2. Campo gravitatorio

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2. Campo gravitatorio

  1. 1. CAMPO GRAVITATORIO
  2. 2. CONCEPTODE CAMPO
  3. 3. CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO Es una región del espacio afectada por una determinada magnitud que cambia con la posición. Ésta puede ser, por ejemplo una Tª, una fuerza… En todos los campos “los espacios se deforman” debido a las fuerzas que le son introducidas.
  4. 4. TIPOS DE CAMPOa) ESCALARSi la magnitud física asociada a cada punto delespacio es escalar. Por ejemplo la temperatura.b) VECTORIALSi la magnitud física asociada a cada punto esvectorial. Por ejemplo una fuerza.
  5. 5. REPRESENTACIÓN DE UN CAMPOa) CAMPO ESCALAR Se representa mediante líneas equipotenciales, que son líneas que unen los puntos donde la magnitud física asociada al campo tiene el mismo valor. Temperatura → Isotermas Presión → IsobarasTambién se las conoce como curvas de nivel y no se cortan nunca.
  6. 6. REPRESENTACIÓN DE UN CAMPOb) CAMPO VECTORIAL Se representa mediante líneas de campo, que son líneas que representan en cada punto la dirección del campo e indican la trayectoria que sigue el movimiento de una partícula colocada en ese punto del campo. Las líneas de campo (o líneas de fuerza) no se cortan nunca
  7. 7. REPRESENTACIÓN DE UN CAMPOb) CAMPO VECTORIALSi los campos vectoriales son conservativos podemosdefinir un potencial que es una magnitud que sólodepende de la posición (escalar).Podemos representarlas.Van a ser siempreperpendiculares a laslíneas de campo.
  8. 8. CAMPOGRAVITATORIO
  9. 9. CAMPO GRAVITATORIO• Es una propiedad de la masa material de las partículas que se manifiesta como fuerza de atracción sobre otras partículas con masa.• Es un campo vectorial porque alrededor de la masa, lo que se distribuye es una magnitud vectorial ( ).Intensidad de Campo: () Es la fuerza ejercida por unidad de masa. = −· = 2 Vector de campo gravitatorio
  10. 10. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓNPara calcular la intensidad de campo gravitatorio creado porvarias masas, se calcula la intensidad creada por cada unade ellas como si las otras no existirán.La intensidad total será la suma vectorial de las intensidadesde cada masa. = = · = −
  11. 11. ACELERACIÓN EN UN CAMPO GRAVITATORIO · = · · 2 · = · 2 = · = · 2 → = · 2
  12. 12. LÍNEAS DE CAMPO GRAVITATORIO Para una sola masa, las líneas de campo acaban en ella.Para dos masa las líneas decampo se complican porque setuercen un poco por laexistencia de la otra masa.
  13. 13. CARÁCTER CONSERVATIVOEl trabajo que realiza una fuerza para producir undesplazamiento entre dos puntos A y B no depende dela trayectoria seguida, sólo de la posición inicial y final. (¡¡¡Gracias a Dios!!! si no las integrales serían terribles y mucho más habituales) = − = · y =
  14. 14. CARÁCTER CONSERVATIVORecordamos cómo se calcula el producto escalar de dos vectores y tenemosen cuenta que son siempre paralelos. = · · = − · = − − = − · = · − · = − Como el trabajo realizado por la fuerza sólo depende de (posición inicial) y (posición final) puedo decir que es CONSERVATIVO.
  15. 15. VARIACIONES DE LAINTENSIDAD DE CAMPO CON LA ALTURA
  16. 16. Vamos a estudiar el campo gravitatoriocreado por una masa esférica.El estudio sirve tanto para esferas huecascomo macizas. Se comporta como si toda lamasa estuviera concentrada en el centro. 1. En la superficie: · = −
  17. 17. 2. Lejos de la superficie, a una altura “h”: = = + = · = · = · = · + Como + ⇒ obtenemos que siempre se cumple: +
  18. 18. EJEMPLO¿Qué relación existe entre la intensidad del campo gravitatorio creadopor una esfera de radio 10 m en la superficie y a una altura de 100 m?R = 10 m h = 100 m 2 10 2 = 0 · 2 = 0 · 2 = + 10 + 100 100 2 1 = · 2 = · 12100 121 = 121
  19. 19. EJEMPLO Calcular a qué altura = : 3 = 3 1 100 = · 100 2 3 100 + 20 + 2 = 0 · 100 + 20 + 2 300 = 100 + 20 + 2 = 7′ 32 ′ = −27′ 32
  20. 20. ENERGÍA POTENCIALGRAVITATORIA
  21. 21. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIAComo hemos demostrado que el campogravitatorio es una fuerza conservativa podemosdefinir una energía potencial gravitatoria.Es una magnitud escalar cuyo valor estárelacionado con la posición que ocupa una masarespecto a la masa que genera el campo.En un campo conservativo, la E. potencial es unamagnitud cuya variación indica el trabajo que hayque realizar para llevar una masa de un punto aotro.
  22. 22. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Recordamos que ya definimos que = − y como = − y = − : = − = −∆
  23. 23. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIADiferencia de la energía potencial (¡¡¡es absurdo decir que la energía potencial en unpunto vale x si no se pone antes un valor de referencia!!!) = → ∞donde la masa no tiene influencia sobre ningún objeto que se coloque. ∞ = −∆∞ = −(∞ − ) = Vamos a demostrar esta afirmación con mayor rigurosidad matemática: ∞ ∞ ∞ = = · = − = − ; ∞ = . . . · = − ;
