Successfully reported this slideshow.
3                The Discrete-Time                  Fourier Analysis         การวิเคราะห์ ฟูริเยร์ แบบไม่ ต่อเนืองทางเวลา ...
เปาหมาย                     ้• นศ เรียนรูการแปลงฟูรเยรแบบไมตอเนื่องทางเวลา                       ิ          (The Discr...
ทําไมจึงต้ องแปลง DTFT ?                                           ้ ่• เราทราบวา องคประกอบทางการประสานนัน ซึงคือ       ...
The Discrete-Time Fourier Transform• การแปลงฟูรเยร แบบไมตอเนื่องทางเวลา DTFT ของ            ิ             x(n) คือ     ...
เรื องของวงกลมหนึงหน่ วย (unit circle)         แกนจินตภาพ                      e jω         1. วงรอบของความถีมีคาซําทุกๆ  ...
1.วงรอบของความถีมีค่าซําทุกๆ                   2π เรเดียน                       n=2,10,..                                 ...
2. ความถีดิจตอลมีค่าในช่ วง 0 ≤ ω < π             ิหาก ω > π เช่น ω = 7π                                    ตัวอย่าง      ...
Unit Step Function• ยูนิทสเตปฟังกชน                 ั                        1, n ≥ 0               u (n) =            ...
ตัวอย่ างการแปลง DTFT                                I• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n)• วิธทาω     ี ํj  ∞            ...
ตัวอย่ างการแปลง DTFT                                   II• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมือ 0 ≤ n ≤ L − 1             ่...
MATLAB simulation  •หาก x(n) มีคาไม่จากัด เราจะใช้               ่ ํ                                                2     ...
ตัวอย่ างการแปลง DTFT                                             III• จงหาการแปลง DTFT ของ( n ) = {1, 2, 3, 4, 5}        ...
• หากอินพุทมีจานวนจํากัด เราใช้ MATLAB คํานวณ DTFT              ํ  ได้โดยตรง• การคํานวณ      X ( e ) จะกระทําในช่วง       ...
•จาก x ( n ) = {1, 2, 3, 4, 5} เรากําหนดการหา ค่า n ในช่วง -1 ถึง 3                    ↑ •เราหา DTFT ของ x(n) ได้จาก      ...
ผลตอบสนองความถีของระบบ             jω 0 n x(n ) = e                             h(n)                                      ...
H (e )   jω                เป็ นผลตอบสนองความถีของระบบ h(n)                                               ∞               ...
Frequency Response from Poles and Zeros• ขนาดผลตอบสนองความถีเป็ น ขนาดจากซีโร่ ไปยังวงกลมหนึงหน่วย หาร  ด้วย ขนาดจากโพลไปย...
Example for Frequency Response    สมมติวา โพล = .8 ซีโร =0                   .8          ความถี่ต่ํา                    ...
Plot of Magnitude                          B A                          BA                       A                        ...
ตัวอย่ าง                                                                                               n                 ...
หาผลตอบสนองของ h(n)                             ∞                                                               1         ...
การหาผลตอบสนองความถีจากสมการผลต่ าง    (Frequency Response from Difference                  Equations)• จากสมการผลตาง y (...
ตัวอย่างมีระบบ LSI ทีอธิบายได้ดวย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พท                       ้                                ุ...
ที            x ( n ) = cos(0.05π n ) u ( n )                                              ω 0 = 0.05π ดังนัน          j 0...
ทดสอบ ค่า y(n) ทีคํานวณ           x(n )                 H ( e jω )                            y (n )                      ...
การสุ่มสัญญาณ (Sampling)• ทฤษฎีการสุมกลาววา “ความถีของสัญญาณสุมจะตอง                             ่             มากกว...
สเปคตรั ม (Spectrum) และ ผลของการ               สุ่มสัญญาณ• สเปคตรัมเป็ นการแสดงคาการกระจายของสัญญาณในเชิงความถี่• ผลของก...
อะไรคือแอลิแอส (Aliasing) ?• การเกิดแอลิแอส ในทาง dsp คือ “การเกิดการซอนทับ  ของสเปคตรัม”• สาเหตุคอ การทีความถีสมนอยกวา...
