Mécanique des
Milieux Continus
Golay Frédéric - Bonelli Stéphane
01/02/2011
ISITV

MMC
Golay - Bonelli -2-

Ce cours de mécanique des milieux continus est à la base de l’enseignement de mécanique à l’ISITV. Les
notions abordées ici, transport de champs, lois de conservation, ..., seront reprises ultérieurement en
mécanique des solides et mécanique des fluides. Dans une première partie, nous aborderons les notations
tensorielles et vectorielles indispensables à toute étude scientifique, puis dans une deuxième partie, nous
étudierons la cinématique des milieux continus. Après avoir introduit la modélisation des efforts et les lois de
conservation par le principe des puissances virtuelles, nous appliquerons ces lois de conservation aux lois de
comportement de l’élasticité linéaire (en mécanique des solides) et aux lois de comportement des fluides
newtoniens (en mécanique des fluides).
-3- Golay - Bonelli

MMC
Golay - Bonelli -4-

Sommaire
TABLE DES MATIERES
Notations tensorielles ....................................................................................................... 9
1 Vecteurs et tenseurs ............................................................................................... 9
1.1 Notations ............................................................................................................................................... 9
1.2 Changement de repère ........................................................................................................................ 12
2 Permutations et déterminants............................................................................... 14
2.1 Les symboles de permutation .............................................................................................................. 14
2.2 Déterminant d’une matrice ................................................................................................................. 14
2.3 Polynôme caractéristique .................................................................................................................... 15
2.4 Adjoint d’un tenseur antisymétrique ................................................................................................... 15
3 Calcul vectoriel et analyse vectorielle .................................................................... 16
3.1 Calcul vectoriel ..................................................................................................................................... 16
3.2 Analyse vectorielle ............................................................................................................................... 16
3.3 Transformation d’intégrales ................................................................................................................ 17
4 Formules essentielles en Mécanique des Milieux Continus .................................... 18
4.1 Coordonnées cartésiennes orthonormées .......................................................................................... 18
4.2 Coordonnées cylindriques ................................................................................................................... 19
4.3 Coordonnées sphériques ..................................................................................................................... 20
4.4 Comment retrouver les formules ........................................................................................................ 21
5 A retenir ............................................................................................................... 23
CINEMATIQUE ................................................................................................................. 25
1 Le mouvement et ses représentations ................................................................... 25
1.1 Configuration ....................................................................................................................................... 25
1.2 Variables de Lagrange et variables d’Euler .......................................................................................... 26
1.3 Dérivées particulaires .......................................................................................................................... 26
2 Déformation d’un milieux continu ......................................................................... 27
2.1 Notion de déformation ........................................................................................................................ 27
2.2 Tenseur des déformations ................................................................................................................... 28
2.3 Conditions de compatibilité ................................................................................................................. 30
3 Transport, dérivées particulaires ........................................................................... 30
3.1 Transport d’un volume ........................................................................................................................ 30
3.2 Transport d’une surface orientée ........................................................................................................ 31
3.3 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume .................................................................................. 32
3.4 Dérivée particulaire d’une intégrale de surface .................................................................................. 33
4 A retenir ............................................................................................................... 35
EFFORTS DANS LES MILIEUX CONTINUS ........................................................................... 37
-5- Golay - Bonelli

MMC
1 Définitions ............................................................................................................ 37
1.1 Forces ................................................................................................................................................... 37
1.2 Vecteur-contrainte et tenseur des contraintes .................................................................................... 37
2 Equilibre ............................................................................................................... 39
2.1 Le Principe des Puissances Virtuelles (Germain 1972) ......................................................................... 39
2.2 Puissance virtuelle des efforts intérieurs ............................................................................................. 39
2.3 Puissance virtuelle des efforts extérieurs ............................................................................................ 40
2.4 Application du Principe des Puissances Virtuelles ............................................................................... 40
2.5 Equilibre ............................................................................................................................................... 41
2.6 Autre présentation: Principe fondamental de la dynamique............................................................... 42
3 Quelques propriétés du tenseur des contraintes ................................................... 43
3.1 Symétrie du tenseur des contraintes ................................................................................................... 43
3.2 Contrainte normale et contrainte tangentielle .................................................................................... 44
3.3 Directions principales, contraintes principales .................................................................................... 44
3.4 Invariants .............................................................................................................................................. 44
3.5 Cercles de Mohr ................................................................................................................................... 44
4 Exemples de tenseur des contraintes .................................................................... 47
4.1 Tenseur uniaxial ................................................................................................................................... 47
4.2 Tenseur sphérique................................................................................................................................ 47
5 A retenir ............................................................................................................... 48
ELASTICITE ...................................................................................................................... 49
1 Approche expérimentale: essai de traction............................................................ 49
2 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP) .................................................. 50
2.1 Forme générale .................................................................................................................................... 50
2.2 Matériau élastique homogène isotrope............................................................................................... 50
2.3 Matériau élastique homogène orthotrope .......................................................................................... 50
2.4 Matériau élastique homogène isotrope transverse ............................................................................. 51
2.5 Caractéristiques de quelques matériaux .............................................................................................. 51
2.6 Critères de limite d’élasticité ............................................................................................................... 52
3 Le problème d’élasticité ........................................................................................ 53
3.1 Ecriture générale .................................................................................................................................. 53
3.2 Formulation en déplacement ............................................................................................................... 53
3.3 Formulation en contrainte ................................................................................................................... 53
3.4 Théorème de superposition ................................................................................................................. 53
3.5 Elasticité plane ..................................................................................................................................... 54
3.6 Thermoélasticité .................................................................................................................................. 55
4 A retenir ............................................................................................................... 58
INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES FLUIDES............................................................... 59
1 Loi de comportement ............................................................................................ 59
1.1 Fluide Newtonien ................................................................................................................................. 59
1.2 Fluide incompressible........................................................................................................................... 60
1.3 Fluide non-visqueux ............................................................................................................................. 60
1.4 Fluide au repos ..................................................................................................................................... 60
Golay - Bonelli -6-

