Integrale definito

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Cenni all'integrazione definita. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale.

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Integrale definito

  1. 1. Angela Donatiello 1 INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ – NEWTON. APPLICAZIONI. CALCOLO DI AREE.
  2. 2. Angela Donatiello 2 Il problema delle aree. Metodo di esaustione. Il metodo di esaustione è un procedimento (dovuto ad Archimede) utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data. L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni. L'area del cerchio è determinata costruendo una successione di poligoni che assomigliano sempre di più al cerchio. Ad esempio, una successione di poligoni regolari con numero crescente di lati: in figura, un pentagono, un esagono e un ottagono. A seconda che si scelgano poligoni iscritti o circoscritti nella circonferenza, l'area di questa risulterà essere approssimata inferiormente o superiormente. Entrambe le scelte portano comunque al limite all'area del cerchio. Mediante un procedimento simile è possibile calcolare l’area di una superficie a contorno curvilineo, nota con il nome di trapezoide.
  3. 3. Angela Donatiello 3 Si consideri una funzione definita e continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b] e in tale intervallo la funzione sia positiva. Si definisce trapezoide la figura piana delimitata dalla curva y = f(x), dall’asse delle ascisse e dalle rette parallele all’asse y e passanti per gli estremi dell’intervallo [a;b]. Tale trapezoide è un quadrilatero mistilineo. L’area colorata in figura non può essere calcolata mediante procedimenti elementari. E’ però possibile approssimarla secondo il procedimento seguente: 1) si divida l’intervallo [a;b] in n parti uguali di ampiezza n ab x − =∆ 2) si considerino i rettangoli aventi per base uno dei segmentini di ampiezza x∆ e come altezza il minimo valore che la funzione assume in tale intervallo
  4. 4. Angela Donatiello 4 3) si indichi con ∑ = ∆=∆++∆+∆= n 1i in21n xmxm...xmxms la somma delle aree di questi rettangoli (plurirettangolo inscritto) 4) l’area del trapezoide è approssimata per difetto da ∑ = ∆= n 1i in xms 5) si considerino i rettangoli aventi per base uno dei segmentini di ampiezza x∆ e come altezza il massimo valore che la funzione assume in tale intervallo 6) si indichi con ∑ = ∆=∆++∆+∆= n 1i in21n xMxM...xMxMS la somma delle aree di questi rettangoli (plurirettangolo circoscritto) 7) l’area del trapezoide è approssimata per eccesso da ∑ = ∆= n 1i in xMS 8) si ottengono due successioni di aree tali che, per ogni n naturale, l’area S del trapezoide sia compresa fra l’area per difetto e l’area per eccesso nn SSs ≤≤
  5. 5. Angela Donatiello 5 Tale approssimazione è tanto migliore, quanto maggiore diventa il numero di suddivisioni dell’intervallo ossia con il numero n di suddivisioni che tende ad infinito. DEFINIZIONE DI INTEGRALE DEFINITO DI UNA FUNZIONE POSITIVA Teorema. Se la funzione y = f(x) è continua e positiva nell’intervallo [a;b] i limiti delle successioni sn e Sn per +∞→n sono finiti e coincidono, ossia le due successioni sn e Sn sono convergenti n n n n Slimslim +∞→+∞→ = finiti Definizione. Sia y = f(x) una funzione continua e positiva ( o nulla) in un intervallo chiuso e limitato [a;b] si definisce integrale definito esteso all’intervallo [a;b] il valore comune del limite delle successioni sn e Sn. Tale valore si indica con la scrittura: ∫ +∞→+∞→ == b a n n n n Slimslimdx)x(f
  6. 6. Angela Donatiello 6 a = estremo inferiore di integrazione b = estremo superiore di integrazione f(x) = funzione integranda ATTENZIONE!!!!! L’integrale definito è un numero puro, mentre l’integrale indefinito è un insieme di funzioni della x (l’insieme delle primitive della funzione). Si può dare una definizione più generale di integrale definito anche per funzioni non necessariamente positive. In tal caso l’integrale definito può anche essere negativo. DEFINIZIONE GENERALE DI INTEGRALE DEFINITO Sia y=f(x) una funzione continua in [a;b] non necessariamente positiva. Si suddivida l’intervallo [a;b] in un numero finito di parti non necessariamente della stessa ampiezza n21 x,...,x,x ∆∆∆ . Si consideri in ogni intervallo ]x;x[ 1ii + un punto ci appartenente all’intervallo suddetto. Per ognuno dei punti ci si consideri il valore della funzione in tal punto e si rappresentino i rettangoli aventi per base l’intervallino ix∆ e per altezza )c(f i .
