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Mecanica Clasica

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Documento PDF sobre , MECANICA CLASICA varios subtemas y algunos problemas , temas y subtemas:

Unidad 4 Trabajo y Energia
4.1 Concepto de trabajo
4.2 Potencia
4.3 Energia cinetica
4.4 Energia potencial
4.5 Fuerzas conservativas
4.6 Principio de conservacion de la energia
4.7 Conservacion en el trabajo mecanico
4.8 Fuerzas no conservativas
Unidad 5 Sistemas de Particulas
5.1 Dinamica de un sistema de particulas
5.2 Movimiento del centro de masa
5.3 Teorema de conservacion de la cantidad de movimiento
5.4 Teorema de conservacion de la energia
5.5 Colisiones elasticas e inelasticas
5.6 Cuerpo rigido

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Mecanica Clasica

  1. 1. 1.- TRABAJO Y ENERGIA1.1.- CONCEPTO DE TRABAJOEn mecánica clásica, el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo equivale ala energía necesaria para desplazar este cuerpo. El trabajo es una magnitudfísica escalar que se representa con la letra (del inglés Work) y se expresa enunidades de energía, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional deUnidades.Ya que por definición el trabajo es un tránsito de energía, nunca se refiere a élcomo incremento de trabajo, ni se simboliza como ΔW.Matemáticamente se expresa como:Donde F es el módulo de la fuerza, d es el desplazamiento y α es el ángulo queforman entre sí el vector fuerza y el vector desplazamiento.Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerposobre el que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no haydesplazamiento, el trabajo también será nulo.
  2. 2. 1.2.- POTENCIAEn física, potencia (símbolo P) es la cantidad de trabajo efectuado por unidadde tiempo.Si ΔW es la cantidad de trabajo realizado durante un intervalo de tiempo deduración Δt, la potencia media durante ese intervalo está dada por la relación: La potencia instantánea es el valor límite de la potencia media cuando el intervalo de tiempo Δt se aproxima a cero. Donde  P es la potencia,  W es el trabajo,  t es el tiempo.
  3. 3. 1.3.- ENERGIA CINETICACuando un cuerpo está en movimiento posee energía cinética ya que al chocarcontra otro puede moverlo y, por lo tanto, producir un trabajo.Para que un cuerpo adquiera energía cinética o de movimiento, es decir, paraponerlo en movimiento, es necesario aplicarle una fuerza. Cuanto mayor sea eltiempo que esté actuando dicha fuerza, mayor será la velocidad del cuerpo y, porlo tanto, su energía cinética será también mayor.Otro factor que influye en la energía cinética es la masa del cuerpo.Por ejemplo, si una bolita de vidrio de 5 gramos de masa avanza hacia nosotros auna velocidad de 2 km / h no se hará ningún esfuerzo por esquivarla. Sinembargo, si con esa misma velocidad avanza hacia nosotros un camión, no sepodrá evitar la colisión.La fórmula que representa la Energía Cinética es la siguiente: Ec = 1 / 2 • m• v2 E c = Energía cinética m = masa v = velocidadCuando un cuerpo de masa m se mueve con una velocidad v posee unaenergía cinética que está dada por la fórmula escrita más arriba.En esta ecuación, debe haber concordancia entre las unidades empleadas. Todasellas deben pertenecer al mismo sistema. En el Sistema Internacional (SI), lamasa m se mide en kilogramo (kg) y la velocidad v en metros partido porsegundo (m / s), con lo cual la energía cinética resulta medida en Joule ( J ).