  24. 24. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIAAlgo que no podemos dejar de tener en cuenta es que laenergía potencial en un punto es, por definición, negativa.Por lo tanto ∞ = En este caso el trabajo esnegativo, porque el objeto se mueve desde B → ∞, quieresalir del campo y eso tiene un coste de energía que se debehacer desde fuera para conseguir mover al objeto.El caso de ∞ = − En este caso el trabajo espositivo, porque el objeto, que se mueve desde ∞ → B, lohace sólo, a favor del campo y sin necesidad de aporteexterno de energía.
  25. 25. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIAA parte de la energía potencial, que tendrá cualquiermasa por el mero hecho de estar situada en un puntodel campo, si la masa se mueve tendrá también tendráENERGÍA CINÉTICA: = − +
  26. 26. EN LA TIERRAVamos a calcular el incremento de energía potencial gravitatoria desdela superficie terrestre hasta una altura “h”. − ∆→ =− − = − = + + Obtenemos el denominador común y simplificamos: + − = = = + + Sacamos del paréntesis un dividiendo y tenemos en cuenta que = : = = · + +
  27. 27. EN LA TIERRAPodemos aproximar diciendo que la altura “h” es mucho más pequeña que el radio terrestre ( = . ), por lo tanto → . ∆ = · · donde = ′ /
  28. 28. POTENCIAL GRAVITATORIO(DIFERENCIA DE POTENCIAL)
  29. 29. POTENCIAL GRAVITATORIOEl Potencial Gravitatorio (V) se define en un punto de un campogravitatorio como la que tendrían el sistema formado por lamasa creadora del campo y la unidad de masa situada en esepunto. = − ; El Potencial Gravitatorio (V) en un punto es el trabajo querealizan las fuerzas del campo para trasladar la unidad de masadesde un punto al infinito.
  30. 30. POTENCIAL GRAVITATORIOPara una masa “m”: = · Por lo tanto, el trabajo podemos escribirlo como: = −∆ = −∆ · = − · − ;
  31. 31. POTENCIAL GRAVITATORIOSi tengo varias masas, el potencial en un punto es la sumaescalar de los potenciales debidos a cada masa. En el punto p calculo el potencial de cada una de las masas ( , , … ). = =
  32. 32. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALESLas superficies equipotencialesson aquellas superficies en lascuales todos sus puntos secaracterizan por tener el mismopotencial.Para el caso de una masa “m” lassuperficies equipotenciales sonESFERAS CONCÉNTRICASperpendiculares a las líneas decampo. (Lógico, ya que el campogravitatorio es un campo central)
  33. 33. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALESEl sentido del campo siempre apunta hacia potencialesdecrecientes.¡¡¡OJO!!! El valor del potencial es definido negativo, por lo queel valor “cero” del potencial en el infinito es el mayor valor quepuede tomar el potencial.Es interesante observar que, ya que el campo gravitatorio esconservativo, cuando me muevo sobre una superficieequipotencial no hago ningún trabajo. = − · ∆ = − · 0 = 0
  34. 34. GRADIENTE DE POTENCIAL• Como el campo gravitatorio es perpendicular a las superficies equipotenciales, al movernos en dirección radial un ∆ atravesamos superficies equipotenciales.• El gradiente de potencial entre dos puntos es una medida del campo gravitatorio que describe la rapidez de variación del campo al desplazarnos desde un punto en dirección radial. (Es como la pendiente de una cuesta). ∆ ∆ = · = − ⇒ = − ∆ ∆
  35. 35. MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
  36. 36. PERIODO DE REVOLUCIÓN a) Las órbitas son elípticas, cerradas y planas. (Radio medio a). Aproximamos a órbitas circulares de radio R = a. b) Los satélites están sometidos a una fuerza de atracción gravitatoria. Esta es una fuerza centrípeta que mantiene al satélite girando. · 2 = ⇒ 2 = = ; Observamos que la velocidad del satélite no depende de la masa delmismo, sólo de la masa del planeta y la distancia al mismo.
  37. 37. SATÉLITES GEOESTACIONARIOSEs un satélite que gira en el plano del ecuador terrestre. Está siempre en lamisma posición sobre la Tierra. Es decir, el periodo de rotación de la Tierray el periodo de traslación del satélite coinciden. ó é = ó = 24 Vamos a calcular el radio de estos satélites: = 2 4 2 3 2 = 3 2 = 2 ≈ 42300 (∼ 36000 ) 4
  38. 38. CUESTIÓN PARA LA CLASE Estos son tres tipos de órbitas ¿puede haber más?
  39. 39. VELOCIDAD DE ESCAPE
  40. 40. VELOCIDAD DE ESCAPE• Es la velocidad mínima que hay que proporcionar a un cuerpo o masa que está sometida a un campo gravitatorio para que escape del mismo.• La condición de escape es que la energía total del cuerpo (una vez ha escapado del campo gravitatorio) sea cero.• Es decir, la velocidad de escape es aquella que anula la energía mecánica de un cuerpo. 1 2 − = + = =0 2 1 2 = 2 2 = 2 2 =

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