Historia de la Filosofía Antigua 
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GEOGRAFÍA E 
HISTORIA 
SEMINARIO III 
MESOPOTAMIA
GRADO EN GEOGRAFÍA E HISTORIA 
Historia de la Filosofía Antigua y Medieval Clásico 
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DI...
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INTRODUCCIÓN
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SEMINARIO III: CIENCIAS EN LA ANTIGÜEDAD 
El estudiante debe participar en al menos uno de los tres seminarios que se 
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Bajo esta perspectiva, cobra especial importancia el análisis de los conocimientos alcanzados por las culturas 
arcaica...
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MATEMÁTICA
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MATEMÁTICA EN MESOPOTAMIA: GEOMETRÍA Y CÁLCULO 
En Oriente Próximo, y desde épocas muy remotas, se inició una 
larga tr...
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Pero la estrategia empleada para obtener estas soluciones no era 
simplemente numérica o algebraica, sino geométrica; l...
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La numeración sexagesimal permite eludir las fracciones infinitas 
con más frecuencia que usando base decimal; de esta ...
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El algoritmo geométrico de los babilonios es analógico: traza 
líneas y superficies; determina la equivalencia entre un...
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Matemáticas en Mesopotamia: Geometría y cálculo (Notas) 
(1) Conservamos algunos de estos problemas en fragmentos de pa...
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(9) En períodos anteriores convivían hasta 13 sistemas de numeración diferente, casi todos procedentes de Uruk IV 
(310...
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ASTRONOMÍA
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Lo que cuentan las estrellas 
El oficio de los astrónomos en la Antigua Mesopotamia 
Desde épocas muy remotas, los habi...
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Porque en los cielos se buscaba información sobre la conveniencia de comenzar una batalla o desencadenar una 
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Entre los servidores del rey, un grupo de astrónomos y adivinos escrutaban el cielo nocturno buscando indicios y 
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Su homónimo neoasirio, Sargón II (714 a.C.), también venció a las tropas de Urartu gracias a la beneficiosa influencia ...
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Como menciona el escriba, había otras Series de Presagios (20): las elaboradas a partir de observaciones directas 
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Estas tres categorías de textos, empíricos, 
predictivos y adivinatorios, comenta 
Francesca Rochberg, formaban parte d...
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Lo que cuentan las estrellas 
El oficio de los astrónomos en la Antigua Mesopotamia 
Presagios estelares 
Los presagios...
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La serie Enūma Anu Enlil, o Cuando Anu y Enlil..., según reza el incipit de la primera tablilla, se encontró en la Gran...
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La tablilla nº 63 de esta colección, popularmente conocida como Tablilla de Venus del rey Ammiṣaduqa (1646-1626 a. 
C.)...
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El método más primitivo de calcular las posiciones de los astros consistía en hacerlo cuando estos pasaban junto a 
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Para elaborar el calendario lunar, se computaba el mes sinódico, en el que la Luna repite su fase, y que dura algo 
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Quizá este sea el motivo de hacer la circunferencia equivalente a 360 grados y el origen del establecimiento y 
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Lo que cuentan las estrellas 
El oficio de los astrónomos en la Antigua Mesopotamia 
Tratados científicos 
La astronomí...
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En esta época aparecieron los primeros horóscopos individuales, se consultaban las Series y se recitaban nuevos 
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Leamos, por ejemplo, varias líneas de un Goal-Year de Júpiter, fechado en el año 140 de la era seleúcida (62): 
1. [Año...
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Las observaciones eran diarias, aunque se anotaban los fenómenos más relevantes acaecidos durante seis o siete 
meses. ...
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Los Almanaques de estrellas y Almanaques, recogían, respectivamente, las posiciones mensuales de las estrellas y de 
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La astronomía actual toma como punto de referencia (0º) el equinoccio de vernal, situado en Aries; sin embargo, en las ...
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7. Venus y Saturno (estaban) e[n Sagitario], 
8. Mercurio y Marte [se habían puesto, no eran visibles.] 
9. Ellos estab...
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Conclusión 
Entre las ciencias de la naturaleza, la astronomía es la más antigua de todas, pues nada se necesita para c...
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Lo que cuentan las estrellas 
El oficio de los astrónomos en la Antigua Mesopotamia 
Notas 
(1) Todos estos sucesos nat...
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(17) Mina, ma-na, equivalente a 500 gramos de plata. 
(18) Ver McEWAN, G. J. P.: 1981, 17 y ss.. 
(19) Este fragmento c...
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(35) Las cifras deberían ser ordinales, tal como aparecen en los textos. 
(36) ROCHBERG, F.: 1999, 23. 
(37) En este co...
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(51) Se medían los arcos sinódicos, es decir, la distancia angular recorrida por el planeta entre dos fases consecutiva...
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(68) Se trata de la tablilla LBAT 1174. Ver ROCHBERG, F.: ibid., 154. 
(69) Esto significa que el mes anterior se compo...
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MATEMÁTICA 
EN LA ANTIGUA BABILONIA
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Matemáticas en la antigua Babilonia [Notas históricas] 
En este trabajo vamos a analizar algunos aspectos de la 
matemá...
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12. Persa o Aqueménida: 539 -330 (primeras conquistas de Alejandro) 
13. Helenístico o Seleúcida: 330 – 141 
14. Parto ...
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Hacia el año 2004, Ur cayó en manos de los elamitas, quienes 
destruyeron la ciudad y masacraron a sus habitantes. 
Sim...
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Matemáticas en la antigua Babilonia 
Escritura 
El origen de la escritura lo encontramos en los llamados calculi: 
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En ocasiones, las bulas podían contener el inventario de los 
bienes pertenecientes a una familia, la dote aportada por...
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PICTOGRAMAS SUMERIOS
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Los pictogramas se dibujaron inicialmente en columnas, de arriba 
hacia abajo, y éstas, de derecha a izquierda; pero a ...
TABLERO Y FICHAS HALLADO EN LA TUMBA REAL DE UR 
(ca. 2500 a.C.)
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FILOSOFÍA SEMINARIO III (CIENCIAS EN LA ANTIGÜEDAD): MATEMÁTICA EN MESOPOTAMIA
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FILOSOFÍA SEMINARIO III (CIENCIAS EN LA ANTIGÜEDAD): MATEMÁTICA EN MESOPOTAMIA

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Incluye: "Matemáticas en Mesopotamia: Geometría y cálculo", "Lo que cuentan las estrellas: El oficio de los astrónomos en la Antigua Mesopotamia (Introducción, presagios estelares, tratados científicos y conclusión)", y finalmente "Matemáticas en la antigua Babilonia (Notas históricas, escritura, sistemas de numeración, tablillas matemáticas, la Técnica de calcular números inversos, extracción de raíces cuadradas de números no cuadrados y figuras geométricas regulares)".

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FILOSOFÍA SEMINARIO III (CIENCIAS EN LA ANTIGÜEDAD): MATEMÁTICA EN MESOPOTAMIA

  1. 1. Historia de la Filosofía Antigua GRADO EN GEOGRAFÍA E HISTORIA SEMINARIO III MESOPOTAMIA
  2. 2. GRADO EN GEOGRAFÍA E HISTORIA Historia de la Filosofía Antigua y Medieval Clásico UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013 MATEMÁTICA MESOPOTAMIA
  3. 3. . INTRODUCCIÓN
  4. 4. . SEMINARIO III: CIENCIAS EN LA ANTIGÜEDAD El estudiante debe participar en al menos uno de los tres seminarios que se proponen para esta asignatura, cuyo material de estudio será objeto de una de las preguntas del examen. Se detalla a continuación la temática de uno de los seminarios con indicaciones de bibliografía monográfica que pretenden ser orientadoras para el trabajo. Dado que estos seminarios tienen por objeto introducir al estudiante en las formas del trabajo filosófico, bastará con la participación en ellos, debiendo mostrar en el examen que se ha producido alguna reflexión personal sobre los temas que forman su contenido. El estudio y conocimiento de la naturaleza comenzó en épocas muy remotas. Progresó a partir de una primera inspección del entorno: una mirada al cielo, observación del cuerpo humano y de sus afecciones, primeros intentos de comprender los sucesos y fenómenos naturales. LE PENSEUR (1880) AUGUSTE RODIN Los pensadores griegos rescataron este conocimiento para acomodarlo a su propio esquema cognitivo. Necesitaron redefinirlo y estructurarlo de nuevo, comprobar su valor de verdad y exponerlo de un modo general. De esta manera conseguían que lo atribuido a un fenómeno determinado lo fuera también a los restantes de su mismo género. A un período de descubrimientos le sucedió otro de formalización teórica, intensificado con nuevos hallazgos y su posterior sistematización. En este seminario vamos a estudiar cómo surgió el pensamiento científico, cuales fueron sus características y cómo logró avanzar hasta constituirse en una verdadera ciencia. Cada una de estas disciplinas será examinada en su propio contexto y cronológicamente, de tal modo que podamos advertir su evolución. En 1940, Wilhelm Nestle escribió un libro paradigmático (Von Mythos zum logos) en el que explicaba el origen de la filosofía griega como el tránsito del mito al logos: los pensadores helenos se habrían enfrentado a las inconsistencias y contradicciones con los que la religión tradicional interpretaba los sucesos del mundo, creando un discurso racional y crítico que situaba fuera de la divinidad las causas de los fenómenos. En este seminario proponemos partir de una hipótesis distinta: el pensamiento crítico como resultado de una nueva visión de la naturaleza.
  5. 5. . Bajo esta perspectiva, cobra especial importancia el análisis de los conocimientos alcanzados por las culturas arcaicas y su contribución al despertar de la ciencia. En este Seminario revisaremos los resultados obtenidos por las civilizaciones arcaicas de Oriente Próximo en el período neolítico, desde la aparición de la escritura hasta la más cercana época de los caldeos y seleúcida; período que abarca unos tres mil años y que termina cuando comienza la cultura griega. Nuestro objetivo consiste en destacar los rasgos y peculiaridades de estos conocimientos, contrastándolos con los posteriormente desarrollados en Grecia a partir del siglo VI a.C. Nos enfrentaremos a algo tan primordial como saber cuál fue el origen de la ciencia y en qué lugar y momento histórico surgió; cuáles fueron sus etapas y cómo se desarrolló. Abordaremos una cuestión todavía candente: si hubo transferencia e intercambio de ideas en el período seleúcida, y no sólo en relación a la astronomía, que sí los hubo, sino también respecto a la medicina y las matemáticas. Los filósofos atenienses, Platón y Aristóteles, señalaron las propiedades que condicionan los enunciados científicos: necesidad y universalidad. Pero no son estos los únicos rasgos esenciales que caracterizan a la ciencia, también su ordenación expositiva, a partir de primeros principios asentados sin demostración. El paso de unas proposiciones a otras se realiza aplicando un argumento deductivo. La elaboración de un modelo teórico al que ajustar los datos experimentales es otro de los atributos que caracterizan a la ciencia, como la posibilidad de adelantar hipótesis y anticipar fenómenos todavía no acaecidos. Los sabios de las culturas arcaicas poseían todo un conjunto de normas, conceptos y herramientas con los que interpretaban la realidad circundante. A un período de descubrimientos le sucedió otro de formalización, intensificado con nuevos hallazgos y su posterior sistematización. La estrategia a seguir en este Seminario no será descriptiva ni enumerativa, sino temática. Abordaremos cuestiones y problemas surgidos en el interior de las ciencias; indagaremos en su evolución y progreso, así como en el contexto sociocultural en el que se desarrollaron. LE PENSEUR (1880) AUGUSTE RODIN
  6. 6. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Documentos PDF de la plataforma ALF (para completar el seminario) Matemática y Astronomía Mesopotamia UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  7. 7. . MATEMÁTICA
  8. 8. . MATEMÁTICA EN MESOPOTAMIA: GEOMETRÍA Y CÁLCULO En Oriente Próximo, y desde épocas muy remotas, se inició una larga tradición de calculadores y prácticos cuyos métodos se apoyaban en las técnicas de agrimensura; estos conocimientos fueron recogidos e impartidos en las escuelas sumerias (ca. 2100 a.C.), donde evolucionaron hacia materias más sofisticadas y teóricas; o discurrieron paralelos y fuera de las mismas, componiendo colecciones de acertijos y enigmas (1). Posteriormente, se transmitieron a otras culturas y pueblos limítrofes. Poseemos numerosos documentos escritos en cuneiforme, procedentes del período babilónico arcaico (2000- 1600 a.C.), que nos informan de las características de la enseñanza impartida en las escuelas de escribas, las áreas de conocimiento abarcadas y las actividades realizadas en las mismas. En relación a la instrucción en el ámbito de las matemáticas, sabemos que ésta consistía principalmente en la resolución de ejercicios prácticos, una vez se hubieran memorizado largas listas de números cuadrados, cúbicos y sus respectivas raíces; tablas de multiplicar y de números inversos (2); series de constantes relacionadas con la elaboración de ladrillos y la construcción de zanjas, muros, pozos y rampas de acceso a fortificaciones; coeficientes para calcular los sueldos devengados a los artesanos; raciones de alimento para los esclavos; constantes que aluden a la composición de figuras y polígonos regulares (3); técnicas para realizar repartos proporcionales de herencias y división de terrenos; fórmulas para efectuar cómputos de intereses por capitales prestados, etc. (4) En muchas ocasiones, los ejercicios propuestos concluían con una expresión que coincide exactamente con el algoritmo que resuelve las ecuaciones de segundo grado.
