luz

1. Universidade Estadual de Londrina
Laboratório de Física Moderna
6FIS-027
Determinação da velocidade da luz pelo
Método de Foucault
Rafael Bratifich
Turma 0001
Profº Dr Américo Tsuneo Fujii
afujii@uel.br
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Física - UEL

2. Sumário
1.0 Objetivo.........................................................................................................................04
2.0 Introdução.....................................................................................................................04
2.1 As primeiras medidas da velocidade da luz........................................................04
2.2 O Experimento de Galileu Galilei para determinação da velocidade da luz...04
2.3 O Experimento de Ole Rømer para determinar a velocidade da luz................04
2.4 Experiência de Armand Fizeau para a determinação da velocidade da luz....05
2.5 Experiência de Jean Foucault para a determinação da velocidade da luz.......07
3.0 Metodologia...................................................................................................................07
3.1 O Método de Foucault..........................................................................................07
3.2 Fundamentos Teóricos.........................................................................................08
3.3 - Materiais Usados para o Experimento.............................................................10
3.4 Montagem e Procedimentos Experimentais.......................................................11
3.5 Medindo a Velocidade da Luz..............................................................................12
4.0 Resultados.....................................................................................................................12
5.0 Análise dos Resultados.................................................................................................13
6.0 Conclusão......................................................................................................................16
7.0 Bibliografia....................................................................................................................17
2

3. Lista de Figuras
1 Experimento de Ole Rømer.............................................................................................05
2 Experimento de Armand Fizeau.....................................................................................06
3 Diagrama do arranjo experimental de Foucault para medição da velocidade da luz.07
4 a) Quando M R=M A está no ângulo  , o laser é refletido no ponto S de M F . .08
4 b) Quando M R=M A está no ângulo 1 , o laser é refletido no ponto S1 de M F 08
5 Imagens virtuais..............................................................................................................09
6 Alinhamento dos componentes.......................................................................................11
7 Gráfico da Frequência(Hz) em função da Posição(m)...................................................14
Lista de Tabelas
1 Resultados das medidas..................................................................................................12
2 Análise dos dados e cálculo da constante c....................................................................14
3 Dados do ajuste linear da Figura 7................................................................................14
3

4. 1.0 Objetivo
O seguinte experimento realizado no Laboratório de Física Moderna da
Universidade Estadual de Londrina tem como objetivo determinar a velocidade da luz
no ar pelo Método de Foucault.
2.0 Introdução
2.1 As primeiras medidas da velocidade da luz
A história da busca pelo valor da velocidade da luz é tão velha quanto a própria
ciência. Os antigos pensavam que a luz tinha velocidade infinita, achando que ela
poderia percorrer qualquer distância, por maior que fosse, sem gastar nenhum tempo
para isso. Empédocles foi o primeiro a sugerir que a luz requeria provavelmente um
tempo finito para passar entre dois pontos. Galileu Galilei talvez foi o primeiro a
propor um método para tentar medi-la em seu manuscrito Duas Novas Ciências.
2.2 O Experimento de Galileu Galilei para determinação
da velocidade da luz
A experimento de Galileu para determinar a velocidade da luz era colocar dois
homens A e B, o mais afastado possível um do outro, cada qual com uma lamparina
coberta por um pano. Um deles A, descobria sua lamparina, de modo que o outro B,
pudesse vê-la. Por sua vez B, descobria a sua no instante em que ele visse a luz de A, e
A media o tempo entre descobrir sua lanterna e enxergar a luz de B. A distância entre
eles era conhecida. O resultado do experimento foi: a velocidade da luz possui um valor
muito alto, ao qual não foi possível ser determinado. Certamente a experiência falhou
porque o tempo de reação dos dois indivíduos era grande e também havia variações
maiores do que o tempo necessário para a luz percorrer os poucos quilômetros entre os
dois observadores.
2.3 O Experimento de Ole Rømer para determinar a
velocidade da luz
Em 1675, o astrônomo dinamarquês Ole Christensen Rømer, fez a primeira
4