Sommaire
2 Conservation de la masse ...................................................................................... 60
3 Equation du mouvement ....................................................................................... 61
4 A retenir ............................................................................................................... 62
Bibliographie ................................................................................................................... 63
Annexes: Rappels de mécaniques des solides rigides ....................................................... 65
1 Cinématiques du solide ......................................................................................... 65
1.1 Description du mouvement ................................................................................................................. 65
1.2 Composition des mouvements ............................................................................................................ 66
2 Cinétique .............................................................................................................. 68
2.1 Définitions ............................................................................................................................................ 68
2.2 Eléments de cinétique ......................................................................................................................... 68
2.3 Cinétique du solide rigide .................................................................................................................... 69
3 Equations fondamentales de la mécanique des solides .......................................... 72
3.1 Torseur associé aux efforts externes ................................................................................................... 72
3.2 Loi fondamentale de la dynamique ..................................................................................................... 72
-7- Golay - Bonelli

MMC
Golay - Bonelli -8-

Notations tensorielles
NOTATIONS TENSORIELLES
1 Vecteurs et tenseurs
Avertissement: L’objectif de ce chapitre, est de familiariser les étudiants avec les notations tensorielles. Afin
d’en simplifier le contenu, nous ne considérerons que des bases orthonormées.
1.1 Notations
1.1.1 Vecteur
Dans un espace euclidien ξ à trois dimensions, soit e1, e2 , e3 une base orthonormée. Un vecteur V est
représenté par ses composantes V1 , V2 , V3
3
V = V1e1 +V2e2 +V3e3 = ∑Viei
i =1 (1.1)
En utilisant la convention de sommation, ou convention d’Einstein, on écrit
V = Viei
(1.2)
où, chaque fois qu’un indice est répété, il convient de faire varier cet indice de 1 à 3 et de faire la somme. Dans
l’expression (2) l’indice i est un "indice muet".
En notation matricielle on écrira parfois

 

 
V 
 
 1

{}

 

 
V = V = V 



 2






(1.3)
 
V 
 
 3


 

et le vecteur transposé
{}
T
T
V = V = V = V1 V2 V3
(1.4)
1.1.2 Application linéaire de ξ dans ξ
Soit A une application linéaire, dans la base e1, e2 , e3 . Cette application est représentée par une matrice 3x3
notée A :
 
A A A 
 11 12 13 
A A A 
 21 22 23 
 
 A31 A32 A33 

Si W est un vecteur tel que W = AV , alors les composantes de W sont données par
W1 = A11V1 + A12V2 + A13V3
W2 = A21V1 + A22V2 + A23V3
W3 = A31V1 + A32V2 + A33V3
et en utilisant les conventions de sommation où j est un indice muet
-9- Golay - Bonelli

MMC
Wi = AijVj
(1.5)
et en notation vectorielle
{W } = A {V }
On définit les symboles de Kronecker par
1
 si i=j
δij = 

0
 si i≠j (1.6)


En particulier l’application identité 1 est représentée par la matrice
δ13  1 0 0
 

δ
 11

δ12
δ23  = 0 1 0
 

δ δ22
 21

   