  9. 9. . Pero la estrategia empleada para obtener estas soluciones no era simplemente numérica o algebraica, sino geométrica; lo sabemos por el lenguaje utilizado en las tablillas, cuando el escriba nos indica los cálculos que debemos realizar (5). Todos estos conocimientos formaban parte del acervo cultural de los pueblos de Mesopotamia hasta el período Seleúcida (s. III a.C.), compartido por los sabios egipcios de esta última época (6). A partir de entonces, desconocemos cómo este saber llegó a Grecia, pues conservamos muy pocos documentos que nos informen acerca de posibles influencias y transmisiones (7). Probablemente, estas técnicas de computación –tan útiles a comerciantes y mercaderes- se impartieron de forma oral en escuelas y talleres y nos sorprende que, así como poseemos numerosos textos griegos de carácter geométrico, son escasos los dedicados al planteamiento y resolución de ejercicios aritméticos; al menos del modo en que lo hicieron los matemáticos babilonios: el arte al que Platón había denominado logística para distinguirlo de la aritmética elaborada en la Escuela de Pitágoras y después compendiada por Euclides. ESCRIBA SENTADO En el período babilónico arcaico o paleobabilonio (2000- 1600 a.C.) (8), el sistema de numeración era exclusivamente sexagesimal y posicional (9); no concibieron un grafema de cantidad nula o cero (al menos, hasta el período seleúcida o helenístico: 330-141 a.C.), pues los diversos órdenes de magnitud se distinguían dejando huecos intermedios.
  10. 10. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Matemáticas en Mesopotamia: Geometría y cálculo Manejaban dos signos para representar todos los números: uno (diš) para la unidad, 60 y sus múltiplos y submúltiplos; otro (u) para la decena y sus respectivos múltiplos y submúltiplos. Siguiendo la notación de Otto Neugebauer: UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  11. 11. . La numeración sexagesimal permite eludir las fracciones infinitas con más frecuencia que usando base decimal; de esta manera, casi todos los cálculos se efectuaban como si se operase con cantidades enteras; no obstante, los escribas babilonios reconocieron números irregulares: 7, 11, 13, etc., que evitaban en la medida de lo posible, a no ser que concibieran ejercicios específicos para ellos (10). Asimismo, utilizaron los métodos de falsa posición y sustitución (11). Los escribas solían omitir las unidades de medida, pero suponemos que éstas eran las habituales: “NINDA” para las longitudes y “s a r” para las superficies (12). Los matemáticos mesopotámicos imaginaron ejercicios muy complejos, cuya finalidad teórica y recreativa se situaba fuera del entorno administrativo y comercial. ESCRITURA CUNEIDORME El propósito de éstos y de otros problemas consistía en lograr que los escolares se familiarizaran con las técnicas geométricas de cálculo (13). En las tablillas, no aparecen deducciones, razonamientos ni demostraciones, sino el enunciado de un ejercicio y una serie de cálculos que, tomados conjuntamente, nos descubren la expresión final o fórmula. Cuando se trataba de problemas en los que intervienen cuadrados, el método aplicado era geométrico: consistía en la composición de figuras planas y en su inmediata descomposición en superficies equivalentes. Así, aunque en los textos, aparentemente, se describa un algoritmo aritmético, en realidad los números y las operaciones indicadas aluden al la construcción de rectángulos y cuadrados; y el cálculo de las raíces cuadradas no es sino el modo de averiguar la medida de sus lados (14).
  12. 12. . El algoritmo geométrico de los babilonios es analógico: traza líneas y superficies; determina la equivalencia entre un rectángulo y la diferencia de dos cuadrados y puede ser útil también en la resolución de ejercicios de otros linajes, como repartos de herencias, progresiones aritméticas y geométricas, cálculo de intereses, etc. Los instructores y maestros argumentaban, seguramente, en diagramas dibujados en arenarios y tableros de polvo. Los escolares se limitaban a realizar los cálculos en sus tablillas (15). Ejercicios parecidos a los registrados en las tablillas mesopotámicas los veremos de nuevo en la Métrica de Herón (16) y, principalmente, en la Aritmética de Diofanto (ca. 250 d.C.), aunque expuestos aquí de un modo más general, a medio camino entre aquéllos y los descritos por los algebristas árabes medievales. ESCRIBA SENTADO Las viejas técnicas de computación creadas en la Antigua Babilonia, basadas en procedimientos geométricos, y empleadas para resolver casos concretos, fueron sustituidas poco a poco por otras tácticas no visuales y exclusivamente numéricas, gracias a la introducción y uso de ciertas reglas y rutinas. El paso de una logística numerosa a otra de naturaleza teórica lo dará Diofanto, pero no de una manera radical y absoluta, sino poco a poco, mediante el enunciado de un algoritmo que solamente utiliza de manera restringida, a partir de una sola forma de completar el cuadrado, y sin desprenderse del todo de los tradicionales métodos visuales.
  13. 13. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Matemáticas en Mesopotamia: Geometría y cálculo Figura 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  14. 14. . Matemáticas en Mesopotamia: Geometría y cálculo (Notas) (1) Conservamos algunos de estos problemas en fragmentos de papiros griegos o en documentos romanos, en la Métrica de Herón y en la Colección Geométrica, atribuida a éste; también en la Antología Palatina de Constantino Céfala (Sesiano 1999, pp. 18 y ss. Vitrac 2005). Jens Høyrup (1997 y 2001) sostiene que, además de la actividad desarrollada en las escuelas, existió una corriente de prácticos iniciada hacia el 2000 a.C. cuyos conocimientos no escolarizados dejaron su impronta en Herón y, posteriormente, en los matemáticos árabes y medievales. (2) Neugebauer y Sachs, MCT. En el período paleobabilónico, no se efectuaban divisiones entre números, sino el producto entre un número y su inverso. (3) Los polígonos y figuras regulares se construían mediante el uso de un coeficiente o factor que relacionaba dos de las magnitudes esenciales de esas figuras; por ejemplo, la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro es 3. Ver Robson (1999). (4) Nemet-Nejat clasifica 23 tipos de problemas matemáticos (1993, p. 93). (5) Jens Høyrup ha descubierto este aspecto tras un exhaustivo análisis de los términos usados en los ejercicios; observa el uso de vocablos distintos para referirse a la misma operación aritmética, de tal modo, que algunos de ellos apuntan a la construcción de cuadrados y rectángulos y al cálculo de sus respectivos lados. (Ver Høyrup, a partir de 1987; un compendio de toda su obra en 2002). (6) Aunque el origen de estos conocimientos no es común en ambas civilizaciones, en el período seleúcida sí hubo una clara influencia de Mesopotamia en Egipto (Friberg 2005, p. 189). (7) El Papiro de El Cairo (s. II d.C.) es clave en este sentido, según afirma Jöran Friberg (Ibid., p. 191). Otros papiros del mismo período (Michigan y Carlsberg ) contienen sistemas lineales con varias incógnitas, muy parecidos a algunos textos procedentes de la época arcaica de Babilonia. (8) La cronología en Mesopotamia se ha realizado en función de los datos astronómicos recogidos en las tablillas, como eclipses lunares y solares, periodos orbitales, etc.; existen cuatro cronologías básicas: baja, media, alta y ultra-alta, cuyo establecimiento se debe a los ciclos registrados en las Tablas de Venus, procedentes del reinado del rey Amişaduqa, nieto de Hammurabi. Los años se ajustan sumando o restando 64 ó 56 años. Ver Oppenheim (2000).
  15. 15. . (9) En períodos anteriores convivían hasta 13 sistemas de numeración diferente, casi todos procedentes de Uruk IV (3100 a.C.). Durante la III dinastía de Ur (instaurada por Gudea de Lagaš en 2112) coexistieron tres sistemas numéricos distintos: decimal, sexagesimal y fraccionario, con 60 signos. Ver Nissen, Damerow y Englund (1990). (10) Høyrup (1993). (11) El método de falsa posición consistía en dar un valor cualquiera o la unidad, a la magnitud desconocida; después se procedía mediante análisis. Ver, por ejemplo, Thureau-Dangin (1938), Li Ma (1993), Melville (2002). A veces, en los diagramas, se sustituye o representa una superficie por una línea como en BM 13901 (12) (Høyrup 2002, pp. 71-77); en TMS XIX (2), es la cuarta potencia la que se representa en una línea. (12) El NINDA medía aproximadamente 3 m; el s a r equivale a (NINDA x NINDA). Un b ù r mide 30,0 s a r; estas unidadesmétricas son de origen sumerio. Ver Neugebauer y Sachs (MCT). (13) Interesantes ejercicios propuestos en TMS IX y AO 8862 (Høyrup 2002, pp. 89-95; y 162-174). (14) Brevemente: la operación suma disponía de dos términos (las palabras en cursiva proceden de la lengua acadia): wāsabum (añadir) y kāmarum (acumular). La sustracción, de otros dos: nāsa um (quitar, ḫ cortar) y watārum (exceder). Respecto al producto, distinguían entre multiplicar un número por un número: a. r á (vocablo de origen sumerio); aumentar una magnitud en una determinada cantidad o calcular volúmenes y áreas: nâsum; doblar o repetir una cantidad: esēpum; componer un rectángulo: šutakūlum, o un cuadrado: mitḫartum. Inventaron un vocablo para designar un rectángulo en el que uno de sus lados era la unidad: wāsītum. Leer a Jens Høyrup (2002, pp. 20 y ss.) (15) Sabemos por Eleanor Robson (1999) que los escolares utilizaban tablillas lenticulares para efectuar sus cálculos. Los escribían en una de sus caras, mientras en la otra, copiaban documentos literarios o administrativos. (16) Recogidos por Heiberg en la colección Geométrica 21, 9-10; 24, 1, 3 y 10 (ed. Heiberg, Heron IV). Høyrup (1997, 2002) ESCRIBA MESOPOTÁMICO SENTADO
  16. 16. . ASTRONOMÍA
  17. 17. . Lo que cuentan las estrellas El oficio de los astrónomos en la Antigua Mesopotamia Desde épocas muy remotas, los habitantes de la Antigua Mesopotamia, habían interpretado los sucesos del cielo como fenómenos premonitorios. Pequeños grupos de expertos y eruditos, dedicados a observar los astros y sus movimientos, escribieron series de presagios que afectaban al rey y al Estado. Con el paso del tiempo, la sistematización de estas observaciones desembocó en un verdadero conocimiento científico. En este trabajo vamos a seguir los pasos de los escribas que crearon la astronomía. Palabras clave: Astronomía arcaica, Mesopotamia, astronomía babilónica. ASTRONOMÍA MESOPOTÁMICA Introducción Para las poblaciones fluviales del Neolítico asentadas en Mesopotamia, cuyo alimento y prosperidad dependía casi exclusivamente de la agricultura, controlar los períodos estacionales podía ser un buen motivo para observar el firmamento. También porque creyeron que el cielo era el hogar de los dioses y que éstos utilizaban los astros para comunicarse con la humanidad. Al monarca le convenía demostrar la alianza que mantenía con los dioses; así, conocer en qué momento debían iniciarse las labores de siembra, calcular la llegada de las lluvias y de los vientos, predecir días más largos y noches más cortas, temporadas cálidas o frías, era tan importante como descifrar el lenguaje de las estrellas.
