Algebra Linear cap 06

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Algebra Linear cap 06

  1. 1. 46ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARCAPÍTULO 6TRANSFORMAÇÃO LINEARDefinição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma função WV:T → éuma transformação linear se:a) Vv,v,)v(T)v(T)vv(T 212121 ∈∀+=+b) KeVv,)v(T)v(T ∈α∀∈∀α=αExemplo (1): Seja23:T ℜ→ℜ definida por )zy2,zx()z,y,x(T −+= . Mostre que T éuma transformação linear.Solução: a) Sejam322221111 )z,y,x(ve)z,y,x(v ℜ∈== . Então:)zz,yy,xx(T)]z,y,x()z,y,x[(T)vv(T 21212122211121 +++=+=+ ⇒))zz()yy(2,zzxx()vv(T 2121212121 +−++++=+ ⇒)zzy2y2,zzxx()vv(T 2121212121 −−++++=+ ⇒)zy2,zx()zy2,zx()vv(T 2222111121 −++−+=+ ⇒)v(T)v(T)z,y,x(T)z,y,x(T)vv(T 2122211121 +=+=+b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈=∀ e)z,y,x(v 3. Então:)zy2,zx()z,y,x(T)]z,y,x([T)v(T α−αα+α=ααα=α=α ⇒)v(T)z,y,x(T)zy2,zx()v(T α=α=−+α=αOBS: 1) Sejam WV:0 → a aplicação nula definida por O(v)=0, ∀v∈V e WV:Id → aaplicação identidade definida por v)v(Id = , ∀v∈V. A aplicação nula e a aplicaçãoidentidade são transformações lineares. Deixamos a cargo do leitor a demonstraçãodessas afirmações.2) Seja WV:T → uma transformação linear. Se V = W, ou seja, VV:T → , então T échamada de um operador linear.3) Seja WV:T → uma transformação linear. Então V é chamado de espaço de saída e Wé chamado de espaço de chegada da transformação.
  2. 2. 47Exemplo (2): Seja32:T ℜ→ℜ definida por )2,y,x()y,x(T = . Mostre que T não é umatransformação linear.Solução: Sejam2222111 )y,x(ve)y,x(v ℜ∈== . Então:)yy,xx(T)]y,x()y,x[(T)vv(T 2121221121 ++=+=+ ⇒)v(T)v(T)0,y,x()2,y,x()2,yy,xx()vv(T 212211212121 +≠+=++=+Portanto T não é transformação linear.1 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARESQualquer que seja a transformação linear WV:T → , são válidas as seguintes propriedades:P1) 0)0(T =P2) )v(T)v(T)vv(T 2121 −=−P3) ∑∑==α=αn1iiin1iii )v(TvTOBS: É interessante notar que podemos definir uma transformação linear entre quaisquer doisespaços vetoriais, inclusive com dimensões diferentes. Assim, por exemplo, podemostransformar matrizes em vetores do3ℜ , vetores do4ℜ em polinômios, etc. (exemplo 3).Um fato muito importante é conseguirmos construir uma transformação linear a partir dealgumas condições iniciais (exemplo 4).Exemplo (3): Seja −+=++21121o221oaaaaaa)tataa(T . Mostre que a aplicação)(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ é uma transformação linear.Solução: a) Sejam )(Ptbtbb)t(petataa)t(p 2221o2221o1 ℜ∈++=++= . Então:( ) )tbtbbtataa(T)t(p)t(pT 221o221o21 +++++=+ ⇒( ) )]t)ba(t)ba()ba[(T)t(p)t(pT 22211oo21 +++++=+ ⇒( ) −−++++++=+221111221o1o21bababababbaa)t(p)t(pT ⇒
  3. 3. 48( ) −++−+=+21121o21121o21bbbbbbaaaaaa)t(p)t(pT ⇒( ) ( ) ( ))t(pT)t(pT)t(p)t(pT 2121 +=+b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈++=∀ e)(Ptataa)t(p 2221o . Então:( ) α−αααα+α=α+α+α=α21121o221oaaaaaa)tataa(T)t(pT ⇒( ) ( ))t(pTaaaaaa)t(pT21121oα=−+α=αExemplo (4): Seja uma transformação linear )(P:T 23ℜ→ℜ tal que t32)1,1,1(T −= ,2tt1)0,1,1(T −+= e2t2t)0,0,1(T += . Determine a expressão da T.Solução: Como )(P:T 23ℜ→ℜ , então a T é aplicada em vetores do ℜ3e transforma-os empolinômios de grau menor ou igual a 2. Para construirmos a expressão da )z,y,x(Ttemos que conhecê-la aplicada nos vetores de uma base do seu espaço de saída. Como oconjunto )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(B = é uma base do ℜ3e, pelas informações doenunciado, T aplicada nos vetores da base B são valores conhecidos . Vamos escrever umvetor genérico do ℜ3como combinação linear da base B:=+=++=⇒++=azbaycbax)0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( ⇒−=−==yxczybza⇒)0,0,1)(yx()0,1,1)(zy()1,1,1(z)z,y,x( −+−+= . Vamos aplicar a transformaçãoem ambos os lados da igualdade. Então:)0,0,1(T)yx()0,1,1(T)zy()1,1,1(zT)z,y,x(T −+−+= ⇒)t2t)(yx()tt1)(zy()t32(z)z,y,x(T 22+−+−+−+−= ⇒2t)y2x2zy(t)yxzyz3()zyz2()z,y,x(T −++−+−+−+−+−+= ⇒2t)zy3x2(t)z4x()zy()z,y,x(T +−+−++= . Esta é a transformaçãoprocurada.
