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Jornadas2018

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Presentación III Jornadas de Enseñanza de las Ciencias Básicas

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Jornadas2018

  1. 1. Y Euler lo vio: 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐!!! Ms. Ana María Teresa Lucca Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería – UNPSJB www.matematics.wordpress.com II Jornadas de Enseñanza de las Ciencias Básicas de la Patagonia Sur“ 26 de Febrero – 01 de Marzo de 2018
  2. 2. Leonhard Euler (1707-1783) 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐 Fórmula de Euler para poliedros vértices aristas caras
  3. 3. 1570 Sir Henry Billingsley POLYHEDRON
  4. 4. POLIEDRO polys edra muchos asiento – base – cara "muchas caras" Arquímedes
  5. 5. Ejemplos de Poliedros
  6. 6. Ejemplos de Poliedros cubo
  7. 7. Ejemplos de Poliedros pirámide - tetraedro
  8. 8. Ejemplos de Poliedros icosaedro
  9. 9. Ejemplos de Poliedros icosaedro truncado
  10. 10. Definición de Poliedro Usted conoce uno cuando lo ve.
  11. 11. Definición de Poliedro Figura construida a partir de caras poligonales en la que…  cada arista es compartida por exactamente dos caras  desde cada vértice emanan al menos tres aristas
  12. 12. Ejemplos de Poliedros Figura construida a partir de caras poligonales en la que…  cada arista es compartida por exactamente dos caras  desde cada vértice emanan al menos tres aristas
  13. 13. Figura construida a partir de caras poligonales en la que…  cada arista es compartida por exactamente dos caras  desde cada vértice emanan al menos tres aristas Poliedros???
  14. 14. Figura construida a partir de caras poligonales en la que…  cada arista es compartida por exactamente dos caras  desde cada vértice emanan al menos tres aristas Poliedros???
  15. 15. Figura construida a partir de caras poligonales en la que…  cada arista es compartida por exactamente dos caras  desde cada vértice emanan al menos tres aristas Poliedros???
  16. 16. Figura construida a partir de caras poligonales en la que…  cada arista es compartida por exactamente dos caras  desde cada vértice emanan al menos tres aristas Poliedros???
  17. 17. Un poliedro es convexo. Cualesquiera dos puntos en el objeto pueden ser unidos por un segmento de recta que está completamente contenido en el interior.
  18. 18. Ejemplos de Poliedros Figura construida a partir de caras poligonales en la que…  cada arista es compartida por exactamente dos caras  desde cada vértice emanan al menos tres aristas Cualesquiera dos puntos en el objeto pueden ser unidos por un segmento de recta que está completamente contenido en el interior. Convexos
  19. 19. Figura construida a partir de caras poligonales en la que…  cada arista es compartida por exactamente dos caras  desde cada vértice emanan al menos tres aristas Cualesquiera dos puntos en el objeto pueden ser unidos por un segmento de recta que está completamente contenido en el interior. No convexos
  20. 20. Por ahora… y por razones históricas… Poliedros Convexos
  21. 21. ¿Un poliedro es sólido o está hueco?
  22. 22. Hay exactamente cinco poliedros regulares
  23. 23. Hay exactamente cinco poliedros regulares tetraedro
  24. 24. Hay exactamente cinco poliedros regulares octaedro
  25. 25. Hay exactamente cinco poliedros regulares icosaedro
  26. 26. Hay exactamente cinco poliedros regulares cubo
  27. 27. Hay exactamente cinco poliedros regulares dodecaedro
  28. 28. polígonos regulares Un polígono es regular si cada lado tiene la misma longitud y todos los ángulos interiores tienen la misma medida.
  29. 29. Atención… POLÍGONOS REGULARES Hay una infinidad de polígonos regulares. POLIEDROS REGULARES Hay exactamente cinco poliedros regulares.
  30. 30. ¿Cuáles son, exactamente, los criterios para que un poliedro sea regular?
  31. 31. Poliedro regular Un poliedro regular o sólido regular es un poliedro que satisface las siguientes condiciones:  El poliedro es convexo.  Cada cara es un polígono regular.  Todas las caras son congruentes (idénticas).  Cada vértice está rodeado por el mismo número de caras.