ทฤษฎีการสุ่มและคืนรูปสัญญาณ         (Sampling and Reconstruction)  ผลตอบสนองของสัญญาณต่อเนื องทางเวลา xa(t) คือ X a ( jΩ )...
ความถีแอนาลอกกับ ความถีดิจตอล สัมพันธ์กนดังนี                                   ิ            ั                            ...
ทฤษฎีการสุ่ม                sa ( t )                           x s ( t ) แปลง อิมพัลส์                   x ( n ) = x a ( n...
ทฤษฎีการสุ่ม (ต่ อ)   การแปลงฟูรเิ ยร์สาหรับสัญญาณแอนาลอก xa(t)                    ํ                                      ...
สมการแอลิแอส (Aliasing formula)   การแปลง DTFT ของ x(n) ได้เป็ น                                  ∞                       ...
πเมือช่วงเวลาในการสุ่ ม        T <                                     Ω0                                                 ...
แบนด์ วทของสัญญาณทีใช้ ได้ (คือไม่ เกิด          ิ                    แอลิแอส)= 1  ความถีในการสุมสัญญาณ               ่   ...
ตัวอย่าง                     fs = 1 kHz    x(t)                             x(n) DSP chip              y(n)               ...
• ทําใหได สัญญาณไมตอเนื่องทางเวลา x(n) เป็ น                                             x ( n ) = cos(0.5π n )• แตเน...
fs = 1 kHz                                           2250Hz                                                               ...
สเปคตรั ม เมือความถีสุ่ม Fs= 1 KHz                        Fs=1 KHz    fs= 1kHz                   250Hz            1250Hz  ...
เมือ fs มากขึนแต่ยงน้ อยกว่า 2 เท่าของ 1250                    ั                                            Hz• เมือ fs =2...
fs=2 kHz                                           4250Hz                                                                2...
สเปคตรั ม เมือความถีสุ่ม Fs= 2 KHzfs= 2kHz              250Hz                         fs 2250Hz       ความถี CESdSP       ...
หาก fs = 2500 Hz (2 เท่าของ 1250 Hz)• นั่นคือ fs = 2500 Hz จะได                           x ( n ) = cos(π n )• ได ความถี...
fs = 2500 Hz                                                               6250Hz                                         ...
สเปคตรัมทีความถีสุมต่างๆ                                       ่fs= 1kHz                         x(t)             250Hz   ...
ตัดสัญญาณ fs ด้ วย Low pass filter                                                                  Lowpassfs= 2.5kHz     ...
การคืนรูปสัญญาณ (Reconstruction)     ใช้วงจรกรองตําผ่านอุดมคติ             X (e )jω                                       ...
จากเรืองการสุมเราได้                 ่                       ∞            x s ( t ) = ∑ x ( n )δ ( t − nT )               ...
ผลตอบสนองของวงจรกรองตําผ่านอุดมคติ                   H r ( jΩ )                                                           ...
×                  dsp_3_1.jpg                                        แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย                         ...
ผลการคูณของแต่ละตําแหน่งCESdSP        EEET0485 Digital Signal Processing             http://embedsigproc.wordpress.com    ...
ผลรวมของการทํา interpolation คือสัญญาณคืนรูป                                                             dsp_3_9.jpgCESdSP...
