GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02

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GEOMETRIA ANALÍTICA cap 02

  1. 1. 16CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICACAPÍTULO 2VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO1 Vetores no planoO plano, também chamado de ℜ2, simbolicamente escrevemos:}yex),y,x{(x2ℜ∈∀=ℜℜ=ℜ , é o conjunto de todos os pares ordenados de númerosreais. Ele é representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual éconstituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é o par ordenadoO(0,0), chamado de origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo dasabscissas) e Oy (eixo das ordenadas) e ambos chamados de eixos coordenados,orientados como mostra a figura abaixo.Todo ponto P do plano é representado como na figura acima, onde x e y são assuas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Na representaçãode um ponto do plano, dentro do par ordenado a coordenada x é sempre a primeira ey a segunda coordenada, assim, P(x,y). Note que os eixos coordenados dividem oplano em 4 regiões iguais (I, II, III e IV), cada uma delas chamadas de quadrante. Oque distingue um quadrante do outro são os sinais das coordenadas (x,y) de umponto qualquer do 2ℜ . Assim:- Se (x,y) pertence ao I quadrante, então x>0 e y>0. Simbolicamente: (+,+);- Se (x,y) pertence ao II quadrante, então x<0 e y>0. Simbolicamente: (-,+);- Se (x,y) pertence ao III quadrante, então x<0 e y<0. Simbolicamente: (-,-);- Se (x,y) pertence ao e IV quadrante, então x>0 e y<0. Simbolicamente (+,-).yxP(x,y)(0,0)(–)(–)Oy (+)(+)OxIIIIVIII
  2. 2. 17Qualquer vetor do ℜ2pode ser escrito em função de dois versores jei , com1|j||i| == , cada um deles situados sobre os eixos coordenados Ox e Oy,respectivamente, como mostra a figura abaixo. Futuramente o conjunto dos versores{ }j,i será chamado de uma base do ℜ2.Pela figura acima, podemos ver que jyixv += , ou seja, o vetor v é escrito emfunção da base { }j,i . A expressão jyixv += é chamada de expressão cartesianade um vetor do ℜ2e seu módulo é determinado por 22yx|v| += .Todo vetor do plano será representado a partir da origem do sistema, ou seja, aorigem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide comalgum ponto P(x,y), do mesmo plano. Assim podemos identificar um vetor com umponto do plano e simplesmente escrever que )y,x(v = .Por exemplo: Para o vetor ji3v −= podemos escrever )1,3(v −= e representá-lo no ℜ2, marcando o ponto P(3,-1) e unindo este ponto à origem do sistema, semprefazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade dovetor com o ponto P(3,-1), como mostra a figura abaixo:1.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ2na forma cartesianaSejam jyixvejyixv 222111 +=+= dois vetores quaisquer do ℜ2e um escalarqualquer ℜ∈α . Então:- Adição: j)yy(i)xx(vv 212121 +++=+- Subtração: j)yy(i)xx(vv 212121 −+−=−- Multiplicação por escalar: j)y(i)x(v 111 α+α=⋅αv-13P(3,-1)yxOjjyi ixvyxP(x,y)OyOx
