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Tema 6

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Funciones Reales

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Tema 6

  1. 1. Tema 6 Límites y Continuidad
  2. 2. 1. Introducción El concepto de límite es el fundamento del cálculo. En el siglo XIX, eminentes matemáticos, Augustin-Louis Cauchy y Karl Weiertrass entre otros trataron de precisar el concepto de límite. Se incluye en este capítulo también el estudio del concepto de continuidad de una función que está basado en el concepto de límite. Se incide en la aplicación de los límite para la representación de funciones, sobre todo las racionales en el cálculo de las Asíntotas, horizontales, verticales y oblicuas.
  3. 3. 2. ¿Qué es un límite? Para una función matemática y = f (x), en un punto x = a, la expresión “límite de f (x) cuando x es tan próximo a “a” como queramos” (x a), es el valor al que se aproxima la función→ cuando el valor de x se acerca a a tanto como se quiera, simbólicamente lo escribimos de la forma : Así decimos que pues cuando Hay una definición formal de límite pero por su dificultad se puede prescindir de ella y trabajar de una forma intuitiva. lim x →1 x2 =1 Definición lim x→ a f (x)=L x 1 , x 2 1
  4. 4. 2.1. Cálculo de límite usando tablas A continuación usaremos una técnica simple e intuitiva de calcular el límite diseñando una tabla de valores para la función. Vamos a verlo. Se la función y nos aproximamos a 4 por la izquierda ( ) entonces Si nos aproximamos a 4 por la derecha ( ) entonces Por lo tanto cuando Luego la función es convergente en x=4 es decir existe el límite en x=4 y vale 8 f (x)=x 2 −2x x 4 - f (x) 8 x 4 + f (x) 8 x 4 - ⇒f (x) 8 x 4 + ⇒f (x) 8}x 4⇒ f (x) 8 lim x→4 f (x)=lim x→4 x2 −2x=8
  5. 5. 2.1. Cálculo de límite usando tablas Veamos ahora el comportamiento de la función g(x) = x – E [x], o función que nos da la parte decimal de x, cuando x tiende a 1 por la izquierda y por la derecha. La tabla siguiente nos muestra la tendencia por la izquierda: Si nos aproximamos por la derecha : Luego: x 1- ⇒g(x) 1 x 1 + ⇒g(x) 0}⇒∄ lim x 1 g( x)
  6. 6. 2.1. Límites laterales Definición Una función f(x) tiene por límite L cuando x tiende a x0 por la izquierda si al dar valores a x próximos a x0 y menores que x0 los correspondientes valores que toma la función f (x) se aproximan a L Simbólicamente: lim x → x0 - f ( x)=L Una función f (x) tiene por límite L cuando x tiende a x0 por la derecha si al dar valores a x próximos a x0 y mayores que x0 , los correspondientes valores que toma la función f (x) se aproximan a L. Simbólicamente: lim x → x0 + f (x)=L
  7. 7. 2.2.Límite de una función Definición Una función f(x) tiene por límite L en x0 , Si existe el límite por la izquierda y por la derecha y además coinciden y valen L. Simbólicamente: lim x → x0 f ( x)=L⇔ { lim x → x0 - f ( x )=L lim x → x0 + f ( x )= L Nota: Observar que en el ejemplo, la función no está definida en x =0 y aún así f(x) parece aproximarse a un límite a medida que x se aproxima a 0. Esto ocurre con frecuencia, y es importante percatarse de que la existencia o inexistencia de f(x) en x0 no guarda relación con la existencia del límite de f(x) cuando x se aproxima a x0 . Definición Una función f(x) es convergente en un punto x0 si tiene límite en dicho punto.
  8. 8. 2.2.Límites Infinitos Una función f(x) es Divergente en un punto x0 si al acercarnos a dicho punto la función crece o decrece indefinidamente, sin límite. Definición Observar que el signo de igualdad en la expresión lím f(x)=∞ no significa que el límite exista. Por el contrario, indica la razón de su no existencia al denotar el comportamiento no acotado o no limitado de f(x) cuando x se aproxima a x0 .
  9. 9. 2.3 Asíntotas verticales Una función presenta una asíntota vertical en un punto x0 , si la función es divergente en ese punto. Es decir: Definición lim x  x0 f (x)=∞
  10. 10. 3. OPERACIONES CON LÍMITES Si b y c son números reales y n un entero positivo, f(x) y g(x) son funciones con los límites siguientes:
  11. 11. 4.1 CÁLCULO DE LÍMITES EN UN PUNTO Para calcular el límite de una función, cuando x tiende a x0 , basta con sustituir x0 en la función y si nos da un número ya tenemos resuelto el límite. Si obtenemos una indeterminación tendremos que resolverla. Las expresiones indeterminadas son: ∞ ∞ ; 0 0 ; K 0 ; 0⋅∞; ∞−∞; 1 ∞ ; 0 0 ; ∞ 0
  12. 12. 4.2 CÁLCULO DE LÍMITES EN INFINITO Hablamos de Límite en infinito cuando vemos que le pasa a la función para valores muy grandes de la variable independiente. Si la función crece indefinidamente el límite será infinito. Si los valores de la función se acercan a un valor finito, este será el límite. Ejemplos
