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Tema 3 de Matemáticas para las Ciencias Sociales de 1 Bach del IES Carlos Cano.
Ecuaciones y sistemas

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1. 1. Tema 3 Ecuaciones y Sistemas
2. 2. Introducción. Ecuaciones. Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que sólo es cierta para determinados valores de las incógnitas. A estos valore se les denominan soluciones de la ecuación. Ejemplos: Ecuaciones polinómicas P(x )=0 Ecuaciones Racionales P(x ) Q(x ) =0 Ecuaciones Irracionales √ x ²−1+1=x Ecuaciones exponenciales 3x+1−32 x=27 Ecuaciones Logarítmicas ln (x+3)−Lnx2=2 Etc...
3. 3. Ecuaciones polinómicas. El número de soluciones de una ecuación polinómica es menor o igual que el grado del polinomio. Ecuaciones Equivalentes. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.: Resolución de Ecuaciones. Es el proceso mediante el cual encontramos ecuaciones equivalentes a la original de la forma X= n donde n es un número real. La resolución de ecuaciones polinómicas es equivalente a encontrar los ceros del polinomio.
4. 4. Ecuaciones polinómicas de 2º Grado. ax 2 + bx + c = 0 con a≠ 0 Son reducibles a la forma El número de soluciones depende del discriminante. Δ = b2− 4⋅a⋅c Si Δ > 0 tendrá dos soluciones reales simples. Si Δ = 0 tendrá una solución real doble Si Δ < 0 no tendrá solución real. Tendrá solución dentro del conjunto de los números complejos ℂ. Las soluciones de la ecuación de segundo grado pueden calcularse con la fórmula x = −b ± √ b 2− 4⋅a⋅c 2⋅a
5. 5. Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado Sea x1 y x2 las soluciones de la ecuación de segundo grado. Entonces −b a x1+ x2= x1⋅x2= c a Y el polinomio se factoriza como ax2+bx+c=a⋅(x−x1)⋅(x−x2)
6. 6. Ecuaciones Trinómicas a x2n+bxn+c=0 Son ecuaciones de la forma que se reducen a ecuaciones de segundo grado mediante un cambio de variable. xn=t Ecuaciones Polinómicas de grado superior Una vez resuelta la ecuación de segundo grado se deshace el cambio y se obtienen las soluciones de la ecuación original. Sólo se podrán resolver aquellas ecuaciones que se puedan factorizar y así convertirlas en otras de primer o segundo grado.
7. 7. Ecuaciones Racionales P(x) Q(x) =0 Las ecuaciones Racionales del tipo donde los dos polinomios son primos entre si, tienen por solución las raíces del numerador. Ecuaciones Irracionales Una ecuación es irracional cuando tiene la incógnita bajo el signo radical. Para resolver una ecuación irracional se siguen los siguientes pasos: 1.Se aísla un radical en un miembro. 2.Se eleva al cuadrado los dos miembros. (La ecuación resultante ya no es equivalente a la anterior, pero sigue teniendo todas las soluciones de la original). 3.Se repite el proceso anterior si aun queda algún radical. 4.Se resuelve la ecuación resultante y se comprueban las soluciones.
8. 8. Ecuaciones Exponenciales Una Ecuación es Exponencial cuando la incógnita aparece en el 4⋅23x=2048 22⋅23x=211⇒23 x+2=211⇒3 x+2=11⇒ x=3 23 x=153 23 x=153⇒log23 x=log153⇒ xlog28=log153⇒x= En este caso no se pueden escribir como dos potencias de igual base, para resolverla tomamos logaritmos y operamos. log153 log8 exponente de una potencia. Su solución no tiene un procedimiento general, pero hay algunos procedimiento usuales para algunos tipos de ecuaciones exponenciales. Ejemplos: 1.- Se puede escribir como dos potencias de igual base y se reduce a igualar los exponentes. 2.-
9. 9. Ecuaciones Exponenciales Ejemplos: Ecuaciones resolubles mediante cambio de variable 3x+3x−1+3x−2=13 z+ 1.- Se hace el cambio tras aplicar las propiedades de las potencias. Nos quedará la ecuación: z 3 + z 32 =13⇒ 9 z+3 z+z 9 3x=z =1⇒13 z=13⋅9⇒ z=9 Y deshaciendo el cambio nos queda 9x+1−28⋅3x+3=0 3x=9⇒ x=2 9⋅z2−28 z+3=0 Resolviendo la ecuación de segundo grado tenemos z1=3 y z2 =1/9 y deshaciendo el cambio x1=1 y x2=-2 2.- Se hace el cambio 3x=z Nos quedará la ecuación:
10. 10. Ecuaciones Logaritmicas Una Ecuación es Logaritmica cuando la incógnita aparece afectada por un logaritmo Su solución no tiene un procedimiento general. Pero siempre tendremos que usar : ● Definición de logaritmos. ● Igualdad de logaritmos. ● Propiedades de los logaritmos Ejemplo. logam=z⇒az=m logam=loga p⇔m=p 2⋅log x−log(x−16)=2⇒log x2−log(x−16)=2log10⇒ log (x2 )=log 100⇒x2 =100 x−16 x−16 x2=100⋅( x−16)⇒ x2−100 x+1600=0⇒ x1=80 y x2=20
11. 11. Sistemas de Ecuaciones Definición: Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse para los mismos valores. La Solución de un sistema será un conjunto de números que sustituidos en todas las ecuaciones, las convierten en igualdades numéricas. Resolver un sistema consiste en encontrar todas y cada una de las soluciones. Clasificación de los sistemas según su número de soluciones. Se Clasifican en : Determinados (solución única) ● Compatibles ● ( Tienen solución) Indeterminados (infinitas soluciones) ● Incompatibles no tienen solución
12. 12. Sistemas de Ecuaciones Lineales Definición: Un sistema de ecuaciones es lineal cuando todas sus ecuaciones son de 1er grado. Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas tiene la forma {a11 x1+a12 x2+⋯+a1n xn=k1 a21 x1+a22 x2+⋯+a2n xn=k2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am1 x1+am2 x2+⋯+amn xn=k m ● Las incógnitas son x 1 , x 2 , ..., x n . ● Los coeficientes son a ij ● Los términos independientes son k 1 , k 2 , ..., k m . La primera ecuación se denota con E1 , la segunda con E2 y así sucesivamente.
13. 13. Sistemas Equivalentes Definición Sistemas equivalentes son aquellos que tienen las mismas soluciones aunque no tengan el mismo número de ecuaciones. Criterios de Equivalencia. ● Criterio 1: si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado. ● Criterio 2: si en un sistema sustituimos una ecuación por la suma de ella con una combinación lineal de otras, resulta otro sistema equivalente al dado. ● Criterio 3: si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es combinación lineal de otras, esta ecuación se puede suprimir y resulta un sistema equivalente al dado.
14. 14. Método de Gauss Definición Un sistema de ecuaciones es escalonado si cada ecuación tiene una incógnita más que la inmediatamente inferior. La solución de un sistema escalonado se realiza por sustitución de abajo hacia arriba. Definición El método de Gauss consiste en convertir el sistema en otro equivalente que sea escalonado Para ello podemos : Cambiamos el orden de dos ecuaciones. Lo denotamos por Ei ↔ Ej Multiplicamos los dos miembros de una ecuación por un mismo número. Lo denotamos por Ei → tEi Cambiamos una ecuación por la suma de ella misma más una combinación lineal de otras. Lo denotamos por Ei → Ei + tEj Suprimimos las ecuaciones que sean combinación lineal de otras.
15. 15. Método de Gauss Ejemplo {2 x+ y – z=0 x – y+2 z=5 x+ y+z=3 E1↔E3 {x+ y+z=3 x – y+2 z=5 2x+ y – z=0 E2E2−E1 E3E3−2 E1 {x+ y+z=3 – 2 y+z=2 – y – 3 z=– 6 E2↔E3 { x+ y+z=3 – y – 3 z=– 6 E3E3−2 E2 7 z=14 Cuya solución es: {x=1 y=0 z=2 En forma matricial (2 1 – 1 ∣0 1 – 1 2 ∣5 1 1 1 ∣3) F1↔F3 (1 1 1 ∣3 1 – 1 2 ∣5 2 1 –1 ∣0) F2F2−F1 F3F3−2 F1 (1 1 1 ∣ 3 0 −2 1 ∣ 2 0 – 1 −3 ∣−6) 0 – 1 −3 ∣−6 0 0 7 ∣14) { x+ y+z=3 F2↔F3 F3F3−2 F2 (1 1 1 ∣ 3 7 z=14 {x=1 – y – 3 z=– 6 y=0 z=2
16. 16. Sistemas de Ecuaciones no Lineales Definición: Un sistema de ecuaciones es no lineal cuando no todas sus ecuaciones son de 1er grado. Ejemplos: {x2+ y2=61 x⋅y=30 {4x+4y=126 {log x – log y=1 125⋅4x=5y x+ y=22 Estos sistema de ecuaciones es no lineal se resolverán por los métodos ya conocidos de sustitución, igualación o reducción, aplicando las propiedades de las potencias o de los logaritmos igual que en la resolución de ecuaciones. En los sistemas no lineales siempre hay que comprobar las soluciones.