  3. 3. 18Exemplo (1): Sejam iweji3v,j4i2u =+−=+= . Determine o módulo do vetorw2v3u21R +−= .Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação vem:)0,1(we)1,3(v,)4,2(u =−== . Vamos primeiro determinar o vetor R .)1,12()032,291()0,2()3,9()2,1()0,1(2)1,3(3)4,2(21R −=+−++=+−−=+−−=Logo, ji12R −= . Portanto, 1451144)1(12|R| 22=+=−+=1.2 Cossenos diretores de um vetorSeja jyixv += um vetor qualquer do ℜ2. Então v forma um ângulo com cadaeixo coordenado. Sejam α e β os ângulos que o vetor v forma com os eixos Ox e Oy,respectivamente. Pela figura abaixo temos:|v|x)cos( =α e|v|y)cos( =β , chamadoscossenos diretores do vetor .v Note que: 1)(cos)(cos 22=β+α , pois:1|v|y|v|x22=+e 222yx|v| += , então 22yx|v| += .Definição: Considere o vetor jyixv += . Então o versor do vetor v , denotado porov , é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v e unitário, ou seja, 1vo = , definidopor|v|vvo = .Como jyixv += ⇒ )y,x(v = ⇒ =⋅=|v|y,|v|x)y,x(|v|1vo ⇒ )cos,(cosvo βα= .Exemplo (2): Dados os pontos A(2,4) e B(-1,3), determine:a) Os cossenos diretores do vetor AB .b) Um vetor w de módulo 40 e paralelo ao vetor AB .Solução: a) )1,3()4,2()3,1(ABAB −−=−−=−= , 10)1()3(|AB| 22=−+−= . Então:101|AB|y)cos(e103|AB|x)cos(−==β−==ααβOvyxP(x,y)OyOx
  4. 4. 19b) Seja )y,x(w = . Se w é paralelo ao vetor AB , então existe um escalar ℜ∈m talque: ABmw ⋅= . Então:−=−==−−⋅=mym3x)1,3(m)y,x( . Por outro lado 40|w| = ,então: 40yx 22=+ ⇒ ( )222240yx =+ ⇒ 40yx 22=+ ⇒40)m()m3( 22=−+− ⇒ 2m40m10 2±=⇒= . Assim, há duas soluções: para m = 2 ⇒)2,6(w −−= ou para m = -2 ⇒ )2,6(w = o seu oposto. Logo, )2,6(w −−= ou )2,6(w = .Exemplo (3): Sejam )1m2,2(we)m,m3(v −−=+= . Determine os valores de mpara que o vetor wv − tenha módulo igual a 6.Solução: )1m,5m()1m2,2()m,m3(wv +−+=−−−+=−626m8m2)1m()5m(|wv| 222=++=+−++=−05m4m626m8m2 2222=−+⇒=++ ⇒−==5m1m21Logo para−−=−−=⇒−=−==⇒=)11,2(we)5,2(v5m)1,2(we)1,4(v1m21Exemplo (4): Seja )4,3(v = . Ao projetarmos o vetor v sobre o eixo Ox, obtemos umvetor u . Determine o vetor w que é a projeção do vetor u na direção do vetor v .Solução: Temos que )0,3(u = e w é paralelo ao vetor v . Então vw α= . Seja)y,x(w = . Então:α=α=⇒α==4y3x)4,3()y,x(w . Por construção temos:59|w||v||u||u||w|cos =⇒==θ . Mas ⇒α+α=+= 2222)4()3(yx|w|259592559)4()3(|w| 222=α⇒=α⇒=α+α=Portanto: =⇒==2536,2527w)4,3(259)y,x(wyθx43uwv
  5. 5. 20Exercícios Propostos:1) Dados os vetores )3,4(ue)4,2(v −== , determine os vetores bea sabendo quebav += e que b é o triplo do versor do vetor u .Resp: =−=511,522ae59,512b2) Determine t para que )t2,t(u = tenha módulo igual a 53 . Resp: t = ± 33) O vetor )8,2(v = é a soma de um vetor a que está sobre o eixo Ox com um vetorb , cujo módulo é 73 . Determine as possibilidades para os vetores a e b .Resp:−===−=)8,3(be)0,5(aou)8,3(be)0,1(a4) Três pontos do plano A(1,3), B(5,1) e C(2,7), determinam um triângulo ABC.a) Mostre que 0BACBAC =++ .b) Determine o perímetro do triângulo ABC. Resp: 5517p2 +=5) Sejam A, B, C e D, vértices de um paralelogramo ABCD. Sendo A(-1,0) e)4,3(BDe)4,7(AC −== suas diagonais, determine os outros vértices B, C e D.Resp: B(1,4), C(6,4) e D(4,0)2 Vetores no espaçoO espaço, também chamado de 3ℜ , onde ℜ×ℜ×ℜ=ℜ3, é o conjunto de todasas ternas (x,y,z) que, simbolicamente escrevemos { }ℜ∈=ℜ z,y,x/)z,y,x(3. Logo,todo ponto P do 3ℜ é representado por uma terna de números reais P(x,y,z). O 3ℜ érepresentado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é constituído portrês eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é a terna O(0,0,0), chamada deorigem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das abscissas), Oy (eixodas ordenadas) e Oz (eixo das cotas), ambos chamados de eixos coordenados,orientados como mostra a figura abaixo.(–)(–)(–)(+)(+)(+)OyOzOx
