Integración de funciones trigonométricas

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Integración de funciones trigonométricas

  1. 1.   [Escribir texto]    INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A partir de la definición de la integral indefinida como la función que contiene las antiderivadas de una función y del método de integración por sustitución encontramos que: Donde a es una constante. Sin embargo en algunas ocasiones se hace necesario el cálculo de integrales de diferentes potencias de las diferentes funciones trigonométricas. A continuación veremos cómo aplicar una sustitución de manera adecuada para realizar dicho cálculo.
  2. 2.   [Escribir texto]    INTEGRACIÓN DE POTENCIAS PARES DE FUNCIONES SEN X Y COS X Para calcular de forma correcta estas integrales aplicaremos las siguientes identidades trigonométricas según el caso: Por ejemplo: Calcular Como paso inicial sustituiremos la función sen2 x por su correspondiente identidad trigonométrica, esto es: Ahora sólo basta calcular la nueva integral a partir del manejo de propiedades de las integrales y de la técnica de integración por sustitución, esto es: +c Ejemplo 2: Calcular Para iniciar recordemos que a4 puede expresarse como (a2 )2 a partir de las propiedades de la potenciación. Por lo tanto:
  3. 3.   [Escribir texto]    Ahora reemplazamos por la identidad trigonométrica correspondiente y solucionamos la nueva integral: Aplicando el concepto algebraico del cuadrado de un binomio: ( (a+b)2 = a2 +2ab+b2 ) tenemos: Note que se genera otra integral que puede calcularse aplicando la misma sustitución:
  4. 4.   [Escribir texto]    INTEGRACIÓN DE POTENCIAS IMPARES DE FUNCIONES SEN X Y COS X Para calcular de forma correcta estas integrales aplicaremos las siguientes identidades trigonométricas según el caso: Ejemplo: Calcular Reescribimos la integral a partir de las propiedades de la potenciación: a3 =a2 a, esto es: Ahora aplicamos la identidad trigonométrica correspondiente: Aplicando la sustitución u= sen x Tenemos: Donde:
  5. 5.   [Escribir texto]    Por lo tanto: EJEMPLO 2: Calcular Aplicando la sustitución u=cos (2x) obtenemos:
  6. 6.   [Escribir texto]    Breve explicación: Se aplica la propiedad de la potenciación sobre producto de potencias con bases iguales ( a5 =a4 a) Se aplica la propiedad de la potenciación sobre potencia de una potencia (a4 = (a2 )2 ) Aplicamos la identidad trigonométrica correspondiente Aplicamos ley de potenciación para binomios:((a-b)2 =a2 -2ab+b2 ) Aplicamos la propiedad de las integrales que nos permite separar la integral de una suma como la suma de las integrales Solucionamos cada integral de forma independiente (en este caso para solucionar la segunda y la tercera integral aplicamos la técnica de sustitución).

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