  4. 4. 492 NÚCLEO E IMAGEMDefinição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Conjunto Imagem da T, denotado porIm(T), é definido como sendo }w)v(TcomVv/Ww{)TIm( =∈∃∈= .Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Núcleo da T, denotado por Ker(T), édefinido como sendo }0)v(T/Vv{)T(Ker =∈= .OBS: Do inglês: kernel = núcleo. Daí a notação Ker(T).Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então:a) )T(Ker é subespaço de V.b) )TIm( é subespaço de W.Exemplo (5): Seja )db,ca,c3b5a2(dcbaT ++−−=. Determine )T(Kere)TIm( .Qual a dimensão da imagem e do núcleo?Solução: Temos uma transformação32x2 )(M:T ℜ→ℜ . Isso significa que3)TIm( ℜ⊂ e)(M)T(Ker 2x2 ℜ⊂ . Seja )T(Kerdcba∈. Por definição, )0,0,0(dcbaT =⇒=+=+=−−⇒=++−−0db0ca0c3b5a2)0,0,0()db,ca,c3b5a2( ⇒=−=−=dcdbda. Assim:TVKer(T)vvWIm(T)0T(v)=w
  5. 5. 50ℜ∈∀=−==ℜ∈= d,dcedba/)(Mdcba)T(Ker 2x2 . Vamos achar umabase para o núcleo.Temos que )T(Kerdddd∈ −−⇒  −−⋅= −−1111ddddd. Então −−=1111B é base do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Seja )TIm()z,y,x( ∈ .Como T leva toda matriz de )(M 2x2 ℜ em um vetor da imagem, a própria definição daT já mostra como são os vetores da imagem. Então:)TIm()db,ca,c3b5a2( ∈++−− . Vamos achar uma base para a imagem. Temosque: )1,0,0(d)0,1,3(c)1,0,5(b)0,1,2(a)db,ca,c3b5a2( +−+−+=++−− ⇒)}1,0,0(),0,1,3(),1,0,5(),0,1,2{(S −−= é um sistema de geradores para Im(T).Escalonando:→−−000100250012100013105012. Então )}1,0,0(),2,5,0(),0,1,2{(B = ébase da Im(T) ⇒ 3)TIm(dim =3 OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES1) AdiçãoSejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaçosvetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como soma da F mais a G a aplicaçãoWV:GF →+ tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀+=+ .Proposição (1): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF + éuma transformação linear.Propriedades:Sejam WV:HeWV:G,WV:F →→→ transformações lineares. Então:P1) Comutativa: FGGF +=+
  6. 6. 51P2) Associativa: H)GF()HG(F ++=++P3) Elemento Neutro: Existe a transformação nula WV:N → tal que Vv,0)v(N ∈∀= que éo elemento neutro da adição pois FFNNF =+=+ .P4) Elemento Oposto: Existe a transformação oposta WV:)F( →− que é o elemento oposto daadição tal que NF)F()F(F =+−=−+ .2) SubtraçãoSejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaçosvetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como subtração da F menos a G a aplicaçãoWV:GF →− tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀−=− .Proposição (2): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF − éuma transformação linear.OBS: A operação de subtração não possui propriedade alguma. No entanto, a subtração éinterpretada da seguinte forma: )G(FGF −+=− , ou seja, a subtração de F com a G éigual a adição de F com a oposta da G.3) Produto por