สรุ ป• การแปลง DTFT ทําให หาผลตอบสนองความถีของ  ่  ระบบได• เราสามารถหาผลลัพธการประสานไดจากการทํา DTFT• การสุมสัญญาณทํา...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Dsp 2554 3

1,194 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Dsp 2554 3

  1. 1. 3 The Discrete-Time Fourier Analysis การวิเคราะห์ ฟูริเยร์ แบบไม่ ต่อเนืองทางเวลา รศ.ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส ์CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-1 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  2. 2. เปาหมาย ้• นศ เรียนรูการแปลงฟูรเยรแบบไมตอเนื่องทางเวลา  ิ  (The Discrete-Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกตางกับ Discrete Fourier Transform (DFT) ในบทที่ 5)• นศ เรียนรูทฤษฎีการสุมสัญญาณ  • นศ รูจกความหมายของผลตอบสนองความถี่  ัCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-2 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  3. 3. ทําไมจึงต้ องแปลง DTFT ? ้ ่• เราทราบวา องคประกอบทางการประสานนัน ซึงคือ ่ “หน วงเวลา” และการ “สเกลคา” ซึงมีประโยชน ในการ วิเคราะห ระบบสําหรับสัญญาณอินพุท หลากรูปแบบ• แตเมือระบบเป็ น linear shift-invariant (LSI) เรา ่ สามารถจะใชการแปลงฟูรเยรแบบไมตอเนื่องทางเวลา ิ  (Discrete-time Fourier Transform; DTFT)เพือทํา เพื่  ้ ใหการวิเคราะหงายขึนกวา การทํา Convolution• และผลจากการแปลง DTFT ทําใหทราบ “ผลตอบสนอง ความถี่ ของระบบ”CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-3 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  4. 4. The Discrete-Time Fourier Transform• การแปลงฟูรเยร แบบไมตอเนื่องทางเวลา DTFT ของ ิ  x(n) คือ ∞ jω − jω n X (e ) ≡ ∑ x ( n )e n = −∞ ω = ความถีดิจิตอลหน่วยเป็น เรเดียน ผลการแปลงในโดเมนความถีดิจตอลนี สามารถแสดงในรูป ิ วงกลมหนึงหน่วยCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-4 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  5. 5. เรื องของวงกลมหนึงหน่ วย (unit circle) แกนจินตภาพ e jω 1. วงรอบของความถีมีคาซําทุกๆ ่ ω 2π เรเดียน แกนจริง 2. ความถีดิจตอลมีคาในช่วง ิ ่ 0≤ω <π เรเดียนCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-5 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  6. 6. 1.วงรอบของความถีมีค่าซําทุกๆ 2π เรเดียน n=2,10,.. n=1,9,.. π 4 n=0,8,.. π π − j ( 2π + ) −j − j 2π e 4 =e ×e 4 π −j =e 4CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-6 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  7. 7. 2. ความถีดิจตอลมีค่าในช่ วง 0 ≤ ω < π ิหาก ω > π เช่น ω = 7π ตัวอย่าง 4 จะให้ผลลัพธ์ซากับค่าในช่วง ํ e jω n + e − jω n x ( n ) = cos(ω n ) = π 2 0 ≤ ω < π คือ ω = 4 7π 7π π 7π j n −j n j ( 2π − )n − j ( 2π − )n 7π e 4 +e 4 e 4 +e 4 cos( n) = = 4 2 2 π π −j n j n e 4 +e 4 = 2 π = cos( n) 4 CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-7 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  8. 8. Unit Step Function• ยูนิทสเตปฟังกชน ั  1, n ≥ 0 u (n) =   0, n < 0 1 0 nCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-8 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  9. 9. ตัวอย่ างการแปลง DTFT I• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n)• วิธทาω ี ํj ∞ − jω n ∞ n − jω n X ( e ) = ∑ x ( n )e = ∑ 0.5 e n = −∞ n=0 ∞ 1 e jω = ∑ (0.5e − jω ) n = − jω = jω n=0 1 − 0.5e e − 0.5 ผลรวมเรขาคณิตแบบไม่จากัด (Infinite geometric sum): ํ ∞ 1 ∑a = n , a <1 n=0 1− aCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-9 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  10. 