  4. 4. 1.4.-ENERGIA POTENCIALTodo cuerpo que se ubicado a cierta altura del suelo posee energía potencial.Esta afirmación se comprueba cuando un objeto cae al suelo, siendo capaz demover o deformar objetos que se encuentren a su paso. El movimiento odeformación será tanto mayor cuanto mayor sea al altura desde la cual cae elobjeto.Otra forma de energía potencial es la que está almacenada en los alimentos,bajo la forma de energía química. Cuando estos alimentos son procesados pornuestro organismo, liberan la energía que tenían almacenada.Para una misma altura, la energía del cuerpo dependerá de su masa. Esta energíapuede ser transferida de un cuerpo a otro y aparecer como energía cinética ode deformación. Sin embargo, mientras el cuerpo no descienda, la energía no semanifiesta: es energía potencial.Todos los cuerpos tienen energía potencial que será tanto mayor cuanto mayorsea su altura. Como la existencia de esta energía potencial se debe a lagravitación (fuerza de gravedad), su nombre más completo es energía potencialgravitatoria.Entonces: Energía potencial gravitatoria es aquella energía que poseen los cuerpos que se encuentran en altura. Esta energía depende de la masa del cuerpo y de la atracción que la Tierra ejerce sobre él (gravedad).¿Cómo calcular la Energía Potencial Gravitatoria?Si un cuerpo de masa m se sitúa a una altura h arriba de un nivel de referencia,este cuerpo posee una energía potencial gravitatoria con respecto a este nivel, lacual se expresa mediante la siguiente fórmula:m = masag = constante de la fuerza de gravedadh = altura Ep = m · g · h
  5. 5. 1.5.- FUERZA CONSERVATIVAEn física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo realizado paradesplazar una partícula entre dos puntos es independiente de la trayectoriaseguida entre tales puntos. El nombre conservativo se debe a que para un campode fuerzas de ese tipo existe una forma especialmente simple de la ley deconservación de la energía.1.6.- PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIALa ley de la conservación de la energía afirma que la cantidad total de energía encualquier sistema aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permaneceinvariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra formade energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que laenergía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma aotra.Aunque la energía no se pierde, se degrada de acuerdo con la segunda ley de latermodinámica. En un proceso irreversible, la entropía de un sistema aisladoaumenta y no es posible devolverlo al estado termodinámico físico anterior. Así unsistema físico aislado puede cambiar su estado a otro con la misma energía perocon dicha energía en una forma menos aprovechable. Por ejemplo, un movimientocon fricción es un proceso irreversible por el cual se convierte energía mecánicaen energía térmica. Esa energía térmica no puede convertirse en su totalidad enenergía mecánica de nuevo ya que, como el proceso opuesto no es espontáneo,es necesario aportar energía extra para que se produzca en el sentido contrario.Desde un punto de vista cotidiano, las máquinas y los procesos desarrollados porel hombre funcionan con un rendimiento menor al 100%, lo que se traduce enpérdidas de energía y por lo tanto también de recursos económicos o materiales.Como se decía anteriormente, esto no debe interpretarse como un incumplimientodel principio enunciado sino como una transformación “irremediable” de la energía.
  6. 6. 1.7 CONSERVACION EN EL TRABAJO MECANICOAunque en la vida cotidiana es compón asociar la idea de trabajo con el esfuerzo ocualquier otra acción en la que se requiera energía, en física y en mecánica enparticular, el trabajo tiene una definición bastante restringida. Decimos que unafuerza realiza trabajo sobre un cuerpo cuando al actuar sobre éste lo desplaza enla misma dirección en que actúa. Por ejemplo:En este caso, la fuerza realiza trabajo porque el cuerpo es desplazado unadistancia d de manera paralela a la fuerza.Operacionalmente el trabajo (W) se determina como:W = F∙dSus unidades están dadas por:W = F∙dà [N∙m] = joule = [J]Es muy importante tener en cuenta algunas situaciones especiales, por ejemplo,cuando aplicamos una fuerza, pero no somos capaces de producirdesplazamiento, el trabajo en ese caso es nulo. Esto es independiente de laenergía que empleemos, si no hay desplazamiento no hay trabajo. Algo similarocurre cuando sostenemos una maleta o un bulto en el hombro en reposo. Aunquenos cansemos, no hay trabajo porque no hay desplazamiento.También es importante considerar que el desplazamiento debe ser realizado en ladirección en que actúa la fuerza. Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento,esa fuerza no realiza trabajo. Por ejemplo, si sostenemos una maletaverticalmente para evitar que el peso la haga caer y nos movemoshorizontalmente, entonces esa fuerza vertical, al igual que el peso no realizantrabajo porque actúan de manera perpendicular al desplazamiento.
