lys (iaal) ocak 2013
2013 ygs lys (iaal) ocak 2013
 
2013 ygs lys (iaal) ocak 2013
2013 ygs lys (iaal) ocak 20132013 ygs lys (iaal) ocak 2013
2013 ygs lys (iaal) ocak 2013
 
Program
ProgramProgram
Program
 
2011 lgs lys (iaal) aralık 2010
2011 lgs lys (iaal) aralık 20102011 lgs lys (iaal) aralık 2010
2011 lgs lys (iaal) aralık 2010
 
2010 öSs GüNcel
2010 öSs  GüNcel2010 öSs  GüNcel
2010 öSs GüNcel
 

Proje raporu

  • 1. OKUL: İstanbul Atatürk Anadolu Lisesi PROJE ADI: SONSUZA KADAR PİSAGOR PROJE RAPORU Proje Adı: SONSUZA KADAR PİSAGOR Projenin Amacı: Bilinen bazı özel dik üçgenlerin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi bağıntı olarak ifade etmek ve bulunan bağıntılarla da yeni özel dik üçgenlere ulaşmak. Giriş: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 gibi üçgenler geometri derslerinde ve kitaplarında çok sık karşımıza çıkmaktadır. Bu dik üçgenlerle soru hazılanırken, işlem kolaylığının yanısıra zaman kazancı da hedeflenmektedir. Bu üçgenlerdeki kenar uzunlukları arasındaki ilişki nedir sorusunun zihnimizde oluşturduğu merak, hazırladığımız projenin tohumlarının atılmasına sebep oldu. Dik kenarların ve hipotenüsün uzunlukları arasındaki ilişkiler ile bunların ortak özellikleri incelenerek proje oluşturuldu. Örneğin “8, 15, 17 üçgeni (3+5), (3.5), (3.5+2) olarak ifade edilebilir mi?” ve “Bu bağıntı kullanılan özel üçgenin herhangi bir katı alındığı zaman da sağlanır mı?” sorusunun cevabı aranmıştır. Ayrıca bu sorulara ek olarak “Diğer özel dik üçgenlerde aynı bağıntı kullanılabilir mi, yeni özel dik üçgenleri bu yolla elde etmek mümkün müdür?” sorularını da beraberinde getirmiştir. Yöntem: Yöntemimizin aşamaları aşağıdaki gibidir. 1. aşama: Bir dik üçgen çizilir. 2. aşama: Bilinen dik üçgenlerden herhangi birisinin dik kenar uzunlukları ve hipotenüsü iki sayının toplamı veya birinin k katı ile diğerinin toplamı şeklinde yazılır. Seçilmiş olan özel dik üçgenin katlarında da bu sayısal ilişkinin varolup olmadığı kontrol edilir. 3. aşama: Ortaya çıkan bu uzunlukların pisagor teoremi yardımıyla eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığına bakılır. 4. aşama: Eğer eşitlik sağlanıyorsa farklı sayılarla eşitliğin sağlaması yapılmaya devam edilir. Daha sonra dik kenar uzunlukları bir sayının x katı ve başka bir pozitif tamsayının toplamı ile ifade edilirek genellenmiş olur. Eğer eşitlik sağlanmadıysa bu işlem kenar uzunlukları farklı şekillerde ilişkilendirilerek ifade edilmeye çalışılırak ilk aşamaya dönülür. 1
  • 2. a, b, m, n, x Z  ve uN 1.durum: Özel durum: Ön koşul : a  2.b  b  1 İspat :  a  2.b    a.b  2    a.b  2  2 2 2 a 2  4.a.b  4b 2  a 2b 2  4.a.b  4  a 2b 2  4a.b  4 a 2  4.a.b  4b 2  0  a  2.b   0 2  a  2.b   0 a  2.b Genel durum: Ön koşul : a  x.b  b  1 İspat :  a  x.b    a.b  x    a.b  x  2 2 2 a 2  2.a.b.x  x 2b 2  a 2b 2  2.a.b.x  x 2  a 2b 2  2.a.b.x  x 2 a 2  2.a.b.x  b 2 x 2  0  a  x.b   0 2  a  x.b   0 a  x.b 2