  18. 18. . Porque en los cielos se buscaba información sobre la conveniencia de comenzar una batalla o desencadenar una guerra; si peligraba la situación del monarca o la de sus herederos; si vendrían épocas de escasez y hambruna o, por el contrario, se avecinaban tiempos de abundancia y bienestar. Habían comprobado que cada uno de estos sucesos coincidía con un eclipse de Luna o de Sol, o con cualquier otro fenómeno meteorológico relevante: inundaciones, sequías, temblores de tierra, tormentas (1); y si no era así, inspeccionaban el cielo hasta averiguar qué posición exacta ocupaban los planetas en el momento de producirse determinado acontecimiento en la Tierra. No se trataba de una relación causa efecto, sino de una señal (2), un presagio: los dioses avisaban a los humanos de la posible inminencia de ciertos hechos, componiendo frases con las estrellas. La sucesión en el tiempo de dos acontecimientos insólitos, tales como un eclipse de Luna y el fallecimiento del monarca, pudieron estar detrás del origen de las series de presagios (6). Así, a partir de entonces, un eclipse anunciaría desagracias, aunque, como veremos después, también pudo favorecer al rey Sargón de Acad en su batalla contra el monarca Lugalzagesi. El mundo, an-ki, se concebía finito y circular (7): la Tierra plana y quieta, cubierta por una bóveda estrellada, por la que transitan diariamente el Sol, la Luna y los planetas conocidos: Mercurio, Venus, Marte Júpiter y Saturno. A simple vista, parecía muy difícil comprender el comportamiento de los astros: sus movimientos diarios hacia occidente y sus desplazamientos anuales, más lentos, hacia oriente, por la misma ruta. Algunos describían insólitas curvas; avanzando unas veces y retrasándose otras, como hacían Venus y Marte. La Luna viajaba más deprisa que el Sol y había grupos de estrellas que rotaban cada día sin cambiar sus posiciones relativas. El firmamento era pues sorprendente y los humanos lo contemplaron con temor. No obstante, advirtieron cierta rutina en los movimientos del Sol y de la Luna, que les permitió elaborar calendarios, a partir de los cuales fijaron los días festivos dedicados a sus dioses. ASTRONOMÍA MESOPOTÁMICA
  19. 19. . Entre los servidores del rey, un grupo de astrónomos y adivinos escrutaban el cielo nocturno buscando indicios y advertencias; asimismo, indagaban en las entrañas de los animales sacrificados y estudiaban la evolución de las gotas de aceite derramadas en el agua. Los escribas dedicados a estos menesteres eran personas instruidas8 que registraban cuidadosamente los sucesos observados en la naturaleza e intentaban predecir las consecuencias que de ellos derivaban, componiendo Series de Presagios y Pronósticos, como los celestiales de Enūma Anu Enlil. Hacían partícipes de sus conocimientos únicamente a los miembros de su profesión: a aquellos que saben; herederos estos últimos del sabio Enmeduranki, quien fue aleccionado directamente por los dioses de la adivinación, Šamaš y Addad (9). Lo vemos en algunos colofones escritos en los textos: “Conocimiento exclusivo de los grandes dioses. El que sabe puede mostrarlo a otro que no sabe. El que no sabe no puede verlo. Pertenece a los asuntos prohibidos por los grandes dioses. Escrito de acuerdo a su original y cotejado.” (10) Durante siglos, desde el período sumerio hasta el arsácida, y en las cortes de Asiria y Babilonia, estos eruditos desempeñaron su oficio, primeramente, en los palacios, y más adelante, en los templos (11). El saber se transmitía de padres a hijos, o dentro del entorno familiar; los expertos iniciaban a sus discípulos mediante el juramento: “El estudioso, el que sabe, el que guarda los secretos de los grandes dioses, se unirá a su hijo, al que ama, con un juramento ante Šamaš y Addad, en presencia de la tablilla y el estilo, y le instruirá.” (12). La mayoría de los textos que conservamos están escritos en lengua acadia, con signos cuneiformes, sobre tablillas de arcilla. Uno de los documentos más arcaicos que contienen presagios, hace alusión a las escaramuzas emprendidas por el rey Sargón de Acad (2334 a C.), a quien los dioses eran propicios, pues en una de aquéllas “el Sol empezó a oscurecer y las estrellas se hicieron visibles al enemigo” (13), logrando así la victoria. ASTRONOMÍA MESOPOTÁMICA
  20. 20. . Su homónimo neoasirio, Sargón II (714 a.C.), también venció a las tropas de Urartu gracias a la beneficiosa influencia de un eclipse lunar. Poco sabemos de los honorarios percibidos por estos expertos y eruditos; el Código de Hammurabi (14) no contiene ninguna entrada que aluda a esta profesión. Probablemente, además del sustento, los soberanos les obsequiaban con terrenos, plata, enseres y regalos, dependiendo del éxito conseguido (15) y del favor real; nada seguro y vitalicio, desde luego. Lo vemos en algunos documentos procedentes de los intercambios epistolares entre los reyes de Asiria, Esarhadon y Asurbanipal, y sus consejeros respectivos (siglo VII a C.); también en las cartas encontradas en los Archivos Reales de Mari (16). En un texto posterior, hallado en el templo dedicado a Marduk, en Babilonia, y fechado en la segunda centuria antes de nuestra era, se alude al estipendio asignado a un escriba de Enūma Anu Enlil que ha sucedido en el puesto a su padre: recibirá un salario anual de una mina (17) de plata y tierras de cultivo (18). Sin embargo, se desconocen los vínculos que les relacionan al personal del templo. De alguna manera, sabemos qué ocupaciones desempeñaban estos eruditos en la corte del rey Asurbanipal: “Yo soy experto en la profesión de mi padre, la disciplina del lamento; he estudiado y cantado las Series. Estoy versado en lavar la boca y purificar el palacio. He examinado el cuerpo saludable y el enfermo. He leído Enūma Anu Enlil y he realizado observaciones astronómicas. He leído los Šumma izbu, las (obras fisiognómicas)… y las Šumma ālu.” (19) ASTRONOMÍA MESOPOTÁMICA
  21. 21. . Como menciona el escriba, había otras Series de Presagios (20): las elaboradas a partir de observaciones directas realizadas en los cuerpos y en el rostro de las personas (alamdimmû), que delataban su carácter y comportamiento; listados de diagnósticos y pronósticos médicos (SA.GIG); colecciones de sueños (ziqīqu) y sus consecuencias; registros de nacimientos anómalos y malformaciones (summa izbu), tanto en humanos como en animales; series hemerológicas (iqqur īpuš), que distinguen los días propicios de los que no lo son; y, por último, las series que aluden a la situación y características geográficas (šumma ālu). El fragmento anterior nos hace pensar que el curriculum de un escriba integrado en la corte neoasiria abarcaba todas estas disciplinas. Pero la lengua acadia distingue entre las funciones desempeñadas por el médico exorcista (āšipu), el intérprete de los sueños (šāilu) y el astrólogo ( upšarru). El arúspice (bāru), es el que inspecciona las entrañas ṭ del animal en busca de señales premonitorias y advertencias acerca de la conveniencia de emprender alguna acción. Lo cual nos indica que había diferentes técnicas adivinatorias ejercidas por sus correspondientes especialistas. Pero, contrariamente a lo que ocurría con los presagios astrales, que se dirigían al rey y al estado, estas otras clases de pronósticos también podían ser utilizadas por las personas corrientes, siempre que pudieran abonar los honorarios del adivino. Fuera de Enūma Anu Enlil encontramos algunas tablillas dedicadas a los nacimientos: “(Si) un niño ha nacido y durante su infancia ocurre un eclipse solar: morirá en una ciudad extranjera y la casa de su padre se disipará.” (21) Posteriormente, y según se desprende de un texto babilonio del período helenístico, el escriba de Enūma Anu Enlil, asociado al personal del templo, solamente debía realizar observaciones, preparar tablas astronómicas y escribir presagios (22). ASTRONOMÍA MESOPOTÁMICA
  22. 22. . Estas tres categorías de textos, empíricos, predictivos y adivinatorios, comenta Francesca Rochberg, formaban parte de la misma tradición ilustrada (23); las dos primeras caracterizan a la astronomía científica, mientras la última conserva aún las huellas de un largo proceso de creación y transformación. En el contexto que analizamos, no se diferencian de modo explícito la astronomía de la astrología; así pues, hablaremos exclusivamente de astronomía y de astrónomos; de una etapa inicial, adivinatoria y experimental, que observa, anota y predice acontecimientos basándose en registros anteriores. De su evolución hacia una astronomía que explora, calcula y predice; compone tablas numéricas y enuncia reglas y algoritmos con los que anticipar las posiciones y movimientos de los astros, sus primeras y últimas apariciones y otros fenómenos estelares; detalles todos estos exigidos al conocimiento científico. ASTRONOMÍA MESOPOTÁMICA
  23. 23. . Lo que cuentan las estrellas El oficio de los astrónomos en la Antigua Mesopotamia Presagios estelares Los presagios se componen de dos partes: prótasis (antecedente) y apódosis (consecuencia); o lo que es lo mismo: “Si observamos tal fenómeno”, entonces “sucederá determinada cosa”. Mientras la prótasis describe un suceso astronómico (o de cualquier otra clase), en la apódosis se pronostica acerca de la persona del rey o su familia, el estado y sus enemigos; también se anuncian desgracias y bonanzas para el país. Aunque se contemplaba la posibilidad de que estos sucesos fueran neutralizados mediante ritos apotropaicos y hechizos (namburbi). ESCRITURA CUNEIDORME El exorcista recurría a plegarias, brebajes y amuletos para detener el acontecimiento vaticinado. Tratándose de presagios estelares, en la mayoría de los casos la apódosis anunciada no se cumpliría; así, la práctica de esos ritos habría de considerarse muy útil y necesaria. Se han encontrado series de eclipses lunares, correspondientes al período paleobabilónico (2000 a 1600 a C.), que no se ajustan a este esquema y que, probablemente, precedieran a otras series (24): “Un eclipse observado por la tarde, anuncia plagas” / “Un eclipse observado a mediodía, anuncia debilitamiento de la economía” / “Un eclipse en su zona media; se oscurece todo y después se aclara todo: el rey morirá; destrucción de Elam.” Las zonas de la Luna, ensombrecidas por la Tierra, incumben dramáticamente a las regiones geográficas de Mesopotamia, a las que presagia su destrucción: “Un eclipse en occidente: la ruina de los amoritas.” / “Un eclipse en el norte: la ruina de los acadios.” / “Un eclipse en oriente: la ruina de Subartu.” / “Una Luna surge misteriosamente y se aclara: pronóstico de destrucción de Elam y Gutea.”