  7. 7. 1.8.-FUERZAS NO CONSERVATIVASFuerzas no conservativasLas fuerzas no conservativas son aquellas en las que el trabajo realizado por lasmismas es distinto de cero a lo largo de un camino cerrado. El trabajo realizadopor las fuerzas no conservativas es dependiente del camino tomado. A mayorrecorrido, mayor trabajo realizado.Ejemplos de fuerzas no conservativas serían:• Fuerza de rozamiento• Fuerza magnéticaCampos no conservativosEl campo magnético es un ejemplo de campo no conservativo que no puede serderivado de un potencial escalar. Esto se refleja por ejemplo que las líneas decampo del campo magnético son cerradas.PropiedadesDado un campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa el campoes conservativo si cumple cualquiera de estas condiciones (de hecho puededemostrarse que si cumple una de ellas cumple las otras dos también):1. Un campo es conservativo si, y sólo si, el trabajo que realiza la fuerza quegenera el campo entre dos puntos no depende del camino que haya seguido elmóvil entre esos dos puntos.
  8. 8. 1.9.- EJERCICIOS1. Calcula la energía cinética de un vehículo de 1000 kg de masa que circula aunaVelocidad de 120 km/h.Solución: Se extraen los datos del enunciado. Son los siguientes:m = 1000 kgv = 120 km/hEc =?Todas las magnitudes deben tener unidades del SI, en este caso es necesarioconvertir 120Km/h en m/sV= 120 km/h * 100m/1 km * 1h/3600s = 33, 3 m/sUna vez que tenemos todas las magnitudes en el SI sustituimos en la fórmula:Ec = 0,5. M. v2 = 0,5. 1000. (33,3)2 = 554445 J2. Calcula la energía potencial de un saltador de trampolín si su masa es de 50 kgy está sobre un trampolín de 12 m de altura sobre la superficie del agua.Solución: Se extraen los datos del enunciado. Son los siguientes:m = 50 kgh = 12 mEp =?Todos los datos se encuentran en unidades del SI; por tanto, sustituimos en lafórmula:Ep = m. g. h = 50. 9,8. 12 = 5880 J3. Una fuerza de 100 N actúa sobre un cuerpo que se desplaza a lo largo de unplano horizontal en la misma dirección del movimiento. Si el cuerpo se desplaza20 m. ¿Cuál es el trabajo realizado por dicha fuerza?Solución: Se extraen los datos del enunciado. Son los siguientes:F = 100 Nα = 0ºOx = 20 mW =?Todos los datos se encuentran en unidades del SI; por tanto, sustituimos en lafórmula:W = F. cos α. Ox = 100. 1. 20 = 2000 J
  9. 9. 2.- SISTEMA DE PARTICULAS2.1.- Dinámica de un sistema de partículasSea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores alsistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema.Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa lafuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna:las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobrela Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entreestos dos cuerpos celestes.Para cada unas de las partículas se cumple que la razón de la variación delmomento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúansobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula vienedeterminado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre dichapartícula. Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos queDonde P es el momento lineal total del sistema y Fext es la resultante de lasfuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento delsistema de partículas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.
  10. 10. 2.2.- Movimiento del centro de masa El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometido a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas. Vector de posición del centro de masas El vector de posición del centro de masas se define como: Donde M es la masa total del sistema de partículas. La posición del centro de masas no tiene por qué coincidir con la posición de ninguna de las partículas del sistema, es simplemente un punto en el espacio. Velocidad del centro de masas La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de posición: El segundo miembro de la ecuación anterior es el momento lineal total del sistema de partículas dividido por la masa total del sistema, por lo que este último puede obtenerse a partir de la velocidad del centro de masas:
  11. 11. Este último resultado significa que el momento lineal total de un sistema departículas es igual al momento lineal que tendría la masa total del sistemasituada en el CM, por lo que el movimiento de traslación del sistema departículas está representado por el de su centro de masas. Si el sistema de partículas está aislado, su momento lineal será constante, por lo que la velocidad de su centro de masas también lo será.Si colocamos un sistema de referencia en el centro de masas de un sistema departículas aislado, dicho sistema de referencia (llamado sistema-C) es inercial.Resulta particularmente útil para estudiar las colisiones. Aceleración del centro de masasCuando un sistema de partículas no está aislado, sobre él actuarán fuerzasinternas y externas, representadas respectivamente en la siguiente figura (a) enrojo y en verde; por tanto las partículas de dicho sistema tendrán en generalaceleración, y el centro de masas también estará acelerado. Sistema constituido por dos partículas. Sobre él actúan fuerzas internas y externas. En la parte (b) de la figura, se observan las fuerzas externas aplicadas en el centro de masas.