5. medida da velocidade da luz utilizando uma distância astronômica em vez de
terrestre.
Rømer observou uma das luas de Júpiter denominada Io. Ele constatou que em
um definido período da órbita terrestre onde Terra, Sol e Júpiter estariam alinhados Io
se eclipsava com Júpiter a cada 28 horas, impedido de ver este eclipse devido a posição
desfavorável da Terra, ele fez previsões da hora e dia que seria possível ver o próximo
eclipse de Io assim que a Terra voltasse a uma posição favorável em sua órbita. No dia
e hora marcado o telescópio foi apontado para Júpiter e se constatou um atraso de 17
minutos na ocorrência do eclipse.
Intrigado com o fato ele observou que os eclipses de Io ocorriam em intervalos
ligeiramente menores à medida que a terra se aproximava de Júpiter, de C para A; do
que quando ele se afastava de Júpiter, de A para C.
Figura 1: Experimento de Ole Rømer
Desde que o tempo entre os eclipses era praticamente constante, Rømer
interpretou que essa diferença se deve ao o tempo necessário para os sinais luminosos
do eclipse atravessarem o diâmetro da órbita terrestre. Como o diâmetro médio da
terra era conhecido, e o ele calculou essa diferença do tempo. Rømer calculou a
velocidade da luz como sendo de 307.200 km/s.
2.4 Experiência de Armand Fizeau para a determinação
da velocidade da luz
Em 1849, o físico francês Armand Hyppolyte Louis Fizeau conseguiu medir a
velocidade da luz com boa precisão em um laboratório. Ele usou uma grande roda
dentada girando rapidamente em frente a uma fonte que funcionava da seguinte
forma:
5

6. Figura 2: Experimento de Armand Fizeau
A luz emitida por uma fonte S , atravessa a lente convergente L1 , é refletida
pelo espelho semi-transparente M 1 e forma, no espaço, em S1 uma imagem da
fonte. O espelho M 1 foi coberto com uma película muito fina dando a ele uma
propriedade de ser semi-espelhado. A luz, proveniente da imagem S1 , penetra na
lente L2 e emerge do lado oposto com um feixe paralelo. Após passar pela lente L3 ,
é refletida pelo espelho M de volta, em sentido contrário, mas a sua direção original.
No experimento de Fizeau, a distância d entre a imagem S1 e o espelho M foi
de 8,630 m. Quando a luz atinge, novamente, o espelho M 1 parte dela é transmitida,
indo até o olho do observador, após atravessar a lente convergente L4 . Assim, o
observador verá uma imagem da fonte S1 formada por luz que terá percorrido uma
distância 2d, de ida e volta entre a roda e o espelho M . Na experiência de Fizeau a
luz, passa por uma roda dentada R1 . Se esta roda gira lentamente, a imagem vista
pelo observador será intermitente. A medida que sua velocidade aumenta a imagem
formada no olho do observador diminui as interrupções. Contudo, pode-se aumentar a
frequência de rotação da roda até que nenhuma imagem seja formada no olho do
observador. Isto ocorrerá quando o tempo gasto pela luz para percorrer a distância 2d
for igual ao tempo gasto para girar a fenda de um ângulo a equivalente ao ângulo
entre dois dentes consecutivos da roda dentada. Sendo isto possível, como Fizeau
conhecia os valores de d, a e v, facilmente calculou a velocidade da luz. No primeiro
experimento realizado por Fizeau, a roda tinha 720 dentes, v = 12,609 rps, d = 8.630m
e o ângulo a = 1/1.440 de rotação. Com isto ele obteve, para a velocidade da luz, o valor
de c = 313.300 km/s. Numa segunda tentativa ele melhorou os seus resultados,
encontrando c = 301.400 km/s, resultados estes considerados, na época, de grande
precisão.
6

7. 2.5 Experiência de Jean Foucault para a determinação da
velocidade da luz
Em 1850, Jean Bernard Léon Foulcault aprimorou o experimento de Fizeau
utilizando um espelho rotatório no lugar de uma roda dentada. Este experimento esta
detalhado na seção 3.1 O Método de Foucault
3.0 Metodologia
3.1 O Método de Foucault
Figura 3: Diagrama do arranjo experimental de Foucault para medição da velocidade da luz.
Para determinar a velocidade da luz usaremos o método desenvolvido por
Foucault em 1862.
Com todo o equipamento devidamente alinhado e o espelho rotatório parado,
conforme diagrama do arranjo experimental mostrado na Figura 3. O feixe paralelo de
luz, criado pelo laser, é focado no ponto s pela lente L1 . A lente L2 é posicionada
de modo que a imagem em s é refletida pelo espelho rotatório M R , para um espelho
esférico fixo M F . M F reflete a luz de modo que este feixe volte ao ponto s
seguindo a mesma trajetória, formando assim uma imagem em s .
Colocando-se um espelho semi-transparente ao longo da trajetória dos feixes,
pode-se observar o ponto refletido por M F em um microscópio posicionado no ponto
s' .
Agora, temos duas situação distintas a serem analisadas a primeira supondo
7