  7. 7. Angela Donatiello 7 Si consideri poi la somma ∑ = ∆=∆++∆+∆= n 1i iinn2211 )c(fx)c(fx...)c(fx)c(fxS Fra le ampiezze degli intervallini si consideri quella massima maxx∆ . Quando 0xmax →∆ allora anche tutte le altre ampiezze tendono a zero. Si definisce quindi integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a;b] il valore del limite a cui tende la somma S, al tendere di 0xmax →∆ . ∑∫ =→∆→∆ ∆== n 1i ii b a 0x0x )c(fxlimSlimdx)x(f maxmax PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO 1) ∫ = a a 0dx)x(f 2) dx)x(fdx)x(f b a a b ∫ ∫−= con a > b 3) ∫ ∫ ∫+= b a c a b c dx)x(fdx)x(fdx)x(f con a < c < b proprietà di additività
  8. 8. Angela Donatiello 8 4) ∫ ∫ ∫+=+ b a b a b a dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[ integrale definito della somma di funzioni continue in [a;b] 5) ∫∫ =⋅ b a b a dx)x(fkdx)x(fk integrale definito del prodotto di una costante per una funzione continua in [a;b] 6) ∫ ∫≤ b a b a dx)x(gdx)x(f con )x(g)x(f ≤ funzioni continue in [a;b] 7) ∫∫ ≤ b a b a dx|)x(f|dx)x(f con f(x) continua in [a;b] 8) ∫ −= b a )ab(kkdx integrale di una funzione costante
  9. 9. Angela Donatiello 9 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DELL’INTEGRALE DEFINITO Nel caso di funzione costante positiva f(x) = k ∫ −= b a )ab(kkdx coincide cioè con l’area del rettangolo di base (b – a ) e altezza k. In genere, se y = f(x) è una funzione continua positiva o nulla in [a;b], allora l’integrale definito esteso all’intervallo [a;b] è positivo, il trapezoide si trova al di sopra dell’asse delle ascisse e ∫ b a dx)x(f coincide con l’area del trapezoide se y = f(x) è una funzione negativa, allora l’integrale definito esteso all’intervallo [a;b] è negativo, il trapezoide si trova al di sotto dell’asse delle ascisse e ∫ b a dx)x(f coincide con l’opposto dell’area del trapezoide.
  10. 10. Angela Donatiello 10 Se la funzione è positiva nell’intervallo [a;c] e negativa nell’intervallo [c;b] con a < c < b allora il trapezoide sarà in parte al di sopra dell’asse delle ascisse e in parte al di sotto e la funzione continua f(x) attraverserà l’asse x nel punto c. In tal caso l’integrale definito esteso all’intervallo [a;b] potrà anche essere negativo e si otterrà dalla somma algebrica dei due integrali definiti. L’area del trapezoide sarà la differenza tra l’integrale esteso all’intervallo [a;c] e quello esteso all’intervallo [c;b] ∫ ∫−= c a b c dx)x(fdx)x(fS L’area del trapezoide si ottiene sommando tutte le aree coinvolte; queste hanno tutte valore positivo; indipendentemente dalla loro posizione rispetto all’asse x. L’area è nulla se e solo se f(x) = 0 e coincide con l’integrale definito se e solo se f(x) è positiva o nulla.
  11. 11. Angela Donatiello 11 Teorema della media Se y = f(x) è una funzione continua in un intervallo [a;b], allora ∫ −=∈∃ b a )c(f)ab(dx)x(f:]b;a[c con ]b;a[c∈ Geometricamente vuol dire che per funzioni positive, l’area del trapezoide può essere ritenuta equivalente a quella di un rettangolo di uguale base (b- a) e altezza pari al valore f(c) della funzione in un punto c interno all’intervallo [a;b]. Come si calcola l’integrale definito? Esiste una relazione tra l’integrale definito e l’integrale indefinito ?
  12. 12. Angela Donatiello 12 Dimostrazione. Poiché per ipotesi la funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b], allora per il teorema di Weierstrass la funzione assume in [a;b] valore massimo M e valore minimo m. Ciò vuol dire che M)x(fm]b;a[x ≤≤⇒∈∀ Per la proprietà (6) si ha che ∫∫∫ ≤≤ b a b a b a Mdxdx)x(fmdx Per la proprietà (8) si ha che )ab(Mdx)x(f)ab(m b a −≤≤− ∫ Divido tutto per (b – a) si ha che M )ab( dx)x(f m b a ≤ − ≤ ∫ Per il teorema dei valori intermedi la funzione assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo, quindi )c(f )ab( dx)x(f :]b;a[c b a = − ∈∃ ∫ , pertanto ∫ −=∈∃ b a )c(f)ab(dx)x(f:]b;a[c Il valore f(c) è detto valor medio della funzione in [a;b]
  13. 13. Angela Donatiello 13 La funzione integrale Sia f una funzione continua nell’intervallo [a;b]. Si consideri un punto x qualsiasi dell’intervallo [a;b] Si definisce funzione integrale di f in [a;b] la funzione ∫= x a dt)t(f)x(F Osservazioni: ∫ == a a 0dt)t(f)a(F ∫= b a dt)t(f)b(F
  14. 14. Angela Donatiello 14 Il teorema fondamentale del calcolo integrale (di Torricelli – Barrow) Sia y=f(x) una funzione continua in [a;b] Allora: 1) Esiste la derivata della funzione integrale ∫= x a dt)t(f)x(F per ogni x in [a;b] 2) Tale derivata coincide con la funzione f(x), ossia )x(f)x('F = Ciò implica che F(x) è una primitiva della funzione f(x) Dimostrazione. ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++ + =−+=−=−+ hx x hx a x a x a hx x x a dt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(F)hx(F (abbiamo applicato la definizione di funzione integrale e la proprietà di additività (3)) Per il teorema della media si ha che )c(hf)c(f)xhx(dt)t(f:]hx;x[c hx x =−+=+∈∃ ∫ + Pertanto: )x(f h )x(F)hx(F lim)x('F)c(f h )x(F)hx(F )c(hf)x(F)hx(F 0h = −+ =⇒= −+ ⇒=−+ → Per la continuità della funzione f(x), infatti )x(f)c(flim)c(flim xc0h == →→ .
