Guía “integración de potencias de funciones trigonométricas”

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Guía “integración de potencias de funciones trigonométricas”

  1. 1. GUÍA “INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS” OBJETIVO:  Aprender a usar el método de sustitución trigonométrica para resolver integrales en que aparezcan lo radicales  Capacidad de plantear opciones de solución a diferentes tipos de problemas de aplicación del cálculo Integral. Son los casos de integrales de la forma: ∫ ∫ ∫ dx 1. ∫ a. impar positivo El que tenga potencia impar se descompone en la máxima potencia par Si es Si es El objetivo es transformar esa potencia par en términos de la otra función trigonométrica Usando la identidad ; el término de potencia 1 que queda servirá como diferencial en una integración por sustitución. EJEMPLO 1: ∫ ∫ = ∫( =∫ ) ( ) =∫ multiplicando los dos términos ∫ Remplazando en la integral tenemos: =∫ ( ) ∫ ( ) integramos
  2. 2. = EJEMPLO 2: ∫ En este caso , :∫ =∫ x( =∫ ( =∫ ) ) Se desarrollan los productos que se forman dentro de la integral y se separan las integrales: :∫ ( =∫ ) =∫ ∫ ∫ Dónde: ∫ =∫ ∫ ∫ = Con lo cual se observa que si ambas funciones tienen potencia impar es más corto trabajar con la que este elevada a la potencia menor. b. pares positivas ( Para ambas se usan las identidades: ) ( ) Con este procedimiento se pasa del cuadrado al argumento doble EJEMPLO 3: ∫ ∫ = ∫ ( ) ( )
  3. 3. = = ( ∫( ∫ )) ( ∫ ) ( = ( ( = )) ) EJEMPLO 4: ∫ ∫ ∫( = ) ( ∫( ( = ) ) = ( ( ( ∫( ) ) ) = )) ( ∫ ) = ( ( ( ( )) ) ) ∫ a. es impar positiva S e toma la máxima potencia par, para transformarla en términos de utilizando EJEMPLO 5: ∫ ∫ =∫ = ∫( ) = ( ( ) ) ∫ ( )
  4. 4. Donde remplazamos en términos de =∫ ∫ = EJEMPLO 6: ∫ ∫ ∫ = ∫( ) = ∫( ) = ∫ ∫ ( = ∫ Donde ∫ ) ∫ ( ) ∫ y Remplazando tenemos: ∫ = ∫ ∫ (con z= cosx ) = | = | b. Se aísla el resto que tiene potencia par se pone en función de Para usar en una integral por sustitución con
  5. 5. EJEMPLO 7: ∫ ∫ =∫ ∫( ) ∫ ∫ ∫ = = = ( EJEMPLO 8: ∫ ( ∫ ) ( ) ) ( ∫ ∫ ( ∫ ) ( = ∫ ) ) ) ( )( )( ∫ ) )) ( )) ( ( ) ) ∫ ( ( ( ( = ( =∫ ) ( ( ( ( ) ) )) +∫ ) ( ( ) ) ( ( ) ) ∫ ( ) ( ) c. Se pasan las potencias pares de tangente a potencias de secante; si llegan a quedar potencias impares de secante se reduce al caso siguiente.
  6. 6. EJEMPLO 9: ∫ ∫( ∫ ) = EJEMPLO 10: ∫ ∫( ∫ ) =∫ ∫ d. Se hace por partes EJEMPLO 11. ∫ ∫ ∫ ) ( = ∫ = ∫ ) ∫ = +∫ | ∫ = 3∫ a. Si Ejemplo: 12 ∫ ∫ ( =∫ [ | | |]
  7. 7. Aplicando la identidad: ) ∫( Tenemos: ∫( = = = ∫ ∫ ∫ ∫ - = ) - b. Si Ejemplo 13: ∫ : ∫ = ∫ Aplicando la identidad Tenemos: = =∫ = ( ∫ ( ) ) =

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