GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07

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GEOMETRIA ANALÍTICA cap 07

  1. 1. 71CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACAPÍTULO 7DISTÂNCIAS E ÂNGULOS1 DISTÂNCIASTodos os conceitos vetoriais que são necessários para o cálculo de distâncias eângulos, de certa forma, já foram estudados nos capítulos anteriores. Apenas vamosutilizá-los para desenvolver este capítulo. As fórmulas que serão demonstradas sãoconsequências da aplicação destes conceitos. Portanto, acreditamos que amemorização de tais fórmulas não seja necessária, mas sim a compreensão dosconceitos aplicados.É importante lembrar que, considera-se como sendo a distância entre doisobjetos quaisquer a menor distância entre eles e, geometricamente, a menordistância entre dois objetos é sempre a perpendicular.1.1 Distância entre dois pontosSejam )z,y,x(Be)z,y,x(A 222111 dois pontos quaisquer do ℜ3. A distância ABd ,entre os pontos A e B, coincide com o módulo do vetor AB , ou seja: |AB|dAB = .Assim: )zz,yy,xx(ABAB 121212 −−−=−= . Portanto:212212212AB )zz()yy()xx(|AB|d −+−+−==1.2 Distância de um ponto a uma retaSejam P um ponto e vtAX:)r( += uma reta qualquer no ℜ3. A distância doponto P a reta (r) coincide com a altura relativa ao vértice P do triângulo determinadopelos vetores AP e v . Então hd )r(P = . Vamos determinar esta altura h da seguinteforma. Da geometria plana a área do triângulo é dada por2h|v|2alturabaseAT⋅=⋅= .Do cálculo vetorial a área do triângulo é dada por2|vAP|AT×= ⇒2|vAP|2h|v| ×=⋅.Portanto:|v||vAP|d )r(P×=|AB|dAB =BA(r)hd )r(P =APvPA
  2. 2. 721.3 Distância de um ponto a um planoSejam )z,y,x(P ooo um ponto não contido no plano 0dczbyax:)( =+++π , cujovetor normal é )c,b,a(n = . Pela figura abaixo, a distância do ponto P ao plano (π),denotada por )(PD π , coincide com a distância entre os pontos P e Q, que é igual aomódulo do vetor QP , onde Q é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano (π) e,portanto, )(Q π∈ . Seja Q(x,y,z), então: )zz,yy,xx(QP ooo −−−= . Os vetores neQPsão paralelos, logo o ângulo entre eles é 0o. Então:o0cos|n||QP|nQP ⋅⋅=⋅ ⇒ 222)(Pooo cbaD)c,b,a()zz,yy,xx( ++⋅=⋅−−− π ⇒222ooo)(Pcba)czbyax(czbyaxD++++−++=π (*). Da equação do plano vem quedczbyax −=++ . Substituindo a expressão (*) e tomando seu módulo (distância nãopode ser negativa) tem-se:222ooo)(Pcba|dczbyax|D+++++=π1.4 Distância entre duas retasSejam duas retas 11 vtAX:)r( += e 22 vtAX:)s( += . Se as retas foremcoincidentes, concorrentes ou perpendiculares a distância entre elas será adotadacom sendo igual a zero.a) Reta Paralelas: A distância entre duas retas paralelas é constante e pode serdeterminada calculando-se a distância de um ponto qualquer de uma delas a outra,como foi feito no item (1.2) para calcular a distância de um ponto a uma reta.|v||vAA|d2212rs×=nPQ)(π)(PDQP π=12AArsd2vA2A1 (r)(s)
  3. 3. 73b) Reta Reversas ou Ortogonais: A distância entre as retas (r) e (s) reversas ouortogonais, coincide com a altura do paralelepípedo determinado pelos vetoresdiretores 21 vev e pelo vetor 21AA . Na figura abaixo temos:Da geometria espacial, o volume do paralelepípedo é igual a hAbVP ⋅= e do cálculovetorial: |]v,v,AA[|V 2121P = . A área da base Ab é a área de um paralelogramodeterminado pelos vetores 21 vev e a altura rsdh = . Então:|]v,v,AA[|hAb 2121=⋅ ⇒ |]v,v,AA[|d|vv| 2121rs21 =⋅× ⇒|vv||]v,v,AA[|d212121rs×=1.5 Distância entre dois planosSejam )( 1π e )( 1π dois planos de equações 0dzcybxa:)( 11111 =+++π