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Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemp...
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FUNCION CUADRATICA
Definición
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la form...
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Msc. Alberto Pazmiño O.
El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punt...
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Unidad ii complejos y logaritmos

  1. 1. 16 Msc. Alberto Pazmiño O. 87 LOS NUMEROS COMPLEJOS Concepto de número imaginario.Como en el conjunto de los números reales, por ejemplo la ecuación 12 x , no tiene solución, es necesarioampliarlo; ya que, 1 no es real. Se acostumbra poner i = 1 , i se llama unidad imaginaria. A las raíces de los x se los llama números imaginarios; en general: xx-quetienese ix el conjunto de todos los números imaginarios denotaremos con la letra Y, por lo tanto: hiihY ,1/ Potencies de i. Sea: h un número imaginario, Zn + , se define como: h" =hn-1 h; h°= 1 siendo h = 0 Aquí cumplen las propiedades algebraicas: nmmn nmnm hh hhh Concepto de numero complejo: Un numero complejo es un numero de la forma a + bi, con 1, ieba Se llama conjunto de los números complejos y se denota por C, ala siguiente expresión: 1;,/ ibabiaC Los números complejos dela forma(0,b)son llamadosimaginarios puros. Vamos a demostrarla propiedaddelamultiplicación porun escalar baba ,, Paraeso escribimos el número realaen la forma(a,0)yaplicamos la definición demultiplicación (a,b)=( ,0)( ,b)=( a-0b, b+0a)=( a, b). Denotaremoselnúmerocomplejo(0,1) conlaletra iylollamaremosunidadimaginaria.Esfácil demostrar que i2 =-1 i2 =(0,1)2 =(0,1)(0,1)=(0(0)-1(1),0(1)+1(0))=(-1,0)=-1 Formabinómicadeunnúmero complejo Sea z=(a,b)un número complejo.Entoncespodemos escribirlo en la forma: z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=a(1,0)+b(0,1) Perocomo(1,0)=1y(0,1)=i,entonces(a,b)=a+bi.Enestecasoa+bisellamaformabinómicao binomiadel número complejo. Representación grafica
  2. 2. 17 Msc. Alberto Pazmiño O. El numero complejo Z = a+bi, se dice que esta expresado en formarectangular, Si: a se llama parte entera de Z y se denota por a= Re(Z) bse llama parte imaginaria de Z y se denota por b= lm(Z) El conjunto de los números de la forma Z = a + 0i es isomorfo a R; por eso se dice que C Z = a +bise lo puede representar en R2 mediante el siguiente modelo geométrico, esto es representamos el vector Z =(a, b) así: y b Z(a,b) 0 a x Definición 1. Sean Z = a + biy W =c + di, se dice que Z = W, a =cyb= d. Se acepta porque en R la relación de igualdad existe y es de equivalencia. Ejemplos: Verificar si los siguientes números complejos son iguales. 1. x-2+4yi = 3 + 12i Entonces; x-2 y 3, partes reales 4yi y 12i partes imaginarias x-2 = 3, x = 5 Definición 2. Sean Z = a + bipor lo tanto tenemos que:  Se llama complejo nulo o cero al complejo z = 0+ 0i  Se llama opuesto de z al complejo -z = -a-bi  Se llama conjugado de z y se denota z al complejo z = a –bi  Se llama módulode z y se denota z al número real no negativo 22 baz Operaciones en C Con los números complejos se pueden efectuar operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potencia, cuando el numero está en la forma z = a+bi, o w = c + di Sumay multiplicacióndenúmeroscomplejosenlaformabinómica
  3. 3. 18 Msc. Alberto Pazmiño O. x :C+C / (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i, puesto quea,b,c,d son todosnúmeros reales. x :CxC / (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)iporquei2 =-1. Resta o sustracción: -: CxC / (a+bi)- (c+di) = (a-c) + (b-d)i Cociente o División 222 ./: z ibcadbdac dc ibcadbdac dic dic dic bia dic bia CxC Potenciación: x :Cn / (a+bi)n =(a+bi) (a+bi) (a+bi)….. (a+bi)n-1 ACTIVIDAD Efectué las siguientes operaciones indicadas. 1. Dados los números complejos z=(3,2)yw=(-1,-4), halle: Hallar: a) wzywzwzwz /.;; b) 3z -2w c) z2 d) z3 2. Muestre que(0,0)es elelemento neutro para lasumade númeroscomplejos. 3. Muestre que(1,0)esel elemento neutroparalamultiplicación denúmeros complejos. 4. Calcule: a) (a)i3, (b)i4, (c)i5 5. Calcule: (a)i4n, (b)i4n+1, (c)i4n+2, 6. Verifiquequeuvyuvson conjugados. 7. Resuelva la ecuación cuadráticax2 +3x+3=0 8. Resuelva la ecuación cuadrática2x2 +4x+5=0. Sistema de coordenadas polares Sea P(a , b) el punto de R2 asociado al complejo z = a + bi; esto es:
  4. 4. 19 Msc. Alberto Pazmiño O. y b P(a,b) r 0 a x  Se llama modulode z y se denota z al número real no negativo 22 bazr Sea el ángulo formado por el semieje positivo 0x y el vector OP elArgumentode z. Definición 1.Se llaman coordenadas polares de z a la pareja (r, ). Al valor de entre 0 y 2 se llama valor principal. Delgrafico anterior, sabemos por trigonometría que: a = rcos ; b = r sen ; Luego, se tiene Z= rCos + irSen = r (Cos +iSen ) Definición 2. Se llama forma trigonométrica o polar del número complejo z a lasiguiente: z= r (Cos + iSen ) (forma sencilla) z = r(cos( + 2k )+ iSen( +2k )) (forma más general) ACTIVIDAD 1. Expresar en forma polar los siguientes números complejos: a) 3,1 iz b) iw 3 2.Efectuar en forma analítica, polar y grafica la operación: (2+6i)+ (5 + 3i) Potenciación Para calcular la n-esima potencia de un número complejo es preciso aplicar reiteradas veces la regla de la multiplicación. [{Cos + i sen }n = rn (Cosn + i Senn ),
  5. 5. 20 Msc. Alberto Pazmiño O. Conocida como la fórmula de DeMoivre. Es decir la relación también es válida para exponentes enteros negativos. Laregla de potenciación de un número complejo es la siguiente: “Para elevar a la potencia n un numero complejo dado en su formatrigonométrica se ha de elevar a la mencionada potencia el modulo de talnúmero, mientras que el argumento se ha de multiplicar por el valor n.” Ejemplo: 1. Elevar a la potencia 8 el número complejo iz 3 . El módulo de z es igual a 2 y su argumento principal 6 El módulo de z8 es 28 y el argumento vale 3 4 6 88 Por consiguiente: 3 4 3 4 23 88 iSenCosiz Radicación El numero z se llama raíz de orden n del numero complejo w si zn = w. A la raíz n-esima se le designa por n w Si w = 0, entonces cualquiera que sea n, la ecuación zn = w tiene una sola solución z= 0 Si 0w , entonces 0z , consecuentemente tanto w como z se pueden representar en la forma trigonométrica. iSenCossw iSenCosrz La ecuación zn = w toma la forma iSenCossniSennCosrwz n Como dos números complejos son iguales si y solo si son iguales sus módulos y sus argumentos difieren en un número múltiplo de 2n, podemos escribir knsrn 2, O también: Zksiendo 2 , n k sr n De este modo, el resultado de la radicaci6n se escribe de la siguiente manera:
  6. 6. 21 Msc. Alberto Pazmiño O. n k iSen n k Cossz n 22 Donde n s es el valor aritmético de la raíz. Si en esta expresión damos al número k los valores de 0, 1,..., n -1, obtenemos la siguiente n valores de la raíz: n n iSen n n CossSi n iSen n CossSi n iSen n CossSi n iSen n CossSi n n n n 1212 Z1-nk ....................................................................................... 44 Z2k 22 Z1k Z0k n 2 1 0 Es fácil comprobar que zn=z0; es decir, hay exactamente n raíces de orden n de w. Todas las raíces de orden n del numero w tienen igual modulo n s perodistintos argumentos, que difieren en un sumando múltiplo de n 2 . De aquí que los números complejos que son las raíces de orden n del numero complejo w corresponden a los puntos del plano complejo situados en los vértices del polígono regular inscrito en la circunferencia de radio n s , con centro en el origen de coordenadas. y z2 z1 x z3 ACTIVIDAD
  7. 7. 22 Msc. Alberto Pazmiño O. a. Hallar los valores de 3 27z b. Hallar los valores de 3 125z c. Hallar los valores de 4 16z d. Hallar los valores de 3 8z CAPITULO II FUNCIONES ¿Qué es una función? Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida. Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra. FUNCION LOGARITMICA Y EXPONENCIAL FUNCION EXPONENCIAL. Las funciones exponenciales se presentan en campos muy diversos como biología, administración, economía, química, física e ingeniería. Si b > 0, entonces a cada número real x corresponde un número real único x b . Esto lleva a la siguiente definición. DEFINICIÓN. Si b > 0 y 1b , entonces la función exponencial de base b es la función f definida por: El dominio de f es el conjunto de números reales y el contra dominio es el conjunto de números positivos. PRIMER CASO: La función toma la forma de: y=ax . Si número real positivo a> 1, entonces a = 2, x y 2 La siguiente tabla muestra valores racionales de x con sus correspondientes valores de funciones. x byxf )(