  6. 6. 21Note que os eixos coordenados dividem o espaço e 8 regiões iguais, cada umadelas chamadas de octantes. O que distingue um octante do outro são os sinais dascoordenadas (x,y,z) de um ponto qualquer do 3ℜ . Assim:- Se (x,y,z) pertence ao 1º octante, então x>0, y>0 e z>0. Em símbolos: (+,+,+);- Se (x,y,z) pertence ao 2º octante, então x<0, y>0 e z>0. Em símbolos: (–,+,+);- Se (x,y,z) pertence ao 3º octante, então x<0, y<0 e z>0. Em símbolos: (–,–,+);- Se (x,y,z) pertence ao 4º octante, então x>0, y<0 e z>0. Em símbolos: (+,–,+);- Se (x,y,z) pertence ao 5º octante, então x>0, y>0 e z<0. Em símbolos: (+,+,–);- Se (x,y,z) pertence ao 6º octante, então x<0, y>0 e z<0. Em símbolos: (–,+,–);- Se (x,y,z) pertence ao 7º octante, então x<0, y<0 e z<0. Em símbolos: (–,–,–);- Se (x,y,z) pertence ao 8º octante, então x>0, y<0 e z<0. Em símbolos: (+,–,–).Apesar do 3ℜ ter a representação como acima, para fins de simplificar arepresentação ou a construção geométrica de algo, por convenção, adota-se umarepresentação simplificada do 3ℜ , representando apenas um ou o octante desejado.Todo ponto P(x,y,z) do espaço é representado como na figura abaixo, onde x, y e zsão as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox, Oy e Oz e estaordem esta fixada.Suponhamos que desejamos representar os pontos P(3,5,6) e Q(-3,5,6). Noteque P pertence ao 1º octante e Q pertence ao 2º octante.A representação do ponto P(3,5,6) é relativamente simples quando trabalhamoscom o 1º octante, o que não ocorre com a representação do ponto Q(-3,5,6). Asrepresentações no 2º ao 8º octantes são complicadas, exigem técnicas do desenhoOz3Ox65P(3,5,6)1º octanteOyOyxOxzyP(x,y,z)OzOz–3Ox65Q(-3,5,6)Oy1º octante2º octante
  7. 7. 22geométrico como noção de profundidade e perspectiva e, nem sempre a visualizaçãodo que se pretende representar é evidente aos nossos olhos.Como estamos interessados em fazer as representações no ℜ3através de umesboço, ou seja, algo simples e não pretendemos realizar construções difíceis e nemrepresentações elaboras, o que se adota como convenção é representar o octantedesejado como se fosse sempre o 1º octante. Por exemplo, poderíamos representar oponto Q(-3,5,6) da seguinte forma:Qualquer vetor do ℜ3pode ser escrito em função três versores kej,i , cada umdeles situados sobre os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente.Futuramente o conjunto de versores { }k,j,i será chamado de uma base do ℜ3.Pela figura acima podemos ver que kzjyixv ++= , ou seja, o vetor v é escritoem função da base { }k,j,i . A expressão kzjyixv ++= é chamada de expressãocartesiana. Note também que, o módulo de um vetor é dado por 222zyx|v| ++=pois:Do triângulo OQR vem: 222yxw +=Do triângulo POR vem: 222zw|v| +=Então: 2222zyx|v| ++=Portanto: 222zyx|v| ++=Oz-3Ox65Q(-3,5,6)2º octanteOyOyxkzkOxjjyiixvzyP(x,y,z)Ozjyix +wvRQPOzzyyx