10. ตัวอย่ างการแปลง DTFT II• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมือ 0 ≤ n ≤ L − 1 ่ และเป็ น 0 เมือ n เป็ ∞ าอืนๆ L −1 ่ นค ่ L −1• วิธทา ี ํ X (e ) = ∑ x ( n )e jω − jω n = ∑ 0.5e − jω n = 0.5 ∑ e − jω n n = −∞ n=0 n=0• − j ( L −1) sin ( ω L / 2 ) ω 1 − e − jω L = 0.5 = 0.5e 2 1 − e − jω sin (ω / 2 ) ผลรวมเรขาคณิตแบบจํากัด (Finite geometric sum):  L, a = 1 L −1  ∑ a = 1 − a L n n=0  , a ≠1  1− aCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-10 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  11. 11. MATLAB simulation •หาก x(n) มีคาไม่จากัด เราจะใช้ ่ ํ 2 Magnitude Part 2 Real Part Magnitude MATLAB หา DTFT ของ x(n) 1.5 1.5 Real 1 1 โดยตรงไม่ได้ 0.5 0 0.5 Angle Part 1 frequency in pi units 0.5 0 0.5 Imaginary Part 1 frequency in pi units •แต่เราจะใช้สมการทีได้จาก 0 0 Imaginary Radians •power series −0.5 −0.5 −1 −1 0 0.5 1 0 0.5 1 frequency in pi units frequency in pi units exp_3_1.eps >>w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501 points. >> X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501));CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-11 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  12. 12. ตัวอย่ างการแปลง DTFT III• จงหาการแปลง DTFT ของ( n ) = {1, 2, 3, 4, 5} x ↑• วิธทา ี ํ ∞ jω − jω n X ( e ) = ∑ x ( n )e n = −∞• jω − jω − j 2ω − j 3ω =e + 2 + 3e + 4e + 5e สังเกต เครืองหมาย ↑ ว่า n=0 อยู่ ณ ตําแหน่งของค่า 2CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-12 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  13. 13. • หากอินพุทมีจานวนจํากัด เราใช้ MATLAB คํานวณ DTFT ํ ได้โดยตรง• การคํานวณ X ( e ) จะกระทําในช่วง jω [0, π ] โดยแบ่ง M+1 ค่า π ω≡ k , k = 0,..., M M ω0 M ช่วง πCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-13 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  14. 14. •จาก x ( n ) = {1, 2, 3, 4, 5} เรากําหนดการหา ค่า n ในช่วง -1 ถึง 3 ↑ •เราหา DTFT ของ x(n) ได้จาก Magnitude Part Real Part 15 20 Magnitude 10 10 Real ω 5 0 3 jω − j (π / M ) k lX (e ) = ∑ x (l )e , 0 0 0.5 1 Anglein pi units frequency Part −10 0 0.5 1 Imaginary pi units frequency in Part 5 5 l = −1 Imaginary Radians 0 0 −5 MATLAB code −5 0 0.5 1 −10 0 0.5 1 frequency in pi units frequency in pi units >>n = -1:3; x = 1:5; % sequence x(n) >> k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501 >> X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n*k); % DTFT using matrix-vector CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-14 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  15. 15. ผลตอบสนองความถีของระบบ jω 0 n x(n ) = e h(n) h(n ) ∗ e jω 0 n•เมือทําการประสานจะได้ ∞ jω 0 n y (n ) = h(n ) ∗ e = ∑ h ( k )e jω 0 ( n − k ) k = −∞  ∞ h ( k )e − jω 0 k  e jω 0 n = ∑  k = −∞   = F ( h ( n )) ω =ω e jω 0 n 0 การแปลงฟูรωยร์ทีความถี ิเ 0CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-15 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  16. 