8. que M R é levemente rotacionado e a segundo que M R é rotacionado continuamente
a uma velocidade altíssima.
Na primeira situação o feixe é refletido em um ponto diferente de M F ,
entretanto, devido a sua forma esférica, o feixe será refletido diretamente de volta
para M R e a imagem será formada nos pontos s e s' . A única diferença
significante é que o ponto de reflexão em M F muda devido à rotação de M R .
Na segunda situação quando um pulso de luz que viaja de M R até M F e
retorna, encontra M R em um ângulo diferente do ângulo original, a imagem que
volta de M F não será mais formada nos pontos s e s' . Assim medindo no
microscópio o deslocamento da imagem causado pela rotação de M R é possível
determinar a velocidade da luz conforme será demonstrado.
3.2 Fundamentos Teóricos
Considerando o feixe de luz saindo do laser (Figura 3), inicialmente devemos
determinar como ponto de reflexão em M F se relaciona com o ângulo  de rotação
de M R .
Figura 4: a) Quando M R=M A está no ângulo  , o laser é refletido no ponto S de M F .
b) Quando M R=M A está no ângulo 1 , o laser é refletido no ponto S1 de M F .
A figura 4(a) mostra a trajetória da luz, do laser até M F , quando M R está
em um ângulo  . Neste caso, o ângulo de incidência com M R também é  . Sendo
o ângulo de incidência é igual ao de reflexão, o ângulo entre os raios incidentes e
refletidos é 2 . Como mostrado na figura 4(a), o feixe atinge M F em um ponto
denominado de S .
A figura 4(b) mostra a trajetória da luz, do laser até M F , quando M R está
em um ângulo 1= . Neste momento, o ângulo de incidência é igual a
8

9. 1= e o ângulo entre os raios incidente e refletido é 21=2 .
Denominaremos o ponto onde o feixe atinge M F de S1 . Definiremos D a distância
entre M F e M R , antes calcularmos a distância entre S e S1 temos que por
definição o arco( l ) de um circulo de raio r é dado l=r  , então a distância entre
S e S1 pode ser calculada como
S1−S=D21−2=D [2−2]=2D  (1)
Figura 5: Imagens virtuais.
Observamos que a geometria das imagens virtuais é a mesma das imagens
refletidas, tornando assim o problema uma aplicação da óptica de lentes. Com M R
em 1 , o ponto S1 está no eixo focal da lente L2 . O ponto S também está no
plano focal da lente L2 , mas a uma distância S=S1 – S .
Na teoria de lentes, sabemos que um objeto de altura S no plano focal de
L2 será focalizado no plano de s com uma altura –i/oS . Onde i e o são as
distâncias da lente até a imagem e o objeto, respectivamente, e o sinal menos
corresponde a uma inversão da imagem. Como na figura 5, a reflexão no semi-espelho
forma uma imagem similar e de mesma altura. Podemos escrever uma expressão para
o deslocamento (  s' ), ignorando o sinal menos pois não estamos preocupados com a
inversão da imagem :
 s'= s=i
oS=
A
DB
S (2)
Combinando as equações (1) e (2) :
 s'=
D A
DB
(3)
9

10. O ângulo  depende da velocidade de rotação de M R e do tempo que o pulso
de luz viaja de M R a M F e volta a M R , uma distância igual a 2 D .
=
2 D 
c
(4)
onde c é a velocidade da luz e  é a velocidade de rotação do espelho em radianos
por segundo. ( 2D/c é o tempo que o pulso de luz gasta para viajar de M R até M F
e volta para M F )
Substituindo (4) na equação (3) temos:
 s'=
4 A D
2

cDB
(5)
Reescrevendo (5) chegamos a equação final para a velocidade da luz:
c=
4 A D
2

 DBs '
(6)
podemos ainda reescrever (6) sabendo que uma volta completa em uma circunferência
corresponde a 2 , temos:
c=
8 A D
2
Rev/ sCW Rev/ sCCW 
DBs'CW −s 'CCW 
(7)
onde:
c = a velocidade da luz.
 = a velocidade de rotação do espelho rotatório ( M R ).
A = a distância entre as lentes L2 e L1 , menos a distância focal de L1 .
B = a distância entre a lente L2 e o espelho rotatório ( M R ).
D = a distância entre o espelho rotatório ( M R ) e o espelho fixo ( M F ).
 s' = o deslocamento da imagem, vista através do microscópio. (  s'=s1 – s ;
onde s é a posição da imagem quando o espelho rotatório ( M R ) está parado e s1 é
a posição da imagem quando o espelho rotatório está rodando com velocidade angular
 ).
CW = Designa o sentido horário de rotação de M R .
CCW = Designa o sentido anti-horário de rotação de M R .
3.3 - Materiais Usados para o Experimento
Para a montagem experimental foi utilizado os materiais da PASCO abaixo
10

