1 introduction to stress and strain


Published on

Published in: Education, Business, Technology
  • Be the first to comment

No Downloads
Total views
On SlideShare
From Embeds
Number of Embeds
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

1 introduction to stress and strain

  1. 1. 4/29/2011 Mechanics of Flexible Materials By Hammad Mohsin 1 Course Outline A)FUNDAMENTALS & POLYMERS Module 1 Introduction to Mechanics of Materials• Role of Mechanics of Materials in Engineering Role of Mechanics of Materials in Engineering,  Stresses and Deformations, True Stress and True  StrainModule 2 Study of Stress and Strain• Stress ‐ Strain Diagrams of Ductile and Brittle  g Materials, Isotropic and An‐isotropic Materials,  Modulus of Elasticity, Modulus of Rigidity, Elastic and Plastic Behavior of Materials, Non Linear Elasticity,  Linear Elasticity,  2 1
  2. 2. 4/29/2011• Stress and Strain in Changed Thermal Conditions,  Repeated Loading, Bending of Elasto‐plastic  Materials, Analysis of Stresses and DeformationsModule 3 Molecular basis of Rubberlike elasticity• Structure of a Typical Network,  Elementary  Molecular Theories, More Advanced Molecular  Theories Phenomenological Theories and  Molecular Structure, Swelling of Networks and  Responsive Gels Enthalpic and Entropic  p p p Contributions to Rubber Elasticity: Force‐ Temperature Relations ,  Direct Determination of  Molecular Dimensions 3Module 4 Strength of Elastomers• Initiation of Fracture, Threshold Strengths and  Extensibilities, Fracture Under Multiaxial  Stresses , Crack Propagation,  Tensile Rupture,  Repeated Stressing: Mechanical Fatigue,   Repeated Stressing Mechanical Fatigue Surface Cracking by Ozone, Abrasive Wear. Module 5 Failure Prevention• Analysis of polymer product failure Design Analysis of polymer product  failure, Design  aids for preventing brittle failure, Defect  analysis HDPE pipe durability.   4 2
  3. 3. 4/29/2011B) TEXTILE MATERIALSModule 6 Mechanical Properties  of Textile Fibres• Tensile Recovery, Elastic Performance Coefficient in  Tension, Inter Fibre Stress and its Transmission,  , , Stress analysis of stable fibre, filaments, influence  of twist on yarn modulus • Plasticity of textile fibers based on effect of load,  time, temperature superposition.Module 7 Mechanics of Yarns:• Mechanics of Bent Yarns, Flexural Rigidity, Fabric  Wrinkling, Stiffness in Textile Fabrics. Creasing and  Crease‐proofing of Textiles  5 • Module 8 Compression of Textile Materials • Study of Resilience, Friction between Single  Fibres, Friction in Plied Yarns • Module 9 Mechanical Properties of Non  Wovens and composite materials  6 3
  4. 4. 4/29/2011 Books • Neilsen L., Landel R.,“Mechanical Properties of Polymers  and Composites” (1994)• Moalli J “Plastic Failure: Analysis and Prevention” (2001) Moalli  J  Plastic Failure: Analysis and Prevention (2001)• Mark J, Erman B., Elrich F “Science and Technology of  Rubbers” (2005)• Ferdinand P Beer, E Russell Jhonston Jr., Jhon T Dewolf  “Mechanics of Materials” (2004)• Jinlian Hu “Structure and Mechanics of Woven Fabrics”  Jinlian Hu  Structure and Mechanics of Woven Fabrics (2004)• AE Bogdanovich, C M Pastore “Mechanics of Textile and  Laminated Composites” (1996) 7 Assessment  • Quizzes:                          10% • Class participation  & Discussion     10% • Assignments :                                      10% • Midterm:                        30% • Final:                               40% 8 4
  5. 5. 4/29/2011 Cause  & effect  model 9Material Properties 1.  Elastic                                                     a.  Elastic Behavior causes a  a. Elastic Behavior causes a material to return to its  original shape after being  deformed.                                        10 5
  6. 6. 4/29/2011 b.  Completely elastic behavior F = kx Force k is called the elastic modulus (F) Distance (x) 11 2. Viscousa.  Viscous behavior is related to the rate of deformation.d f ti ⎛ Δx ⎞ F = η⎜ ⎟ ⎝ Δt ⎠ Viscosity Rate of deformation 12 6
  7. 7. 4/29/2011 fast f tforce, F slow distance, x 13 3.  Viscoelastic  a.  Fibers exhibit viscoelastic behavior   b. force required to deform a material   dependents amount of deformation and  rate  at which the material is deformed fast F viscous slow elastic x 14 7
  8. 8. 4/29/2011B.  Internal Structure                                                       1.  Chemical Composition Sequence and kind of atoms in structure Sequence and kind of atoms in structure 2.  Crystallinity Polymer chains or sections packed together 3.  Orientation Alignment of chains along fiber axisC.  Thermal Properties                                               C Thermal Properties Melting Temperature 2.  Glass Transition Temperature Most polymers are thermoplastic – they  soften  before melting 15 D. Physical Properties                                          Breaking Strength Force required to break a fiber Force required to break a fiber 2.  Breaking Elongation Amount of stretch before breaking 3.  Modulus Resistance to deformation 4.  Toughness Amount of energy absorbed 5.  Elasticity Ability to recover after being deformed 16 8