  13. 13. 4.3 OPERACIONES CON EXPRESIONES INFINITAS
  14. 14. 5. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Aparece al calcular límites de cociente entre polinomios o de funciones irracionales. En el primer caso se factorizan los polinomios y se simplifica. En el segundo, se racionaliza y después se simplifica. Ejemplos 0 0 1. Indeterminación lim x  1 x 3 −3 x+2 x2 −3 x+2 = 0 0 =lim x  1 (x−1) 2 ⋅(x+2) (x−1)⋅(x−2) =lim x 1 (x−1)⋅(x+2) (x−2) =0 lim x 2 √x 2 +5−3 x2 −2x = 0 0 =lim x2 (√x2 +5−3)⋅(√x2 +5+3) (x2 −x)⋅(√x2 +5+3) =lim x 2 (x−2)⋅(x+2) x(x−2)(√x2 +5+3) =lim x 2 (x+2) x(√x2 +5+3) = 1 3
  15. 15. 5. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Aparece al calcular límites de cociente entre funciones. Ejemplos Cuando las funciones son polinómicas, Para resolverlo solo hay que comprar los grados. ● Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador el límite es infinito. ● Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador el límite es 0 ● Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador el límite es el cociente entre los coeficiente de mayor grado. ∞ ∞2. Indeterminación lim x+∞ x 3 −3x+2 x2 −3x+2 =+∞ 0 +∞= lim x+∞ x 3 x2 = lim x+∞ x=+∞
  16. 16. 5. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Aparece al calcular límites de cociente entre polinomios. Para resolverla calculamos limites laterales. Ejemplos K 0 3. Indeterminación lim x  2 x 2 +2 x−2 = 6 0 = Calculamos límites laterales lim x 2- (x 2 +2) (x−2) =−∞ lim x 2 + (x2 +2) (x−2) =+∞}⇒No Existe Límite
  17. 17. 5. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Este tipo de se transforma operando en una indeterminación ó Ejemplos 0⋅∞4. Indeterminación lim x +∞ 1 x ⋅√x2 +3 x=0⋅∞= lim x +∞ √x2 +3 x x =∞ ∞ = lim x +∞ √x2 +3 x x2 = √lim x +∞ x2 +3 x x2 =√1=1 ∞ ∞ 0 0 5. Indeterminación ∞−∞Este tipo de se transforma operando en una indeterminación ∞ ∞ lim x +∞ √4 x 2 −5 x−2 x=∞−∞= lim x +∞ (√4 x2 −5 x−2 x)⋅√4 x2 −5 x+2 x √4 x 2 −5 x+2x = lim x +∞ 4 x2 −5 x−4 x2 √4 x 2 −5 x+2 x = lim x +∞ −5 √4− 5 x +2 = −5 4 Ejemplos
  18. 18. 5. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Para resolver esta indeterminación aplicamos la propiedad: Ejemplos 6. Indeterminación lim x  0 (1+3 x) 2 x =1 ∞ =e lim x 0 2 x ⋅(1+3x −1) =e lim x  0 6 x x =e 6 1∞
  19. 19. 6. Asíntotas Una Asíntota es una recta hacia la cual se dirige la gráfica de la función sin llegar a tocarla. Una función puede poseer tres tipos de asíntotas: ● Asíntota vertical. Recta paralela al eje OY a la cual se acerca la función sin tocarla. Tiene la forma x=x0 donde x0 son los puntos que no pertenecen al dominio y se cumple que ● Asíntota Horizontal. Recta paralela a eje OX de la forma y=L donde ● Asíntotas oblicuas. Son recta de la forma y=mx+n donde Definición lim x →x0 f (x)=±∞ lim x →±∞ f (x)=L m=lim x→ x0 f (x ) x y n=lim x→ x0 f (x )−mx
  20. 20. 7. Continuidad Una función es continua en un punto, de abscisa x0 , si y solo si se cumples las tres condiciones siguientes: 1. Existe el limite en x0 2. La función está definida en x0 3. Los dos valores anteriores coinciden Una función es continua en un intervalo (a, b) , si lo es en todos y cada uno de sus puntos Definición 1 lim x →x0 - f ( x)=lim x →x0 + f (x)=L 2 ∃ f (x0) 3 lim x →x0 f ( x)=f (x0)
  21. 21. 7.1 Continuidad. Propiedades ● Las funciones elementales ( Polinómicas, Exponenciales, Logarítmicas, Circulares y sus inversas ) son continua en sus dominios de definición. ● Si f(x) y g(x) son funciones continuas en x0 entonces: 1. f(x) + g(x) es continua en x0 2. f(x) - g(x) es continua en x0 3. f(x) · g(x) es continua en x0 4. t · f(x) +g(x) es continua en x0 ∀ t ∈ ℝ 5. f(x) / g(x) es continua en x0 , siempre que g(x0 ) ≠ 0
  22. 22. 7.2 Discontinuidades. ClasificaciónUna función es discontinua en un punto si no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad. ➢ Las discontinuidades evitables son aquellas en las que no se cumple que: ● Si no se cumple porque son dos valores distinto tendremos una discontinuidad evitable por punto desplazado. ● Si no se cumple porque no existe f(x0 ), tendremos una discontinuidad evitable por falta de punto. ➢ Las discontinuidades No evitables son aquellas en las que no existe linite en xo ● Si no existe el limite por ser los limites laterales distinto tendremos una discontinuidad de salto finito ● Si no existe el limite por ser infinito alguno de los limites laterales, tendremos una discontinuidad de salto infinito lim x →x0 f (x)=f (x0)
  23. 23. 7.2 Discontinuidades. Clasificación Ejemplos Discontinuidad de salto finito Discontinuidad de salto infinito Discontinuidad evitable de punto desplazado Discontinuidad evitable por falta de punto

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