11. listados.
1- Espelho rotatório de alta velocidade.
2- Espelho fixo.
3- Microscópio de medida.
4- Laser de He-Ne de 0,5 mW.
5- Bancada óptica de 1 m.
6- Bancada para alinhamento do laser.
7- Acopladores para as bancadas ópticas.
8- Lente com distância focal de 48 mm.
9- Lente com distância focal de 252 mm.
10- Polarizadores (2).
11- Suportes para componentes (3).
12- Peças para alinhamento do feixe de laser (2).
3.4 Montagem e Procedimentos Experimentais
Figura 6: Alinhamento dos componentes.
1 Alinhou-se os componentes na bancada óptica conforme Figura 6, alinhou-se o
laser para que o feixe atinja o centro do espelho rotatório M R . Ajustou-se o eixo de
rotação de M R tornando-o perpendicular ao feixe (quando M R rodar, havendo assim
uma posição onde o feixe é refletido diretamente na abertura do laser).
2 A lente L1 foi colocada sobre a bancada a uma distância de (0,190±0,005)m
de M R e ajustada para que o feixe continue centrado em M R . Após colocou-se a
lente L2 a uma distância de (0,491±0,005)m de M R preservando a ajuste central em
M R do feixe; colocou-se então o microscópio de medida entre L1 e L2 sempre
11

12. mantendo o ajuste do feixe em M R .
3 Posicionou-se M F a uma distância de (6,46±0,005)m de M R de modo a
haver uma abertura de aproximadamente 15º entre a diagonal de M R M F e a bancada
óptica, de tal maneira que a imagem refletida de M R atinja o centro de M F .
4 Ajustou-se a posição de L2 focalizando a imagem do feixe em M F e M F de
maneira que o feixe seja refletido de volta para M R .
Obs.: Para ajuste do feixe empregou-se o uso de polarizadores na bancada que
foram removidos durante o experimento.
3.5 Medindo a Velocidade da Luz
1 Com todos os componentes ajustados e o feixe do laser em foco, ligou-se o
motor (com a chave na posição CW) e lentamente aumentou-se a velocidade de rotação.
Então, apertou-se o botão MAX REV/SEC, quando a velocidade de rotação estabilizou,
usou-se o micrométrico para centralizar a imagem no microscópio. Anotou-se a
velocidade de rotação e a posição do micrômetro.
2 Repetiu-se os procedimentos como no passo 1 com a chave na posição CCW e
anotou-se a velocidade de rotação e a posição do micrômetro.
4.0 Resultados
Tabela 1 – Resultados das
medidas
Revolução Posição
1079 Rev/ sCW (13,45x10-3
)m
1086 Rev/ sCCW (13,17x10-3
)m
1522 Rev/ sCW (13,53x10-3
)m
1531 Rev/ sCCW (13,06x10-3
)m
12

13. 5.0 Análise dos Resultados
A partir dos dados coletados inicialmente calculamos a velocidade da luz com a
eq.(7) ,
c=
8 A D2
Rev/ sCW Rev/sCCW 
DBs'CW −s'CCW 
(7)
Sendo
A = a distância entre as lentes L2 e L1 , menos a distância focal de L1 .
B = a distância entre a lente L2 e o espelho rotatório ( M R ).
D = a distância entre o espelho rotatório ( M R ) e o espelho fixo ( M F ).
logo
A=L2 L1− focoL2=0,301±0,005m−0,048m=0,253±0,005m
B=0,491±0,005m
D=6,460±0,005m
obs.: Consideraremos o erro relacionado a medida da distância focal de L2 minimo de tal forma a ser
desprezível para o cálculo da propagação de erros.
Calculando a velocidade da luz
c1=
8∗∗0,253m∗6,46 m
2
∗1079 Rev/s1086 Rev/ s
6,46 m0,491m∗0,01345m−0,01317m
=2,951 x10
8
m/ s (8)
c2=
8∗∗0,253m∗6,46m
2
∗1522 Rev/ s1531Rev/ s
6,46 m0,491m∗0,01353 m−0,01306m
=2,479 x10
8
m/ s (9)
O cálculo da velocidade média da luz( c ) será
c=
c1c2
2
=
2,951 x10
8
m/s2,479 x10
8
m/s
2
=2,715 x10
8
m/s (10)
e o seu desvio padrão da média será
Dc=
 1
n−1
∑
i=0
n
ci−c2
(11)
Dc=2,951 x10
8
m/s−2,715x10
8
m/ s
2
2,479 x10
8
m/s−2,715 x10
8
m/s
2
=0,333 x10
8
m/s (12)
Com os valores calculados em (8), (9), (10) e (12) podemos construir a
tabela(2) de correspondência abaixo
13