  24. 24. . La serie Enūma Anu Enlil, o Cuando Anu y Enlil..., según reza el incipit de la primera tablilla, se encontró en la Gran Biblioteca que rey el asirio Asurbanipal mando levantar en Nínive, allá por el siglo VIII a. C. Pero su origen parece ser anterior (25). Esta serie consta de 70 tablillas de arcilla escritas en lengua acadia y en ellas se registran los presagios derivados de las observaciones realizadas al Sol, la Luna, planetas conocidos (26), fenómenos meteorológicos y estrellas; también, los eventos asociados (apódosis) a esas circunstancias: subidas de precios, estado de las cosechas, nivel de las aguas, etc. Se hicieron numerosas copias de este documento y se trasladaron a Hattusa (hoy día Bogazköy), capital del imperio hitita, y a Ugarit. Las primeras 22 tablillas recogen presagios relacionados con Sin, el dios Luna. Se anota la forma de sus cuernos, el halo que la rodea, sus primeras y últimas apariciones; el color, sombra y dirección del eclipse, cuando se produce. Cada uno de estos fenómenos es señal de un auspicio. Para los babilonios fue decisivo, además, predecir el momento en que la Luna se hacía visible por primera vez después de la conjunción con el Sol (Luna Nueva). Esto marcaba el inicio del mes y decidía el comienzo del año cuando este fenómeno coincidía, más o menos, con el equinoccio de primavera (27). La duración del día, entonces, era la misma que la noche. Se medían estos tiempos con clepsidras o relojes de agua, calculando el peso, en minas, del agua desalojada. Nuestro satélite se desplaza por el firmamento cambiando progresivamente su forma y brillo, hasta alcanzar su plenitud en la fase de oposición con el Sol (Luna Llena). Los eclipses sucederían, precisamente, en estos puntos de alineación solar; sin embargo la inclinación de la trayectoria de la Luna respecto de la del Sol (5º), disminuye esta posibilidad. Las tablillas 23 a 36 enuncian pronósticos relativos al dios Sol, Šamaš. Se examinan sus movimientos, corona, posiciones en relación a las estrellas (MUL) eclípticas (28), eclipses, etc. Las 13 siguientes registran presagios relacionados con los fenómenos meteorológicos: tormentas, relámpagos, truenos, terremotos, arco iris, formaciones nubosas, vientos, lluvias y tempestades; por tanto, están dedicadas al dios Adad. Las últimas tablillas, de la 50 a la 70, se refieren a la diosa Ištar y anotan los ortos helíacos (29) de los planetas, posiciones relativas, fases, primeras y últimas visibilidades, luminosidad, color, etc. Todos ellos en cuanto anuncian sucesos favorables o adversos: “Si al salir Venus, la estrella Roja entra en él: el hijo del rey tomará el trono.” / “Si el Arco se aproxima a UD.AL.TAR (Júpiter): Elam comerá buenos alimentos.” (30)
  25. 25. . La tablilla nº 63 de esta colección, popularmente conocida como Tablilla de Venus del rey Ammiṣaduqa (1646-1626 a. C.), recoge datos astronómicos acaecidos durante los 21 años de su reinado. Realiza un seguimiento exhaustivo de la trayectoria del planeta, anotando las fechas y sus consecuencias: “Si en el segundo (día) de nisannu (31) Venus aparece en el este: habrá luto en la tierra; continúa presente en el este hasta el sexto (día) de kislīmu (32); desaparece el séptimo de kislīmu y se hace invisible durante tres meses; el octavo (día) de addaru (33) Venus sale en el oeste: el rey enviará mensajes de hostilidad al rey.” (34) Del período neoasirio procede el catálogo de estrellas MUL.APIN (constelación del Triángulo), cuya copia más antigua está fechada en el año 687 a.C., pero data, posiblemente, del año 1000 a.C. En él aparecen registradas 60 constelaciones y los ortos helíacos de muchas estrellas: eclípticas y cenitales (ziqpu); además, se anotan los períodos de visibilidad de los planetas, el Sol y la Luna: “El (día) 15 de nissanu, al comienzo de la noche, la Luna (Sin) está en Libra (rin), en el este, y el Sol (Šamaš) está delante de la estrella posterior de Aries (lu), en occidente. Tres minas es la duración de la luz y tres minas es la duración de la noche.” (35) Las estrellas y constelaciones transitan diariamente por los Caminos de Anu, Enlil y Ea, según lo hagan a ras del horizonte, o por encima o debajo de éste. Después de las observaciones, el escriba incluye los presagios relativos al bienestar de la corona y del pueblo. La adivinación celestial llegó a Occidente a través de las rutas comerciales establecidas entre Asiria y los pueblos de Anatolia y Siria. También, impregnó las culturas de Egipo y Grecia, durante los períodos persa y helenístico. Posteriormente, alcanzó al mundo romano (36). El universo contemplado a simple vista no parecía demasiado grande: grupos de estrellas que giran diariamente; el Sol, que asoma por oriente y se pone por occidente; la Luna, repitiendo sus fases. Convinieron en que el Sol viajaba hacia el este a un ritmo de 1 unidad o grado al día (37). La Luna lo hacía más deprisa: 13 unidades diarias (38). Los planetas avanzaban de tal modo que sus velocidades disminuían en función de su lejanía. Sus posiciones se calculaban con referencia a una o varias de las estrellas que circulan por el camino de la Luna. Se conocían hasta 34 de esas estrellas, llamadas Dioses del Consejo, muchas de las cuales se agrupan formando asterismos: son las constelaciones (lumāšu).
  26. 26. . El método más primitivo de calcular las posiciones de los astros consistía en hacerlo cuando estos pasaban junto a una de esas constelaciones, llamadas zodiacales porque se identificaron con un imaginario zoomorfo. Al principio, computaron 18 grupos estelares; mucho después, hacia el siglo V a.C., hicieron corresponder la revolución de los planetas, del Sol y de la Luna con 12 constelaciones zodiacales. Y poco antes de finalizar este mismo siglo, sustituyeron las constelaciones por doce signos zodiacales de 30º cada uno (39). Dividieron así la circunferencia eclíptica en 12 partes, coincidiendo con los 12 meses lunares que contiene el año solar. Pero esta metodología no corresponde aún a este período. En Enūma Anu Enlil podemos leer un ejemplo de cómo se tomaban las referencias respecto de las distintas partes de las constelaciones zodiacales: “Si Júpiter (SAG.ME.GAR) alcanza la cabeza del Escorpión (GÍR.TAB), en la tierra de Acad el mercado (los negocios) se reducirá a la mitad.” / “Si Júpiter alcanza la garganta del Escorpión, en la tierra de Elam el mercado se reducirá a la mitad.” (40) El día comienza al ponerse el Sol y corresponde a una rotación completa de los cielos: de puesta a puesta del Sol. Su duración es de 12 danna, o 12 horas dobles (1 danna = 30 uš). Es decir, el Sol se desplaza un grado cada 4 minutos. --El año solar se podía computar de dos maneras (41): Dos pasos sucesivos por el mismo asterismo (nosotros lo llamamos año sidéreo) Dos equinoccios vernales consecutivos (denominado actualmente año trópico) En total, poco más de 365 días al año, con meses de 29 y 30 días (42). Los babilonios no distinguieron entre año sidéreo y año trópico (43), diferencia ocasionada por el movimiento de precesión de los equinoccios (44). El año lunar comenzaba con la primera aparición en fase creciente de la Luna (después de la conjunción), al pasar junto a las Pléyades o MUL.MUL; fenómeno que coincidía, aproximadamente, con el equinoccio de primavera.
  27. 27. . Para elaborar el calendario lunar, se computaba el mes sinódico, en el que la Luna repite su fase, y que dura algo menos de 30 días solares. El dios Marduk organiza los cielos en el Poema Enūma Eliš (45): 12. Hizo brillar a Nanna (dios Luna), a quien confió la noche, 13. y le asignó ser la joya nocturna para determinar los días: 14. “Cada mes, sin cesar, ponte en marcha con tu disco; 15. al principio del mes ilumina sobre la tierra, 16. luego guarda tus cuernos brillantes para determinar los seis primeros días; 17. al día séptimo tu disco deberá estar en la mitad, 18. en el decimoquinto te pondrás en conjunción con Šamaš, cada medio mes, 19. y cuando Šamaš, desde la base del cielo, se dirija a ti, 20. con regularidad disminuye (tu disco) y decrece. 21. En el día del oscurecimiento aproxímate a la ruta de Šamaš, 22. para que el [tri]gésimo te encuentres (de nuevo) en conjunción con él”. 23. [...] y siguiendo este camino, [define] los presagios; 24. aproxímate […] para pronunciar las sentencias-adivinatorias. 25. Que Šamaš […] muertes y expolios. La Luna atravesaba 18/17 constelaciones a lo largo del año y éste se dividía en doce meses sinódicos (46). Por tanto, el año lunar constaba de 360 días sinódicos. Así se refleja en Enūma Anu Enlil, MUL.APIN y en algunos astrolabios y catálogos de estrellas correspondientes al primer milenio antes de nuestra era (47).
  28. 28. . Quizá este sea el motivo de hacer la circunferencia equivalente a 360 grados y el origen del establecimiento y sistematización del sistema sexagesimal en las matemáticas de los babilonios y asirios. No obstante, existía un desajuste entre ambos calendarios, solar y lunar, que se solventaba añadiendo cinco días en meses alternos. Con el paso del tiempo, se fueron afinando estos cómputos (48). El año lunar constaba realmente de poco más de 354 días sinódicos; había, por tanto, un desfase de 11 días respecto al año solar que debían completar intercalándolos hasta hacer coincidir el paso de la Luna por las Pléyades con el año nuevo. Después, añadieron un mes cada tres años. A partir del siglo IV, aproximadamente, introdujeron siete meses extra cada 19 años, pues habían observado la coincidencia entre 19 años tropicales y 235 meses sinódicos. Así, este período contendría un año con un segundo sexto mes (VI2) y otros seis años con un segundo duodécimo mes (XII2) (49) cada uno de ellos. Metón de Atenas identificó este ciclo en el año 432 a C.; por eso se llama Ciclo Metónico. A pesar de estos arreglos, la complejidad de los cielos no parecía aclararse. La perspectiva geocéntrica mostraba un universo en el que los cuerpos celestes poseen movimientos contrarios: hacia delante y hacia atrás (movimiento retrógrado). Algo inexplicable. Actualmente, y gracias al modelo cosmológico propuesto por Kepler, podemos entender el funcionamiento de nuestro sistema solar, aunque nuestros ojos nos engañen. ESCRITURA CUNEIDORME
  29. 29. . Lo que cuentan las estrellas El oficio de los astrónomos en la Antigua Mesopotamia Tratados científicos La astronomía científica surge de manera explícita en el período neoasirio (hacia el año 775 a. C.) y abarca los períodos caldeo (neobabilónico), seleúcida y arsácida (50). Durante estos siglos, se realizaron numerosas y detalladas observaciones del movimiento y posición relativa de los planetas y la Luna, así como de sus alineaciones (conjunciones y oposiciones) respecto del Sol (51) y otros fenómenos estelares, como datación de los solsticios y equinoccios. Sin embargo, desconocemos a partir de qué astro o astros hicieron sus cómputos y qué métodos e instrumentos utilizaban (52). En los casos en que el planeta no era visible, se anotaba su posición indicando que las nubes habían impedido observarlo. Hubo muchos cambios en esta época. ESCRIBA SENTADO La confirmación de que los movimientos planetarios se ajustaban a ciclos computables, hasta el punto que era posible anticipar sus posiciones y fases, permitió a los astrónomos desarrollar un complejo sistema algorítmico que desembocó en lo que hoy denominamos conocimiento científico (53). Los nuevos textos astronómicos no contienen presagios ni alusiones a los dioses, sino tablas, procedimientos aritméticos y predicciones. La rotación de los astros no se atribuye al capricho de los dioses ni los fenómenos del cielo suceden de modo arbitrario o aleatorio. Existe cierta regularidad que puede y debe ser estudiada.
  30. 30. . En esta época aparecieron los primeros horóscopos individuales, se consultaban las Series y se recitaban nuevos presagios: “En el (día) 13 del mes ulūlu (VI), Sin empezó a eclipsar y se puso mientras eclipsaba. Esto es una señal de que el dios Luna solicita una sacerdotisa.” (54) Lo cual prueba la vitalidad de esta tradición milenaria, reconocida por el mismo Cicerón (55). A partir del siglo II a C., los monarcas ya no requirieron los servicios de los escribas de Enūma Anu Enlil, adscritos al templo Esagila de Babilonia, pues la capital del reino se había trasladado a Seleucia del Tigris. Conservamos tres clases de textos astronómicos correspondientes a este período y escritos en acadio: - Matemáticos: contienen tablas, cálculos, reglas y procedimientos con los que se determinan las posiciones relativas de los planetas y de la Luna. Aquí se aplican dos algoritmos básicos llamados por los historiadores sistemas A y B, y que aluden a una hipotética trayectoria descrita por los astros: escalonada o en zigzag (56). De esta clase son las Efemérides. - Empíricos: Con observaciones y predicciones, como los Diarios. O solamente predictivos: los Almanaques y Almanaques de estrellas eclípticas (57). - Horóscopos: Ni observaciones ni predicciones (58); los datos se tomaron, probablemente, de los Diarios y Almanaques. Se encuadran dentro de la tradición adivinatoria. Hay también otra clase de tratados que anotan observaciones y predicen los datos correspondientes a los años en los que se cierra un ciclo planetario (59). Abraham Sachs los llamó Goal-Texts (60). Los astrónomos asirios y babilonios sabían que Mercurio completaba su ciclo en 46 años; Venus lo hacía en 8; Marte en 47 y 79 años; Júpiter en 83 y 71; Saturno en 59 y la Luna en 19 años. Además, comprobaron que nuestro satélite repite la secuencia de eclipses cada 18 años solares, o sea, cada 223 meses sinódicos; estos son los ciclos saros, con los que Beroso, célebre astrónomo al servicio del dios Marduk, computaba el tiempo en su Historia de Babilonia (61).