e0dzcybxa:)( 22222 =+++π . Se os planos forem coincidentes, concorrentes ouperpendiculares a distância entre eles será adotada com sendo igual a zero. No casoem que eles forem paralelos, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto deum deles ao outro. Assim:222ooocba|dczbyax|D 21+++++=ππ1.6 Distância entre uma reta e um planoSejam vtAX:)r( += uma reta e 0dczbyax:)( =+++π um plano. Caso areta esteja contida no plano, ou for concorrente ou perpendicular ao plano a distânciaentre eles e adotada como sendo zero. No caso em que a reta é paralela ao plano, adistância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta (r) ao plano ( π). Assim:222ooorcba|dczbyax|d+++++=π21D ππP)( 1π)( 2ππrdA(r)(π)hdrs =1v1v2v1A2A(r)(s)⊡
  4. 4. 74Exemplo (1): Determine a distância do ponto P, interseção das retas22z31y3x:)r(−−=+=− e11z1y31x:)s(−−=−=−, ao plano 03z2yx2:)( =−+−π .Solução: Fazendo P=(r)∩(s), temos: de+−=⇒−−=−−=⇒+=−(**)8x2z22z3x(*)10x3y31y3x:)r( .Substituindo (*) e (**) em (s), tem-se: 4x110x331x=⇒−−=−. Portanto,P(4,2,0). Usando a fórmula da distância de um ponto a um plano tem-se:222ooo)(Pcba|dczbyax|D+++++=π , onde o vetor normal )2,1,2()c,b,a(n −== e o ponto)0,2,4()z,y,x(P ooo = . Então:9|328|2)1(2|302242|D222)(P−−=+−+−⋅+−⋅=π ⇒ .c.u1D )(P =π(u.c. = unidades de comprimento).Exemplo (2): Determine a distância entre as retas12z21y3x:)r(−+=−= e21z4y61x:)s(+=−=−−.Solução: Note que as retas (r) e (s) são paralelas e de−=−)1,2,3(v)2,1,0(A:)r(11e de−−=−)2,4,6(v)1,0,1(A:)s(22. Vamos calcular a distância do ponto A1 à reta (s) usando aexpressão|v||vAA|d2221rs×= . Então: k10j8i2246111kjivAA 221 ++−=−−−−=× ⇒422|AA| 12 = e 142|v| 2 = . Voltando a expressão: .c.u3d142422d rsrs =⇒=2 ÂNGULOS2.1 Ângulo entre dois vetores:O ângulo entre dois vetores CDveABu == , não nulos, é o ânguloDPB)v,u(ang ==θ entre os segmentos orientados que representam os vetores, coma restrição oo1800 ≤θ≤ , quando os vetores são transportados para um mesmoponto de origem P.
  5. 5. 75Através da expressão do produto escalar entre dois vetores, podemosdeterminar o ângulo θ entre eles em função do valor do cosθ. Assim, sempreusaremos a expressão abaixo para determinar o ângulo entre dois vetores. Portanto,θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu ⇒|v||u|vucos⋅⋅=θ . Como oo1800 ≤θ≤ , neste intervalo temosque )180cos(cos oθ−−=θ ⇒ |)180cos(||cos|cos oθ−=θ=θ .2.2 Ângulo entre duas retasSejam duas retas 11 vtAX:)r( += e 22 vtAX:)s( += . O ângulo α entre as duasretas é sempre o menor ângulo formado por elas, donde podemos concluir queoo900 ≤α≤ .Se as retas forem coincidentes ou paralelas o ângulo entre elas é adotado comsendo 0o. Se as retas forem perpendiculares ou ortogonais, por definição, o ânguloentre elas já está definido e é igual a 90o.No caso em que as retas são concorrentes ou reversas, podemos determinar oângulo entre elas através do ângulo entre seus vetores diretores. Assim, seja α oângulo entre as retas (r) e (s) e seja θ o ângulo entre seus vetores diretores. Comovimos anteriormente temos que|v||v|vvcos2121⋅⋅=θ . Então:a) se θ=α⇒≤θ≤ oo900 b) se θ−=α⇒≤θ< ooo18018090Portanto, em ambos os casos a) e b) temos que: |)180cos(||cos|cos oθ−=θ=α ⇒|v||v|vvcos2121⋅⋅=α .θα2v (s)(r)1vα=θ2v(s)(r)1vuA BvDCDBvuCA ≡θ