  8. 8. 23Todo vetor do espaço será representado a partir da origem do sistema, ou seja,a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide comalgum ponto P(x,y,z). Assim, podemos identificar um vetor com um ponto do espaçoe simplesmente escrever que )z,y,x(v = .Por exemplo: O vetor k6j5i3v ++= é escrito como )6,5,3(v = e representá-lono ℜ3, marcando o ponto P e unindo este ponto à origem do sistema, sempre fazendocoincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do vetor com oponto P. Veja a figura abaixo:2.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ3na forma cartesianaSejam kzjyixvekzjyixv 22221111 ++=++= dois vetores quaisquer do ℜ3eum escalar qualquer ℜ∈α . Então:- Adição: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121 +++++=+- Subtração: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121 −+−+−=−- Produto por escalar: k)z(j)y(i)x(v 1111 α+α+α=⋅αExemplo (5): Sejam jwek2ji3v,j4i2u −=++−=+= , três vetores do espaço.Determine o módulo do vetor w2v3u21R +−= .Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação,escrevemos: )0,1,0(we)2,1,3(v,)0,4,2(u −=−== . Determinando o vetor R vem:)0,2,0()6,3,9()0,2,1()0,1,0(2)2,1,3(3)0,4,2(21R −+−−=−+−−= ⇒)6,3,10()060,232,091(R −−=+−−−++= . Logo, k6j3i10R −−=Portanto, 145369100)6()3(10|R| 222=++=−+−+= .Oz3Oxv65P(3,5,6)Oy
  9. 9. 242.2 Cossenos diretores de um vetorSeja kzjyixv ++= um vetor qualquer do ℜ3. Então v forma um ângulo comcada eixo coordenado. Sejam α, β e γ os ângulos que o vetor forma com os eixos Ox,Oy e Oz, respectivamente. Pela figura abaixo temos:|v|x)cos( =α ,|v|y)cos( =β ,|v|z)cos( =γchamados de co-senos diretores do vetor .vNote que: 1)(cos)(cos)(cos 222=γ+β+αDefinição: Considere o vetor kzjyixv ++= . Então o versor do vetor v , denotadopor ov , é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v e unitário, ou seja, 1vo = ,definido por|v|vvo = .Como kzjyixv ++= ⇒ )z,y,x(v = ⇒ =⋅=|v|z,|v|y,|v|x)z,y,x(|v|1vo ⇒)cos,cos,(cosvo γβα= .2.3 Condição de paralelismo entre dois vetores.Sejam )z,y,x(ve)z,y,x(u 222111 == dois vetores paralelos, ou seja, eles têm amesma direção, então existe um escalar m∈ℜ tal que vmu ⋅= . Logo:=⇒==⇒==⇒=⇒⋅=212121212121222111zzmmzzyymmyyxxmmxx)z,y,x(m)z,y,x( ⇒212121zzyyxxm === ,0ze0y,0xcom 222 ≠≠≠ . Portanto, para que dois vetores sejam paralelos énecessário que haja uma proporção entre suas coordenadas, isto é, eles são múltiplosescalares.yγβOxxα|v|zP(x,y,z)OzOy
  10. 10. 25Por exemplo: considere os vetores )2,4,1(u = , )4,8,2(v = e )4,6,2(w = . Temosque u e v são paralelos, pois u2v ⋅= e 2244812=== . Note que u e w não sãoparalelos, pois244612≠≠ , ou seja, não existe nenhum escalar m∈ℜ tal umw ⋅= .2.4 Condição de coplanaridade entre três vetoresSejam )z,y,x(u 111= , )z,y,x(v 222= e )z,y,x(w 333= vetores coplanares,ou seja, vetores que estão no mesmo plano, então existem escalares m, n ∈ℜ taisque wnvmu += .Então: ⇒⋅+⋅= )z,y,x(n)z,y,x(m)z,y,x( 333222111=+=+=+132132132znzmzynymyxnxmxPodemos associar a este sistema linear uma matriz dos coeficientes, cujodeterminante é igual a zero, pois existe uma combinação linear entre suas linhas, ouseja, a primeira linha é m vezes a segunda mais n vezes a terceira. Portanto, acondição para que três vetores sejam coplanares é verificada quando0zyxzyxzyx333222111= .Exemplo (6): Dados os pontos P(2,4,5) e Q(1,2,3) determine um vetor w paraleloao vetor PQ e que tenha módulo igual a 6.Solução: Sejam )z,y,x(w = . Como w é paralelo a PQ , então PQw α= ⇒)2,2,1()z,y,x( −−−α= . Então:α−=α−=α−=2z2yx. O módulo de )z,y,x(w = é igual6zyx 222=++ ⇒ 2696)2()2()( 2222±=α⇒=α⇒=α−+α−+α− . Portanto,)4,4,2(wou)4,4,2(w −−−== .vm vwwnu
