Algebra Linear cap 04

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Algebra Linear cap 04

  1. 1. 34ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEARCAPÍTULO 4BASE – DIMENSÃO - COORDENADAS1 BASEDefinição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um subconjunto finitoVB ⊂ satisfazendo:a) B gera V, ou seja, o subespaço gerado por B é igual a V.b) B é LI.Exemplo (1): Mostre que )}2,1,1(),2,1,0(),3,2,1{(B −= é base do ℜ3.Solução: Para verificar o item (a) da definição, vamos mostrar que qualquer vetor do ℜ3se escrevecomo combinação linear de B. Seja3)z,y,x(v ℜ∈= . Então, existem escalares a, b ec ∈ℜ tais que:)2,1,1(c)2,1,0(b)3,2,1(a)z,y,x(v −++== ⇒++=−+=+=c2b2a3zcba2ycax. Resolvendoo sistema teremos:+−=+−−=−+=5zy2xc5z3yx7b5zy2x4a, mostrando que o sistema tem solução. Logo,B gera o ℜ3. Para mostrar o item (b), lembrando que no ℜ3, se três vetores não sãocoplanares, então eles são LI. Daí é só mostrar que o determinante 0211210321≠−.Portanto B é base do ℜ3.O espaço vetorial nulo V = {0} não possui base, pois o zero é LD. Todos os demaisespaços vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases, uma delas é considerada amais simples e chamada de Base Canônica. A base canônica de todo espaço vetorial supõe-se
  2. 2. 35conhecida, elas, geralmente, não são dadas nos exercícios. Portanto, vamos listar as base canônicasdo principais espaços vetoriais. São elas:• ℜ ⇒ }1{• ℜ2⇒ )}1,0(),0,1{(• ℜ3⇒ )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(• ℜn⇒ )}1,...,0,0(),...,0,...,1,0(),0,...,0,1{(• )(M 2x2 ℜ ⇒1000,0100,0010,0001• )(Pn ℜ ⇒ { }n2t,...,t,t,1Teorema da Invariância: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer uma desuas bases têm o mesmo número de vetores.► Processo Prático para obter uma base de um subespaço do ℜℜℜℜnEste processo consiste em colocar os vetores candidatos a base do subespaço, dispostoscomo linhas de uma matriz e escaloná-la. Depois de escalonada, retirar todas as linhas nulas. Aslinhas restantes serão vetores LI e formarão a base procurada.Exemplo (2): Seja W um subespaço do ℜ4que possui o seguinte sistema de geradores)]6,3,0,3(),4,1,1,0(),2,1,0,1(),0,1,1,2[( − . Determine uma base para W.Solução: Vamos aplicar o processo acima:2141LL2LL36303411001122101+−+−→−32 LL10000411041102101+→−−−−−0000000041102101.Retiradas as linhas nulas, temos que )}4,1,1,0(),2,1,0,1{(B −−= é base de W.Definição: Um conjunto de vetores V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é dito LI-Maximal se:a) }v,...,v,v{ n21 é LIb) }w,v,...,v,v{ n21 é LD, Vw ∈∀
  3. 3. 36Proposição (1): Seja V um espaço vetorial. Um conjunto de vetores }v,...,v,v{ n21 é base de Vse for LI-Maximal.2 DIMENSÃODefinição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se Dimensão do espaço V,denotado por dim(V), a quantidade de vetores de qualquer uma de suas bases.OBS: Se o número de vetores de uma base de um espaço vetorial é finito, então dizemos que oespaço é de dimensão finita. Os espaços de dimensão infinita não serão objetivos do nossosestudos.Assim, analisando as bases canônicas anteriormente listadas, podemos concluir:• n)dim(;...,3)dim(;2)dim(;1)dim( n32=ℜ=ℜ=ℜ=ℜ• 2x24)Mdim( 2x2 ==• nm)Mdim( mxn ⋅=• 1n)Pdim( n +=• 0})0dim({ =Teorema do Completamento: Em um espaço vetorial de dimensão finita, sempre podemoscompletar um conjunto LI de maneira a obter uma base.Proposição (2): Seja VW ⊆ um subespaço de V. Se )Vdim()Wdim( = então VW = .Proposição (3): Seja V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases. Então, todoelemento de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetoresda base B.Teorema (1): Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Então:)WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ .Teorema (2): Seja V um espaço vetorial tal que n)Vdim( = . Então:a) Qualquer conjunto com n+1 ou mais vetores é LD.