14. Tabela 2 – Análise dos dados e cálculo da constante c
Medida Revolução Posição c
1
1079 Rev/ sCW (13,45x10-3
)m
(2,951x108
) m/s
1086 Rev/ sCCW (13,17x10-3
)m
2
1522 Rev/ sCW (13,53x10-3
)m
(2,479x108
)m/s
1531 Rev/ sCCW (13,06x10-3
)m
Valor médio de c( c ) (2,715±0,333)x108
m/s
Com os dados obtidos da tabela(2) podemos ainda traçar a curva que relaciona a
frequência e a posição da imagem.
Figura 7: Gráfico da Frequência(Hz) em função da Posição(m)
Tabela 3 – Dados do ajuste linear da Figura 7.
Equation y = a + b*x
Weight No Weighting
Residual Sum of
Squares
54472,55
Adj. R-Square 0,9883
Value Standard Error
A
Intercept -90587,04 5671,38
Slope 6,81E+006 426294,02
14

15. A partir da equação do ajuste linear dos dados Tabela (3), temos que a relação
entre a frequência e a posição é dada pela constante Aslope, deste modo podemos
escrever
Rev/s
posição
=

s
=ASlope (13)
A eq. (7) relaciona as condições experimentais(distâncias entre os espelhos) e as
frequências com a variação da posição da imagem; assim podemos relacionar a eq. (7)
a condição de proporcionalidade encontrada na eq. (13).
c=
8 A D
2
Rev/ sCW Rev/ sCCW 
DBs'CW −s 'CCW 
=k
Rev/ sCW Rev/sCCW 
s'CW −s'CCW 
=k ASlope (14)
onde
k=
8A D
2
DB
=
8∗∗0,253m∗6,46m
2
6,46 m0,491m
=38,17m
2
(15)
e seu erro propagado será
k=
 ∂
∂ A
k

2
A
2

 ∂
∂ B
k

2
B
2

 ∂
∂ D
k

2
D
2
k=
8
D2
DB
2
A
2
−8
A D2
DB 
2
B
2

8
AD 2 BD
BD
2

2
D
2
(16)
k=0,75
Assim k=38,17±0,75m2
, logo a partir da eq. (14) podemos calcular o valor da
constante c
c=k Aslope=[38,17m
2
]∗
[6,81 x10
6
Hz
m ]=2,599 x10
8
m/ s (17)
e seu erro será
c=
 ∂
∂k
c
2
k
2
 ∂
∂ A
c
2
 A
2
=A2
k
2
k 2
A
2
(18)
c=0,171 x10
8
O valor da constante c será c=2,599±0,171 x108
m/ s .
6.0 - CONCLUSÃO
O objetivo de medir a velocidade da luz em meio ao ar pelo método modificado
de Foucault foi concluído com sucesso, compreendemos que os dados obtidos por esse
15

16. experimento nos levariam à valores aproximados ao da constante devido à
interferência na velocidade do laser pelos gases presentes no meio, propositalmente foi
escolhido um laser com o comprimento de onda correspondente à cor vermelha por
sofrer a “menor interação” - difração - com as partículas/gases/ poeira do meio e
manter os dados com a menor interferência possível.
O valor obtido pela média da constante (c=(2,715±0,333)x108
m/s) aproxima-se do
valor de c absoluto, ou seja, do valor obtido em meio ao vácuo, c=299.792.458 m/s;
entretanto o segundo valor obtido pela relação de proporcionalidade entre frequência e
deslocamento da imagem apresenta-se abaixo do valor esperado
(c=(2,599±0,171)x108
m/s), isto deve-se ao fato de o ajuste dos pontos no gráfico da
Figura 7 apresentar poucos pontos para análise.
Observo que não foi possível calcular todos os erros/desvios e suas propagações
devido a falta de informações sobre os equipamentos usados, tais como erro associado
ao foco da lente L2 , erro associado à frequência empregada no equipamento de
rotação entre outros.
7.0 - Bibliografia
[1] http://www.ufv.br/dpf/320/velocidade_luz.pdf – Manual de Instruções da
Pasco - acesso 15/06/2011 às 15h.
[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Ole_R%C3%B8mer – Experimento de Ole Romer
- acesso 15/06/2011 às 14h.
[3] http://www.seara.ufc.br/especiais/fisica/veluz/veluz2.htm – Experimento de
Fizeau - acesso 15/06/2011 às 14h.
[4] http://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_da_luz – Velocidade da Luz - acesso
15/06/2011 às 13h.
16