δ
 31 δ32 δ33  0 0 1
   
La composition de deux applications linéaires se traduit par le produit de leur matrice représentative, c’est-à-
dire
C =A B ou encore C  = A B 
     
et en notation indicielle
C ij = Aik Bkj
(1.7)
1.1.3 Formes bilinéaires
Soit A une forme bilinéaire sur ξ , c’est-à-dire une application bilinéaire de ξ × ξ dans ℝ . Dans la base
e1, e2 , e3 elle est représentée par une matrice Aij telle que
( )
A V ,W = AijVWj
i (1.8)
ou en notation matricielle
( )
A V ,W = V A {W }
 
En particulier, la forme bilinéaire représentée dans toute base par les symboles de Kronecker est le produit
scalaire. Si ( e1, e2 , e3 ) est une base orthonormée, alors
ei ⋅ e j = δij
et le produit scalaire de deux vecteurs est donné par
V ⋅W = Viei ⋅Wje j = VWj ei ⋅ e j = δijVWj = VWi
i i i
ou en notation matricielle
V ⋅W = V {W }
1.1.4 Tenseurs
1.1.4.1 Tenseur du second ordre
Un tenseur du second ordre T est un opérateur linéaire qui fait correspondre à tout vecteur V de l’espace
euclidien un vecteur W de ce même espace.
Golay - Bonelli - 10 -

Notations tensorielles
W =T V ()
 
Cet opérateur peut être représenté par une matrice 3x3, notée T  ou T  ou T , telle que
   
Wi = TijVj
ou en notation matricielle
{W } = T  {V }
ou
W = TV
* Un tenseur est dit symétrique si Tij = Tji
* Un tenseur est dit antisymétrique si Tij = − ji
T
* Un tenseur est dit isotrope si Tij = t δij
* On peut toujours décomposer un tenseur en une partie symétrique et antisymétrique
S A
T = T +T Tij = TijS + TijA
ou
1 1
TijS = (
T + Tji
2 ij
)
TijA = Tij −Tji
2
( )
avec et
1.1.4.2 Tenseur d’ordre supérieur
On peut définir un vecteur V par ses composantes Vi , ou par les coefficients de la forme linéaire
X → X ⋅V = XiVi , car la base choisie est orthonormée (voir les notions de vecteurs covariants et
contravariants).
On peut alors considérer le vecteur comme un tenseur du premier ordre.
De même, une fonction scalaire peut être considérée comme un tenseur d’ordre zéro.
Un tenseur du troisième ordre S est un opérateur linéaire qui, à tout vecteur Z fait correspondre un tenseur
du second ordre T .
T = S (Z ) ou encore Tij = Sijk Z k
1.1.4.3 Produit tensoriel
On définit le produit tensoriel du vecteur U par le vecteur V , noté U ⊗ V , comme le tenseur d’ordre deux,
(
défini par la forme bilinéaire qui aux vecteurs X et Y fait correspondre U ⋅ X V ⋅Y )( )
Les 9 produits tensoriels ei ⊗ e j définissent une base de l’espace vectoriel des tenseurs d’ordre deux, si bien
que l’on peut écrire un tenseur T comme
T = Tijei ⊗ e j
ou encore, par exemple,
- 11 - Golay - Bonelli

MMC
 

uv 1 1

u1v2 u1v3 
 
u ⊗ v = ui v jei ⊗ e j = u v


 2 1
u2v2 u2v3 
 
uv u3v2 u3v3 
 3 1
 
1.1.4.4 Contraction et produit contracté
Soit le produit tensoriel A ⊗ B ⊗ C , on appelle contraction, l’opération qui lui fait correspondre le vecteur
A(B ⋅ C ) . Le produit contracté d’un tenseur d’ordre 4 R et d’un tenseur d’ordre 3 S est défini par le tenseur
d’ordre 5
( )( )
R ⋅ S = Rijklei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ el ⋅ S pqrep ⊗ eq ⊗ er = Rijkm Smqrei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ eq ⊗ er
Le produit doublement contracté d’un tenseur d’ordre 4 R et d’un tenseur d’ordre 3 S est défini par le
tenseur d’ordre 3
( )( )
R : S = Rijklei ⊗ e j ⊗ ek ⊗ el : S pqrep ⊗ eq ⊗ er = Rijnm Smnrei ⊗ e j ⊗ er
Par exemple, le produit doublement contracté de deux tenseurs d’ordre 2 T et T ′ est le scalaire
( )( )
T : T ′ = Tijei ⊗ e j : T ′ pqep ⊗ ea = TijTji′
1.2 Changement de repère
1.2.1 Matrice de passage
Soit e1, e2 , e3 une base orthonormée et e1′, e2 , e3 une autre base orthonormée.
′ ′
On définit la matrice de passage Q telle que:
e1′ = Q11e1 + Q12e2 + Q13e3
e2′ = Q21e1 + Q22e2 + Q23e3
′
e3 = Q31e1 + Q32e2 + Q33e3
ou encore, en notations indicielles
ei′ = Qije j
et en notation matricielle
{e ′} = Q  {e }
Les deux bases étant orthonormées, on doit avoir
δij = ei′ ⋅ e j′ = Qikek ⋅ Qjlel = QikQjl δkl = QikQjk
ce qui montre que la matrice inverse de Q est QT . En particulier on tire la relation inverse:
ei = Qjie j′
1.2.2 Vecteurs
Soit V un vecteur de composantes Vi dans la base e1, e2 , e3 et Vi ′ dans la base e1′, e2 , e3 .
′ ′
V = Viei = Viei′
′
Golay - Bonelli - 12 -

