Trabajo de inducción finita de teoría de números

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Este trabajo fue hecho de modo a explicar la inducción finita así como una breve historia de la teoría de números y su aplicación en la Criptografía.

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Trabajo de inducción finita de teoría de números

  1. 1. INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCACIÓN “Dr. Raúl Peña”Decreto de Creación Nº 31.003 del 16 de enero de 1968Ley de Autonomía Institucional Nº 1.692 del 7 de Mayo del 2001LICENCIATURA ARTICULADAMódulo: Teoría de Números.Alumna: Angela María Duarte Verdún.Profesor: Mg.Gustavo Rivas.Asunción-Paraguay2012
  2. 2. INDUCCIÓN FINITADemuestra por el Principio de Inducción Finita que para todos los valores deenteros y positivos se verifica:Paso 1: La proposición es verdadera paraPaso 2:Hipótesis de InducciónSe supone que es verdadera donde es un número natural cualquiera.Paso 3:Tesis de Inducción: Se demuestra que es verdaderaDemostraciónC.A
  3. 3. C.A(Se factoriza utilizando el método de evaluación)Como los divisores de 4 son:1 6 9 4 -1-1 -5 -41 5 4 01) DEFINICIONES: Postulado:Es una proposición no tan evidente como un axioma pero que también seadmite sin demostración.Ejemplo:-Hay infinitos puntos. Deducción:El método deductivo: Es el usado en la ciencia y, principalmente, en laGeometría. Este método consiste en encadenar conocimientos que se suponenverdaderos de manera tal, que se obtienen nuevos conocimientos. Es decir,obtener nuevas proposiciones como consecuencia lógica de otras anteriores.No todas las propiedades son consecuencias de otras. Hay algunas que seaceptan como ciertas por sí mismas: son los axiomas y postulados. Razonamiento inductivoTradicionalmente se consideraba (y en muchos casos todavía se considera)que razonamiento inductivo es una modalidad del razonamiento que consisteen obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datosparticulares o individuales. Por ejemplo, a partir de la observación repetida deobjetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusióngeneral para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza.Consecuentemente la definición actual de inducción es más compleja eincluye tipos de razonamiento que van más allá de la simple progresión de loparticular a lo general. Esos tipos de razonamiento pueden ser descritos comoaquellos que indican algún tipo de apoyo o aval a la conclusión, pero no unaImplicación lógica. En otras palabras, son razonamientos que sugieren verdad,pero no la aseguran. Más bien, las premisas de un razonamiento lógicoinductivo indican cierto grado de apoyo (probabilidad inductiva) para laconclusión, pero no implicación.Muchos consideran que, a pesar que la inducción no puede ser validada, dadoque expande nuestro conocimiento del mundo real, es parte indispensable delcientífico. “La gran ventaja de la inducción no es que se puede justificar ovalidar, como puede la deducción, pero que, con cuidado y un poco de suerte,puede corregirse, como otros métodos no lo hacen."
  4. 4.  Principio del buen orden:El principio del buen orden es un lema que establece que todo conjunto queesté formado únicamente por números naturales tiene un primer elemento. Esdecir, que el conjunto de los números naturales es bien ordenado. El primerelemento de los números naturales es 1. Teorema:Es una proposición que puede ser demostrada. La demostración consta de unconjunto derazonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.En el enunciado de todo teorema se distinguen dos partes: la hipótesis, que es lo que se supone, y la tesis que es lo que se quiere demostrar.Ejemplo: La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale dos rectos.HIPÓTESIS.A, B Y C son los ángulos interiores de un triánguloTESIS. La suma de los ángulos A, B y C vale dos rectos.En la demostración se utilizan los conocimientos adquiridos hasta aquelmomento, enlazados de una manera lógica. Corolario:Es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia delmismo.Ejemplo. Del teorema: La suma de los ángulos interiores de un triánguloes igual a dos rectos, se deduce el siguiente corolario: La suma de losángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un recto. Conjunto:Es toda colección perfectamente definida de objetos. Cada uno de los objetosrecibe el nombre de elemento del conjunto.Que una colección esté perfectamente definida quiere decir que se puedediscernir sin ningún género de duda si un objeto determinado pertenece o no ala colección. Así, por ejemplo, no hay ninguna duda en conocer cuáles son losalumnos de una determinada clase, las naciones de América, los libros de unabiblioteca o los componentes de una familia. En cambio, si consideramos loslibros interesantes que hay en la librería de un amigo, difícilmente podremosponernos de acuerdo sobre la pertenencia de undeterminado libro a estacolección. Por consiguiente diremos que esta última colección no estáperfectamente definida.Los elementos de un conjunto pueden representarse escribiendo sus elementosentre llaves o bien mediante Diagramas de Venn, y al conjunto se le sueleindicar con una letra mayúscula.
