Este documento describe diferentes sistemas numéricos como el decimal, binario, octal y hexadecimal. Explica cómo cada digito en un número tiene un valor dependiendo de su posición, determinado por potencias de la base del sistema. También cubre conversiones entre sistemas numéricos y operaciones básicas como suma, resta y multiplicación en diferentes bases.

1. Sistemas numéricos
Conjunto de dígitos que representan cantidades. Cada digito representa según su
posición un valor determinado, ordenado y con reglas.
Sistema de numeración decimal
Es el sistema numérico que utilizamos habitualmente, se compone de diez
símbolos o dígitos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} a los que se les otorga un valor
dependiendo de la posición que ocupen en la cifra; unidad, decena, centena,
millar, etc.
El valor de cada digito está asociado al de una potencia de base 10, número que
coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un
exponente igual a la posición que ocupa el digito menos uno, contando desde la
derecha.
En el sistema decimal el numero 528, por ejemplo, significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:
500 + 20 + 8 = 528
Sistema de numeración binaria
El sistema de numeración binaria utiliza solo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).
En una cifra binaria, cada digito tiene distinto valor dependiendo de la posición que
ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un
exponente igual a la posición del digito menos uno. La base de este sistema
numérico coincide con la cantidad de dígitos utilizados (1) para representar los
números.
1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20, es decir:
8 + 0 + 2 + 1 = 11

2. Sistema de numeración octal
En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho
dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Cada digito tiene un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de
cada una de esas posiciones está determinado por las potencias de base 8.
Por ejemplo, el número octal 12778 tiene un valor que se calcula así:
1*83 + 2*82 + 7*81 + 7*80 = 1*512 + 2*64 + 7*8 + 7*1 =
512 + 128 + 56 + 7= 70310
12778 = 70310
Sistema numérico hexadecimal
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E Y F. Se utilizan las letras A, B, C, D, E Y F
representar las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15, porque no hay
dígitos mayores a 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos
al igual que en los anteriores sistemas de numeración depende, como es lógico,
de su posición, que se calcula mediante potencias de base 163
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:
1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F16 = 671910

3. Conversiones entre sistemas numéricos
Conversión de decimal a cualquier base N
Para convertir cualquier numero del sistema numérico decimal a un sistema de
base N, se realiza lo siguiente:
 Se divide el numero entre la base N y se registra un cociente c1 y el residuo
r1 resultante.
 Se divide c1 entre la base y se anota un cociente c2 y un nuevo residuo r2.
 Este procedimiento se repite hasta obtener un cociente ci igual a cero (0) y
un residuo ri.
 El número equivalente en el sistema de base N queda formado por ri; ri; ri
…r1
Ejemplos
Decimal ---------Binario
Decimal------ Binario 321 101000001
136 10001000
Cociente Residuo Cociente Residuo
136/2= 68 0 321/2= 160 1
68/2= 34 0 160/2= 80 0
34/2= 17 0 80/2= 40 0
17/2= 8 1 10001000 40/2= 20 0
8/2= 4 0 20/2= 10 0 101000001
4/2= 2 0 10/2= 5 0
2/2= 1 0 5/2= 2 1
1/2 = 0 1 2/2= 1 0
1/2= 0 1

4. Decimal ---------octal Decimal ---------octal
136 210 321 501
Cociente Residuo
Cociente Residuo
136/8= 17 0 321/8= 40 1
210 501
17/8= 2 1 40/8= 5 0
2/8= 0 2 5/8= 0 5
Decimal ---------Hexadecimal Decimal ---------Hexadecimal
1024 400 100 64
Cociente Residuo
Cociente Residuo
100/16= 6 4
1024/16= 64 0 64
6/16= 0 6
64/16= 4 0 400
4/16= 0 4