  12. 12. Para calcular la aceleración del centro de masas del sistema, vamos a aplicarla segunda a cada una de las partículas del sistema: Masa 1: Masa 2: Sumando ambas,En el primer miembro aparece la derivada del momento lineal total del sistema(igual al momento de su centro de masas), y en el segundo miembro la sumade las fuerzas internas se anula puesto que cumplen la tercera ley deNewton.La expresión anterior queda entonces:Para un sistema constituido por N partículas, el segundo miembro es la sumade las fuerzas externas que actúan sobre el sistema y por tanto:Que no es más que la segunda ley de Newton para el centro de masas de unsistema de partículas. En la parte (b) de la figura anterior se observa el centrode masas del sistema con las fuerzas externas aplicadas en él. la aceleración del centro de masas de un sistema de partículas es debida
  13. 13. únicamente a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.2.3 Teorema de conservación de la cantidad de movimientoSi sobre un sistema no actúa ninguna fuerza exterior, la cantidad de movimientode éstePermanece constante. Por tanto, si debido a acciones mutuas entre los componentes de unsistema se produce un fenómeno en él (p. ej. un choque entre ellos o unaexplosión interna), la suma de las cantidades de movimiento de cada uno de loscomponentes antes de la explosión debe ser igual a la suma de las cantidades demovimiento de cada uno de los componentes después del Fenómeno, es decir:M1v1 + m2 v2 +........... = m1v1+ m2v2+………………. El retroceso de las armas de fuego se debe precisamente a este principio. Sean"m" y "M" las masas del proyectil y arma respectivamente, "V" la velocidad desalida del proyectil y "v" la de retroceso del arma. Si antes del disparo el conjuntoarma-proyectil estaba en reposo significa que su cantidad de movimiento inicial escero y por tanto será igualmente cero después del disparo ya que no ha actuadoninguna fuerza exterior, por tanto tendremos que:0 = mV + Mv es decir mV = - MvY como las masas deben ser positivas y al tomar la velocidad del proyectiligualmente positiva resulta que la velocidad del arma debe ser necesariamentenegativa, es decir, de retroceso.El movimiento de los cohetes y aviones a reacción se basan igualmente en esteprincipio, así el avión, al expulsar grandes cantidades de gases a elevadavelocidad, avanzará en dirección contraria a la de salida de los gases.
  14. 14. 2.4.- Teorema de conservación de la energíaEl teorema de la conservación de la energía mecánica establece que el trabajorealizado sobre un cuerpo se invierte, exactamente, en aumentar algún tipo deenergía.Cuando en un sistema sólo hay fuerzas conservativas: la energía mecánicapermanece constante. La energía cinética se transforma en energía potencial yviceversa.2.5.- Colisiones elásticas e inelásticasEn física, se denomina choque elástico a una colisión entre dos o más cuerposen la que éstos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. En unacolisión elástica se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética delsistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan despuésdel choque.Las colisiones en las que la energía no se conserva producen deformacionespermanentes de los cuerpos y se denominan inelásticas.Un choque inelástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no seconserva. Como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrirdeformaciones y aumento de su temperatura. En el caso ideal de un choqueperfectamente inelástico entre objetos macroscópicos, éstos permanecen unidosentre sí tras la colisión. El marco de referencia del centro de masas permitepresentar una definición más precisa.La principal característica de este tipo de choque es que existe una disipación deenergía, ya que tanto el trabajo realizado durante la deformación de los cuerposcomo el aumento de su energía interna se obtiene a costa de la energía cinéticade los mismos antes del choque. En cualquier caso, aunque no se conserve laenergía cinética, sí se conserva el momento lineal total del sistema.