EscalarSejam WV:F → uma transformação linear, com V e W espaços vetoriais sobre omesmo corpo K e K∈α∀ . Definimos com sendo o produto do escalar de α pela transformação Fa aplicação WV:)F( →α tal que Vv),v(F)v)(F( ∈∀α=α .Proposição (3): Sejam WV:F → duas transformações lineares e K∈α∀ . Então )F(α é umatransformação linear.Propriedades:Sejam WV:GeWV:F →→ transformações lineares e K, ∈βα∀ . Então:P1) F)()F()F( αβ=αβ=βαP2) GF)GF( α+α=+αP3) FFF)( β+α=β+αP4) FF1 =⋅
  7. 7. 524) Composição de Transformações LinearesSejam WU:GeUV:F →→ duas transformações lineares onde V, U e W sãoespaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos com sendo a composição de G com F,denotado por FG , a aplicação WV:FG → tal que ))v(F(G)v)(FG( = , Vv ∈∀ .Proposição (4): Sejam WU:GeUV:F →→ duas transformações lineares. Então FG éuma transformação linear.Propriedades:P1) Não vale a comutativa: GFFG ≠Sejam VV:HeVV:G,VV:F →→→ operadores lineares do mesmo espaço V. Então:P2) Associativa: H)GF()HG(F =P3) Elemento Neutro: Existe o operador identidade VV:Id → tal que v)v(Id = que é oelemento neutro para a composição de operadores lineares com FFIdIdF == .P4) Distributiva:• a esquerda: HFGF)HG(F +=+• a direita: FHFGF)HG( +=+P5) Elemento Inverso: Caso o operador F seja inversível(*), então existe o operador linearVV:F 1→−tal que IdFFFF 11== −−.(*) As transformações lineares inversíveis serão estudadas no capítulo (7).FGGFU WVv F(v) G(F(v))=(G°F)(v)
  8. 8. 53Exemplo (6): Dadas as transformações lineares: )x,yx,yx()y,x(F −+= ,)zx,yx()z,y,x(G +−= e )y2x,y,yx2()y,x(H +−= . Determine:a) H2F3R += b) FG c) FFF2=Solução:a) )y2x,y,yx2(2)x,yx,yx(3)y,x(H2)y,x(F3)y,x(R +−+−+=+= ⇒)y4x2,y2,y2x4()x3,y3x3,y3x3()y,x(R +−+−+= ⇒)y4x2x3,y2y3x3,y2x4y3x3()y,x(R +++−−++= ⇒)y4x5,yx3,yx7()y,x(R +−−=b) )xyx,yxyx()x,yx,yx(G))y,x(F(G)y,x)(FG( +++−+=−+== ⇒)yx2,y2()y,x)(FG( +=c) Como 32:F ℜ→ℜ não é possível determinar FFF2= .Exercícios Propostos1) Seja )(Mnxn ℜ o espaço vetorial da matrizes quadradas de ordem nxn e B uma matriz fixa desteespaço. Mostre que a aplicação )(M)(M:F nxnnxn ℜ→ℜ tal que )(MX,BX)X(F nxn ℜ∈∀= éum operador linear.2) Sabendo que T é um operador linear do ℜ2e que )2,1()1,0(Te)1,3()2,1(T =−= , determine aexpressão de T(x,y). Resp: )y2x5,yx()y,x(T +−+=3) Seja a transformação linear )tzx3,tz2yx2,zyx()t,z,y,x(T −+−+−−+= . Determine umabase e a dimensão para Im(T) e Ker(T).Resp: Base da Im(T) é 2)TIm(dim)}1,1,0(),3,2,1{( =⇒ ;Base do Ker(T) é 2)T(Kerdim)}4,1,0,1(),3,0,1,1{( =⇒−−4) Determine um operador do ℜ3cujo núcleo é a reta==0zx2ye a imagem é o plano 0zy2x =++ .Resp: )z,yx2,zy2x4()z,y,x(T +−−−=5) Sendo )zx2,zyx()z,y,x(Ge)yx,yx,y2x3()y,x(T −+−=−+−= duas transformaçõeslineares, determine a dimensão do )TG(Ker e da )TGIm( .Resp: 2)TGIm(dime0)TG(Kerdim ==

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