Notations tensorielles
En utilisant la matrice de passage
V = Viei = VQkiek
i
soit
Vk′ = VQki
i
et i
′
Vk = VQik
ou encore, en notation matricielle
{V ′} = Q  {V } {V } = Q  {V ′}
T
et
Remarque: le produit scalaire est un invariant, c’est à dire que cette fonction est indépendante du repère
choisi.
En notation indicielle
V ′. ′ = VkWk′ = VQkiWjQkj = δijVWj = VWi = V .
W ′ i i i
W
et en notation matricielle
{ }
 
{} { }
T
V ′. ′ = V ′ W ′ =  Q  V 
W   

Q  W
 
 
Q  Q  W = V
T
= V    
    { } {W } = V .W
1.2.3 Application linéaire
′
Soit A une application linéaire, de composantes Aij dans la base e1, e2 , e3 . et Aij dans la base e1′, e2 , e3 .
′ ′
En notation indicielle
Wi ′ = AikVk′ = QijWj = Qij AjmVm = Qij AjmQkmVk′
′
d’où
′
Aik = Qij AjmQkm
et en notation matricielle
{W ′} = A′ {V ′} = Q  {W } = Q  A {V } = Q  A Q  {V }
T
soit
A′ = Q  A Q 
T
       
1.2.4 Forme bilinéaire
′
Soit A une application linéaire, de composantes Aij dans la base e1, e2 , e3 . et Aij dans la base e1′, e2 , e3 .
′ ′
A(V ,W ) = AijVWj = AijVWj′ = AijQkiVk′ mjWm
i
′ i′ Q ′
soit
′
Akm = AijQkiQmj
et en notation matricielle
{ }
A(V ,W ) = V A W = V ′ A′  W ′ =
    { }
 
{ }
{ } { }
T
 Q  V ′  A Q  W ′ = V ′ Q  A Q  W ′
T T T
     
    
 
- 13 - Golay - Bonelli

MMC
soit
A′ = Q  A Q 
T
       
1.2.5 Tenseur d’ordre 2
Soit T un tenseur d’ordre 2, en notation indicielle
T = Tijei ⊗ e j = Tij′ei′ ⊗ e j′ = TijQkiek′ ⊗ Qmjem = TijQkiQmjek′ ⊗ em
′ ′
puis
′
Tkm = TijQkiQmj
2 Permutations et déterminants
2.1 Les symboles de permutation
On introduit les symboles de permutation
+1 si i, j , k est une permutation paire de 1, 2, 3



εijk = −1 si i, j , k est une permutation impaire de 1, 2, 3


0

 si deux indices sont répétés

Ces symboles représentent le produit mixte des vecteurs de base
(
εijk = ei , e j , ek )
εijk sont les composantes d’un tenseur du troisième ordre, qui représente, par exemple, la forme trilinéaire
produit mixte:
(U ,V ,W ) = ε ijk
U iVjWk
Avec un peu de patience on peut démontrer les résultats suivants

 


δim δin 

  δil

 
εijk εlmn = Det  δjl δjm δjn 


  



δ δkm δkn 



 kl
 
 ε ε = δ δ −δ δ



ijk imn jm kn jn km

 εijk εijn = 2δkm


 εijk εijk = 6


2.2 Déterminant d’une matrice
Les symboles de permutation permettent le calcul du déterminant d’une matrice par
εijk Det(A) = εmnp Aim Ajn Akp
(1.9)
ou encore
1
Det(A) = ε ε A A A
6 ijk mnp im jn kp
On peut également déterminer l’inverse d’une matrice
Golay - Bonelli - 14 -

Notations tensorielles
1
B = A−1 et Bji = ε ε A A
2Det(A) imn jpq mp nq
2.3 Polynôme caractéristique
Les valeurs propres d’un tenseur du second ordre sont obtenues par la résolution de l’équation caractéristique
P (λ ) = Det (A − λI )
soit en développant
1
ε ε (A − λδim )(Ajn − λδjn )(Akp − λδkp ) = 0
6 ijk mnp im
ou encore
P (λ ) = I 3 − λI 2 + λ 2 I 1 − λ 3
avec

 1

 I 3 = εijk εmnp Aim Ajn Akp = Det(A)