  31. 31. . Leamos, por ejemplo, varias líneas de un Goal-Year de Júpiter, fechado en el año 140 de la era seleúcida (62): 1. [Año 69, reinado de Seleúco]. (Mes) II (día) 3, primera aparición de Júpiter en Aries; era pequeño, salida de Júpiter al salir el Sol: 12º 30’. 2. […] el punto estacionario. (Mes) VIII (día) 3, salida opuesta de Júpiter. (Mes) X hasta el (día) primero, [punto estacionario de] Júpiter [al oeste] -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. [Año 56,] mes VI intercalado. Año 57, reinado de Antíoco. (Mes) III, noche del (día) 15, última parte de la noche, Júpiter […] 4. […] mientras vuelve al oeste, estaba 2 y 2/3 de kùš debajo de ηTauro; información oral. (Mes) XI, noche del 21 […] Etc. (Los días y horas se expresan mediante sus correspondientes ordinales: primero, segundo,…) El kùš (codo) es la medida estándar de longitud; en astronomía, significa distancia angular; sus respectivos submúltiplos se llaman šu.si (dedos); en los documentos procedentes del período paleobabilónico, 1 kùš equivale a 30 šu.si (y a 2,5º); posteriormente, encontramos que 1 kùš equivale a 30 šu.si (2º) (63). En los Diarios, en cambio, no eran tan explícitos; únicamente apuntaban que, en cierta fecha, el cuerpo celeste A estaba situado - arriba, abajo, delante o detrás – del astro B, a una distancia n kùš. Esto indica que computaban la longitud y la latitud de los astros. Leamos un ejemplo fechado en el año 331 a C.: “Noche del (día) 20, última parte de la noche, la Luna estaba […kù]š debajo de βGéminis, la Luna vuelve 2/3 de kùš hacia el oeste. (Día) 21: el equinoccio; yo no lo vi. La no[che del (día) 22, última parte de la noche,] [la Luna estaba] 6 kùš [debajo de] εLeo, la Luna ha pasado ½ kùš detrás de αLeo. Noche del (día) 24, nubes en el cielo.” (64)
  32. 32. . Las observaciones eran diarias, aunque se anotaban los fenómenos más relevantes acaecidos durante seis o siete meses. El más antiguo de estos tratados está fechado en el año 652 a. C., pero hay indicios de que esta práctica comenzó durante el reinado del rey Nabonasar, entre los años 747 y 734 a. C. La última copia de un Diario acadio data del año 50 a. C. (65) Pero el asunto que más preocupaba a los astrónomos babilonios y al que dedicaron más esfuerzo (66), era entender el irregular comportamiento de la Luna: computar sus primeras y últimas visibilidades antes y después de la conjunción y de la oposición; medir la duración de la luz solar en relación a la noche. Por esa razón, introdujeron en sus estudios conjuntos de datos, como los Lunar 3 y Lunar 6, en los que se registraba el tiempo transcurrido entre los respectivos ortos y ocasos del Sol y de la Luna (67). El propósito de este estudio iba dirigido, como sabemos, a predecir el inicio del año e intentar ajustar los calendarios solar y lunar. En relación a los planetas, se anotaban los siguientes fenómenos que, en la actualidad y gracias a Otto Neugebauer, identificamos con letras griegas: Para los exteriores, Marte, Júpiter y Saturno: -Aparición en oriente (Γ) / Punto estacionario en oriente (Φ) / Oposición (θ) / Punto estacionario en occidente (Ψ) / Desaparición en occidente (Ω) - Los planetas inferiores, Mercurio y Venus, añaden otros dos datos: Desaparición en oriente (Σ) / Aparición en occidente (Ξ) UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  33. 33. . Los Almanaques de estrellas y Almanaques, recogían, respectivamente, las posiciones mensuales de las estrellas y de los planetas, en relación a los signos zodiacales. Solían abarcar un año completo, ya fuera de 12 o 13 meses. Contenían datos Lunar 3, Lunar 6 y predicciones. Veamos, por ejemplo, un fragmento extraído de un Almanaque fechado en el año 236 de la era seleúcida (75 d. C.) (68): “Mes III, el primer (día) que sigue al (día) 30 del mes anterior69. Júpiter en Géminis, Venus en Cáncer, Saturno en Virgo, Marte en Aries. Hacia el (día) 9 Marte alcanzará Taurus; el (día) 15 la Luna se pone después de la salida del Sol; el (día) 16 el solsticio; hacia el (día) 15 Mercurio será visible por primera vez en el oeste en Cáncer; el (día) 21 Venus alcanzará Leo; el (día) 22 Mercurio alcanzará Leo; el (día) 27, última visibilidad de la Luna antes de la salida del Sol; la noche del (día) 29, habrá eclipse del Sol.” En las Efemérides se indicaban las posiciones, fases y movimientos de los cinco planetas conocidos y de la Luna. Los cómputos y predicciones, distribuidos en filas y columnas, se realizaban siguiendo dos metodologías diferentes que los historiadores las han identificado con los nombres A (sistema escalonado) y B (sistema en zigzag): No hay duda de que estos tratados tabulares entran ya en el ámbito de la astronomía científica: registro de datos, para las tablas; enunciado de hipótesis, introducción de reglas, aplicación de algoritmos, para los procedimientos (70).
  34. 34. . Aunque, de ningún modo, aparecen gráficos como los dibujados más arriba. Nos falta comprobar si los autores de estos textos elaboraron un modelo teórico a partir del cual interpretar los fenómenos observados, como hicieron los astrónomos griegos. Eudoxo y Aristóteles postularon un universo ordenado y finito, formado de esferas concéntricas por las que discurrían los cuerpos celestes, desplazándose con movimiento uniforme en torno a una Tierra inmóvil. Pero la ausencia de pruebas documentales no invalida la posibilidad de que, los astrónomos babilonios hubieran concebido un modelo cosmológico similar. De hecho, los datos numéricos recogidos en las tablas se ordenan, para la función zigzag, en progresiones aritméticas de las que se extraen los valores máximos y mínimos, la amplitud, diferencia, valor medio, número de términos que intervienen en el cálculo y número total de períodos. Asimismo, se establece (como hipótesis) que los cuerpos celestes circulan por el cosmos incrementando o disminuyendo sus respectivas velocidades; y se introducen, además, dos reglas para determinar las posiciones, tiempos y velocidades de los mismos. Así lo vemos en algunos de los procedimientos incluidos en estos tratados (71). Esto supone un importantísimo avance con respecto a los textos paleobabilónicos Enūma Anu Enlil y MUL.APIN, por ejemplo, en los que las velocidades del Sol y de la Luna se entendían constantes. Las teorías lunar y solar descritas en las Efemérides, según el sistema escalonado, establecen dos velocidades anuales para ambos astros y dos intervalos por los que discurren con cada una de ellas: 1. Desde 13º Virgo hasta 27º Piscis, la velocidad del Sol, V, es de 30º cada mes sinódico. 2. Entre 27º Piscis y 13º Virgo, el Sol viaja con v = 28º7’30’’ cada mes sinódico. 3. Además, se introducen dos factores mediante los cuales se calculan las longitudes recorridas por los planetas en relación al Sol: - V/v = 1;4 - v/V = 0;56,15 UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  35. 35. . La astronomía actual toma como punto de referencia (0º) el equinoccio de vernal, situado en Aries; sin embargo, en las Efemérides encontramos este punto desplazado 10º para el sistema A y 8º para el B. No sabemos por qué lo hicieron así. Los horóscopos (72) no eran textos científicos, pero se elaboraron a partir de datos suministrados por los Diarios y Almanaques. Es difícil creer que hubo una casta de sacerdotes y adivinos, conocedores de estos tratados astronómicos y, sin embargo, dedicados exclusivamente a preparar horóscopos y recitar presagios. ¿La configuración celestial influía sobre el destino de las personas o se trataba de un mensaje premonitorio enviado por los dioses? Una vez comprobada la periodicidad de los movimientos planetarios y la posibilidad de predecirlos, ¿hasta qué punto los astrónomos confiaban en el testimonio de las estrellas o, simplemente, buscaban satisfacer los requerimientos de una sociedad iletrada y constantemente amenazada? El primer horóscopo escrito en cuneiforme data del año 410 a C. y el último se escribió en Babilonia, en el año 69 de nuestra era. Solamente conservamos 28 documentos de esta clase. Todos estaban dedicados a personas individuales y en ellos se indican las posiciones de los planetas en relación al zodiaco en el día del nacimiento; situación de la Luna respecto a una estrella; pasados o futuros eclipses pronosticados para ese mismo año; fechas previstas para los solsticios y equinoccios. En ninguno de ellos se registran observaciones directas ni cálculos, pues se elaboran un tiempo después de haber tenido lugar el nacimiento. Proponemos leer dos horóscopos distintos; el primero está escrito por las dos caras de una misma tablilla y no advierte a quién va dirigido; el texto está dañado y es incompleto (los números indican las líneas) (73): 1. Año 92, [reinado de Antíoco (III).] 2. Tašrītu (septiembre/octubre) 30, noche 1[2 (¿hora?), primera parte de la noche, la Luna estaba] 3. debajo de “la estrella posterior de la cabeza del Hombre” (se trata de αAries). 4. La Luna pasó ½ kùš al este (de αAries)… […] 5. el niño ha nacido; en [su] hora, [la Luna estaba en Aries (¿?),] 6. el Sol estaba en Escorpio, Júpiter [estaba en Aries],
  36. 36. . 7. Venus y Saturno (estaban) e[n Sagitario], 8. Mercurio y Marte [se habían puesto, no eran visibles.] 9. Ellos estaban junto al Sol. [Ese mes (¿),] ------------------------------- 1. El ocaso de la Luna, después de la salida del Sol, ocurrió a la (hora) 14 [última visibilidad lunar antes del orto del Sol el] (día) 2[7.] 2. [El solsticio de invierno sucedió] el (día) 20 de Kislīmu (noviembre/diciembre). 3. Addaru (febrero/marzo), noche del 1[4, un eclipse lunar,] 4. Todo (el eclipse) ocurr[ió] en Libra. 5. El (día) 28 un ecl[ipse de Sol] 6. en Aries, habiendo pasado medio mes (desde el eclipse anterior). El segundo horóscopo es más breve y apenas contiene datos astronómicos; sin embargo, incluye pronósticos e indica el nombre del niño: “Año 63 (era seleúcida), mes X, al atardecer del (día) 2, Anu-bēlšunu ha nacido. Ese día, el Sol estaba en 9;30º Capricornio, la Luna estaba en 12ºAcuario: sus días serán largos. [Júpiter] estaba al comienzo de Escorpio: alguien ayudará al príncipe. [El niño] nació en Acuario en la región de Venus: tendrá hijos varones. Mercurio estaba en Capricornio; Saturno estaba en Capricornio; [Marte] en Cáncer.” (74) Estos documentos prueban la continuidad y vigencia de la tradición adivinatoria existente en Mesopotamia durante los períodos seleúcida y arsácida; tradición que alcanzó las civilizaciones de Grecia y Roma. Los escribas de Enūma Anu Enlil, dedicados a encontrar paralelismos entre los sucesos terrenales y los del cielo, acudían a consultar las Series cuando los monarcas y poderosos lo requerían; unas veces para tranquilizarles, otras, para prevenirles de iniciar determinada acción. Algunas familias encargaban un horóscopo para sus vástagos o acudían al adivino por cualquier otro motivo. Pues los habitantes de Mesopotamia seguían atemorizados por una naturaleza que solía actuar de manera violenta e impredecible.