  5. 5.  Conjunto Vacío:Cuando un conjunto expresado por una propiedad característica no tieneobjeto que la cumpla se llama conjunto vacío y se la representa del siguientemodo:1. ORIGENBreve historia de la teoría de númerosPrehistoriaPodemos decir que la teoría de números empezó con el matemático griegoDiofanto de Alejandría en el siglo III d.c. Diofanto escribió trece libros (sietede los cuales se han perdido) dedicados a la resolución de ecuacionesalgebraicas, intentando dar métodos para encontrar sus soluciones enteras oracionales. Algunos ejemplos de los problemas que trataba en su libro son:¿Qué números son suma de dos números al cuadrado? ¿Qué números sonsuma de tres números al cubo?Pero la contribución (indirecta) más importante de Diofanto fue a partir de latraducción al latín de los seis primeros libros con el nombre de Aritmética en1621porC.G.Bachet.Esta traducción fue la que inspiró al verdadero padre de la teoría de números,Pierre de Fermat.Fermat (1601-1665)Pierre de Fermat es uno de los matemáticos más importantes de la historia.Aunque de hecho no era matemático "profesional" sino juez. Vivió durante lamayor parte de su vida en Toulouse, dedicándose en las horas libres a lasmatemáticas. Entre los resultados más importantes que obtuvo podemosdestacar la invención (junto con Descartes) de las ahora llamadas coordenadascartesianas, que permiten "traducir" los problemas geométricos a problemasalgebraicos.Pero los resultados que le han hecho más famoso fueron sin duda los queobtuvo trabajando inspirado en el libro de Diofanto, que dieron origen a lateoría de números. Aunque debido ala forma de trabajar de Fermat, que no publico sus resultados en vida y solo
  6. 6. divulgaba através de cartas a sus amigos y colegas, tenemos pocas indicaciones de cualeseran sus métodos para resolver los problemas.Entre los resultados más conocidos que obtuvo (o anunció) hay:El llamado "Pequeño teorema de Fermat": Para todo númeroprimop y para todo número natural a no divisible por p tenemos que pdivide a ap-11.El resultado más famoso de Fermat en la actualidad no es de hecho unresultado suyo, aunque se le denomina el "ultimo teorema de Fermat". Partede su fama es debida a la manera comoformuló el resultado y también porque se han tardado más de 350 años paradarle la razón. La historia empieza después de su muerte en que su hijopublico la edición que tenia Fermat del libro de Diofanto junto con lasanotaciones originales de Fermat. En una de ellas, concretamente al margen dela parte en que Diofanto habla de las ternas pitagóricas, Fermat dejo escrito elsiguiente enunciado (traducido al lenguaje moderno):Para cualquier número natural n mayor o igual que 3, la ecuación:A + B = CNo tiene soluciones (naturales) salvo que A, B o C sean cero.Y añade: Tengouna demostración maravillosa de este resultado pero este margen esdemasiado estrecho para contenerla.A partir de ese momento muchos de los matemáticos más importantes de lahistoria intentaron demostrarlo sin éxito has que recientemente, en 1994,Andrew Wiles consiguió demostrar este resultado; aunque no con los métodosque podía conocer Fermat. Queda aún la duda si Fermat tenía o no lademostración de este Teorema.2. TEORÍA DE NÚMEROS-CONCEPTO:La teoría de números es una parte del álgebra en la que se estudian lasoperaciones en el conjunto de los números enteros (Z), que no arrojanresultados fuera de dicho conjunto. Esta condición hace que por ejemplolas operaciones división y raíz queden fuera, ya que pueden producirresultados no enteros.La teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia laspropiedades y de las relaciones de los números Según esta ampliadefinición, la teoría de números incluye gran parte de las matemáticas, enparticular del análisis matemático. Sin embargo, normalmente se limita alestudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros conjuntos denúmeros con propiedades similares al conjunto de los enteros.La teoría de números contiene una cantidad considerable de problemasque son "fácilmente
  7. 7. comprendidos por los no matemáticos". De forma más general, este campoestudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros. Según losmétodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría denúmeros se subdivide en varias ramas.En la teoría elemental de números, se estudian los números enteros sinemplear técnicas procedentes de otros campos de las matemáticas.Pertenecen a la teoría elemental de números la divisibilidad, el algoritmode Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de losenteros como producto de números primos, la búsqueda de los númerosperfectos y las congruencias.-APLICACIONES:Teoría de números en criptografíaLa principal aplicación de la criptografía es proteger información para evitarque sea accesible a observadores no autorizados. Sin embargo, también tieneotras aplicaciones, por ejemplo verificar que un mensaje no haya sidomodificado intencionadamente por un tercero, verificar que alguien es quienrealmente dice ser, etc. El objetivo del trabajo es mostrar cómo la matemáticajuega un papel importante en la criptografía moderna y como ésta aprovechalos problemas difíciles (en el sentido computacional) que existen en la teoríade números para desarrollar protocolos criptográficos.La criptografía es el estudio de las técnicas matemáticas relacionadas con losaspectos de seguridad de la información tal como: la confidencialidad, laintegridad de datos, la autenticidad y el no rechazo. Desglosemos brevementetales aspectos:a) La confidencialidad es usada para guardar el contenido de información,donde sólo las personas autorizadas pueden saberlo.b) La integridad de datos se refiere a la alteración no autorizada de datos.c) La autenticación es relacionada con la identificación.d) El no rechazo impide a una entidad negar los compromisos o accionesanteriores.Hay dos tipos de criptografía: criptografía simétrica o de clave privada ycriptografía asimétrica o de clave pública. La criptografía de clave públicase desarrolló en los años setenta y utiliza complicados algoritmos matemáticosrelacionados con teoría de números, curvas elípticas, grupos infinitos noconmutativos, teoría de gráficas, teoría del caos, etc. De hecho en la siguientesección definiremos los conceptos básicos de la criptografía simétrica yasimétrica, así como os protocolos de clave pública más utilizados como loson el rsa, para cifrar y firma digital, y el Diffie-Hellman para intercambio declaves.
