Ekvationssystem

2,173 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
2,173
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
12
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Ekvationssystem

  1. 1. Vad menas med en lösning till en ekvation? • Ekvationen x + 2 = 5 är av första graden med en obekant. Den har en enda lösning, nämligen x = 3. • Ekvationen x + y = 5 är också av första graden men med två obekanta. • En lösning till denna ekvation består av ett talpar, t.ex. x = 4 och y = 1.
  2. 2. 5 4 3 2 1 7 6 0 -1 -2 -3 y x 5 6 73 4-3-4 -2 -1 0 21 Grafisk tolkning: x + y = 5 motsvarar en linje. Varje punkt på linjen är en lösning. Till ekvationen x + y = 5 <=> y = -x + 5 kan vi finna hur många lösningar som helst. (0,5) (2,3) (7,-2) Här är några exempel: x = 0 y = 5 x = 2 y = 3 x = 7 y = -2
  3. 3. Talpar  punkter Varje talpar (lösning) motsvaras av en punkt på linjen som motsvaras av ekvationen. Omvänt är koordinaterna för varje punkt på linjen en lösning till ekvationen x + y = 5.
  4. 4. Ekvationen x – y = 1 har också den ett obegränsat antal lösningar, t.ex. 5 4 3 2 1 7 6 0 -1 -2 -3 -3-4 -2 -1 0 21 3 4 5 6 7 y x x = 0 y = -1 x = 2 y = 1 x = 5 y = 4 (0,-1) (2,1) (5,4)y = x – 1
  5. 5. Ekvationssystem • Om vi sätter ihop två ekvationer med två obekanta får vi ett ekvationssystem. • Vi markerar ekvationerna med en klammer.    =− =+ 1 5 yx yx
  6. 6. Nu ritar vi de båda linjerna x + y = 5 och x – y = 1 i samma koordinat system. 5 4 3 2 1 7 6 0 -1 -2 -3 -3-4 -2 -1 0 21 3 4 5 6 7 y x (3,2) y = x – 1y = - x + 5 Linjerna skär varandra i en punkt. Vi läser av koordinaterna    = = 2 3 y x
  7. 7. 5 4 3 2 1 7 6 0 -1 -2 -3 -3-4 -2 -1 0 21 3 4 5 6 7 y x y = x – 1y = - x + 5 En skärningspunkt. En lösning!    =− =+ 1 5 yx yx
  8. 8. 5 4 3 2 1 7 6 0 -1 -2 -3 -3-4 -2 -1 0 21 3 4 5 6 7 y x y = - x + 1 y = - x + 5Linjerna är parallella. Ingen gemensam punkt. Ingen lösning!    =+ =+ 1 5 yx yx
  9. 9. 5 4 3 2 1 7 6 0 -1 -2 -3 -3-4 -2 -1 0 21 3 4 5 6 7 y x 2x + 2y = 6 y = -x +3 x + y = 3 y= - x + 3 Linjerna samman- faller. Obegränsat många lösningar!    =+ =+ 622 3 yx yx
  10. 10. Ekvationssystem Ett ekvationssystem består av två eller flera ekvationer som tillsammans har en lösning. Exemplet ovan består av två ekvationer med två obekanta, x och y. Svaret består därför av ett x och ett y-värde som uppfyller båda ekvationerna. Systemet ovan har lösning x = 14 och y = 10    =+ =+ 5832 24 yx yx       =⋅+⋅ =+ 58 58 103142 24 24 1014   Kontroll:
  11. 11. Lösningsmetoder Additionsmetoden Idén är att addera ihop ekvationerna för att få en enklare.    =+ =+ 5842 24 yx yx 1. Multiplicerar första ekvationen med (-2) för att få -2x 2−⋅    =+ −=−− 5842 4822 yx yx 2. Adderar ihop de två ekvationerna så att x:n försvinner, får enkel ekvation som löses5102 =⇒= yy 3. Sätter in y = 5 i en av ekvationerna och beräknar x. 19524 245 =−= =+ x x    = = 5y 19x :Svar
  12. 12. Lös ekvationssystemet 5x + 2y = 80 ∙ -3 11x + 3y = 155 ∙ 2 5x +2y = 80 11x + 3y =155 - 15x – 6y = -240 22x + 6y = 310 Additionsmetoden innebär att ekvationer adderas led för led. Genom att först multiplicera en eller båda ekvationerna med lämpliga tal, kan man åstadkomma att den ena variabeln försvinner (elimineras). Vill vi få bort y-termerna vid addition, kan vi multiplicera den första ekvationen med –3 och den andra med 2. 7x = 70 x =10 Insättning i den ursprungliga ekvationen ger: 5 ∙10 + 2y = 80 2y = 30 y = 15 x = 10 y = 15 Svar: Ekvationssystemet har lösningen