  4. 4. 37b) Qualquer conjunto LI com n vetores é base de VExemplo (3): Seja }0ty2x/)t,z,y,x{(W 4=+−ℜ∈= . Determine a dimensão de W.Solução: Para determinar a dimensão de W é necessário determinar uma de suas bases. De Wtemos que: ty2x0ty2x −=⇒=+− . Então todo vetor de W é da formaℜ∈∀− t,z,y),t,z,y,ty2( . Determinando um sistema de geradores para W:)1,0,0,1(t)0,1,0,0(z)0,0,1,2(y)t,z,y,ty2( −++=− . O conjunto formado pelosvetores )}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= é um sistema de geradores de W.Aplicando o processo prático de obtenção de base teremos:−→−+01002010100101000012100121 LL2. A matriz está escalonada e não apresentanenhuma linha nula. Logo, os vetores são LI e constituem uma base de W, ou seja, S ébase de W. Portanto, 3)Wdim( = .OBS: Um erro muito comum entre os alunos é confundir a quantidade de coordenadas de um vetor,com a quantidade de vetores de uma base. Veja o exemplo (3). A base de W é)}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= , cujos vetores têm 4 coordenadas, mas3)Wdim( = , porque na base S temos 3 vetores.Exemplo (4): Seja ]ttt62,tt1,ttt2,t21[U 323232+−−−+−+−= . Qual é a dimensãode U?Solução: O enunciado diz que o subespaço )(PU 3 ℜ⊂ é gerado pelos vetores dados. Paradeterminar uma base de U, podemos usar o processo prático, escrevendo uma matriz comos coeficientes dos polinômios dados.Então:−−→−−−−−→−−−−−+−++−+−00000000112000211120112011200021116211011120002132423141LL1LL1LL1LL2Retiradas as linhas nulas, os polinômios restantes forma uma base de U, ou seja,}tt2,t21{B 32−+−= é base de U. Portanto, 2)Udim( = .
  5. 5. 38Exemplo (5): Sejam U e W, subespaços do ℜ3, onde }0zy2x/)z,y,x{(U 3=+−ℜ∈= e}0zy2x3/)z,y,x{(W 3=++ℜ∈= . Determine uma base e a dimensão paraWU + e WU ∩ . O WU3⊕=ℜ ?Solução: Primeiro, vamos determinar uma base e a dimensão para U e W. Podemos escrever:}z,y),z,y,zy2{(U ℜ∈∀−= ⇒ )1,0,1(z)0,1,2(y)z,y,zy2( −+=− ⇒)}1,0,1(),0,1,2{(BU −= é base de U ⇒ 2)Udim( =}y,x),y2x3,y,x{(W ℜ∈∀−−= ⇒ )2,1,0(y)3,0,1(x)y2x3,y,x( −+−=−−⇒ )}2,1,0(),3,0,1{(BW −−= é base de W ⇒ 2)Wdim( =a) Para determinar uma base de U+W, devemos obter um sistema de geradores fazendo aunião da base de U com a base de W e usar o processo prático de obtenção de base.Então, seja )}2,1,0(),3,0,1(),1,0,1(),0,1,2{(BBS WU −−−=∪= o sistema degeradores de U+W. Aplicando o processo teremos:−−−→−−−→−−−→−−−++−++−00020021030180020021030161020021030101210121030143423141LL4LL1LL1LL2.)}2,0,0(),2,1,0(),3,0,1{(B WU −−−=+ é base de U+W ⇒ 3)WUdim( =+ .b) Pelo Teorema (1): )WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ ⇒)WUdim(223 ∩−+= ⇒ 1)WUdim( =∩ . Portanto, sua base tem que conterapenas um vetor comum a U e a W. Para determinar estes vetor, que está nainterseção, fazemos:)2,1,0()3,0,1()1,0,1(b)0,1,2(a)z,y,x( −β+−α=−+= ⇒β−α−=β=α=−23baba2⇒substituindo a 1ª e a 2ª equações na 3ª, teremos: a2)ba2(3b −−−= ⇒ a4b = .Então: )4,1,2(a)1,0,1(a4)0,1,2(a)z,y,x( −=−+= ⇒ )}4,1,2{(B WU −=∩ ébase de WU ∩ .c) O ℜ3não é soma direta de U com W porque 01)WUdim( ≠=∩ ⇒}0{WU ≠∩