  11. 11. 26Exemplo (7): Os vetores )0,1,0(ve)2,1,2(v 21 =−= estão aplicados no mesmo pontoA. Determine um vetor AB de módulo 32 , cuja direção é a direção da bissetriz doângulo formado pelos vetores 21 vev .Solução: Para que )z,y,x(AB = esteja sobre a bissetriz do ângulo entre 21 vev , énecessário que |v||v| 2211 α=α ⇒ 222221 12)1(2 ⋅α=+−+⋅α ⇒ 12 3α±=α . Pelafigura acima podemos ver que 2211 vvAB α+α= . Daí segue que:Para 12 3α=α ⇒ 2111 v3vAB α+α= ⇒ )v3v(AB 211 +α= ⇒[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 +−⋅α= ⇒α=α=α=1112z2y2x.Como 32)2()2()2(32zyx32|AB| 212121222=α+α+α⇒=++⇒= ⇒132323212 1121 ±=α⇒±=α⇒=α . Portanto, )2,2,2(ABou)2,2,2(AB −−−==Para 12 3α−=α ⇒ 2111 v3vAB α−α= ⇒ )v3v(AB 211 −α= ⇒[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 −−⋅α= ⇒α=α−=α=1112z4y2x.Como 32)2()4()2(32zyx32|AB| 212121222=α+α−+α⇒=++⇒= ⇒2212243224 12121±=α⇒=α⇒=α .Portanto, ( ) ( )2,22,2ABou2,22,2AB −+−=−=Exemplo (8): Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento dereta de extremidades )z,y,x(A 111 e )z,y,x(B 222 .Solução: Seja M(x,y,z) o ponto médio do segmento AB . O ponto M é tal queMBAM = ou M-A = B-M. Então:+=+=+=⇒−=−−=−−=−⇒−−−=−−−212121212121222111zzz2yyy2xxx2zzzzyyyyxxxx)zz,yy,xx()zz,yy,xx(Portanto: Ponto médio  +++2zz,2yy,2xxM 212121BAAB1v2v11vα22vααα
  12. 12. 27Exercícios Propostos:1) Encontrar os valores a e b tais que ubvaw += , sendo )14,4,4(w −−= ,)1,2,1(v −= e )4,0,2(u −= . Resp: a =2 e b = -32) Determine o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3).Resp: Q(-5,-1,-4)3) Um vetor w do ℜ3forma com os eixos Ox e Oy, ângulos de 60oe 1200,respectivamente. Determine w para que ele tenha módulo igual a 2.Resp: )2,1,1(wou)2,1,1(w −−=−=4) Sejam )0,1,1(be)0,0,1(a == . O ângulo entre eles é 45o. Calcule o ângulo entre osvetores baeba −+ . Resp:−=θ55arccos5) Dados os pontos A(1,-1,3) e B(3,1,5) , até que ponto se deve prolongar osegmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique devalor? Resp: (9,7,11)COMENTÁRIOS IMPORTANTES1) Como podemos identificar um vetor kzjyixv ++= com um ponto do ℜ3e, a fimde simplificar a notação, escrevermos )z,y,x(v = , é muito comum o aluno confundiras notações de um ponto P(x,y,z) com o vetor )z,y,x(v = . Às vezes até, fazeroperações que são permitidas somente entre vetores, aplicando-as aos pontos.Portanto, cuidado com as notações.2) A linguagem matemática é uma linguagem como outra qualquer, com suas regrase conectivos lógicos. As próprias línguas (português, inglês, alemão,...) possuem suasregras de construção (concordâncias, ortografia, conjugação verbal,...) as quaisdevem ser empregadas corretamente para que as frases e os parágrafos tenhamsentido. Se por exemplo, em uma determinada linguagem computacional vocêesquecer-se de digitar um ponto ou uma vírgula, seu programa não “roda” e enviaráuma mensagem de erro. Veja o que acontece quando nos esquecemos de digitar umponto ou uma letra em um site da internet ou um e-mail, não vamos conseguirnavegar ou enviar uma mensagem. Assim também é linguagem matemática. Se vocênão escreve corretamente, seu desenvolvimento matemático ficará sem sentido e oprofessor, provavelmente, vai lhe enviar uma mensagem de erro que é a sua nota.Portanto, procure usar os símbolos de maneira correta e ordenada, para aqueles quelerem seu desenvolvimento matemático possa entender o seu raciocínio.

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