  8. 8. 23 Msc. Alberto Pazmiño O. Crece Decrece x y 2 1 En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x SEGUNDO CASO: Si b < 1, y= bx Un ejemplo será entonces si b = 1/2, la función toma la forma de: x y 2 1 La siguiente tabla muestra valores racionales de x con sus correspondientes valores de funciones. Observación: La función exponencial es siempre positiva para todos los valores de x.  A cada valor de x corresponde un solo valor de y, y viceversa.  Si a >1 la función exponencial es creciente. x x y 2 -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8 0,5 1,4 x y 2 1 x -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 ½ 2 1/4 3 1/8
  9. 9. 24 Msc. Alberto Pazmiño O.  Si a <1 la función exponencial es decreciente. Las asíntotas En la gráfica de la función f(x)=k/x se puede observar como las ramas de la hipérbola se aproximan a los ejes de coordenadas, son las asíntotas. Cuando la gráfica de una función se acerca cada vez más a una recta, confundiéndose con ella, se dice que la recta es una asíntota. Aunque estas rectas pueden llevar cualquier dirección en el plano aquí nos limitaremos a las: Asíntotas verticales. La recta x=a es una asíntota vertical de la función si se verifica que cuando el valor x tiende al valor a, el valor de f(x) tiende a valores cada vez más grandes, f(x)→+∞,ó más pequeños, f(x)→-∞. Asíntotas horizontales. La recta y=b es una asíntota horizontal de la función si se verifica que cuando x→+∞ ó x→-∞, el valor Asíntota vertical x=1 x→1+ (por la derecha) f(x)→+∞ x→1- (por la izquierda) f(x)→- ∞ o Asíntota horizontal y=1 x→+∞ f(x)→2 x→-∞ f(x)→ 2 LOGARITMO : Se llama logaritmo de un número real, positivo, N en base a a otro número x real, positivo y diferente de 1, al número xque es el exponente al que hay que elevar la base apara obtener el número dado N “El logaritmo del número N, en base a igual a x”,se expresa mediante la siguiente simbología:  La función logarítmica es función inversa de la función exponencial. número xNLoga base exponente Nax
  10. 10. 25 Msc. Alberto Pazmiño O. Ejemplos:  Exprese en notación logarítmica las siguientes notaciones exponenciales. a) 52432433 3 5 Log b) 3 1 27273327 3 3 1 3 Log  Las siguientes notaciones logarítmicas escriba usando notación exponencial. a) 8238 3 2Log b) 21663216 3 6Log  Halle el logaritmo que se indica 3 1010 1000101000) 3 10 x xLoga x x 4 3 34 22 8168) 34 16 x x xLogb x x Propiedades: La observación de los gráficos anteriores, sugiere las siguientes propiedades. 1. la función es positiva para todos los valores de X >1 y negativa para todos los valores de X comprendidos entre 0 y 1. 2. La función es creciente, esto es, a medida que crece un número crece su logaritmo. 3. A cada número corresponde un solo logaritmo. 4. El logaritmo de 0 (cero) no está definido : log b 0 = 5. Si un número aumenta, también aumenta su logaritmo; si el número tiende al su logaritmo también. 6. El logaritmo de la base es siempre 1 (uno); logb b = 1  b 1 =b. 7. El logaritmo de 1 es 0 ; o sea : logb 1 = 0  b 0 =1. Propiedades Fundamentales o teoremas. Las propiedades fundamentales de los logaritmos son las siguientes:
  11. 11. 26 Msc. Alberto Pazmiño O. 53223 532532 2323 LogLogLog LogLogLogxxLog 12 3 1 36 3 1 1236 3 1 1236 3 1 12361236 22 22 2 3 1 2 3 2 LogLog LogLog xLog xLogxLog 1. log a M.N = log a M + log a N Teorema1.- “El logaritmo del producto de dos o más números es igual a la suma de los logaritmos de sus factores en esa misma base” Demostración: Sea: loga M = m y log a N = n a m = M y a n = N am . an = M.N am + n = MN loga MN = m + n Análogamente se puede demostrar las siguientes propiedades. 2. log a M/N = log a M - log a N 3.log a M k = k. log a M 4. log a n M = log a M 1 / n = (1/n) log a M Ejemplos: Aplicar las propiedades de los logaritmos a los siguientes ejemplos .  811811 LogLogxLog  1793 17 93 LogLogLog   Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Se llaman ecuaciones exponenciales, aquellas que contienen la incógnita o las incógnitas en algún exponente.