16. H (e ) jω เป็ นผลตอบสนองความถีของระบบ h(n) ∞ jω − jω n H (e ) = ∑ h (n )e n = −∞ ใช้หาค่าของเอาท์พท y(n) ุ jω 0 nx(n ) = e H ( e jω ) y ( n ) = H ( e jω ) e jω 0 n หรือเขียนในรูปโดเมนความถี Y ( e jω ) = H ( e jω ) X ( e jω ) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-16 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  17. 17. Frequency Response from Poles and Zeros• ขนาดผลตอบสนองความถีเป็ น ขนาดจากซีโร่ ไปยังวงกลมหนึงหน่วย หาร ด้วย ขนาดจากโพลไปยังวงกลมหนึงหน่วย ณ ความถีหนึง ( e jω − z1 )( e jω − z 2 ) ⋯ H ( e jω ) = ω =1 ( e jω − p1 )( e jω − p 2 ) ⋯ B A ขนาดที่ ω =1 π 0 B H (e ) = j1 ACESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-17 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  18. 18. Example for Frequency Response สมมติวา โพล = .8 ซีโร =0 .8 ความถี่ต่ํา ความถี่กลางๆ ความถี่สูง B B A A A Bπ 0 π 0 π 0 B>A B=A B<AH (e jω1 ) = มาก H ( e jω1 ) = กลางๆ H ( e jω1 ) = นอยCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-18 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  19. 19. Plot of Magnitude B A BA A π 0 π B H ( e jω ) π 0 0 ตํา กลาง สูงCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-19 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  20. 20. ตัวอย่ าง n 1• Example 4.4.1 หาผลลัพทของระบบ h ( n ) =  2 πn u ( n )  j  โดยมีอนพุทเป็ น ลําดับ exponential ิ x ( n ) = Ae 2 ∞ 1 jω H (e ) = ∑ h ( n )e − jω n = 1 n = −∞ 1 − e − jω 2 π π• ที่ ω 0 = 2 ได H (e ) = j = 2 − j 26.6 2 e 1 1 5 1+ j 2• ดังนัน ้  2 − j 26.6  j π2n 2 πn j  − 26.6  y (n) = A  e  e = Ae  2   5  5CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-20 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  21. 21. หาผลตอบสนองของ h(n) ∞ 1 jω H (e ) = ∑ h ( n )e − jω n = 1 − jω n = −∞ 1− e 2 1 e jω e jω = = 1 − jω e jω jω 1 1− e e − 2 2 แสดงว่า zero มีตวเดียว คือ z1=0 ั Pole มี p1=1/2CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-21 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  22. 22. การหาผลตอบสนองความถีจากสมการผลต่ าง (Frequency Response from Difference Equations)• จากสมการผลตาง y ( n ) + a y ( n − l ) = b x ( n − m ) N M ∑ l ∑ m l =1 m =0ให้ x ( n ) = e jω n ดังนัน y ( n ) = H ( e jω ) e jω n N MH ( e jω ) e jω n + ∑ a l H ( e jω ) e jω ( n − l ) = ∑ bm e jω ( n − m ) l =1 m =0ตัด e jω n M ∑ bm e − jω m jω H (e ) = m =0 N 1 + ∑ a l e − jω l l =1CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-22 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  23. 23. ตัวอย่างมีระบบ LSI ทีอธิบายได้ดวย สมการผลต่าง ของอินพุทและเอาท์พท ้ ุ y ( n ) = 0.8 y ( n − 1) + x ( n ) จงหา ผลตอบสนองและสัญญาณ y(n) เมือ อินพุทเป็ น x ( n ) = cos(0.05π n ) u ( n ) วิธีทา ํ y ( n ) − 0.8 y ( n − 1) = x ( n ) jω jω n jω jω ( n −1) jω n H ( e )e − 0.8 H ( e ) e =e H ( e jω ) e jω n − 0.8 H ( e jω ) e jω n e − jω = e jω n 1 jω H (e ) = − jω ⇐ ผลตอบสนองความถี 1 − 0.8e CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-23 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  24. 24. ที x ( n ) = cos(0.05π n ) u ( n ) ω 0 = 0.05π ดังนัน j 0.05π 1 − j 0.5377 H (e )= − j 0.05π = 4.0928e 1 − 0.8e 0.8e จึงได้จากการแปลง “เฟสเซอร์ ” y ( n ) = 4.0928 cos(0.05π n − 0.5377) = 4.0928 cos [0.05π ( n − 3.42) ] ขนาด เฟสCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-24 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  25. 