  37. 37. . Conclusión Entre las ciencias de la naturaleza, la astronomía es la más antigua de todas, pues nada se necesita para contemplar el firmamento e intentar descifrar el lenguaje de las estrellas. Los antiguos pobladores de Mesopotamia, creyeron que los dioses habitaban el cielo y que utilizaban los astros para comunicarse con los seres humanos. Posiblemente, algo tan fortuito e inesperado como la coincidencia entre la visión de un eclipse y la muerte de un monarca, pudo provocar que los sucesos naturales se entendieran como señales premonitorias acerca de fenómenos que podían afectar al estado y al reino. Saber interpretar la escritura celestial requería pericia e instrucción y solamente unos pocos escribas eran capaces de hacerlo. Aparentemente, las estrellas revolucionaban diariamente en torno a la Tierra y la Luna repetía sus fases. Había cierta rutina en estos movimientos que, sin embargo, no explicaba las trayectorias retrógradas de los planetas ni la aparición de eclipses y cometas. A fuerza de observar el cielo, intentando desvelar sus misterios, los astrónomos comprendieron que los cuerpos celestes renuevan sus fases periódicamente y que regresan al mismo lugar del que partieron decenas de años atrás. Los eclipses y otros fenómenos estelares, entonces, tenían una explicación natural que no dependía de las acciones humanas ni de la voluntad de los dioses; aunque estos podían seguir castigando y enviando toda clase de enfermedades y desventuras a aquellas personas que infringieran las normas (75). La tradición adivinatoria, transmitida de padres a hijos durante milenios, no desapareció porque se hubiera comprobado que los cielos rotan siguiendo pautas predecibles; pero abrió el camino hacia una nueva visión de la naturaleza que concibe el universo sujeto a leyes eternas e inmutables. No sabemos, por tanto, si los autores de los primeros textos científicos creían que la configuración estelar determina el futuro de las personas o, simplemente, se limitaban a desempeñar su oficio como habían hecho sus antecesores. Pues, lo que cuentan las estrellas, no siempre tiene que ver con nuestras cosas. El conocimiento astronómico de los escribas babilonios se difundió a Oriente (India) y a Occidente (Grecia), en el período helenístico. Los árabes recogieron ambas tradiciones y las trasladaron a Europa en la Edad Media. ESCRIBA MESOPOTÁMICO SENTADO
  38. 38. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua Documentos PDF de la plataforma ALF TABLILLAS ASTRONÓMICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  39. 39. . Lo que cuentan las estrellas El oficio de los astrónomos en la Antigua Mesopotamia Notas (1) Todos estos sucesos naturales se engloban en la misma categoría de fenómenos meteorológicos. (2) BOTTÉRO, J.: 1974, 150. Acerca de una posible relación causa-efecto de los sucesos estelares, ver LEOUX, D.: 2002. (3) Ver ROCHBERG, F.: 2004, acerca de la “escritura celestial” en las páginas introductorias. (4) Anu y Enlil y Enki (dios de las aguas), son las principales deidades sumerias, según aparecen en el mito cosmológico de Atrahasīs y a ellos están dedicadas estas series de presagios celestiales. Ver LARA PEINADO, F.: 1984, 307. (5) Mito sumerio de “Innana y Šukallituda, o el pecado mortal del jardinero”, en KRAMER, S. N.: 2010, 108. (6) Según parece, un eclipse de Luna precedió a la muerte de dos reyes: Maništušu, hijo de Sargón de Acad, y Naram- Sin, nieto de éste. Ver M. T. LARSEN, M. T.: 1987. También LEHOUX, D.: 2002. (7) Idea expresada en sumerio: “an.ki.nigin.na” y también en lengua acadia:“kippat šame u erṣeti”, equivalente a “el círculo del cielo y la tierra”, en ROCHBERG, F.: 2004, 127. (8) OPENHEIM, A.L.: 1966, 40. (9) Enmeduranki de Sippar fue el séptimo rey de Sumeria antes del Diluvio. Ver ROCHBERG, F.: 2004, 215. (10) HUNGER, H.: 1968, nº 77. F. ROCHBERG, F.: 2004, 212. Ver también ROBSON, E.: 2008, 245 y ss. (11) Tras la caída de Babilonia por Darío II, hacia el año 539, parece que se efectuó este traslado; ver ROCHBERG, F.: 2004, 209. (12) Ibid., p. 215. (13) HIRSCH, H.: 1963. REINER, E.: 1999, 24. (14) LARA PEINADO, F.: 1982. (15) OPPENHEIM, A. L.: 1966, 40. (16) PARPOLA, P.: 1970.
  40. 40. . (17) Mina, ma-na, equivalente a 500 gramos de plata. (18) Ver McEWAN, G. J. P.: 1981, 17 y ss.. (19) Este fragmento corresponde a una carta de Marduk-šāpik-zēri, experto en adivinación celestial, al rey Asurbanipal. Ver PARPOLA, S.: 1970, 122 y ROCHBERG, F.: 2004, 5. (20) Ver, por ejemplo, OPPENHEIM, L.: 2003 y ROCHBERG, F.: 2004. (21) ROCHBERG, F.: 2004, 62. Los paréntesis indican aclaraciones realizadas por el editor del texto. (22) McEWAN, G. J. P.: 1981, 17 y ss.. En las bibliotecas de estos eruditos se han encontrado textos astronómicos, series de presagios, lamentaciones y conjuros, según se desprende de las excavaciones realizadas en las que debieron ser sus viviendas familiares. Ver Robson (2008, pp. 220 y ss.) (23) ROCHBERG, F.: 2004, 55. Por el contrario, E.REINER opina lo contrario (1999, p. 31). (24) Se trata de una tablilla depositada en el Museo Británico: BM 22696 (Ibid., p. 69). (25) Ver HUNGER, H. & PINGREE, D.: 1999, 12 y ss. (26) Planetas errantes o “intérpretes” de la voluntad de los dioses. Sus ortos y ocasos anuncian terremotos, tormentas, lluvias, vientos, calor, eclipses, etc. Sucesos buenos y malos. (27) Uno de los puntos de corte entre las imaginarias circunferencias ecuatorial y eclíptica; ésta última es la línea por la que se desplaza el Sol en su movimiento aparente hacia el este. El otro punto señala el equinoccio de otoño. La eclíptica es la línea donde se producen los eclipses. Las observaciones astronómicas iban dirigidas, principalmente, a predecir este día en años sucesivos. (28) También denominadas estrellas zodiacales, porque discurren por la misma trayectoria que el Sol y pueden contemplarse en el cielo nocturno. (29) Se llama orto helíaco a la aparición de un astro antes de la salida del Sol. (30) REINER, E. and PINGREE, D.: 1981, 49. (31) Nisannu era el primer mes del año, que corresponde a nuestro marzo/abril; recordemos que el inicio del mes coincide con nuestro día 15. (32) Kislīmu es el noveno mes, correspondiente a nuestro noviembre/diciembre. (33) Mes doce; corresponde a febrero/marzo. (34) E. Reiner and PINGREE, D.: 1978, 39.
  41. 41. . (35) Las cifras deberían ser ordinales, tal como aparecen en los textos. (36) ROCHBERG, F.: 1999, 23. (37) En este contexto, el uš es la unidad de tiempo. En los equinoccios, la duración del día=duración de la noche = 3,0 uš (12 h.) En el solsticio de verano, la longitud del día = 4,0 uš (16 h); en el solsticio de invierno, el día comprende 2,0 uš (8 h). Escribimos las cantidades en base sexagesimal. A un año de 360 días le corresponderían 36,0,0 uš. (38) Esta diferencia entre las aparentes velocidades de la Luna y el Sol, provoca que la Luna retrase diariamente su aparición 50 minutos. (39) BRACK-BERNSEN, L. & HUNGER, H.: 1999, 280. (40) REINER, E.: 1999, 26. (41) El año trópico solar consta de 365’2422 días solares; se calcula midiendo el tiempo transcurrido entre dos equinoccios de primavera consecutivos; en los equinoccios de primavera y otoño la duración del día es idéntica a la de la noche. El año sidéreo se calcula midiendo el intervalo temporal entre dos pasos sucesivos por el mismo asterismo; su duración es de 365’2564 días solares medios. Los babilonios no hicieron estos cálculos. (42) Meses con 29 días: aquellos en los que la Luna se hacía visible por primera vez antes de comenzar el día 30. Meses con 30 días: la Luna no era visible tras el ocaso del día 30. Ver BRACK-BERNSEN, L.: 2002, 6. (43) AABOE, A.: 2002, 1. (44) Fenómeno descubierto por Hiparco de Alejandría (ca. 140 a.C.). El eje terrestre describe un movimiento circular por el cual los equinoccios se desplazan. (45) Tablilla V, ver LARA PEINADO, F.: 1994, 71. (46) Debemos distinguir el mes sinódico (con 29,53 días), en el que se repite una fase, del mes sidéreo, en el cual se determina el tiempo transcurrido entre dos pasos sucesivos por el mismo asterismo. La Luna posee un ciclo sidéreo de poco más de 27 días. (47) HUNGER, H. & PINGREE, D.: 1999, 50. (48) El sistema sexagesimal permite realizar cálculos con números fraccionarios con bastante aproximación. (49) GRAY, J. M. K. & J.M. STEELE, J. M.: 2008, 556. (50) Casi todos estos textos proceden de Babilonia y Uruk. El último tratado astronómico escrito en lengua acadia data del año 75 d C.
  42. 42. . (51) Se medían los arcos sinódicos, es decir, la distancia angular recorrida por el planeta entre dos fases consecutivas de la misma clase: primeras visibilidades, últimas visibilidades, estaciones, etc. (52) BRACK-BERNSEN, L. & H. HUNGER, H.:1999, 281 y ss. proponen una interesante hipótesis a partir de dos textos cuneiformes que sugieren el uso de un reloj solar. Pero ambos son del período paleobabilónico. (53) MCT: Textos astronómicos cuneiformes, edición a cargo de NEUGEBAUER, O.: 1983; 1ª edición en 1953. (54) Presagio estelar fechado en septiembre del año 554; hace alusión al rey Nabónido, último monarca neobabilónico, quien, tras escuchar este presagio, ordenó a su hija hacerse sacerdotisa. (55) Sobre la adivinación (1999). (56) Ver NEUGEBAUER, O.: 1983, I. (57) En inglés, se llaman “Normal Stars”. (58) ROCHBERG, F.: 1999 y 2004. (59) Los ciclos indican períodos de tiempo tras los cuales se repiten los mismos fenómenos. Se computaban los períodos sidéreo (tiempo en el que el planeta, aparentemente, da una vuelta completa alrededor de la Tierra) y sinódico (ciclo en el que el planeta repite su fase). (60) A. Sachs (1948, pp. 282-285). (61) “Para realizar los recuentos, Beroso utilizó saroi, neroi y sossoi. El saros es una unidad de tiempo que consiste en 3.600 años, un neros, de 600 años y un sosos de 60 años”. Ver Syncellus, Ecloga Chronographica 53, 30, 71-72, en G. WERBRUGGHE, P. & VICKERSHAM, J. M.: 1999, 47. (62) Se trata de LBAT 1251+1252, en H. HUNGER, H.: 1999, 88-89. Las palabras entre corchetes indican que se han perdido; los paréntesis introducen aclaraciones del editor. (63) GRAΒHOFF, G.: 1999, 112. Ignoramos por qué realizaron este cambio. (64) ROCHBERG, F.: 2004, 8). No estamos seguros a la hora de identificar esas estrellas. (65) Ibid., p. 146. (66) La mayoría de los documentos que se han podido recuperar están dedicados a estudiar las fases y movimientos de nuestro satélite. Ver NEUGEBAUER, O.: 1983. (67) Además de calcular los tiempos transcurridos entre estos sucesos, se medían los arcos sinódicos o longitudes recorridas entre dos fenómenos consecutivos de la misma clase. Ver BRACK-BERNSEN, L.: 2002, 5-19.