 6


I = A A − A A  = 1 (Tr A)2 − Tr A2 
 2
1 
 









 



2  ii jj

ij ji 
2 


 I1 =Aii =Tr A





I 1, I 2 , I 3 sont appelés les invariants fondamentaux du tenseur A.
2.4 Adjoint d’un tenseur antisymétrique
Soit un tenseur antisymétrique
 0 − 31 
 12
−
=  12 0 
23 
 
 31 − 23 0 

on peut également lui associer le vecteur

 
 
 


ω1  















23 



 
 

ω = ω2  = 












31 



 
 


ω3  












12 

 
 
 

soit
 0 ω3 −ω2 

= −ω3 0 ω1 
 
 ω2 −ω1 0 

Le vecteur ω est le vecteur adjoint du tenseur antisymétrique . En notation indicielle on a:





 ij
= εijk ωk






ωi = 1 εijk jk
2

 (1.10)
- 15 - Golay - Bonelli

MMC
3 Calcul vectoriel et analyse vectorielle
3.1 Calcul vectoriel
Le produit vectoriel
c = a ∧b
s’écrit en notation indicielle
ciei = εijk a jbkei
On peut montrer que
(a ∧ b) ∧ c = (a ⋅ c)b − (b ⋅ c)a
(a ∧ b) ⋅ (c ∧ d ) = (a ⋅ c)(b ⋅ d ) − (a ⋅ d )(b ⋅ c)
3.2 Analyse vectorielle
On note d’une virgule la dérivée partielle, soit , i = ∂ . Les opérateurs exposés dans cette partie seront
∂x i
exprimés dans un repère cartésien orthonormé.
* Soit f une fonction scalaire
Le gradient d’une fonction scalaire est un vecteur
 ∂f 
 

 
 ∂x 
 1 

 ∂f 

 
grad f = ∇f = f,i ei = 
 

 ∂x 
 2

 ∂f 


 
 ∂x 
 3 

 

Le laplacien d’une fonction scalaire est un scalaire
∂2 f ∂2 f ∂2 f
∆ f = f,ii = + +
∂x 1
2
∂x 2
2
∂x 3
2
* Soit v un vecteur
La divergence d’un vecteur est un scalaire
∂v1 ∂v2 ∂v3
Div v = vi,i = + +
∂x 1 ∂x 2 ∂x 3
Le rotationnel d’un vecteur est un vecteur
 ∂v
 3 ∂v 2  

 
 ∂x − ∂x 
 2 


 ∂v
3
 1 ∂v 3  
rot v = ∇ ∧ v = εijk vk , j ei = 
 − 

 ∂x
 3 ∂x 1 


 ∂v 
 2 ∂v1 

 − 
 ∂x 1 ∂x 2 
 

 
Le gradient d’un vecteur est une matrice
Golay - Bonelli - 16 -

Notations tensorielles
 ∂v ∂v1 ∂v1 
 1
 ∂x ∂x 2 ∂x 3 
 1
 ∂v ∂v2 ∂v2 
∇ v = vi, j ei ⊗ e j =  2 
 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 
 ∂v ∂v 3 ∂v 3 
 3
 
 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 
Le laplacien d’un vecteur est un vecteur
 2
 

 ∂ v1 + ∂ v1 + ∂ v1 
2 2

 2 
2 
 ∂x 1
 ∂x 22
∂x 3   
 △v 
 2
   

 ∂ v2
 ∂ v2
2
∂ v2   1 
2
 = △v 
∆ v = vi, jj ei =  2 + +   2
 ∂x
 1 ∂x 22
∂x 3   
2 
 2
  △v 
  
 
 ∂ v3
 ∂ 2v 3 ∂ 2v 3   3 

 2 +
 ∂x
+ 
 1

 ∂x 22
∂x 3 
2



* Soit T un tenseur du second ordre
La divergence d’un tenseur est un vecteur
 ∂T
 11 ∂T12 ∂T13 


 + + 

 ∂x
 1 ∂x 2 ∂x 3 


 ∂T 
 21 ∂T22
 ∂T23 


Div T = Tij , j ei =  + + 
 ∂x
 1 ∂x 2 ∂x 3 


 ∂T 
 31 ∂T32 ∂T33 


 + + 

 ∂x 1
 ∂x 2 ∂x 3 

 
* Quelques formules utiles
( )
Div f a = f Div a + a ⋅ grad f
Div (a ∧ b ) = b ⋅ rot a − a ⋅ rot b
Div (rot a ) = 0
rot (grad f ) = 0
( )
grad f g = f grad g + g grad f
( )
rot f a = f rot a + grad f ∧ a
( )
Div grad f = ∆ f
rot (rot a ) = grad (Div a ) − ∆a
3.3 Transformation d’intégrales
Soit un domaine borné et ∂ sa frontière, de normale n .
Soit φ une fonction scalaire, alors
∫∫∂ φ n dS = ∫∫∫ grad φ dV
Soit A un vecteur, alors
∫∫∂ A ⋅ n dS = ∫∫∫ Div(A) dV
- 17 - Golay - Bonelli