  6. 6. 39Exemplo (6): Determine uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear=−=++=−−−0tz0tyx20tzyx:LSolução: Como o sistema L é SPI, ele possui infinitas soluções do tipo}t,z,y,x),t,z,y,x{(S ℜ∈∀= . Este conjunto de soluções forma um espaço vetorial.Vamos achar a solução geral do sistema L. Resolvendo o sistema, teremos:}x),x3,x3,x5,x{(S ℜ∈∀−= . Então: )}3,3,5,1{(B −= é base de S ⇒ 1)Sdim( = .3 COORDENADAS DE UM VETORA partir de agora, trabalharemos, sempre, com bases ordenadas. Uma base ordenada éaquela em que as posições dos vetores estão fixadas, ou seja, dada uma base qualquer}v,...,v,v{B n21= , então, v1 sempre será o primeiro vetor, v2 sempre será o segundo, assim pordiante até o último que sempre será vn.Definição: Sejam V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases ordenadas.Qualquer vetor Vv ∈ se escreve, de maneira única, como combinação linear da baseB. Existem escalares Ka,...,a,a n21 ∈ , tais que nn2211 va...vavav +++= .Assim, os escalares n21 a,...,a,a são chamados de coordenadas do vetor v em relaçãoa base B, denotado por:=n21Ba...aa]v[Exemplo (7): Determine as coordenadas do vetor )8,5,1(v −−= em relação:a) Base canônica b) )}1,1,2(),01,2(),0,1,1{(B −=Solução:a) A base canônica do ℜ3é )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(C = . Então:
  7. 7. 40)1,0,0(c)0,1,0(b)0,0,1(a)8,5,1(v ++=−−= ⇒−==−=8c5b1a⇒−−=851]v[ Cb) Escrevendo v como combinação da base B teremos:)1,1,2(c)1,0,2(b)0,1,1(a)8,5,1(v −++=−−= ⇒−=+=−−=++8cb5ca1c2b2a⇒−=101815]v[ BOBS: Note que, as coordenadas de qualquer vetor (de qualquer espaço vetorial) em relação à basecanônica do espaço é ele mesmo (ver exemplo (7), item (a)) . Portanto, se nada for dito, ascoordenadas de um vetor, vêm sempre dadas em relação à base canônica do espaço.Exemplo (8): Determine as coordenadas do vetor2tt42)t(p ++= em relação a base}t3t21,t1,2{B 2−+−−=Solução: Vamos escrever p(t) com combinação linear dos vetores da base B. Então:)t3t21(c)t1(b)2(att42)t(p 22−++−+−=++= ⇒22t)c3(t)c2b()cba2(tt42 −++−+++−=++ ⇒−=+−=++−=c31c2b4cba22⇒−−−=3131427B)]t(p[Exercícios Propostos
  8. 8. 411) Seja }a4aaea5a2a/)(Ptatataa{W 32132o333221o −=−=ℜ∈+++= . Deter-mine uma base e a dimensão de W. Resp: 2)Wdim(}tt45,tt2{B 32=⇒+−−++=2) Determine uma base e a dimensão para W+U e W∩U, onde:}t3ze0y2x/)t,z,y,x{(W 4−==−ℜ∈=}0tz2yx2/)t,z,y,x{(U 4=−+−ℜ∈=Resp: 4)UWdim()}3,0,0,0(),1,3,0,0(),1,0,1,0(),0,0,2,1{(B UW =+⇒−−−=+1)UWdim(1,3,37,314B UW =∩⇒−=∩3) Seja−==ℜ∈= cdeb2a/)(MdcbaW 2x2 . Determine uma base e a dimensão deW e estenda a base de W para obter uma base de )(M 2x2 ℜ .Resp:−=1100,0012BW e−=1000,0001,1100,0012B 2x2M4) Determine um base e a dimensão do espaço das soluções do sistema=++=+++−=+−+−=+++0t7z5y60t3zy4x20tzy3x30t2z2yxResp: 2)Sdim(e)}6,0,7,5(),0,6,5,7{(B =−−−−=5) Mostre que o3ℜ é soma direta do 0z5y2x:)( =+−π com a reta z1y2x:)r( =−= .

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