  • 3. Örnekler: Özel durum: b=3 alınırsa a=2b a=6 olur  a  2.b    a.b  2   a.b  2 2 2 2 6  2.32  6.3  22  6.3  22 122  162  202 400  20 2 (3k,4k,5k k=3) b=2 alınırsa a=2.b a=4 olur  a  2.b    a.b  2   a.b  2 2 2 2  4  2.2   4.2  2   4.2  2  2 2 2 8   6  10 2 2 2 400  20 2 (3k,4k,5k k=2) b=5 alınırsa a=2.b a=10 olur  a  2.b    a.b  2   a.b  2 2 2 2 10  2.5  10.5  2  10.5  2  2 2 2  20   48   52 2 2 2 2704   52  2 (5k,12k,13k k=4) Genel Durum: b=2 ve x=1 alınırsa a=x.b a=2 olur  a  x.b    a.b  x    a.b  x  2 2 2 2  1.22  2.2  12  2.2  12 42  32  52 25  5 2 (3k,4k,5k k=1) b=5 ve x=3 alınırsa a=x.b a=15 olur  a  x.b    a.b  x    a.b  x  2 2 2 15  3.52  15.5  32  15.5  32 302  722  782 900  30 2 (5k,12k,13k k=6) 3
  • 4. b=7 ve x=1 alınırsa a=x.b a=7 olur  a  x.b    a.b  x    a.b  x  2 2 2  7  1.7    7.7 1   7.7  1 2 2 2 14   48   50 2 2 2 2500   50  2 (7k,24k,25k k=2) b=4 ve x=2 alınırsa a=x.b a=8 olur  a  x.b    a.b  x    a.b  x  2 2 2 8  2.4  8.4  2  8.4  2  2 2 2 16   30   34 2 2 2 1156   34  2 (8k,15k,17k k=2) 2.durum: Özel durum: Ön koşul : a  3.b İspat :  a  3.b    3.a.b  1   3.a.b  1 2 2 2 a 2  6.a.b  9b 2  9a 2b 2  6.a.b  1  9a 2b 2  6.a.b  1 a 2  6.a.b  9b 2  0  a  3.b   0 2  a  3.b   0 a  3.b 4
  • 5. Genel durum: Ön koşul : a  x.b İspat :  a  x.b    x.a.b  1   x.a.b  1 2 2 2 a 2  2.a.b.x  x 2b 2  x 2 a 2b 2  2.a.b.x  1  x 2 a 2b 2  2.a.b.x  1 a 2  2.a.b.x  x 2b 2  0  a  x.b   0 2  a  x.b   0 a  x.b En genel durum: Ön koşul : m.a  n.b İspat :  m.a  n.b    m.a.n.b  1   m.a.n.b  1 2 2 2 m 2 a 2  2.m.a.n.b  n 2b 2  m 2 a 2 .n 2b 2  2.m.a.n.b  1  m 2 a 2 .n 2b 2  2.m.a.n.b  1 m 2 a 2  2.m.a.n.b  n 2b 2  0  m.a  n.b   0 2  m.a  n.b   0 m.a  n.b 5
  • 6. Örnekler: Özel durum: b=1 alınırsa a=3.b a=3 olur  a  3.b    3.a.b 1  3.a.b  1 2 2 2 3  3.12  3.3.1  12  3.3.1  12 62  82  102 100  10 2 (3k,4k,5k k=2) Genel Durum: b=4 ve x=1 alınırsa a=x.b a=4 olur  a  x.b    x.a.b 1   x.a.b  1 2 2 2 4  1.42  1.4.4  12  1.4.4  12 82  152  172 289  17  2 (8k,15k,17k k=1) En genel durum: b=1 , n=6 , m=3 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=2 olur  m.a  n.b    m.a.n.b 1   m.a.n.b  1 2 2 2 3.2  6.12  3.2.6.1  12  3.2.6.1  12 122  352  372 1369  37 2 (12k,35k,37k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen) b=3 , n=3 , m=9 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=1 olur  m.a  n.b    m.a.n.b 1   m.a.n.b  1 2 2 2  9.1  3.3   9.1.3.3 1   9.1.3.3  1 2 2 2 18  80  82 2 2 2 6724  82  2 (9k,40k,41k k=2 yeni elde edilmiş özel üçgen) b=2 , n=2 , m=4 alınırsa m.a=n.b eşitliğinden a=1 olur  m.a  n.b    m.a.n.b 1   m.a.n.b  1 2 2 2  4.1  2.2   4.1.2.2 1   4.1.2.2  1 2 2 2 8  15  17  2 2 2 289  17  2 (8k,15k,17k k=1 ) 6
  • 7. 3.durum: Özel durum: Ön koşul : a b 1 İspat : a  b  (a 2  b 2  1) 2   a 2  b 2  2 2 a 2  2.a.b  b 2  a 4  b 4  1  2  a 2b 2  a 2  b 2   a 4  2a 2b 2  b 4 a 2  2.a.b  b 2  1   a  b   1 2 a  b 1 2 a b 1 a  b olduğu için a b 1 Genel durum: Ön koşul : a  b  x ( x tek sayı) u  (u  1)  x 2  2 u  1  x 2 .. İspat :  a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1 2 2 2 a 2  2.a.b  b 2  4a 2b 2  4.a.b.u  u 2  4a 2b 2  u 2  1  2  2.a.b  u  2.a.b.u  a 2  2.a.b  b 2  4.a.b  2.u  1 a 2  2.a.b  b 2  2.u  1 a  b  2.u  1 2 x 2  2.u  1 7