MMC
Soit T un tenseur, alors
∫∫∂ T ⋅ n dS = ∫∫∫ Div(T ) dV
Soit ∂ un domaine plan de normale n , de frontière Γ . Soit U un vecteur défini sur ce domaine. Si τ est le
vecteur unitaire tangent à Γ , alors
∫∫∂ rot(U ) ⋅ n dS = ∫ΓU ⋅ τ dl
Tous ces résultats sont issus du théorème de la divergence
∫∫∂ t jkl nl dS = ∫∫∫ t jkl ,l dV
4 Formules essentielles en Mécanique des Milieux Continus
4.1 Coordonnées cartésiennes orthonormées
OM = xex + yey + zez
* Soit v = vxex + vyey + vzez un vecteur, alors
 ∂v ∂vx ∂vx 
 x
 ∂x ∂y ∂z 

∂vi  ∂v ∂vy ∂vy 
∇(v ) = ∇v = ei ⊗ e j = vi, j ei ⊗ e j =  
y
∂x j  ∂x ∂y ∂z 
 ∂v ∂vz ∂vz 
 z
 ∂x ∂y ∂z 
 
et
∂vy
divv =
∂vi
∂x i
( )
= vi,i = Tr grad(v) = ∇v : I =
∂vx
∂x
+
∂y
+
∂vz
∂z
( )
∆v = div ∇(v ) =
∂2vi
∂x j ∂x j
ei = vi, jj ei = ∆vxex + ∆vyey + ∆vzez
* Soit f une fonction scalaire, alors
 ∂f 
 
 ∂x 
 ∂f 
∂f
grad ( f ) = ∇f = ei = f,i ei =  ∂y 
 
∂x i  ∂f 
 
 ∂z 
 
 
 
et
(
∆f = div grad (f ) = ) ∂2 f
∂x j ∂x j
= f, jj =
∂2 f ∂2 f ∂2 f
+ 2 + 2
∂x 2 ∂y ∂z
 

T  xx

Txy Txz 
 
* Soit T = Tij ei ⊗ e j = T 
 yx

Tyy Tyz  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:
 
T  Tzy Tzz 
 zx
 
Golay - Bonelli - 18 -

Notations tensorielles
 ∂T
 ∂Txy ∂Txz 

 xx
 

 + + 
 ∂x
 ∂y ∂z 
∂Tij  ∂T
 yx ∂Tyy ∂Tyz 

div(T ) = ei = Tij , j 
ei =  + + 

∂x j  ∂x
 ∂y ∂z 

 ∂T 
 zx ∂Tzy ∂Tzz 


 ∂x + ∂y + ∂z  

 

 
et
 ∆T ∆Txy ∆Txz 
∂ 2Tij  xx
∆T = ei ⊗ e j = Tij ,kk ei ⊗ e j = ∆Tyx ∆Tyy ∆Tyz 
∂x k ∂x k  ∆T
 ∆Tzy ∆Tzz 
zx 
4.2 Coordonnées cylindriques
∂OM 1 ∂OM ∂OM
OM = rer + zez et = er , = eθ , = ez
∂r r ∂θ ∂z
d(OM ) = erdr + rd θeθ + ez dz
∂er ∂eθ ∂ez
=0 , =0 , =0
∂r ∂r ∂r
∂er ∂eθ ∂ez
= eθ , = −er , =0
∂θ ∂θ ∂θ
∂er ∂eθ ∂ez
=0 , =0 , =0
∂z ∂z ∂z
* Soit v = vrer + vθeθ + vzez un vecteur, alors
 ∂v   
 r 1  ∂vr − v  ∂vr 
 
 
 ∂r r  ∂θ

 θ  ∂z 


  ∂v  ∂v 
 ∂v 1 θ +v  
grad (v ) = ∇v =  θ 
 r
θ

 ∂r r  ∂θ 
 ∂z 
   
 ∂v ∂vz 
 z 1 ∂v z 
 ∂r r ∂θ ∂z 
 
et
( )
div v = Tr ∇(v ) = ∇v : I =
vr
r
+
∂vr
∂r
+
1 ∂vθ
r ∂θ
∂v
+ z
∂z
 2 ∂vθ vr   
( )


∆v = div ∇v = ∆vr − 2

 r ∂θ

 