  12. 12. 27 Msc. Alberto Pazmiño O. .....8906,0 63 120 12063 12061206 33 x Log Log x LogxLog LogLog xx 3 22 82 92 08292 07222 7242 3 2 x soluciónnotiene x x x xx xx xx Son ecuaciones exponenciales: 750255 42 203 1 xx xyx x Según como representan las ecuaciones exponenciales, éstas generalmente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos.  Por lo tanto una ecuación se llama Logarítmica, cuando contiene el logaritmo de la incógnita.  Por lo tanto al resolver ecuaciones exponenciales, podemos aplicar los siguientes pasos según sea el caso. 1ro. Igualando ambos miembros a una misma base.a x = k  a =k =# (+s) y a 1 2do. Formando y resolviendo como trinomios. 02 cbxax 3ro. Mediante la aplicación de logaritmos, dándonos ecuaciones logarítmicas Loga Logk x LogkxLoga : LogkLogakaSi xx Ejemplos: Resolver las ecuaciones siguientes. .  6 22642 6 x xx   ACTIVIDAD
  13. 13. 28 Msc. Alberto Pazmiño O. A. Exprese en notación logarítmica las siguientes notaciones exponenciales. 1. a) ;3225 b) ; 25 1 5 2 c) ;9 3 1 2 d) ;3662 1 2. a) ;27814 3 b) ; 16 1 64 3 2 c) ;1 3 1 0 d) ; 125 1 625 4 3 B. Las siguientes notaciones logarítmicas escriba usando notación exponencial. 1. a) ;410000log10 b) ; 3 1 2log8 c) 29log 3 1 2. a) ; 5 1 2log32 b) 664log 2 1 c) 4 3 8 1 log16 C. Obtenga el valor del logaritmo... 1. a) 2 1 log8 b) 81log3 c) 1log2 2. a) 10000log10 b) 81 1 log3 c) 32 1 log 4 1 3. a) 2log32 b) 7log7 c) 2 1 log8 D. Resuelva la ecuación en términos de x o de b 1. a) 2 3 log2 x b) 2 7 log 4 1 x c) 4log 3 1 x 2. a) 3 2 log3 x b) 2 5 log 9 1 x c) 2144logb 3. a) 3 1 6logb b) 4 1 3logb c) 201,0logb 4. a ) 3 2 4 1 logb b) 327logb c) 2 3 001,0logb E. Simplifique la expresión 1. a) 5loglog 56 b) 81loglog 92 c) 32loglog 25 2. a) 81loglog 32 b) 256loglog 22 c) bbb loglog F. Aplicar las reglas de los logaritmos en los siguientes ejercicios: 1. log (11 x 3) = log 11 + log 3 7. log (7 x 15 x 19)= log7 + log 15 + log 19
  14. 14. 29 Msc. Alberto Pazmiño O. 3. log 5 300 / (7 x 61)= 8. log (415 x 313) / (29 x 17)= 4. log 5 7843x = 9. log ))()(( cPbPaPP = 5. log ab3 c2 / 22 ba = 10. log 3 2 222 )()( )( baba baba = 6. log 5 3 23 cba = 11.log cd caba 2 33/2 .2.)/( = G. Expresar cada uno de los siguientes ejercicios mediante un solo logaritmo 1. log 2 + log 6 = log 2 x 6= 2. log A – log B – log C = 3. log O – (¼) log a + 2 log S = 4. log 7 + log 12 – log 16 = 5. 5 log 6 - 4 log 2 + 3 log 6 – 2 log 8 = 6. m log Q + n log R – r log S = 7. a log b – c log d + e log f = H. Dados el valor de los logaritmos; Hallar el logaritmo deseado. 1. Sea log 3 = 0.4771213 y log 2 = 0.30103 . deducir el log de 75 2. Sea el log de 2 = 0.30103 ; hallar el logaritmo de 25.1 3. Conociendo el log 5 = 0.69897, hallar el logaritmo de 250 4. sabiendo que log 3 = 0.4771213 y log 4 = 0.60206 ; hallar el logaritmo de 48
  15. 15. 30 Msc. Alberto Pazmiño O. 5. dado log 2 = 0.30103 ; hallar el logaritmo de 10. I. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 1. 1 4x = 2 5x 2. xx 65 33 2 3. 2x = 64 4. 10893 1 xx 5. 32042 13 xx 6. 32042 13 xx 7. log 6 (x 2 + 2x + 15) - log 6 (x + 2) = 1 8. 7503333 4321 xxxx 9. xxxx 12762 7.95.3 10. log 4 8+ log 4 (x + 5) =2 11. (2 log x)log 100 + log 2 log x – 4.29273297 = 0 12. 12.1log7log14log xx Inecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Inecuaciones Exponenciales Sepresentanúnicamentelasformas: Nf(x) >Ng(x) N f(x) <N g(x) Tantoenf(x)comog(x);x∈R; ademásN∈R Si:Nf(x) >Ng(x)f(x)>g(x);siempre queN>1(elsentidono cambia) Ejemplos:
  16. 16. 31 Msc. Alberto Pazmiño O. 0 2 63 2 2 22 22 84 2 63 2 2 32 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x Resolver las siguientes inecuaciones 1. Resolviendo;lasoluciónserá x∈(−∞,−2)U(6,+∞) Inecuaciones Logarítmicas Debemosrecordarpreviamentequesi: x b bNxNlog Ademásdelassiguientespropiedadesdellogaritmo: a. log a M.N = log a M + log a N Teorema1.- El logaritmo del producto de dos o más números es igual a la suma de los logaritmos de sus factores en esa misma base Demostración: Sea log a M = m y log a N = n a m = M y a n = N a m . a n = M.N a m + n = MN log a MN = m + n b. log a M/N = log a M - log a N c. log a M k = k. log a M d. log a n M = log a M 1 / n = (1/n) log a M Tenerencuentaque: 1) Loslogaritmossóloseextraenanúmerosreales. 2) Labasedeunlogaritmonopuedesermenorquecero(tampococero) Sepresentanentoncesdoscasos: ICASO:Labasebesmayorque1. a) Losnúmerosmayoresque1tienenlogaritmopositivo
  17. 17. 32 Msc. Alberto Pazmiño O. 4,2,3x 4x;33,2 4x0;3-x 0 3 4 0 3 168 0 3 12444 0 3 342 04 3 2 3,2 4 3 2 03,2 8 3 2 0 3 2 * *...... 3 2 3 2 log 3 2 3log2log2 2 2 2 2 2 2 3 222 2 8 88 xxx x x x xx x xxx x xx x x xx x x xx x x x x En x x xx b) Losnúmerosfraccionarios (entre0y1)tienenlogaritmonegativo Porello;dadosx,y∈R N b N b bb bxNxbx bxNxbxsi luego yxyxbsi log1;0 log1;0: : loglog01: IICASO: Labasebes0<b<1 a) Losnúmerosmayoresque1tienenlogaritmonegativo b) Losnúmerosfraccionarios (entre 0y1)tienenlogaritmopositivo. Porello;dadosx,y∈R N b N b bb bxNxbx bxNxbxsi luego yxyxbsi log10;0 0log10;0: : loglog01: Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones 1. Funciones: Inyectiva, Biyectiva y Sobreyectiva
  18. 18. 33 Msc. Alberto Pazmiño O. Definiciones formales Inyectiva Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y. Ejemplo:f(x) = x2 del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva. (Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo f(2) = 4 y f(-2) = 4) Nota: Inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva. Sobreyectivo (o también "epiyectivo") Una función f (de un conjunto Aa otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos. Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva. Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función. Biyectiva Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva. (Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo f(2)=4 y f(-2)=4
  19. 19. 34 Msc. Alberto Pazmiño O.
  20. 20. 35 Msc. Alberto Pazmiño O. FUNCION CUADRATICA Definición Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c Dondea, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola. Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas: f(x) = x2 f(x) = -x2 Obtención del vértice de una parábola
  21. 21. 36 Msc. Alberto Pazmiño O. El vértice de una parábola está situado en el eje de ésta y, por tanto, su abscisa será el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parábola que sean simétricos. Como toda función cuadrática pasa por el punto (0,c) y el simétrico de éste tiene de abscisa x = -b/a, la del vértice será Xv = -b/2a. La ordenada Yv se calcula sustituyendo el valor de Xv en la ecuación de la función. Intersección de la parábola con los ejes Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c) Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0. Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas: i. Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos. ii. Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice). iii. Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje OX. Resumen Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que:  Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2 .  Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.  Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo.  Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola.  Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c)  Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno.  La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a.

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