1. Equações e Funções de Segundo
Grau
Mello Cotrim
Aula para o 1o. Ano do Ensino Médio
André Piazza

2. A mais sublime Provocação:
A MOTIVAÇÃO!
“Conhecimento e beleza. — Se as pessoas, como sempre
fizeram, guardam sua reverência e seu sentimento de felicidade
para obras da ideia e dissimulação, não deve surpreender que
se achem frias e desanimadas ante o oposto da ideia e
dissimulação.[...] pensam que a realidade é feia: mas não acham
que o conhecimento até da realidade mais feia seja belo, nem
que quem sabe muito esteja bem longe, enfim, de achar feio o
imenso conjunto da realidade, cuja descoberta sempre lhe deu
felicidade. Existe, então, algo “belo em si”? A felicidade do
homem que conhece aumenta a beleza do mundo e torna mais
ensolarado tudo o que há; o conhecimento põe sua beleza não
só em torno das coisas, mas, com o tempo, nas coisas;[...] a
felicidade suprema[...] em si mesma, até para deuses de altas
venturas, consiste no conhecer, na atividade de um bem
treinado entendimento que procura e inventa (não na “intuição”,
como para os teólogos e semiteólogos alemães; não na visão,
como para os místicos, e tampouco no fazer, como para todos
os práticos)." (Aurora, Aforismo 550; Nietzsche, F. W.)

3. Dificuldades
 Visualização das operações e do
gráfico;
 Entender os significados dos termos das
equações;
 Sinais;
 Origens e finalidade.

4. Objetivos
 Conceituais: Entender o que são e o que
significam: A variável x, os coeficientes
(a,b,c), o gráfico, os sinais de cada termo, as
raízes, a fatoração;
 Procedimentais: Operar geometricamente as
equações, visualizar as operações dos
coeficientes da equação, manipular os
materiais que representam os conceitos;
 Atitudinais: Desenvolver o hábito e o gosto
pelo estudo (pensar e aprender), a
criatividade e a curiosidade.

5. Atividade - 1
 Apresentação do material dourado com o
significado de cada peça:

6. Atividade - 1
 Representação das equações do segundo
grau com o material dourado. Por exemplo:

7. Atividade - 1
 Construir, se possível, um retângulo com as
peças:

8. Atividade - 1
 Calcular a área do retângulo obtido:
( 1) ( 1) ( 1) 2 1 2 2 x   x   x   x  x 

9. Atividade - 1
 A partir da área do retângulo encontrado,
determinamos a forma fatorada da equação e
assim calculamos as suas raízes:
(x 1)  (x 1)  0x  1

10. Atividade - 1
 Identifique os coeficientes a,b, c das
expressões abaixo, descubra a forma
fatorada (a área) e as raízes:
a) x2 + 3x
b) x2 + 5x + 6
c) x2 - 6x + 9
d) 2x2 + 3x + 1
e) x2 - 5x + 6

11. Atividade - 2
 No campo de entrada (rodapé do Geogebra) digite a
= 1 e tecle [Enter]. Aparecerá a = 1 em objetos livres.
Digite b= 2 e c=3;
 Com o botão direito do mouse clique
sobre a, aparecerá uma caixa de diálogo, clique em
exibir objeto (faça o mesmo com b e c) ;
 Com botão direto, clique em a e acesse propriedades
– seletor. Escolha valor mínimo e máximo (faça o
mesmo com b e c):
a – min = -5; max =5 escolha uma cor e estilo;
b – min = -50; max = 50 escolha cor e estilo;
c – min = -100; max = 100 escolha cor e estilo .
Obs: Movimente os pontos a, b e c. O que acontece?
 No campo de entrada digite f(x) = a*x*x+b*x+c

12. Atividade - 2

13. Atividade - 2
 Vértices da Função:
1. Na entrada digite: Xv= (-b)/(2*a) tecle [Enter];
2. Na entrada digite: Yv= (-b*b+4*a*c)/(4*a) tecle
[Enter];
3. Na entrada digite: P=(Xv,Yv)
 Analise, com o auxílio do Geogebra, as seguintes
funções:
a) f(x) = - x² +2 x +3
b) f(x) = x² + 2 x +3
c) f(x) = x² – 5 x + 4
d) f(x) = x² – 4 x + 4
e) f(x) = - x² +2 x + 3
f) f(x) = x² – 2 x +1

14. Avaliação
 Avaliarei a participação e o interesse pela a
atividade.

15. Enfim...
Materiais Tempo
 Caderno, lápis ou
caneta;
 Material dourado;
 Computador com
Geogebra.
 2 aulas.