  • 8. Örnekler Özel Durum: a=5 ve b=4 olsun a  b  1  a  b  (a 2  b2  1)2   a 2  b2  2 2 5  4  (52  42  1) 2   52  42  2 2 9  (40) 2   41 2 2 1681   41 2 (9k,40k,41k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen) a=6 ve b=5 olsun a  b  1  a  b  (a 2  b2  1)2   a 2  b2  2 2  6  5  (62  52  1) 2   62  52  2 2 11  (60) 2   61 2 2 3721   61 2 (11k,60k,61k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen) Genel Durum: a  b  x ( x tek sayı) a=3 ve b=2 olsun 3-2=1=x(tek sayı) 2u  1  x 2 2u+1= 1 2 u=0 olur.  a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1 2 2 2 3  22  2.3.2  02  2.3.2  0  12 52  122  132 169  13 2 (5k,12k,13k k=1) a  b  x ( x tek sayı) a=5 ve b=2 olsun 5-2=3=x(tek sayı) 2u  1  x 2 2u+1= 3 2 u=4 olur.  a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1 2 2 2 5  22  2.5.2  42  2.5.2  4  12 72  242  252 625  25 2 (7k,24k,25k k=1) a  b  x ( x tek sayı) a=8 ve b=5 olsun 8-5=3=x(tek sayı) 2u  1  x 2 2u+1= 3 2 u=4 olur.  a  b    2.a.b  u    2.a.b  u  1 2 2 2 8  5   2.8.5  4   2.8.5  4  1 2 2 2 13  84  85 2 2 2 7225  85 2 (13k,84k,85k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen) 8
  • 9. 4.durum: Ön koşul : a  b  x ( x çift sayı) x2 x2 u  (u  2)   2u  2   x 2  4.u  4 2 2 İspat :  a  b    a.b  u    a.b  u  2  2 2 2 a 2  2.a.b  b 2  a 2b 2  2.a.b.u  u 2  a 2b 2  u 2  4  2  a.b.u  2.u  2.a.b  a 2  2.a.b  b 2  4.u  4 a  b  4.u  4 2 x 2  4.u  4 Örnekler a  b  x ( x çift sayı) a=5 ve b=3 olsun 5-3=2=x(çift sayı) x2  4u  4 2 2  4u  4 u=0 olur  a  b    a.b  u    a.b  u  2 2 2 2 5  32  5.3  02  5.3  0  22 82  152  172 289  17  2 (8k,15k,17k k=1) a  b  x ( x çift sayı) a=8 ve b=2 olsun 8-2=6=x(çift sayı) x2  4u  4 6 2  4u  4 u=8 olur  a  b    a.b  u    a.b  u  2 2 2 2 8  22  8.2  82  8.2  8  22 102  242  262 676  26 2 (5k,12k,13k k=2) a  b  x ( x çift sayı) a=3 ve b=1 olsun 3-1=2=x(çift sayı) x2  4u  4 22  4u  4 u=0 olur  a  b    a.b  u    a.b  u  2 2 2 2  3  1   3.1  0  3.1  0  2  2 2 2  4    3   5  2 2 2 25   5 2 (3k,4k,5k k=1) 9
  • 10. a  b  x ( x çift sayı) a=10 ve b=6 olsun 10-6=4=x(çift sayı) x2  4u  4 42  4u  4 u=3 olur  a  b    a.b  u    a.b  u  2 2 2 2 10  6  10.6  3  10.6  3  2 2 2 2 16   63   65 2 2 2 4225   65 2 (16k,63k,65k k=1 yeni elde edilmiş özel üçgen) Sonuçlar ve Tartışma: Bulduğumuz bağıntılarda 3. ve 4. durumda verilen eşitlikler önceki bütün durumları kapsamaktadır. Kenarlararası ilişkileri en genel biçimde ifade etmemiz gerekirse bu iki eşitliğin daha kapsamlı olduğunu söyleyebiliriz. Tek basamaklı sayıların değişik kombinasyonları kullanılarak daha fazla sayıda özel dik üçgen elde edilebilir. Fakat sayılar büyükçe çıkan sonuçlar da büyük olduğundan bu oranların akılda kalması zorlaşmaktadır. Ancak daha nitelikli sorular (yarışma soruları gibi) hazırlanacağı zaman dik üçgenin kenar uzunlukları Z  olması isteniyorsa bu eşitliklerden faydalanılabilir. Projemizi inceleyerek bize görüşlerini bildiren Haliç Üniversitesi Öğretim Görevlisi A. Burcu Özyurt Serim’e, Mimar Sinan Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Yrd. Doç. Dr. Sezai Makas’a ve projemizi hazırlarken bize desteklerinden dolayı okulumuz öğretmenlerine, Okul Müdürümüz Nureddin Turan’a, Müdür Başyardımcısı İzzet Başyurt’ a, okulumuz 11 Fen/A sınıfına teşekkürlerimizi sunarız. Kaynaklar: GÜRLÜ, Ö., (2005), Meraklısına Geometri, Zambak Yayınları, İSTANBUL MEB KOMİSYONU, (2006), Lise Geometri 1, Milli Eğitim Bakanlığı Yayınları, ANKARA KAPLAN E., (2008), Ortaöğretim Matematik 10 Ders Kitabı, Paşa Yayıncılık, ANKARA 10