2 ∂v v 

− 2 er + ∆vθ + 2 r − θ eθ + ∆vzez
r 
 

2
r ∂θ r  
* Soit f une fonction scalaire, alors
∂f 1 ∂f ∂f
grad( f ) = ∇f = er + eθ + e
∂r r ∂θ ∂z z
et
∂2 f 1 ∂f 1 ∂2 f ∂2 f
∆f = div (∇f ) = + + 2 + 2
∂r 2
r ∂r r ∂θ 2
∂z
- 19 - Golay - Bonelli

MMC
 

T
 rr

Tr θ Trz 
 
* Soit T = T


 θr
Tθθ Tθz  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:
 

T Tz θ Tzz 
 zr
 
 ∂T
 rr 1 ∂Tr θ ∂Trz Trr − Tθθ 


 + + + 

 ∂r
 r ∂θ ∂z r 

 ∂T
 2Tr θ 

 1 ∂Tθθ ∂Tθz 
div(T ) =  θr
+ + + 
 ∂r
 r ∂θ ∂z r 

 ∂T
 1 ∂Tz θ ∂Tzz Tzr  


zr
+ + + 


 ∂r r ∂θ ∂z r 

 
4.3 Coordonnées sphériques
∂OM 1 ∂OM 1 ∂OM
OM = rer et = er , = eθ , = eφ
∂r r ∂θ rsin θ ∂φ
d(OM ) = erdr + rd θeθ + rsin θ d φ eφ
∂ er ∂eθ ∂ eφ
=0 , =0 , =0
∂r ∂r ∂r
∂er ∂eθ ∂ eφ
= eθ , = −er , =0
∂θ ∂θ ∂θ
∂er ∂eθ ∂eφ
= sin θeφ , = cos θeφ , = sin θer − cos θeθ
∂φ ∂φ ∂φ
Soit v = vrer + vθeθ + vφeφ un vecteur, alors
 
     

 ∂vr 1  ∂vr






 1 1 ∂vr













 − vθ 






 − vφ 







 ∂r r ∂θ







 sin θ ∂φ

r








   
     
 
 ∂v θ 1  ∂vθ






 1  1 ∂v θ






 
grad (v ) = ∇v = 




 + vr 






 − cotg θvφ 








 ∂r r  ∂θ







 r  sin θ ∂φ










   
  
1 ∂vφ 1  1 ∂v φ
  
 
 ∂vφ 











+ cotg θvθ + v 


r 

 ∂r r ∂θ r  sin θ ∂φ








 

et
∂vr vr 1 ∂vθ 1 ∂vφ v
divv = ∇v : I = +2 + + cot g θ θ
∂r r r ∂θ r sin θ ∂φ r

  

∆v − 2 v + 1
∂(sin θvθ ) 1 ∂vφ 

 r 
 r + 


 r2 

 sin θ ∂θ sin θ ∂φ 




   
 ∆v + 2  ∂vr − vθ − cos θ ∂vφ  
( )
∆v = div ∇(v ) = 


θ


r 2  ∂θ

 2 sin2 θ sin2 θ ∂φ  
 
 
 
 


 2  r  ∂v ∂vθ 
vφ  

 ∆vφ +  
  + cotg θ − 

 r 2 sin θ  ∂φ

 
∂φ 2 sin θ  


 

Golay - Bonelli - 20 -

Notations tensorielles
* Soit f une fonction scalaire, alors

 ∂f 


 


 ∂r 
 1 ∂f 
 

grad (f ) = 
 

 r ∂θ 

 1 ∂f 
 


 r sin θ ∂φ 



 


et
(
∆f = div grad( f ) = ) ∂2 f
∂r 2
+
2 ∂2 f 1
+ 2 cotg θ
r ∂θ 2 r
∂f 1
+ 2 2
∂2 f
∂θ r sin θ ∂φ2
 

T rr

Tr θ Tr φ 
 
* Soit T = T
 θr Tθθ Tθφ  un tenseur symétrique du deuxième ordre, alors:
 
 
T
 φr Tφθ Tφφ 
 

 


 ∂Trr ∂Tr θ ∂Tr φ 

( )
 





+1 + 1 + 1 2Trr − Tθθ − Tφφ + Tr θ cot g θ 








∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r 



 

 ∂Tθr ∂Tθθ ∂Tθφ 

( )
 
+1 + 1 + 1 (Tθθ − Tφφ )cotg θ + 3Tr θ
 
div(T ) = 









∂r r ∂θ r sin θ ∂φ r 




 


 ∂Tφr ∂Tφθ ∂Tφφ 








 ∂r
+1
r ∂θ
+ 1
r sin θ ∂φ
+ 1 2Tθφcotg θ + 3Tr φ
r
( ) 









 