25. ทดสอบ ค่า y(n) ทีคํานวณ x(n ) H ( e jω ) y (n ) Input sequence 1 x(n) 0 x ( n ) = cos(0.05π n ) −1 0 20 40 60 80 100 Output sequence n 5 4.092  1  y(n)y (n ) =  0 − jω  x(n )  1 − 0.8e  −5 ต่างเฟส =3.42 0 20 40 60 80 100 n CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-25 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  26. 26. การสุ่มสัญญาณ (Sampling)• ทฤษฎีการสุมกลาววา “ความถีของสัญญาณสุมจะตอง  ่  มากกวา 2 เทาของ ความถีสงสุดของสัญญาณ ( fmax)” ่ ู• หากความถีสม = fs ่ ุ สัญญาณสุม ่ ... 1 T = fs• ดังนัน ้ f s > 2 f maxCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-26 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  27. 27. สเปคตรั ม (Spectrum) และ ผลของการ สุ่มสัญญาณ• สเปคตรัมเป็ นการแสดงคาการกระจายของสัญญาณในเชิงความถี่• ผลของการสุมทําใหเกิด สเปคตรัมแบบเป็ นคาบ (periodic) • ความถี่ fmax หรือ f0 เรียกวา ความถีไนควิสต (Nyquist ่ Frequency)• ความถีสมตํ่าสุดทีจะไมเกิด aliasing จะเรียกวา อัตราไนควิสต ่ ุ ่ (Nyquist rate) สเปคตรัม ความถี f 0 =Nyquist Frequency fs = Nyquist rateCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-27 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  28. 28. อะไรคือแอลิแอส (Aliasing) ?• การเกิดแอลิแอส ในทาง dsp คือ “การเกิดการซอนทับ ของสเปคตรัม”• สาเหตุคอ การทีความถีสมนอยกวาสองเทาของความถี่ ื ่ ่ ุ ไนควิสต หรือ f s < 2 f 0 ทางแก้: 1 ใช้ Anti-aliasing filter ซึงเป็ น แอลิแอส วงจรกรองตําผ่าน (Low pass filter) fs 2 ทํา Oversampling f0CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-28 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  29. 29. ทฤษฎีการสุ่มและคืนรูปสัญญาณ (Sampling and Reconstruction) ผลตอบสนองของสัญญาณต่อเนื องทางเวลา xa(t) คือ X a ( jΩ ) Ω = ความถีแอนาลอก เป็ น เรเดียนต่อวินาที X a ( jΩ ) หาได้จากการแปลงฟูรเยร์ของ ิ xa (t ) xa (t ) X a ( jΩ ) แปลงฟูรเิ ยร์ t −Ω −Ω Ω0 Ω 0CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-29 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  30. 30. ความถีแอนาลอกกับ ความถีดิจตอล สัมพันธ์กนดังนี ิ ั ω = ΩT ดิจตอล ิ แอนาลอก •ผลของการสุม ทําให้การแปลงฟูรเิ ยร์เป็ น รายคาบ (periodic) ่ x(n ) X ( e jω ) แปลงฟูเรียร์ t −ω − 2π −π π 2π ω •สัญญาณสุม มีความถี= 1/T ่ −Ω 0T Ω 0TCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-30 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  31. 31. ทฤษฎีการสุ่ม sa ( t ) x s ( t ) แปลง อิมพัลส์ x ( n ) = x a ( nT )xa (t ) เป็ น สัญญาณ DT ∞ สัญญาณสุม: ่ s a ( t ) = ∑ δ ( t − nT ) n = −∞ ∞สัญญาณแอนะลอกทีถูกสุม: ่ x s ( t ) = sa ( t ) x a ( t ) = ∑ x a ( nT )δ ( t − nT ) n = −∞ สัญญาณไม่ต่อเนือง (DT): x ( n ) = x a ( nT ) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-31 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  32. 32. ทฤษฎีการสุ่ม (ต่ อ) การแปลงฟูรเิ ยร์สาหรับสัญญาณแอนาลอก xa(t) ํ ∞ X a ( j Ω ) ≡ ∫ xa (t ) e − j Ω t dt −∞เมือ Ω คือ ความถีแอนาลอก หน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/sec) 1 ∞ xa (t ) = ∫ X a ( jΩ )e jΩ t d Ω 2π −∞ ทําการสุม สัญญาณ แอนาลอก ด้วย ความถี T วินาที ่ x ( n ) ≡ xa ( nT ) และแปลงฟูรเิ ยร์ ก็ได้เป็ น สัญญาณไม่ต่อเนืองทางเวลา X ( e jω ) CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-32 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  33. 