  43. 43. . (68) Se trata de la tablilla LBAT 1174. Ver ROCHBERG, F.: ibid., 154. (69) Esto significa que el mes anterior se componía de 30 días. Este es uno de los datos que recogen los Lunar 3. Otros meses constaban de 29 días. Ver BRACK-BERNSEN, L: 2002. (70) Los procedimientos son problemas en los que se indican los pasos a seguir para obtener la solución. La estructura de los mismos es similar a la encontrada en los ejercicios escolares de matemáticas; con algunas diferencias destacadas por ROBSON, E.: 2008, 226-227. Ver NEUGEBAUER, O.: ACT (1983). (71) O. NEUGEBAUER, O.: ACT I, 188 y ss. (72) ROCHBERG, F.: 2004. (73) ROCHBERG, F.: Ibid., 43-44. Las frases o palabras entre corchetes han sido reconstruidas por el editor de la tablilla. Las palabras entre paréntesis son aclaraciones. (74) E. ROBSON comenta que sólo conservamos tres horóscopos nominativos (2008, 252-253). ESCRIBA MESOPOTÁMICO SENTADO
  44. 44. . MATEMÁTICA EN LA ANTIGUA BABILONIA
  45. 45. . Matemáticas en la antigua Babilonia [Notas históricas] En este trabajo vamos a analizar algunos aspectos de la matemática desarrollada en el Período Babilónico Antiguo o Paleobabilónico. Esto se debe a que la mayoría de los documentos matemáticos editados pertenecen a esa época. No obstante, existieron otros muchos períodos históricos en Mesopotamia: 1. Protoliterario: Uruk VI – III (3500 – 2900) 2. Paleosumerio, Protodinástico o Presargónida: 2900 – 2334 (año en que accede al trono Sargón de Acad o Agade) 3. Paleoacadio, Acadio o Sargónida: 2334 -2112 (año aproximado de la invasión de los guteos) ESCRITURA CUNEIDORME 4. Neosumerio, Período de Ur III o Tercera Dinastía de Ur: Iniciado por Gudea de Lagaš (2112 ) - hasta la caída de Ur a manos de los elamitas (hacia el 2004) 5. Período de Isin – Larsa: 2004 – 1750 6. Paleoasirio: En el Norte y Oeste de Mesopotamia, 1910 – 1740 7. Paleobabilónico o Dinastía de Hammurapi: 1750 – 1595 (año de la invasión casita) 8. Mediobabilónico: 1595 – 1100 9. Medioasirio: Mediados del siglo XIV – Finales siglo XII 10. Neoasirio: 1000 – 610 11. Neobabilónico o Caldeo: 610 – 539
  46. 46. . 12. Persa o Aqueménida: 539 -330 (primeras conquistas de Alejandro) 13. Helenístico o Seleúcida: 330 – 141 14. Parto o Arsácida: 141 – 224 (invasión de los persas Sasánidas) Las fértiles tierras situadas entre las riberas de los ríos Tigris y Eúfrates recibieron, desde épocas muy remotas, la frecuente y periódica irrupción de distintos grupos humanos. Los primeros asentamientos datan de la Era Paleolítica (hacia 12.000 años a.C.). Durante el Neolítico surgieron las civilizaciones de Hassuna, Samarra y Halaf, en el Norte. Hacia el IV milenio, las de El Ubaid y Tepe Gawra, también en la zona septentrional; mientras en el Sur, destacaron las culturas de Jemdet Nasr y Uruk. A finales del IV milenio, y junto a las desembocaduras de ambos ríos, se establecieron los sumerios. Ignoramos su origen y procedencia; tampoco conocemos qué lenguas están emparentadas con la suya. Únicamente sabemos que su cultura persistió durante siglos, y que su escritura y su lengua constituyeron la forma erudita de expresión entre sacerdotes y escribas. Los sumerios se establecieron en diversas ciudades, organizadas como estados independientes: Ur, Uruk, Isin, Eridu, Umma, Lagaš, Larsa, Nipur… Por el Norte, los amoritas avanzaban lentamente hacia el interior, mezclándose con los sumerios y asimilando su civilización. Sargón logró arrebatar la corona de Uruk a su rey Lugalzagesi, unificando después todo el territorio y situando la capital en Acad o Agade. Su nieto, Naram-Sin, tomó el título de “Rey de los cuatro países”, y consiguió ser deificado. El acadio desplazó poco a poco al sumerio, como lengua hablada; pero nunca logró apartarlo de los recintos de las escuelas ni de las tareas administrativas ni de los templos. El imperio fundado por Sargón de Agade duró hasta la invasión de los guteos, horda primitiva y salvaje, proveniente del Este, que asoló el país y sumió a sus gentes en la miseria y la hambruna. No obstante, algunas ciudades del Sur conservaron una relativa independencia, como Uruk - bajo el mando de su rey Utu-khegal - y Lagaš, cuyo ENSI Gudea fue un excelente gobernante. Ur-Nammu (aprox. 2144 – 2121) consiguió restaurar el imperio, fundando la Tercera Dinastía de Ur. Él y su hijo Shulgi organizaron administrativamente el estado y promulgaron las primeras normas legales de la historia
  47. 47. . Hacia el año 2004, Ur cayó en manos de los elamitas, quienes destruyeron la ciudad y masacraron a sus habitantes. Simultáneamente, los amoritas continuaban su avance, en oleadas sucesivas, desde los desiertos de Siria y Arabia. La fuerte presión ejercida por estos pueblos, desbarató completamente la hegemonía alcanzada en la Tercera Dinastía de Ur y sus territorios fueron repartidos entre los ENSIS locales de las antiguas ciudades sumerias. Hacia el final del siglo XIX a. C. surgieron tres potentes estados amoritas: Eshnunna, Larsa y Babilonia, junto a otros de menor importancia sometidos, en cierta medida, a la influencia de los primeros. Cuando Hammurapi fue nombrado rey de Babilonia, el mapa político mesopotámico mostraba una creciente inestabilidad que el nuevo soberano supo atajar, consiguiendo someter a los otros estados y expandiendo su dominio por toda la región, desde los Montes Zagros, en el Este, hasta los desiertos sirio y arábigo en Occidente; como podemos ver en el mapa siguiente: Hammurapi estableció la capital de su imperio en Babilonia y mantuvo buenas relaciones con los soberanos asirios. El período paleobabilonio finaliza con el saqueo de Babilonia a manos de los hititas en 1595 y el predominio de la Dinastía Casita.
  48. 48. . Matemáticas en la antigua Babilonia Escritura El origen de la escritura lo encontramos en los llamados calculi: pequeñas pellas de arcilla con formas diversas: discos, esferas, conos, tetraedros, etc.; muchos de ellos tenían muescas y perforaciones, y también variaba su tamaño. Los primeros datan del IX milenio a. C. Se utilizaban con fines contables (1). Hasta el año 3100 a. C. los calculi simbolizaban conjuntamente la cantidad y la cosa; es decir, cada una de estas fichas hacía referencia a cierto número de un determinado bien: Una oveja, 10 ovejas, 60 ovejas; una ración de cebada, 10 raciones de cebada, 60 raciones de cebada; pongamos por caso. El origen de la escritura lo encontramos en los llamados calculi: pequeñas pellas de arcilla con formas diversas: discos, esferas, conos, tetraedros, etc.; muchos de ellos tenían muescas y perforaciones, y también variaba su tamaño. ESCRIBA SENTADO Los primeros datan del IX milenio a. C. Se utilizaban con fines contables (1). Hasta el año 3100 a. C. los calculi simbolizaban conjuntamente la cantidad y la cosa; es decir, cada una de estas fichas hacía referencia a cierto número de un determinado bien: Una oveja, 10 ovejas, 60 ovejas; una ración de cebada, 10 raciones de cebada, 60 raciones de cebada; pongamos por caso. Para evitar el deterioro o la pérdida de los calculi, incluso su robo, a veces se introducían en bulas de arcilla o sobres huecos; después, éstos se cerraban y precintaban. Esta práctica resultaba muy adecuada en la actividad comercial y en los trueques, porque dejaba constancia de la operación realizada. Las bulas actuaban a modo de “documento” o registro contable.
  49. 49. . En ocasiones, las bulas podían contener el inventario de los bienes pertenecientes a una familia, la dote aportada por la novia a su enlace, o el registro del ajuar doméstico. Entonces, convenía saber cual era su contenido real. Para ello, se presionaba cada uno de los calculi sobre la superficie húmeda y blanda de la bula, dejando de esta manera su impronta y la descripción de las piezas guardadas en su interior. Así nacieron los pictogramas. Con el paso del tiempo, los pictogramas se dibujaron sobre las dos caras, suavemente convexas, de pequeños bloques de arcilla. De este modo se contabilizaban los bienes y las mercaderías; las ofrendas recibidas en los templos; los tributos recaudados en los palacios; las raciones de alimento correspondientes al salario de los obreros, artesanos y soldados; así como el coste debido a la manutención de los esclavos. Progresivamente fue apareciendo una numeración más abstracta, desligada del objeto cuantificado. En el período presargónida encontramos los primeros numerales junto a los iniciales grafemas cuneiformes. TOKENS PROCEDENTES DE SUSA (5000 AÑOS a.C.) A partir del reinado de Gudea de Lagaš se estilizan las líneas de los pictogramas, dando paso a los grafos de la escritura; así, aquellos adquirieron también un valor fonográfico: podían simbolizar tanto un objeto o entidad (logograma) como un sonido (fonograma). PICTOGRAMAS SUMERIOS
  50. 50. . PICTOGRAMAS SUMERIOS
  51. 51. . Los pictogramas se dibujaron inicialmente en columnas, de arriba hacia abajo, y éstas, de derecha a izquierda; pero a mediados del tercer milenio, los escribas tomaron las tablillas en su mano y las hicieron girar un poco, en sentido inverso a las agujas del reloj, de tal modo que ahora los signos se grababan de izquierda a derecha y en filas de arriba hacia abajo. La escritura de los sumerios era silábica y sus grafos se inscribían con un estilete muy fino cuyo extremo tenía forma de cuña. Existen cinco grafos distintos con los que se forman los signos: TABLILLA HUECA EN FORMA DE HUEVO (NUZI, II MILENIO a.C.) GRAFOS Hoy en día conocemos hasta 600 signos distintos, aunque muchos de ellos representan el mismo sonido o sílaba; o bien, diferentes fonemas son simbolizados con un sólo signo. Los acadios asimilaron la cultura de los sumerios, más avanzada y compleja que la suya, y adaptaron la escritura pictórica de estos a su lengua semita. Posteriormente, los asirios y los babilonios (cuyas lenguas proceden del acadio) también tomaron los signos cuneiformes de la escritura sumeria. A lo largo de las civilizaciones, algunos de los logogramas sumerios fueron incorporados a la escritura babilonia y asiria sin ningún tipo de alteración, conservando así su sentido original. La escritura de trazos cuneiformes sirvió además a culturas tan diversas y lenguas tan diferentes como la hitita, hurrita, ugarítica, eblaita, elamita y urartea.
  52. 52. TABLERO Y FICHAS HALLADO EN LA TUMBA REAL DE UR (ca. 2500 a.C.)
  53. 53. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Sistemas de numeración Hacia el año 3100 a. C. se inventaron los primeros numerales: piezas sólidas de arcilla que simbolizaban la cantidad; junto a la huella dejada por estos, se dibujaba el pictograma del producto que debía ser registrado. El método de numeración más arcaico discurre entre los años 3100 y 2500 a. C. Consistía de piezas de diferentes formas y tamaños, a cada una de las cuales se asignaba un valor numérico fijo: 1, 10, 60, 600, 3600 y 36000. Este sistema era, por tanto, mixto.
  54. 54. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Sistemas de numeración Tablillas de Uruk (III milenio a C.)
  55. 55. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Sistemas de numeración El método de numeración más arcaico discurre entre los años 3100 y 2500 a. C. Consistía de piezas de diferentes formas y tamaños, a cada una de las cuales se asignaba un valor numérico fijo: 1, 10, 60, 600, 3600 y 36000. Este sistema era, por tanto, mixto.