  8. 8. EjemploAlgoritmo rsaEste algoritmo es de clave pública y debe su nombre a sustres inventores:Rivest Ron, Shamir Adi y Adleman Leonard.La descripción del esquema es la siguiente:a)Elegimos dos números primos p y q suficientemente grandes, y tomamosn = p.q.b) Buscamos e tal que sea primo con φ(n) = (p − 1)(q − 1).c) Como e y φ(n) son primos entre sí, entonces existe un d tal que:e • d ≡ 1(mod φ(n) = n + 1 − p − q), donde d se puede calcular mediante elalgoritmo de Euclides.d) DefinimosEe(x) = xe mod n función de cifradoDd (y) = yd mod n función de descifrado x, y ∈ Zn.• Clave pública: (e, n)• Clave privada: (d, p, q).Cualquiera que conozca p, q y d podrá descifrar los mensajes del propietariode la clave (de hecho en este caso basta conocer p y q para romper el sistema).Cabe mencionar que la justificación de este esquema depende sólo del hechode que xed+1 ≡ x mod n para cualquier entero libre de cuadrado n. Ademásde estos datos hemos de fijar la longitud de bloque: a saber, la longitud delbloque que vamos a cifrar y longitud del bloque cifrado.Por ejemplo,Si elegimos dos primos p = 281 y q = 167, entoncesn = 281 • 167 = 46927yφ (n) = (281 − 1)(167 − 1)= 46480. Buscamos e y d tales que e • d ≡ 1 modφ (46927),digamose = 39423 y d = 26767. Así la clave pública será: (39423, 46927) y laclave privada será: (26767, 281, 167).Supongamos que vamos a cifrar bloques de dos letras en bloques de tres letrasy que queremos cifrar HOLA utilizando un alfabeto de 36 símbolos, a saberΣ = {1, 2, 3,..., 9, A, B, C,..., Z}El procedimiento refiere los siguientes pasos:a) Asignamos a cada letra un número según el alfabeto, en este caso:HOLA; (17, 24, 21, 10).b) Bloques a cifrar: (17, 24) y (21, 10).c) Expresamos ambos bloques como un número en base 36:(17, 24) = 17 • + 24 • 36 = 881(21, 10) = 21 • + 10 • 36 = 381d) Elevamos estos números a la e-ésima potencia y tomamos el residuomódulo 46927:88139423 ≡ 45840 mod 4692738139423 ≡ 26074 mod 46927.e) Expresamos estos números en base 36, teniendo en cuenta que vamos atener tres componentes:
  9. 9. 45840 = 12 • + 13 • 36 + 35 • = (12, 13, 35)26074 = 10 • + 4 • 36 + 20 • = (10, 4, 20)f) Según el alfabeto considerado a cada número le asignamos una letra: (12,13, 35);CDY (10, 4, 20); A4Kg) Por lo tanto el mensaje cifrado es CDYA4K.h) Para descifrar habría que hacer el mismo proceso, pero partiendo debloques de tres letras y terminando en bloques de dos letras, después aplicar lafunción de descifradoDd (y).Para romper este esquema de cifrado lo podemos intentar de varias formas: Afuerza bruta, intentando resolver cualquiera de los dos logaritmos discretos:45840d ≡ 881 mod 46927 26074d ≡ 381 mod 46927}o resolviendo:e • d ≡ 1 mod φ (46927),Lo cual equivale a conocer φ (46927), que a su vez equivale a conocer lafactorización en números primos de 46927.Aún no se conoce un algoritmo entiempo polinomial que factorice, en primos, números lo suficientementegrandes.

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