33. สมการแอลิแอส (Aliasing formula) การแปลง DTFT ของ x(n) ได้เป็ น ∞ ∞ jω − jnω X ( e ) = ∑ x (n )e = ∑ x a ( nT ) e − jnω n = −∞ n = −∞ X ( e jω ) เป็ น ผลรวมของ X a ( jΩทีต่างความถี ) jω 1 ∞ ω 2π X ( e ) = X s ( j Ω ) Ω =ω / T = ∑ Xa( j − j k) T k =−∞ T T สมการแอลิแอส (aliasing formula)CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-33 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  34. 34. πเมือช่วงเวลาในการสุ่ ม T < Ω0 jω x(n ) X (e ) t −ω − 2π −π π 2π ω −Ω 0 / T Ω0 /T π เมือช่วงเวลาในการสุ่ ม T > Ω0 X ( e jω ) x(n ) t −ω ω − 2π − π π 2π เกิด แอลิแอสและไม่สามารถคืนรู ปสัญญาณได้CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-34 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  35. 35. แบนด์ วทของสัญญาณทีใช้ ได้ (คือไม่ เกิด ิ แอลิแอส)= 1 ความถีในการสุมสัญญาณ ่ f Hertz s T แบนด์วทมากสุดของสัญญาณ ิ f0 = Ω0 Hertz (ความถีไนควิสต์) 2π jω X (e ) f0 fs fs > 2 f0−ω ω สัญญาณสุมต้อง ่ − 2π −π π 2π มีคามากกว่า ่ แบนด์วท 2 เท่า ิCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-35 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  36. 36. ตัวอย่าง fs = 1 kHz x(t) x(n) DSP chip y(n) TMS320 ตัวสุมสัญญาณ ่ f = 1, 250 Hz• มีสญญาณ x(t) ถูกสุมที fs = 1kHz โดย t ) = cos(2500π t ) ั ่ x(• จากความถีแอนาลอกของ x(t) แปลงเป็ นความถีดิจตอล ิ ω = Ω T = 2500π (10 −3 ) = 2.5π เรเดียน ตัดให้อยูในย่าน 0 ≤ ω < π ่ ω = 0.5πCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-36 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  37. 37. • ทําใหได สัญญาณไมตอเนื่องทางเวลา x(n) เป็ น  x ( n ) = cos(0.5π n )• แตเนื่องดวยความเป็ น “คาบ” ทุกๆ 2π• มีสญญาณความถีแอนาลอกทุกๆ 2π เทาของ Ω = ω / T ั ่ ทีใหสญญาณแบบเดียวกับ x(n) ให ั ่x1 ( t ) = cos( Ω 1t ), Ω 1 = 10 3 (0.5π ) = 500 π f1= 250 Hzx 2 ( t ) = cos( Ω 2 t ), Ω 2 = 10 3 (2π + 0.5π ) = 2500 π f2= 1250 Hzx 3 ( t ) = cos( Ω 3t ), Ω 3 = 10 3 (4π + 0.5π ) = 4500 π f3 =2250 Hz และต่อเนือง ไปเรือยๆ CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-37 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  38. 38. fs = 1 kHz 2250Hz 1250 Hz 250 Hz dsp_3_7.jpgCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-38 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  39. 39. สเปคตรั ม เมือความถีสุ่ม Fs= 1 KHz Fs=1 KHz fs= 1kHz 250Hz 1250Hz 2250Hz จะเกิดความถีเงาหรือแอลิแอสขึน ที 250 และ 2250CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-39 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  40. 40. เมือ fs มากขึนแต่ยงน้ อยกว่า 2 เท่าของ 1250 ั Hz• เมือ fs =2 kHz จะได ่ x ( n ) = cos(0.25π n ) •มีสญญาณหลายความถีแอนาลอกทีให้สญญาณแบบเดียวกับ x(n) ั ัx1 ( t ) = cos( Ω 1t ), Ω 1 = 2 *10 3 (0.25π ) = 500 π f1= 250 Hzx 2 ( t ) = cos( Ω 2 t ), Ω 2 = 2 *10 3 (2π + 0.25π ) = 4500 π f2= 2250 Hzx 3 ( t ) = cos( Ω 3t ), Ω 3 = 2 *10 3 (4π + 0.25π ) = 8500 π f3 =4250 Hz ยังคงเกิด แอลิแอสCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-40 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  41. 41. fs=2 kHz 4250Hz 2250 Hz 250 Hz dsp_3_6.jpgCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-41 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  42. 42. สเปคตรั ม เมือความถีสุ่ม Fs= 2 KHzfs= 2kHz 250Hz fs 2250Hz ความถี CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-42 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  43. 