4.4 Comment retrouver les formules
Nous nous plaçons par exemple en coordonnées cylindriques. On note
v = vrer + vθeθ + vzez = viei avec i = r , θ, z et , i = ∂ , 1 ∂ , ∂
∂r r ∂θ ∂z
Donc, avec cette convention
eθ er
er ,θ = et eθ,θ = −
r r
Chercher le gradient d’un tenseur consiste à augmenter l’ordre de ce tenseur, soit
∇(∗∗) = (∗∗), j ⊗ e j
Si on applique cette remarque à un vecteur, on obtient:
∇(v ) = (viei ), j ⊗ e j
En n’oubliant pas de dériver les vecteurs de base, car nous sommes dans un système de coordonnées
cylindrique,
∇v = vi, j ei ⊗ e j + vi ei, j ⊗ e j = vi, j ei ⊗ e j + vi ei,θ ⊗ eθ
= vi, j ei ⊗ e j + vr er ,θ ⊗ eθ + vθ eθ,θ ⊗ eθ
vr vθ
= vi, j ei ⊗ e j + eθ ⊗ eθ − er ⊗ eθ
r r
Pour obtenir l’opérateur divergence, il suffit de contracter doublement avec le tenseur unité d’ordre 2,
div(∗∗) = ∇(∗∗) : 1
soit dans le cas d’un vecteur:
- 21 - Golay - Bonelli

MMC
vr vr ∂vr 1 ∂vθ ∂v
div(v ) = ∇(v ) : 1 = vi,i + = + + + z
r r ∂r r ∂θ ∂z
et donc l’opérateur Laplacien pour un scalaire
ϕ,r ∂ 2ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
∆ϕ = div (∇ϕ) = ϕ,ii + = + + 2 + 2
r ∂r 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂z
Appliquons maintenant cette méthodologie à un tenseur d’ordre 2.
∇(T ) = (T e ij i
⊗ ej )
,k
⊗ ek
= Tij ,k ei ⊗ e j ⊗ ek + Tij ei,k ⊗ e j ⊗ ek + Tij ei ⊗ e j ,k ⊗ ek
= Tij ,k ei ⊗ e j ⊗ ek + Tij ei,θ ⊗ e j ⊗ eθ + Tij ei ⊗ e j ,θ ⊗ eθ
Trj Tθ j
= Tij ,k ei ⊗ e j ⊗ ek + eθ ⊗ e j ⊗ eθ − e ⊗ e j ⊗ eθ
r r r
T T
+ ir ei ⊗ eθ ⊗ eθ − iθ ei ⊗ er ⊗ eθ
r r
Pour obtenir la trace de ce tenseur d’ordre 3 on contracte les deux derniers indices:
  Tr θ Tθθ Tir
 
div T  = ∇(T ) : 1 = Tij , j ei + eθ − e er +
 
  r r r i
 ∂T 1 ∂Tr θ ∂Trz Tθθ Trr  
=  rr

 ∂r + + − + e

 r ∂θ ∂z r 

r  r

 ∂T 1 ∂Tθθ ∂Tθz Tr θ Tθr  
+  θr

 + + + + e
 θ
 ∂r r ∂θ ∂z 
r 
 r 
 ∂T 1 ∂Tz θ ∂Tzz Tzr  
+  zr

 + + + e

 ∂r
 r ∂θ ∂z r  z


On peut donc maintenant retrouver l’opérateur Laplacien d’un vecteur :
∆v = div ∇v( )
vθ vr
vr ,θ v θ, θ vr ,θ − v θ, θ +
= vi, jjei + eθ − r e + vi,r e
er + r e −
r
r r r r r i θ
 
2 ∂v θ vr   2 ∂vr v 


= ∆vr − 2 
− 2 er + ∆vθ + 2
 − θ  eθ + ∆vzez

 

 r ∂θ r  
 r ∂θ r2 


Golay - Bonelli - 22 -

Notations tensorielles
5 A retenir
Convention de sommation :
V = Viei
Produits tensoriels :
 

uv  1 1

u1v2 u1v3 
 
u ⊗ v = ui v jei ⊗ e j = u v 

 2 1
u2v2 u2v3 
 
uv  u3v2 u3v3 
 3 1
 
Symboles de permutation :
+1
 si i, j , k est une permutation paire de 1, 2, 3


(
εijk = ei , e j , ek ) = −1


si i, j , k est une permutation impaire de 1, 2, 3
0
 si deux indices sont répétés


Produit vectoriel :
c = a ∧ b = εijk a jbk ei
Quelques opérateurs :
Div v = vi,i , rot v = ∇ ∧ v = εijk vk , j ei , ∇ v = vi, j ei ⊗ e j , Div T = Tij , j ei
En systèmes de coordonnées cylindrique ou sphérique, mieux vaut utiliser un formulaire !
- 23 - Golay - Bonelli

MMC
Golay - Bonelli - 24 -