  9. 9. 4/29/2011 17 Structural factors=> Mechanical  Behaviorl. Molecular weight2. Cross‐linking and branching2 Cross‐linking and branching3. Crystallinity and crystal morphology4. Copolymerization (random, block, and graft)5. Plasticization6. Molecular orientation7. Fillers7 Fillers8. Blending9. Phase separation and orientation in blocks,  grafts, and blends 18 9
  10. 10. 4/29/2011 External Factors Mechanical  Properties1. Temperature2. Time, frequency, rate of stressing or straining3. Pressure4. Stress and strain amplitude5. Type of deformation (shear, tensile, biaxial, e tc. )6. Heat treatments or thermal history6 Heat treatments or thermal history7. Nature of surrounding atmosphere, especially  moisture content 195 assumptions ‐> Mechanical Behavior1) Linearity: Two types of linearity are normally  assumed: A) Material linearity (Hookean stress assumed: A) Material linearity (Hookean stress‐ strain behavior) or linear relation between stress  and strain; B) Geometric linearity or small strains  and deformation.2) Elastic: Deformations due to external loads are  completely and instantaneously reversible upon  load removal. load removal.3) Continuum: Matter is continuously distributed  for all size scales, i.e. there are no holes or voids.4) Homogeneous: Material properties are the same  at every point or material properties are invariant  upon translation. 20 10
  11. 11. 4/29/2011 5) Isotropic: Materials which have the same  mechanical properties in all directions at an  h i l ti i ll di ti t arbitrary point or materials whose properties  are invariant upon rotation of axes at a point.  Amorphous materials are isotropic. 21 Stress‐ Strain > Definations• Dog Bone is used and material properties such as • 1) Young’s modulus, 2) Poisson’s ratio, 3) failure (yield) stress and  ) g , ) , ) (y ) strain.• The specimen may be cut from a thin flat plate of constant  thickness or may be machined from a cylindrical bar. • The “dogbone” shape is to avoid stress concentrations from  loading machine connections and to insure a homogeneous state  of stress and strain within the measurement region. • The term homogeneous here indicates a uniform state of stress  or strain over the measurement region, i.e. the throat or reduced  central portion of the specimen. 22 11
  12. 12. 4/29/2011• The engineering (average) stress can be  calculated by dividing the applied tensile  l l t d b di idi th li d t il force, P, (normal to the cross section) by the  area of the original cross sectional area A0 as  follows, Stress  23 Strain • The engineering (average) strain in the direction  of the tensile load can be found by dividing the  change in length, ∆L, of the inscribed rectangle by  the original length L0,• The term  lambda in the above equation is called  the extension ratio and is sometimes used for  large deformations e.g., Low modulus rubber  24 12
  13. 13. 4/29/2011 True Stresses and Strain • True stress and strain are calculated using the  instantaneous (deformed at a particular load)  i t t (d f d t ti l l d) values of the cross‐sectional area, A, and the  length of the rectangle, L, 25 Young Modulus • Young’s modulus, E, may be determined from  the slope of the stress‐strain curve or by  th l f th t t i b dividing stress by strain, 26 13
  14. 14. 4/29/2011• the axial deformation over length L0 is,• Poisson’s ratio, , is defined as the absolute  value of the ratio of strain transverse, єy, to  the load direction to the strain in the load  direction, є x ,Where strain transverse‐ve for Applied tensile load, 27 Shear • L = length of the cylinder, • T = applied torque, • r = radial distance, • J = polar second moment of area  • G = shear modulus.• =shear stress,        = angle of twist,• =shear strain, 28 14
  15. 15. 4/29/2011• The shear modulus, G, is the slope of the shear  stress‐strain curve and may be found from,where the shear strain is easily found by measuring  only the angular rotation, , in a given length, L.  The shear modulus is related to Young’s modulus• As Poisson’s ratio, , varies between 0.3 and 0.5 for  most materials, the shear modulus is often  approximated by, G ~ E/3. 29 Typical Stress Strain Properties  30 15
  16. 16. 4/29/2011 Yield point• if the stress exceeds the proportional limit a  residual or permanent deformation may remain  when the specimen is unloaded and the material is  p said to have “yielded”.• The exact yield point may not be the same as the  proportional limit and if this is the case the location  is difficult to determine. • As a result, an arbitrary “0.2% offset” procedure is  often used to determine the yield point in metals  31 • That is, a line parallel to the initial tangent to  the stress‐strain diagram is drawn to pass  th t t i di i d t through a strain of 0.002 in./in.  • The yield point is then defined as the point C  of intersection of this line and the stress‐strain  diagram. g • This procedure can be used for polymers but  the offset must be much larger than 0.2%  definition used for metals. 32 16