43. หาก fs = 2500 Hz (2 เท่าของ 1250 Hz)• นั่นคือ fs = 2500 Hz จะได x ( n ) = cos(π n )• ได ความถีทซาเป็ นจํานวนเทา ของ 1250 Hz ่ ี่ ํ้x1 ( t ) = cos( Ω 1t ), Ω 1 = 2.5 *10 3 (π ) = 2500 π f1= 1250 Hzx 2 ( t ) = cos( Ω 2 t ), Ω 2 = 2.5 *10 3 (2π + π ) = 7500 π f2= 2500 Hzx3 ( t ) = cos( Ω 3t ), Ω 3 = 2.5 *10 3 (4π + π ) = 12500 π f3 =6250 HzCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-43 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  44. 44. fs = 2500 Hz 6250Hz 2500 Hz 1250 Hz dsp_3_8.jpgCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-44 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  45. 45. สเปคตรัมทีความถีสุมต่างๆ ่fs= 1kHz x(t) 250Hz fs 2250Hz ความถีfs= 2kHz x(t) 250Hz fs 2250Hz ความถีfs= 2.5kHz x(t) 1250Hz fs CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-45 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  46. 46. ตัดสัญญาณ fs ด้ วย Low pass filter Lowpassfs= 2.5kHz x(t) 1250Hz fs ความถี สามารถคืนรูปสัญญาณได้fs= 2.5kHz x(t) 1250Hz fs ความถี CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-46 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  47. 47. การคืนรูปสัญญาณ (Reconstruction) ใช้วงจรกรองตําผ่านอุดมคติ X (e )jω X ( e jω ) กรองตําผ่าน− 2π −π π 2π − 2π −π π 2πCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-47 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  48. 48. จากเรืองการสุมเราได้ ่ ∞ x s ( t ) = ∑ x ( n )δ ( t − nT ) n = −∞ = ... + x ( − 1)δ ( t + T ) + x (0)δ ( t ) + x (1)δ ( t − T ) + ... x(n ) แปลงกลับเป็ น x s ( t ) กรองตําผ่าน xa (t ) อิมพัลส์ อุดมคติ ตัวแปลง D/C xa (t ) x(n ) อุดมคติCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-48 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  49. 49. ผลตอบสนองของวงจรกรองตําผ่านอุดมคติ H r ( jΩ )  π T T , Ω ≤  T H r ( jΩ ) =  π π  0, π − Ω >  T T  T แปลงผกผันฟูเรียร์ H r ( jΩ ) hr ( t ) sinc( t / T ) sin(π t / T ) hr ( t ) = = sinc( t / T ) πt /Tการคืนรูปสัญญาณ ∞ x a ,recon ( t ) = ∑ x ( n ) hr ( t − nT ) n = −∞ ∞sin π ( t − nT ) / T สูตรการทํา = ∑ x(n ) n = −∞ π ( t − nT ) / T Interpolation CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-49 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  50. 50. × dsp_3_1.jpg แต่ละจุดของ x(n) ถูกคูณด้วย sinc function ทีมีการเลือน ตําแหน่ง dsp_3_2.jpgCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-50 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  51. 51. ผลการคูณของแต่ละตําแหน่งCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-51 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  52. 52. ผลรวมของการทํา interpolation คือสัญญาณคืนรูป dsp_3_9.jpgCESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-52 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
  53. 53. สรุ ป• การแปลง DTFT ทําให หาผลตอบสนองความถีของ ่ ระบบได• เราสามารถหาผลลัพธการประสานไดจากการทํา DTFT• การสุมสัญญาณทําใหเกิดผลตอบสนองความถีเป็ นราย  ่ คาบ• ความถีการสุมจะตองมากกวา 2 เทา ของ ความถีแอนา ่  ่ ลอกสูงสุด โดยคืนรูปสัญญาณไดโดยการใชวงจรกรองตํา่ ผานกับสัญญาณไมตอเนื่องทางเวลา CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com DSP3-53 Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon

×