5. Conversión de un sistema de base N a decimal.
 Identificar la base del número a convertir.
 Colocar la posición de cada digito del numero a convertir, comenzando de
él digito mas a la derecha como posición cero (0).
 Se multiplica el digito por la base elevada a la posición del mismo.
 Se suman todos los productos resultantes.
Ejemplos
Binario ----------------Decimal
1010111111 703
1*29 + 0*28 + 1*27 + 0*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 =
512 + 0 + 128 + 0 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1= 703
Octal ----------------Decimal
1277 703
1*83 + 2*82 + 7*81 + 7*80 =
512 + 128 + 56 + 7 = 703
Hexadecimal ----------------Decimal
2BF 703
2*162 + 11*161 + 15*160 =
512 + 176 + 15= 703

6. Binario Octal 703
000 0
001 1 001 010 111 111
010 2 1 2 7 7
011 3
100 4
101 5
110 6
111 7
703
Binario Hexadecimal 0010 1011 1111
0000 0
2 B F
0001 1
0010 2
0011 3 Octal--------Hexadecimal
0100 4
Cambiar el valor a binario y luego
0101 5 convertirlo a cualquiera de las dos
0110 6 bases
0111 7
1000 8
1001 9
1 2 7 7
1010 A = 10
001 010 111 111
1011 B = 11
1100 C = 12
1101 D = 13
1110 E = 14
0010 1011 1111
1111 F = 15
2 B F

7. Operaciones de sistemas numéricos
Sistema numérico Decimal
11
Como se observa para sumar dos números si la suma excede al valor de la
7842 base existe un acarreo o arrastre de una unidad en la columna izquierda
siguiente. En cualquier otra base se hará de forma análoga, esto es, se
+ 7437
suma de derecha a izquierda los números de cada una de las columnas,
---- incluyendo el posible arrastre, como si se tratase de la base decimal y
15279 seguidamente el resultado obtenido N se convierte a la base deseada.
Sistema numérico Octal
Suma
11 ***NOTA*** los números que superen a
1742 el número de la base se dividen entre
+5063 la base que en este caso es base 8, y
---- y el cociente se suma a la siguiente
7025 columna y el residuo es el resultado
2+3=5, 4+6=10 10/8, 1+7+0=8 8/8, 1+1+5=7
Sistema numérico Binario
Suma
La suma o adición binaria es análoga a la de los números decimales. La diferencia
radica en que en los números binarios se produce un acarreo, cuando la suma
excede de uno mientras en decimal se produce un acarreo cuando la suma
excede de nueve (9).
Entonces: Acarreo
0+0= 0
1
1 1 0
0+1= 1
1 1 0 1
1+0= 1
1 0 0 1 1
1 + 1 = 0 ------ 1 Acarreo

8. Multiplicación
La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de
numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o
UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de
multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender:
0*0= 0
0*1= 0
1*0= 0
1*1= 1
Resta
Para poder realizar la operación de sustracción en el sistema binario
debemos de usar complementos;
Sumemos 230 + 193;
Complemento a 1: se cambian los
1 1 1 0 0 1 1 0 ceros (0) por unos (1) y los unos (1)
por ceros (0).
1 1 0 0 0 0 0 1
0 0 1 1 1 1 1 0 Complemento a 2: al complemento
a 1 se le suma un uno (1), al digito
+ 1 menos significativo
0 0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 1 1 0 Una vez que usamos los
0 0 1 1 1 1 1 0 complementos, procedemos a realizar
1 una suma ordinaria (el numero al cual
0 0 1 0 0 1 0 1
no le aplicamos complemento mas el
numero con complemento)

9. Algebra booleana
Es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores diferentes,
que se designan como 0 y 1.
Lógica proposicional
La lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos
de argumentos lógicos.
Conjunción (ᴧ)
Operador matemático que da una respuesta verdadera siempre que todos sus
operadores lo sean.
A B A ᴧb A ᴧb ᴧ
A B C
V V V C
V F F F F F F
F V F
F F V F
F F F
F V F F
F V V F
V F F F
V F V F
V V F F
V V V V

10. Disyunción (V)
Operador matemático que da por respuesta verdadero siempre que tenga por lo
menos un operador verdadero.
A ᴧb ᴧ
A B A ᴧb A B C
C
V V V F F F F
V F V
F V V F F V V
F F F F V F V
F V V V
V F F V
V F V V
V V F V
V V V V
Negación (’) ( )
Operador matemático que invierte el valor de su entrada.
A A’
(A ᴧ B)’
V F
V V (A ᴧ B)