  15. 15. 2.6.- Cuerpo rígidoQué es un cuerpo rígido?Un cuerpo rígido es aquel que no se deforma. En la física es importante estudiarlos cuerpos rígidos debido a que con los métodos anteriores solo se podía estudiaruna partícula en particular, lamentablemente esto en lavida real, no es posible debido a que la gran mayoría de los elementos a estudiarestán conformados de diferentes puntos de aplicación de fuerzas.Nota: Ningún elemento real es inalterable, es decir 100% cuerpo rígido, a pesar deesto se siguen estudiandocon estos métodos debido a que sus deformaciones son mínimas y no tienen elvalor suficiente como para serescatimadas, acepto en algunos casos, claro.En un cuerpo rígido, existen dos tipos de fuerzas: fuerzas externas y fuerzasinternas. Las primeras(externas) son las fuerzas que se aplican sobre el cuerpo a estudiar, paradeformarlo; Las segundas (internas)son las que internamente mantienen a la estructura o cuerpo, como por ejemplolas fuerzas de adhesión.Principio de transmisibilidad - fuerzas equivalentes:Nos dice que en un cuerpo rígido se puede sustituir una fuerza A por otra B,siempre y cuando ambas tenganla misma intensidad, dirección y línea de acción, pero sin importar donde seencuentre su punto de aplicación.
  16. 16. 2.7 EJERCICIOS 1.- Por el carril circular sin rozamiento de radio R de la figura se lanza una masa m de dimensiones despreciables con una velocidad v. En el tramo rectilíneo siguiente de longitud d el coeficiente de rozamiento cinético entre la masa y el suelo es μ. Suspendida de una cuerda y en reposo se encuentra una masa M = 2m. Datos: v = 10 m/s; μ = 0.6; R = 1 m; d = 4 m. Tomar g = 10 m/s2a. ¿Se conserva la energía mecánica de la masa m en el tramo circular de la pista? Determinar su velocidad cuando llega al final de dicho tramo circular (punto A).
  17. 17. b. Determinar la velocidad de la masa m cuando ha recorrido el tramo horizontal de longitud d (en el punto B).c. Cuando la masa m llega a la posición donde se encuentra M choca elásticamente con ella. Determinar la velocidad de ambas masas después del choque.
  18. 18. d. Calcular la altura que alcanza la masa M después del choque. ¿Hacia dónde se moverá la masa m?2.- Un sistema que está formado por tres partículas de masas m1 = m, m2 =2m ym3 = 3m se ve sometido a la acción de una única fuerza externaconservativa F. La cantidad de movimiento total del sistema con respecto a O(origen de un sistema de referencia inercial) en función del tiempo viene dadapor p = 3 t3 i - 6 t j, en kgms-1 .Dato: m = 0.5 kg. a. ¿Se conserva la energía total del sistema? Expresar la velocidad y el vector posición del centro de masas del sistema en función del tiempo, suponiendo que la posición inicial del centro de masas es ro = - i + 3 j, expresado en m.
  19. 19. b. Determinar la fuerza externa F y la aceleración del centro de masas del sistema en función del tiempo.c. Si la energía cinética total del sistema medida en t = 2 s con respecto a O vale 200 J, calcular la energía cinética orbital y la energía cinética interna del sistema en ese mismo instante.
  20. 20. 3.- Tres masas, de 2.0 kg, 3.0 kg y 6.0 kg, están localizadas en posiciones (3.0, 0),(6.0, 0) y (4.0, 0), respectivamente, en metros a partir del origen ¿En dónde está elcentro de masa de este sistema?Dados: m1 =2.0kg Encontrar: X cm (coordenadas CM)m2=3.Okgm3=6.OkgX1 =3.0mX2=6.0mX3=-4.OmLuego, simplemente realizamos la sumatoria como se indica en la ec. 6.19,X cm = Sumatoria m1 x1M(2.0 kg)(3.0 m) + (3.0 kg)(6.0 m) + (6.0 kg)( 4.0 m)2.0kg + 3.0kg + 6.0kgLa resolución = 0, por lo que sabemos que el centro de masa está en el origen

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