  17. 17. 4/29/2011the stress is nearly linear with strain until it reaches the upper yield point stress which is also known as the elastic‐plastic tensile instability ppoint. At this point the load (or stress) decreases as the  deformation continues to increase. That is, less load  is necessary to sustain continued deformation.  33 The region between the lower yield point and the maximum stress is a region of strain  hardening, Poly‐Carbonate shows the similar  behavior 34 17
  18. 18. 4/29/2011• If the strain scale of Fig. (a) is expanded as  illustrated in Fig. (b),• the stress‐strain diagram of mild steel is  approximated by two straight lines; • i) for the linear elastic portion and • ii) is horizontal at a stress level of the lower  yield point.  35• This characteristic of mild steel to “flow”, “neck” “d “ k” or “draw” without rupture when the  ” ith t t h th yield point has been exceeded has led to the  concepts of plastic, limit or ultimate design. 36 18
  19. 19. 4/29/2011 Idealized Stress‐ Strain • a linear elastic perfectly brittle material is assumed  to have a stress‐strain diagram fig (a)• a perfectly elastic‐plastic  material with the stress‐ strain diagram Fig (b) mild steel or Poly C 37• Metals (and polymers) often have nonlinear• stress‐strain behavior as shown in Fig. (a). These  are sometimes modeled with a bilinear diagram  as shown in Fig. (b) and are referred to as a  perfectly linear elastic strain hardening material.38 19
  20. 20. 4/29/2011 Mathematical Definitions Definition of a Continuum: A basic assumption  of elementary solid mechanics is that a  f l t lid h i i th t material can be approximated as a continuum.  That is, the material (of mass M) is  continuously distributed over an arbitrarily  small volume, V, such that, 39 Mathematical/ Physical  Def. of  Normal and Shear Stress • Consider a body in  equilibrium under the  ilib i d th action of external  forces• F1, F2, F3, F4 = Fi as  shown in Fig.g 40 20
  21. 21. 4/29/2011• If a cutting plane is  passed through the  d th h th body as• shown in Fig,  equilibrium is  maintained on the  remaining portionby internal forces  distributed over the  surface S. 41• At any arbitrary point p, • the incremental resultant force, ∆Fr, on the  cut surface can be broken up into a normal  force in the direction of the normal, n, to  surface S and• a tangential force parallel to surface S. • The normal stress and the shear stress at  point p is mathematically defined as, i i h i ll d fi d 42 21
  22. 22. 4/29/2011Alternatively, the resultant  force, ∆Fr, at point p can  be divided by the area, ∆  A, and the limit taken to and the limit taken to obtain the stress resultant  σr as shown in Fig. Normal  and tangential  components of this stress  resultant will then be the  normal stress σn and  shear stress τs at point p  on the area A. 43• If a pair of cutting planes a differential distance  apart are passed through• the body parallel to each of the three coordinate  yp planes, a cube will be identified. • Each plane will have normal and tangential  components of the stress resultants. • The tangential or shear stress resultant on each  plane can further be represented by two  components in the coordinate directions.  44 22
  23. 23. 4/29/2011• The internal stress  state is then  represented by  three stress  components on  components on each coordinate  plane as shown in  Fig. Therefore at  any point in a body  there will be nine  h ill b i stress components.  These are often  identified in matrix  form such that, 45 Using equilibrium, it is easy to show that the  stress matrix is symmetric, t ti i ti or • leaving only six independent stresses existing at  a material point. 46 23
  24. 24. 4/29/2011 Physical and Mathematical Def. of  Normal & Shear Strain   • If there is stress acting on the body. For  example  l 47• Both shearing and normal deformation may occur  with displacements. • u is the displacement component in the x  direction and v is the displacement component in  the y direction. the y direction 48 24
  25. 25. 4/29/2011• The unit change in the x dimension will be the  strain єxx and is given by,• If we apply similarly for y and z direction, and  assume that change of angle is very small then  ∆u will be ignored. Then in 3 co‐ordinate  system normal strains are defined as:‐ 49 Shear strains• Shear strains are defined as the distortion of  the original 90º angle at the origin or the sum  of the angles Ѳ1 + Ѳ2. That is, again using the  small deformation assumption,• After solving in all 3 directions shear strain is 50 25
  26. 26. 4/29/2011• Like stresses, nine components of strain exist  at a point and these can be represented in  matrix form as,• Again, it is possible to show that the strain  g , p matrix is symmetric or that,• Hence there are only six independent strains. 51 26