  56. 56. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Sistemas de numeración No obstante, se han descubierto hasta 13 sistemas distintos de numeración (2), dependiendo del objeto a computar: ya fueran animales domésticos, grano, aceite, cebada, cerveza, lana, etc.; asimismo, se disponía de un complejo sistema de pesos y medidas. Los días, los meses y los años también disponían de una simbología propia. Durante la III dinastía de Ur, coexistieron tres sistemas numéricos diferentes - decimal, sexagesimal y fraccionario - con 60 signos numéricos. Todos ellos para llevar a cabo la contabilidad en una sociedad extremadamente organizada. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  57. 57. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Sistemas de numeración En el período Babilónico Antiguo, el sistema de numeración es exclusivamente sexagesimal, con dos signos numéricos: uno para la unidad y los múltiplos y submúltiplos de 60, y otro para la decena y sus múltiplos sexagesimales respectivos; el valor de cada número depende del lugar que ocupa en el conjunto: UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  58. 58. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Sistemas de numeración Los números en base sexagesimal se escriben (3) –según la notación ideada por Otto Neugebauer—de la siguiente manera: UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  59. 59. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Sistemas de numeración Según la simbología babilónica, no se aprecia ninguna diferencia entre las cantidades enteras y las fraccionarias ni se distingue el valor potencial de cada número. Lo comprobamos a continuación: UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  60. 60. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Sistemas de numeración Sin embargo, no concibieron un grafema de cantidad nula ó 0 (al menos hasta el período seleúcida), pues los diversos órdenes de magnitud se distinguían agrupándolos y dejando huecos intermedios. Únicamente, el contexto y la extraordinaria imaginación de los editores e intérpretes de estos documentos, nos proporciona el valor real de cada número. También inventaron signos específicos para las fracciones:
  61. 61. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Sistemas de numeración Los babilonios distinguieron entre números regulares e irregulares, estos últimos son los que nosotros denominamos primos: 7, 11, 13, etc. Como podemos observar, operaron con cantidades fraccionarias como si fueran enteras; esto se debe a su peculiar técnica de notación. A los números fraccionarios finitos los denominaremos redondos, dado su fácil manejo. Las fracciones infinitas o los números irracionales se evitan; no obstante, hallaron aproximaciones excelentes de . Para la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, el número , se tomó el valor 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  62. 62. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Tablillas matemáticas En las escuelas de escribas (eduba) del Período Paleobabilónico, se adiestraba a los alumnos en la práctica del cálculo y la medida. Los escolares, no sólo debían aprender la escritura cuneiforme, la lengua de los sumerios, recitar poemas épicos (como el que exalta las glorias del caudillo Gilgamesh) y narrar los mitos ancestrales; también necesitaban conocer las normas legales y dominar las técnicas de la administración y el registro de documentos. Obviamente, hubo diversos grados de aprendizaje y especializaciones muy diversas. Los restantes conocimientos, relacionados con la adivinación, la medicina y la astronomía se impartían en los templos. La totalidad de la matemática creada por los antiguos babilonios la hallamos expuesta en forma de problemas y en tablas numéricas. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  63. 63. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Tablillas matemáticas Todos los documentos están escritos sobre tablillas de arcilla de diverso formato; pero las utilizadas por los alumnos, en su diario aprendizaje, solían tener forma circular y el tamaño suficiente para ser sostenidas en una mano. Así, existen tablillas matemáticas de: 1. Problemas. En los que se plantea un ejercicio. A veces se indica el procedimiento a seguir; otras, sólo se apunta el enunciado sin mostrar la solución. Nemet-Nejat considera que hay 180 tablillas de esta modalidad, de las cuales 95 resuelven planteamientos geométricos y algebraicos, 73 estudian cuestiones prácticas y 12 poseen un contenido mixto; aunque en opinión de Robson, sólo son 160 las tablillas dedicadas a esta clase de cuestiones; Høyrup señala además que doce de ellas no pertenecen al Período Antiguo. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  64. 64. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Tablillas matemáticas 2. Coeficientes. Son listas de constantes y factores necesarios para realizar los cálculos; como la cantidad que relaciona la superficie del círculo y el cuadrado de su longitud, o ésta con el diámetro; constantes necesarias en las conversiones métricas; coeficientes de racionamiento y trabajo humano; factores introducidos en el cálculo de volúmenes, etc. Se reconocen por el sumerograma IGI.GUB, o bien, igigubbûm en la lengua acadia. Se han encontrado 21 coeficientes distintos distribuidos en diez clases de listas, ocho de las cuales pertenecen al período que estudiamos. 3. Tablas. Listas de números recíprocos, cuadrados, cubos, tablas de multiplicar, conversiones métricas (4). UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  65. 65. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Tablillas matemáticas 4. Apuntes escolares. Eran las tablillas en las que los alumnos efectuaban sus operaciones y ensayos; a veces, incluían diagramas y dibujos. 5. Modelos de documentos oficiales. Son las copias de estos realizadas por los estudiantes en las escuelas. Se han descubierto conjuntos de tablillas en las que aparecen series de problemas desarrollando un tema común y con los mismos datos numéricos. También se han hallado catálogos de diferentes materias en una misma tablilla, o en varias, a modo de antología de textos, pero sin incluir la solución. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  66. 66. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Tablillas matemáticas Los problemas tratan asuntos cotidianos muy distintos (5): desde cuestiones geométricas de división y reparto de tierras, hasta construcciones de canales, rampas o fosas; trabajos realizados con ladrillos (6); actividad comercial; intereses acumulados en los préstamos; operaciones de compra-venta; fabricación de clepsidras, distribución de alimentos y salarios, etc. Todos ellos ofrecen escasas posibilidades, pues únicamente contienen los datos y pocas explicaciones: tan sólo una serie de instrucciones o reglas aritméticas que conducen al resultado final. La formalización algebraica, los razonamientos e incluso, muchas veces, la incorporación de una figura, son las herramientas con las que los traductores y editores (7) han intentado arrojar un poco de luz a la oscuridad del texto original. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  67. 67. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Tablillas matemáticas El enunciado, los datos y la pregunta clave del ejercicio se expresan siempre en primera persona; mientras la segunda persona se utiliza para indicar qué operaciones hay que realizar. Muchas veces se ha pensado que los maestros calculadores de este período sólo fueron capaces de resolver cuestiones muy concretas y que sus resultados no alcanzaron el suficiente grado de generalización. También se suele afirmar que sus métodos y razonamientos eran esencialmente algebraicos. Si hubiera sido así, cabe preguntarse qué estrategia o procedimiento emplearon para conseguirlo, pues no disponían de un lenguaje formalizado. ¿Cómo consiguieron entonces resolver lo que nosotros llamamos ecuaciones cuadráticas? UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  68. 68. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Tablillas matemáticas En opinión del investigador danés Jens Høyrup, los babilonios usaron distintos términos para precisar el dominio en el que se efectuaban los cálculos aritméticos y determinar de esta manera el tipo de operación realizada; es decir, no es lo mismo multiplicar un número por un número que multiplicar un número por una magnitud extensa, o que multiplicar dos de estas magnitudes; y los vocablos utilizados son específicos para cada una de estas categorías. Sucede igual con las otras dos operaciones aritméticas: suma y diferencia, pues en esta época, todavía no se efectuaba el cociente entre dos números, sino el producto de un número por el inverso del otro. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  69. 69. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Tablillas matemáticas Esta diversificación semántica alude, cuando menos, a una posible aplicación de procedimientos distintos. Revisando las palabras acadias empleadas con más frecuencia comprobamos que, cuando se trata de la adición de dos magnitudes, unas veces se escribe añadir a y otras acumular; si se quiere realizar un producto, disponemos de varias expresiones: tantos pasos de, levantar, aumentar, sostener y enfrentar una cosa a sí misma; y si necesitamos realizar una sustracción, podemos escoger entre cortar, quitar o exceder. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  70. 70. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Tablillas matemáticas La mayoría de estas locuciones sugiere la práctica de una actividad manual, más allá del simple cálculo numérico. Ahondando un poco más en esta cuestión, comprobamos que tanta variedad terminológica se justifica solamente si asentamos sus raíces en los viejos usos y técnicas de la agrimensura: registro, medición y división de tierras. En una sociedad agrícola, perfectamente organizada, la sabiduría del maestro agrimensor es esencial: adjudicación de fincas a la milicia para premiar los servicios prestados; reparto de una propiedad entre sus herederos; inspección catastral con motivo de la recaudación de impuestos; etc. NBC 7344. Tabla de multiplicar por el número 5. Tamaño real: 4 cm (Yale Babylonian Collection). Se conservan 160 tablillas de este tipo
  71. 71. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Tablillas matemáticas En los apartados siguientes hablaremos de algunos de los procedimientos llevados a cabo para resolver cuestiones sencillas, como extraer raíces cuadradas; calcular números inversos; determinar ecuaciones cuadráticas, etc. Todos estos procedimientos se apoyarían en la composición simultánea de cuadrados y rectángulos. En el Libro II, prop. 6 de los Elementos de Euclides, encontramos el método de promedio y desviación, muy parecido a las construcciones que mostramos aquí. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  72. 72. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia La Técnica de calcular números inversos Los babilonios disponían de tablas con pares de números Inversos (8). Pero en ocasiones, el escriba tropezaba con un número que no estaba incluido en esas listas y cuyo recíproco necesitaba calcular. La Técnica (9) era el método utilizado para este fin. Extracción de raíces cuadradas de números no cuadrados También existían tablas de números con sus respectivos cuadrados. Si el escriba tenía que calcular el lado de un cuadrado no perfecto, recurría al método que después encontraremos en la Métrica I, 8 de Herón de Alejandría (s. I d.C.). UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  73. 73. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Extracción de raíces cuadradas de números no cuadrados Tamaño real de la tablilla: 7 cm de diámetro. Tablilla YBC 7289
  74. 74. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Extracción de raíces cuadradas de números no cuadrados La llamada aproximación de Herón se aplicó asimismo a otros muchos cálculos de raíces de números no cuadrados. Sobre todo, en los ejercicios que trataban de medir la diagonal de una puerta, de la cual se conocían la anchura y la altura. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  75. 75. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Figuras geométricas regulares Los objetos geométricos se determinan por sus elementos: el todo se nombra por la parte: idénticas palabras para describir la circunferencia y el círculo (GUR); el rectángulo y su diagonal (siliptum); el cuadrado y el lado (mithartum). A partir de la noción de circunferencia se conceptualiza la idea de círculo; así, los coeficientes que aparecen en las tablillas aluden a la relación que guardan la longitud y el diámetro, o la superficie y el cuadrado de la longitud; nunca se establece una correspondencia entre el área y el cuadrado del radio. YBC 7302 (medida real: 7 cm
  76. 76. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Figuras geométricas regulares Los triángulos (SAG.DÙ), se conciben a partir de los que tienen forma rectangular, porque forman parte de un rectángulo; dos de aquellos, idénticos, componen uno simétrico (isósceles); y el simétrico puede tener los tres lados iguales (equilátero). La superficies de las figuras planas, triángulos y cuadriláteros, se medirían en función del producto de la anchura por su longitud, o si aquellas eran irregulares, mediante el producto de las medias aritméticas de los lados opuestos (11). Esto indica que aún no disponían de la noción de altura como línea que corta ortogonalmente a una de las bases de la figura y que interviene en el cálculo de las áreas. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA 2012 – 2013
  77. 77. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Figuras geométricas regulares Tenemos “listas de coeficientes” con las constantes que intervienen en el cálculo de algunas figuras planas. Principales coeficientes y relaciones numéricas utilizadas en geometría: A.Círculos B.Semicírculos C.Triángulos D.Trapecios E.Polígonos regulares Semicírculo
  78. 78. HISTORIA DE LA FILOSOFÍA ANTIGUA Y MEDIEVAL GUÍA DEL CURSO 2012 - 2013 Seminario III: Momentos clave de la ciencia antigua A cargo de la profesora Piedad Yuste Las ciencias en las antiguas civilizaciones de Egipto y Mesopotamia Matemáticas en la antigua Babilonia Figuras geométricas regulares Triángulos Entre las notas características de la idea de triángulo, los antiguos babilonios no separaron la noción de ángulo; aunque supieron distinguir entre ángulo correcto (rectangular) y ángulo torcido o equivocado. El área de un triángulo se interpreta como el producto de la mitad de la anchura (o base) por la transversal (o altura): S= 0;30 · b · h

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