Ex algebra (8)

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Ex algebra (8)

  1. 1. Lista 5 de C´lculo I a 2010-2 9 UFES - Universidade Federal do Esp´ ırito Santo LISTA 5 - 2010-2 DMAT - Departamento de Matem´tica a Limite e continuidade: miscelˆnea a Teorema do valor intemedi´rio a Nos exerc´ ıcios 1. a 15. calcule cada limite, quando poss´ ıvel. Caso conclua que o limite n˜o existe, ajustifique. ( ) 1. lim xn − xn−1 (x − sen (ax))(x + tan(bx)) x→−∞ 10. lim , a, b, c ̸= 0 x→0 1 − cos(cx) x 2. lim √ 1 − x3 x→−∞ 3 1 − cos3 x √ √ 11. lim x→0 x sen x cos x x+ x 3. lim √ x→+∞ x+1 sen (πx) 12. lim 3x3 − 2x2 − 3x + 2 x→1 1 − x2 4. lim x→1 (2x − 2)2 sen (tan x) 13. lim (1 + x)5 − (1 + 5x) x→π tan x 5. lim x→0 x5 + x2 √ √ sen (x) − 1 14. lim 2 6x − 3 4x π x→ 2 x cos x 6. lim x→ 1 4x − 4x + 1 2 2 ( ) (√ ) 1 x+1−1 x100 − 2x + 1 15. lim cos √ sen √ 7. lim x→0+ x x x→1 x50 − 2x + 1 √ x − sen x 3 x−6+2 16. lim 8. lim x→+∞ x + sen x x→−2 x3 + 8 sen (x) + sen (3x) + sen (5x) x2 sen (x) − 1 9. lim 17. lim x→0 tan(2x) + tan(4x) + tan(6x) x→−∞ x3 + 1 ( ) x3 + 1 18. Achar as constantes a e b de modo que lim ax + b − 2 = 0. x→+∞ x +1 { g(x) cos(x) + 3 , x < 0 19. Calcule os limites laterais de f (x) = em x = 0, se g(x) = sen x x2 − 9 , x≥0 Nos exerc´ıcios 18. e 19. verifique se a fun¸˜o ´ cont´ ca e ınua no ponto indicado. Justifique a resposta.  ( )  3 1 x cos se x ̸= 0 20. f (x) = x em x = 0  1 se x = 0  √  1− t √ se t ̸= 1 21. f (t) =  1− 3t em t = 1 3/2 se t = 1 { 1 + ax , x ≤ 0 22. Verifique se existe a ∈ R tal que f (x) = ınua em R. seja cont´ x4 + 2a , x > 0 ( π π) 23. Seja f : R −→ R, tal que x sen x ≤ f (x) ≤ x2 cos2 x, ∀x ∈ − , . Verifique se f ´ cont´ e ınua 2 2 em x = 0.
  2. 2. Lista 5 de C´lculo I a 2010-2 10 Para cada fun¸˜o dos exerc´ ca ıcios 24. a 26. determine um intervalo de amplitude 1, no qual est´ a localizado pelo menos um zero dessa fun¸˜o. ca πx 24. f (x) = x3 + x − 1 25. f (x) = x3 + 3x − 5 26. f (x) = 1 + x cos 2 27. Mostre que os gr´ficos de y = 1 e y = x2 tan x tˆm interse¸˜o em pelo menos um ponto do ( π πa ) e ca intervalo − , . 2 2 28. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a fun¸˜o tem e ca ca sinais contr´rios, f n˜o ´ cont´ a a e ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedi´rio a ´ verdadeira. e 29. Dˆ um exemplo de uma fun¸˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a fun¸˜o tem e ca ca sinais contr´rios, f n˜o ´ cont´ a a e ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedi´rio a ´ falsa. e 30. Se uma fun¸˜o f muda de sinal quando x varia de um ponto x = x1 para o ponto x = x2 , existir´ ca a obrigatoriamente um ponto entre x1 e x2 onde a fun¸˜o f se anula? Justifique sua resposta. ca RESPOSTAS 1. Se n for par, pois a fun¸˜o → +∞ ca 3 21. Sim, pois lim f (t) = = f (1) t→1 2 ımpar, pois a fun¸˜o → −∞ e se n for ´ ca 1 23. Sim 22. 2. −1 3. 1 2 24. f (0) = −1 < 0 < 1 = f (1), 4. pois se x → 1− a fun¸˜o → −∞ ca f ´ cont´ e ınua em [0, 1]. (ou se x → 1+ a fun¸˜o → +∞) ca Pelo Teorema do Valor Intermedi´rio (TVI), existe a 5. 10 um c; 0 < c < 1; f (c) = 0, isto ´, existe um zero e 1− da fun¸˜o no intervalo [0, 1]. ca 6. pois se x → a fun¸˜o → −∞ ca 2 25. Idem ao 22. para o intervalo [1, 2] 1+ [1 ] (ou se x → a fun¸˜o → −∞) ca 26. Idem ao item 22. para o intervalo 3 2 2, 2 49 π 27. Aplicando o TVI em f (x) = −1 + x2 tan x no in- 7. 12. 24 2 tervalo [0, π/3], mostra-se que f tem um zero no 1 13. 1 intervalo [0, π/3]. 8. 144 14. 0 Isto ´, ∃c; c ∈ [0, π/3]; f (c) = 0. e 3 Como [0, π/3] ⊂ (−π/2, π/2), temos que 9. 15. 0 4 ∃c; c ∈ (−π/2, π/2); −1 + c2 tan c = f (c) = 0. 2(1 − a)(1 + b) 16. 1 10. Isto ´, ∃c; c ∈ (−π/2, π/2); c2 tan c = 1. e c2 17. 0 3 (x + 1)2 11. 18. a = 1, b = 0 28. f (x) = em [−2, 2]; 2 1−x 19. lim− f (x) = −∞ lim f (x) = +∞ 1 x→0 x→0+ 29. f (x) = em [−1, 1] x 20. N˜o, pois lim f (x) = 0 ̸= 1 = f (0) a 30. N˜o. Ver exemplo 29. a x→0

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