11. Condicional (→)
Operador matemático que da una respuesta falsa siempre que el condicionado
sea falso y el condicionante sea verdadero.
A B A →b
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicional (↔)
Operador matemático que da una respuesta verdadera siempre que todos sus
operadores sean iguales.
A B A↔ b
V V V
V F F
F V F
F F V

12. Cálculos de predicados
(A v B) → C
A B C A vB (A v B) → C (A ↔ B’)
0 0 0 0 1 A B B’ A ↔ B’ (A ↔ B’)
0 0 1 0 1
0 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
(A’ v C’) ↔ (B → B’)
A B C A’ B’ C’ A’ v C’ (A’ v C’) B → B’ (A’ v C’) ↔ (B → B’)
0 0 0 1 1 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 1 0 0

13. (A v B v C v D)’ → (A → B)
A B C D A v B v C v D (A v B v C v D)’ A → B (A v B v C v D)’ → (A → B)
0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1 1
0 0 1 1 1 0 1 1
0 1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0 0 1
1 0 1 1 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 1 0 1 1
[(A ᴧ B) v C] ↔ (A → B’)
A B C B’ A ᴧ (A ᴧ B) v A → B’ [(A ᴧ B) v C] ↔ (A → B’)
B C
0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1 0
1 0 1 1 0 1 1 1
1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 1 0 0

14. (A v C)’ → (B ↔ D)’
A B C D AvC (A v C)’ B ↔ D (B ↔ D)’ (A v C)’ → (B ↔ D)’
0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 1 1 1 0 0 1 1
1 1 0 0 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0 0 1 1
1 1 1 1 1 0 1 0 1
(D → A) → (A ↔ B)
A B D D → A A ↔ B (D → A) → (A ↔ B)
0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1

15. Habilidades de pensamiento lógico
Técnicas de resolución de problemas y habilidades de pensamiento lógico.
Teoría de conjuntos
Un conjunto es la recolección, reunión o agrupación de objetos que tienen
características similares. A estos objetos los llamamos ELEMENTOS de un
conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras mayúsculas A, B, C,…
y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre llaves,
por ejemplo:
A= {C, I, M, A}
B= {2, 6, 8, 9, 10}
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos.
Diagramas de venn
Sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera grafica mediante
dibujos o diagramas.
La manera de representa el conjunto universal es un
rectángulo, o bien la hoja de papel con la que se trabaja.
Un ejemplo de la representación del conjunto universal se
muestra como:
Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, los
aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas.

16. Unión
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A ∪ B y es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos o a los dos.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {5, 6, 8}
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
Intersección
Sea:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {2, 4, 8, 12}
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: {2, 4, 8}. A este conjunto se le
llama intersección de A y B, se denota por A ∩ B.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {3, 5, 7}
A ∩ B = {3, 5}

17. Complemento
Sean los conjuntos:
A = {Elementos cualesquiera}
B = {Elementos cualesquiera}
A’ = {Son todos los elementos de A que no están en B}
Diferencia
A = {Elementos cualesquiera}
B = {Elementos cualesquiera}
A-B = B’ {Son todos los elementos de B que
no están en A}
B-A = A’ {Son todos los elementos de A que no
están en B}

18. Ejemplo
Sean:
A = {Elementos cualesquiera}
B = {Elementos cualesquiera}
C = {Elementos cualesquiera}
A ∪ B = {elementos que pertenecen
al menos a uno de ellos o a los dos}
A ∪ B = {elementos
que pertenecen al
menos a uno de ellos
A ∪ B = {elementos o a los dos}
que pertenecen al
menos a uno de ellos
o a los dos}
A ∪ B ∪ C = {elementos que pertenecen al
menos a uno de ellos o a los tres}
A ∩ B = {Los elementos comunes a los dos conjuntos}
A ∩ B = {Los elementos B ∩ C = {Los elementos
comunes a los dos comunes a los dos
conjuntos} conjuntos}
A ∩ B = {Los elementos comunes a los tres conjuntos}