Funciones exponenciales y logarítmicas. Matemáticas

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Funciones exponenciales y logarítmicas. Matemáticas

  1. 1. Funciones exponenciales y logarítmicas. Función exponencial: f(x) = 2 x Función logarítmica: g(y) = 2 y
  2. 2. Problema contextualizado. <ul><li>Una pelota de goma se deja caer desde una altura de 10 metros. Cada vez que rebota contra el piso pierde un 10% de altura. ¿Cuántos rebotes son necesarios para que esté a 2 metros del suelo? 1 </li></ul>
  3. 3. ¿Qué hacer para entenderlo? <ul><li>¿Cómo saber cual es la base constante para poder definir la ecuación ? Hagámoslo, paso a paso. </li></ul><ul><li>Estará de acuerdo que si pierde el 10% de altura en cada rebote la pelota, ésta alcanzará una altura efectiva de sólo el 90%, entonces; en el primer rebote tendremos que la pelota alcanza una altura de: </li></ul><ul><li>(10 m)(90%) = (10 m)(0.9) = 9.0 metros en el primer rebote. </li></ul>
  4. 4. ¿Qué pasa en el segundo rebote? <ul><li>Considerando que la pelota ahora cae al piso desde la altura que alcanzó en el primer rebote, 9.0 metros y que sólo subirá nuevamente una altura efectiva del 90%, tendremos: </li></ul><ul><li>(9.0 m)(0.9) = 8.10 m </li></ul><ul><li>Ésta será la altura que alcance después del segundo rebote. </li></ul>
  5. 5. ¿Y los siguientes rebotes? Número de rebote Altura inicial (m) Base o porcentaje constante Operación Altura final (m) 1 10 90% = (0.90) (10)(0.90) = 9.0 9.0 2 9.0 (9.o)(0.90) = 8.10 8.10 3 8.10 (8.10)(0.90) = 7.29 7.29 4 7.29 (7.29)(0.90) = 6.561 6.561 2.287 15 2.287 (2.287)(0.90) = 2.058 2.058 16 2.058 (2.058)(0.90) = 1.853 1.853
  6. 6. Interrelación entre las funciones exponenciales y logarítmicas. <ul><li>y = log b x si y sólo si x = b y 2 </li></ul><ul><li>Donde b = base o constante </li></ul><ul><li>La ecuación logarítmica se interpreta; </li></ul><ul><li>“ y” es el logaritmo de un número “x” en base “b” </li></ul>
  7. 7. Del lenguaje común al leguaje matemático. <ul><li>Observamos que la base o constante es el porcentaje del 90% = 0.90; entonces b = 0.90 </li></ul><ul><li>Otro dato que conocemos en este momento, es: x debe ser igual a la altura de 2 metros. Por analogía , tenemos: </li></ul><ul><li>x = b y </li></ul><ul><li>2 = (0.9 y )(10) </li></ul><ul><li>por qué (10), porque es la altura inicial que especifica el problema. </li></ul>
  8. 8. El modelo matemático para este problema. <ul><li>Recordando una de las propiedades de los logaritmos, tenemos </li></ul><ul><li>Log b N p = p log b N </li></ul><ul><li>Que se interpreta: “El logaritmo en base “b” de un número “N” elevado a una potencia o exponente “p”; es igual al exponente “p” que multiplica al logaritmo en base “b” del número “N”. </li></ul><ul><li>Entonces 2 = (0.9 y )(10) por la propiedad de los logaritmos se puede expresar: </li></ul>
  9. 9. Solución. <ul><li>Log b (2 ÷ 10) = y (log b 0.9) por lo tanto </li></ul><ul><li>y = log b (0.2) ÷ log b (0.9) </li></ul><ul><li>y = 15.27553 </li></ul><ul><li>Observaciones. </li></ul><ul><li>De nuestra tabla se puede ver que la altura final de 2. 0 metros está entre el rebote 15 y el 16. </li></ul><ul><li>Para comprobar puede utilizar los logaritmos decimales o naturales que traen las calculadoras científicas. </li></ul>
  10. 10. Conclusiones. <ul><li>Si el valor que consideramos base o constante, en este caso; b = 0.90 lo elevamos al exponente y = 15.27553 </li></ul><ul><li>Tendremos : </li></ul><ul><li>(10 m)(0.90) y = 15.27553 = 2.00 metros </li></ul>
  11. 11. Referencias. <ul><li>1 CONALEP. Guía pedagógica y de Evaluación del módulo Representación simbólica y angular del entorno . Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica. México. 2010. </li></ul><ul><li>2 R. A. Barnett. Matemáticas para Administración y Ciencias Sociales . Mc Graw Hill. 2da. Edición. México. 1990. </li></ul><ul><li>Gráfica de la primera diapositiva realizada en Graphmatica de kSoft </li></ul>
  12. 12. Trabajo realizado por: <ul><li>Víctor Manuel Santes Espinosa. </li></ul><ul><li>23 de junio de 2011. </li></ul><ul><li>UPN. ECD. G6 </li></ul>

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