  32. 32. Hay exactamente cinco poliedros regulares  El poliedro es convexo.  Cada cara es un polígono regular.  Todas las caras son congruentes.  Cada vértice está rodeado por el mismo número de caras.
  33. 33. Hay exactamente cinco poliedros regulares
  34. 34. 500 a.C. – Padua, Italia
  35. 35. Hay exactamente cinco poliedros regulares
  36. 36. Egipto – Período Ptolemaico
  37. 37. Hay exactamente cinco poliedros regulares
  38. 38. Desarrollo de la teoría de poliedros regulares 1. Construcción de los objetos. 2. Descubrimiento de la noción abstracta de regularidad. 3. Demostrar que sólo hay cinco sólidos regulares.
  39. 39. Los pitagóricos conocían a… Teeteto de Atenas (c. 417–369 a.C.)
  40. 40. Desarrollo de la teoría de poliedros regulares 1. Construcción de los objetos. 2. Descubrimiento de la noción abstracta de regularidad. 3. Demostrar que sólo hay cinco sólidos regulares. Teeteto Libro XIII de los Elementos de Euclides
  41. 41. Renacimiento Europeo – Siglo XV
  42. 42. Leonardo da Vinci • Icosaedro truncado • Dodecaedro pentaquis De divina Proportione (1509) Luca Pacioli
  43. 43. Jacopo de Barbari
  44. 44. Johannes Kepler (1571 – 1630) Misterio Cósmico 1596 Saturno Júpiter Marte Venus Mercurio Tierra
  45. 45. Siglo XVIII
  46. 46. 14 de Noviembre de 1750 Matemático descubre arista de poliedro! Christian Goldbach (1690 – 1764) … las coyunturas donde dos caras se unen a lo largo de sus lados, que, a falta de un término aceptado, llamo 'aristas'
  47. 47. 1750 HASTA ENTONCES…  Teoría de poliedros puramente geométrica  Centrada en propiedades métricas AHORA…  CLASIFICAR los poliedros CONTANDO sus CARACTERÍSTICAS estereometría
  48. 48. Para polígonos…
  49. 49. Para poliedros ? ocho caras
  50. 50. Euler - 1750 La superficie de un poliedro se conforma de componentes de 0, 1 y 2 dimensiones. vértices aristas caras ángulos sólidos acies edra 1794 Adrien-Marie Legendre
  51. 51. vértices – aristas – caras 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
  52. 52. Euler … 1750 – 1751 1758 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐 No he sido capaz de encontrar una demostración firme de este teorema. 1
  53. 53. Euler … 1750 – 1751 1758 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐 2 Poliedros Convexos
  54. 54. Legendre - 1794 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐 geometría esférica
  55. 55. Cauchy - 1813 Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐 Poliedros Huecos
  56. 56. grafo
  57. 57. Consecuencia… Poliedro No Convexo 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 2
  58. 58. Los poliedros convexos satisfacen 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 2. Pero hay más poliedros que la satisfacen. Johann F. C. Hessel (1796–1872) Poliedros eulerianos
  59. 59. Lhuilier – 1813 “excepciones” 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 3 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 0 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 4
  60. 60. Hessel – 1832 “excepciones” 5 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 3 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 3
  61. 61. Staudt – 1847 Karl G. C. von Staudt (1798–1867) 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
  62. 62. 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
  63. 63. 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
  64. 64. TOPOLOGÍA
  65. 65. Topológicamente son lo mismo 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
  66. 66. Particionamos la superficie 62 vértices 132 aristas 72 caras 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 2 𝜒(𝑆) número de Euler de 𝑺 característica de Euler de 𝑺
  67. 67. 1924 Es posible particionar cada superficie en vértices, aristas y caras. 1943 El número de Euler es independiente de la elección de la partición.
  68. 68. Lhuilier – 1813 “excepciones” 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 0 toro 𝜒 toro = 8 − 16 + 8 = 0
  69. 69. Botella de Klein 𝜒 botella de Klein = 0
  70. 70. matemática griega matemática del siglo XX Euler lo vio: 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐!!!
  71. 71. II Jornadas de Enseñanza de las Ciencias Básicas de la Patagonia Sur" Ms. Ana María Teresa Lucca

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