  13. 13. Substitutionsmetoden Idén är att bryta ut x (eller y) i den ena ekvationen och sedan sätta in det i den andra ekvationen.    =+ =+ 5842 24 yx yx yx 24−=→ 1. Väljer ”enklaste” ekvationen och bryter ut x 584)24(2 =+−⋅ yy 2. Sätter in i den andra! Får en ekvation med bara y:n! 5 58248 584248 = =+ =+− y y yy 3. Löser ekvationen, y = 5 1952424 =−=−= yx 4. Sätter in y = 5 i den ekvation jag skrev om från början och beräknar x. Har nu hela svaret! x = 19, y =5
  14. 14. Är inte ekvationen skriven på formen y = kx + m så måste vi börja med att skriva om innan vi kan rita upp! Nackdel: Ger inte alltid exakta lösningar pga avläsning Grafisk lösning Rita upp och finn skärningspunkten som har samma x- och y-värde för båda ekvationerna!    −= −= 1 32 xy xy Här kan vi läsa av lösningen x = 2 och y = 1
  15. 15. Problemlösning med ekvationssystem •Läs texten ordentligt. •Inför två obekanta. •Bilda två ekvationer, dvs ”översätt” problemet till matematik genom att läsa texten noggrant. •Lös ekvationssystemet. •Skriv svar på frågan. Kontrollera vad som frågas i texten.
  16. 16. Priset för sju semlor och åtta koppar kaffe är 20 €. För fyra semlor och sex koppar kaffe får man betala 13 €. Anders och Ida vill ha varsin semla med kaffe. Vad ska de betala? 1. Vad är x? Vad är y? x = priset för en semla (€) y = priset för en kopp kaffe (€) 2. Teckna ekvationssystemet Sju semlor och åtta koppar kaffe kostar 20 €. Fyra semlor och sex koppar kaffe kostar 13 €.   =+ =+ 1364 2087 yx yx 3. Lös ekvationssystemet     −⋅=+ ⋅=+ 81364 62087 yx yx Använd Additionsmetoden. Multiplicera ekvation A med 6 och ekvation B med -8 så tar y- termerna ut varandra. 6,1 1610 = = x x Sätt in x = 1,6 i någon av ekvationerna och lös ut y.    −=−− =+ 1044832 1204842 x yx
  17. 17. 4. Tolka och kontrollera svaret Kontrollera svaret i båda ekvationerna.    = = 1,1 6,1 y x Man frågar efter priset på en semla och en kopp kaffe. En semla och en kopp kaffe kostar: 1,6 € + 1,1 € = 2,7 € Svar : Anders och Ida ska betala 2,7 € var. 1,1y 6,66 136y4,6 1366,14 = = =+ =+⋅ y y
  18. 18. Maria arbetar på en pizzeria. På lördagarna får hon 7,5 €/h och övriga dagar 5,0 €/h. En vecka fick hon 145 € för totalt 24 h. Hur många timmar arbetade hon på lördagen? 1. Vad är x? Vad är y? x = antal timmar på lördagen y = antal timmar övriga dagar 2. Teckna ekvationssystemet Hon har arbetat 24 timmar totalt. Hon tjänar 7,5 €/h på lördagar och 5,0 €/h övriga dagar. Totalt 145 €.   =+ =+ 1450,55,7 24 yx yx 3. Lös ekvationssystemet Sätt in y = 14 i den första ekvationerna och lös ut x. 14 2,5- 35- y 355,2 == −=− y y   =+ ⋅=+ 1450,55,7 -7,524 yx yx    =+ −=−− 1450,55,7 1805,75,7 yx yx
  19. 19. 4. Tolka och kontrollera svaret Kontrollera svaret i båda ekvationerna.    = = 14 10 y x Man frågar efter antal timmar på lördagen. Hon arbetade 10 timmar på lördagen och 14 timmar övriga dagar. Svar : Maria arbetade 10 timmar på lördagen . x + 14 = 24 x = 24 – 14 x = 10
  20. 20. Exempel Ett gäng som är på ett cafe beställer kaffe för 1,5 €/st och Caffe Latte för 2,5 €/st. De är 10 st och får en sammanslagen räkning på 19 €. Hur många drack vanligt kaffe resp. Caffe Latte? De var totalt 10 st    =+ =+ 195,25,1 10 yx yx Vi börjar med att anta: x = antal kaffe, y = antal Caffe Latte och ställer upp: 1,5 € x antal kaffe + 2,5 € x antal Caffe Latte = 19 € 195,2)10(5,1 ger10 =+− −= yy yx 4 40,1190,115 195,25,115 = =⇔=+ =+− y yy yy 64104 =−=⇒= xy Svar: 6 st (x) drack kaffe och 4 st (y) drack Caffe Latte Visar lösning med substitutionsmetoden Kan också använda additionsmetoden.

×