  6. 6. 762.3 Ângulo entre dois planosConsidere dois planos de equações gerais 0dzcybxa:)( 11111 =+++π e0dzcybxa:)( 22222 =+++π com seus respectivos vetores normais 21 nen . Oângulo α entre os dois planos é sempre o menor ângulo formado por eles eoo900 ≤α≤ .Se os planos forem coincidentes ou paralelos o ângulo entre eles é adotado comsendo 0o. Se os planos forem perpendiculares, por definição, o ângulo entre eles jáestá definido e é igual a 90o.No caso em que os planos são concorrentes, podemos determinar o ânguloentre eles através do ângulo entre seus vetores normais. Assim, seja α o ângulo entreos planos (π1) e (π2) e seja θ o ângulo entre seus vetores normais. Então:a) se θ=α⇒≤θ≤ oo900 b) se θ−=α⇒≤θ< ooo18018090Portanto, em ambos os casos a) e b) temos que: |)180cos(||cos|cos oθ−=θ=α ⇒|n||n|nncos2121⋅⋅=α .2.4 Ângulo entre uma reta e um planoConsidere uma reta de equação vetorial vtAX:)r( += , cujo vetor diretor é v eum plano de equação geral 0dczbyax:)( =+++π , cujo vetor normal é n . O ânguloα entre a reta e o plano e o menor ângulo formado por eles e oo900 ≤α≤ .Caso a reta seja paralela ao plano, em particular, se ela estiver contida no planoo ângulo entre eles é adotado como sendo 0o. Se a reta for perpendicular ao plano,por definição, o ângulo entre eles já está definido e é igual a 90o.No caso em que a reta é concorrente ao plano, podemos determinar o ânguloentre eles através do ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano.Assim, seja α o ângulo entre a reta (r) e o plano (π) e seja θ o ângulo entre o vetordiretor da reta e o vetor normal ao plano. Então:θ=α)( 2π)( 1πα1n2n2n1nα)( 2π)( 1πα1n2n2n1nθ
  7. 7. 77a) se θ−=α⇒≤θ≤ ooo90900 b) se ooo9018090 −θ=α⇒≤θ<Nestes casos devemos determinar o ângulo θ entre o vetor diretor da reta e ovetor normal ao plano entre através do valor de|n||v|nvcos⋅⋅=θ e, posteriormente,determinar o ângulo α , uma vez que: a) se θ−=α⇒≤θ≤ ooo90900 e b) seooo9018090 −θ=α⇒≤θ< .Exemplo (3): Determine o ângulo entre os planos 03zyx2:)( 1 =+−+π e04yx:)( 2 =−+π .Solução: Estamos interessados em determinar o ângulo α entre os planos, emfunção do ângulo θ entre os vetores normais que são )0,1,1(ne)1,1,2(n 21 =−= . Noteque: como LI}n,n{ 21 e 0nn 21 ≠⋅ , logo os planos são concorrentes. Então:2121nnnn|cos|cos⋅⋅=θ=α ⇒263011)1(120)1(1112cos222222 ⋅=++⋅−++⋅−+⋅+⋅=α ⇒23cos =α . Portanto, o30=α .Exemplo (4): Sejam a reta32z21yx:)r(−=−−= e o plano 03z5yx:)( =++−π .Qual é o ângulo entre eles?Solução: Queremos determinar o ângulo α entre a reta e o plano em função doângulo θ entre o vetor diretor da reta )3,2,1(v −= e o vetor normal ao plano)5,1,1(n −= . Note que a reta é concorrente ao plano. Vamos determinar θ usando aexpressão|n||v|nvcos⋅⋅=θ . Então:2222225)1(13)2(153)1()2(11cos+−+⋅+−+⋅+−⋅−+⋅=α ⇒θα)(πvn)r(θα)(πvn)r(
  8. 8. 78742cos =θ . Como 0cos >θ ⇒ oo900 ≤θ≤ ⇒ θ−=α o90 . Portanto,−=α742arccos90o.Exercícios Propostos1) Sejam o plano 015z5y5x3:)( =−++π . Ao "passar" pelo ℜ3ele deixa traços eintercepta os eixos coordenados em pontos P, Q e R, cujo esboço do plano (π) é otriângulo PQR. Determine o ângulo do vértice R do triângulo PQR.Resp:=α=θ34173arccos2) Determine o ângulo entre as retas, cujos vetores diretores são )h,g,f(v 1111 = e)h2,g,f(v 1222 = , sabendo-se que 21 vvAB += , com A(2,3,-1) e B(4,-3,5), 1iv1 =⋅ eji8kv2 −−=× . Resp: =θ277arccos3) Sejam A(2,3,0), B(2,1,4) e C(4,1,4) vértices de um triângulo ABC. Sejam M e Npontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Determine o ângulo entre asretas suportes do lado AC e do segmento MN. Resp:=θ630arccos4) Determine a distância entre as retas 1ze2y21x:)r( −=−=−e2ze22y41x:)s( =−=−. Resp: .c.u3d =5) Determine a distância da reta 2z5y3x:)r( −=−= ao plano030z5y2x:)( =−−+π . Resp: .c.u30d =

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