  15. 15. Angela Donatiello 15 Teorema. Formula di Leibnitz – Newton b a b a )]x(F[)a(F)b(Fdx)x(f =−=∫ Dimostrazione. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si sa che F(x) è una primitiva della funzione integrale, pertanto tutte le primitive sono del tipo cdt)t(fc)x(F)x(G x a +=+= ∫ Calcoliamo )a(Gccc0cdt)t(fc)a(F)a(G a a =⇒=+=+=+= ∫ Calcoliamo ∫ ∫ +=+=+= b a b a )a(Gdt)t(fcdt)t(fc)b(F)b(G Quindi ∫ −=−= b a )a(F)b(F)a(G)b(Gdx)x(f in quanto due primitive differiscono per una costante.
  16. 16. Angela Donatiello 16 Calcolo integrale definito per parti [ ] ∫∫ ⋅−⋅= b a b a b a dx)x(g)x('f)x(g)x(fdx)x('g)x(f ∫∫ =−      = 3 1 23 1 33 1 2 dx 3 x xln 3 x xdxlnx =      −    −= 3 1 3 9 x 1ln 3 1 3ln 3 27 9 26 3ln9 9 1 33ln9 −=      −−= 9986,6≈
  17. 17. Angela Donatiello 17 Calcolo integrale con metodo di sostituzione Quando si effettua il cambio di variabile è necessario valutare anche i nuovi estremi di integrazione. ∫ + − 5 1 dx 3x )2x( pongo 0t3x >=+ 3txt3x 22 −=⇒=+ tdt2dx = 228t5x 24t1x ==⇒= ==⇒= Procediamo quindi con la sostituzione e con il calcolo. ∫ ∫∫       +−−=      −=−= −− = + − 22 2 22 2 22 2 3 2 25 1 10 3 8 210 3 216 2t5 3 t 2dt)5t(2tdt2 t 23t dx 3x )2x( 4673,1)21422( 3 2 3 308230216 2 ≈−=      +−− =
  18. 18. Angela Donatiello 18 Esercizi svolti in aula ∫ π π −= 2 2 4 4dx x xsen ∫ − −= −+ + 0 2 2 3lndx 3x2x 5x3 ∫ − π = ++ 2 3 2 3 dx )x2(1x 1 ∫ π + = πe 1 2 1e dx)x(lnsen
  19. 19. Angela Donatiello 19 Calcolo di aree 1° CASO La funzione f(x) è positiva o nulla nell’intervallo [a;b] Area del trapezoide = ∫ b a dx)x(f 2° CASO La funzione è negativa in [a;b], allora l’integrale definito è negativo Area del trapezoide = ∫− b a dx)x(f 3°CASO La funzione nell’intervallo [a;b]assume sia valori positivi che valori negativi. In tal caso occorre calcolare l’integrale come somma degli integrali calcolati sugli intervalli aventi per estremi, oltre ad a e b, anche i punti in cui la funzione interseca l’asse delle ascisse, passando xcosy = xsiny −=
  20. 20. Angela Donatiello 20 da positiva a negativa o viceversa. Bisogna naturalmente ricordare che gli integrali definiti calcolati su intervalli in cui la funzione è negativa devono essere preceduti dal segno meno. ∫ ∫−= c a b c dx)x(fdx)x(fS c è il punto di intersezione della curva con l’asse x 4°CASO La superficie di cui si desidera calcolare l’area è delimitata da due funzioni f(x) e g(x) con )x(g)x(f > In tal caso l’area è data dall’integrale definito della differenza tra i valori assunti dalle due funzioni nell’intervallo [a;b] dove a e b rappresentano le ascisse dei punti di intersezione delle curve. Area trapezoide = ∫ − b a dx)]x(g)x(f[ xlogy 2 1= x3x)x(g xln)x(f 2 −= =

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