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Relaciones

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  1. 1. Universidad Católica del Norte Departamento de Matemática Cecilia Alejandra Cabello Bugueño 1 2. RELACIONES Las relaciones son un caso particular de producto cartesiano, más aún, son un subconjunto del producto cartesiano de conjuntos. Las relaciones son condiciones que posee la variable 𝒴 con respecto a la variable 𝒳 en los pares ordenados ( 𝒳, 𝒴). Definición N°2: Relación de 𝑨 𝒆𝒏 𝑩 Dado los conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵, se llama relación definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 a cualquier subconjunto del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵. Por comprensión lo anterior: 𝑅, es la relación definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 si, y sólo si 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵 (relación). ( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, también se escribe 𝑎 𝑅 𝑏. ( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ⟺ 𝑎 𝑅 𝑏 Ejemplo Nº6: a- Si 𝐴 es el conjunto de todos los países y 𝐵 es el conjunto de todos los ríos, podemos definir una relación: 𝑅 = {( 𝒳, 𝒴): 𝒴 𝑒𝑠𝑡á 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝒳/ 𝒳 ∈ 𝐴 , 𝒴 ∈ 𝐵 } Algunos pares de 𝑅 son: 𝑅 = {( 𝐶ℎ𝑖𝑙𝑒, 𝐿𝑜𝑎),( 𝐸𝑔𝑖𝑝𝑡𝑜, 𝑁𝑖𝑙𝑜),(𝐶ℎ𝑖𝑙𝑒, 𝐵𝑖𝑜 − 𝐵𝑖𝑜)} b- Sea 𝐴 = {0, 1,2 ,3} 𝑦 𝐵 = {0, −1,−2} Entonces, 𝐴 × 𝐵 = { (0,0), (0.−1), (0, −2),(1,0),(1, −1),(1,−2), (2,0),(2, −1),(2,−2), (3,0), (3,−1), (3, −2) } 𝑅1 = {(0,0),(0,−1), (2,−1)} ⊆ 𝐴 × 𝐵 𝑅2 = {(1,0), (1,−1),(3,0), (3, −1)} ⊆ 𝐴 × 𝐵
  2. 2. Universidad Católica del Norte Departamento de Matemática Cecilia Alejandra Cabello Bugueño 2 c- Relaciones definidas en ℕ × ℕ ℕ = {1, 2,3, …} ℝ = {1,2, 3,… } Entonces, algunos casos particulares son 𝑅1 = {(1,1), (1,2)} 𝑅2 = {(1,3), (2,3), (4,5)} Relación de 𝑨 en 𝑨 Se llama relación definida en 𝐴 a cualquier subconjunto de 𝐴 × 𝐴. Ejemplo Nº7: 1. Sea 𝐴 = {0,1,2}, las siguientes son relaciones definidas en 𝐴 𝐴 × 𝐴 = {(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)} 𝑅1 = {(0, 2),(0,0), (1,1),(2, 2)} 𝑅2 = {(0,0), (2,0),(1, 0)} 𝑅3 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑦 = 0} ⊆ 𝐴 𝑥 𝐴 Notemosque si 𝐴 esun conjuntofinitocon 𝑛 elementos,entoncesel número de subconjuntos de 𝐴 es 2 𝑛. Además,si 𝐴 × 𝐵 tiene 𝑚 · 𝑛 elementos,el númerode Relacionesque se puedendefinir de 𝐴 en 𝐵 es 2 𝑚·𝑛. Ejemplo Nº8: a- Sea 𝐴 = {1,3, 5 ,7, 9}, luego ⋕ 𝑛 = 5 Número de subconjunto: 2 𝑛 = 25 = 32 subconjuntos. b.- Sea ⋕ 𝐴 = 3 ∧ ⋕ 𝐵 = 4, Entonces el número de Relaciones de 𝐴 × 𝐵 ⋕ (𝐴 × 𝐵) 𝑒𝑠 ∶ 2 𝑚·𝑛 = 23·4 = 212
  3. 3. Universidad Católica del Norte Departamento de Matemática Cecilia Alejandra Cabello Bugueño 3 2.1 REPRESENTACION GRÁFICA DE UNA RELACIÓN. Si una relación está definida en conjuntos numéricos, se pueden representar de la siguiente manera: Figura 2.1. Circunferencia de centro (0,0) y radio 1. Figura 2.2. Primer cuadrante plano cartesiano 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦 )/𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} ⊆ ℝ 𝑥 ℝ -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 x Y -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 X Y 2.2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA RELACIÓN. Definición Nº3: Dominio Se llama Dominio de una relación 𝑅 definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, al conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación. Dicho por comprensión, esto es: 𝐷𝑜𝑚( 𝑅) = { 𝑥/(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅} Ejemplo N°9: a.-Sea 𝐴 = {1,2,3} 𝑦 𝐵 = {1,2}, 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 = 𝑦}
  4. 4. Universidad Católica del Norte Departamento de Matemática Cecilia Alejandra Cabello Bugueño 4 Los pares ordenados de la relación son: 𝑅 = {(1,1)(2,2)} Luego, el dominio de la relación es: 𝐷𝑜𝑚 𝑅 = {1,2} ⊆ 𝐴 b.- Sea 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} 𝑦 𝐵 = { 𝑐, 𝑑, 𝑒} 𝑅 = {( 𝑎, 𝑐)( 𝑎, 𝑑)( 𝑏, 𝑐)( 𝑐, 𝑒)} Luego, el dominio de la relación es: 𝐷𝑜𝑚 𝑅 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊆ 𝐴 Definición Nº4: Recorrido Se llama Recorrido de una relación 𝑅 definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, al conjunto de los segundos componentes de los pares ordenados que pertenecen a la relación. Dicho por comprensión, esto es: 𝑅𝑒𝑐 𝑅 = { 𝑦: 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅} Ejemplo Nº10: a.-Sea 𝐴 = {1,2,3} 𝑦 𝐵 = {1,2}, 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 = 𝑦} Los pares ordenados de la relación son: 𝑅 = {(1,1)(2,2)} Luego, el recorrido de la relación es: 𝑅𝑒𝑐 𝑅 = {1,2} ⊆ 𝐵 b.- Sea 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} 𝑦 𝐵 = { 𝑐, 𝑑, 𝑒} 𝑅 = {( 𝑎, 𝑐)( 𝑎, 𝑑)( 𝑏, 𝑐)( 𝑐, 𝑒)} Luego, el recorrido de la relación es: 𝐷𝑜𝑚 𝑅 = { 𝑐, 𝑑, 𝑒} ⊆ 𝐵
  5. 5. Universidad Católica del Norte Departamento de Matemática Cecilia Alejandra Cabello Bugueño 5 2.3. RELACIÓN INVERSA ( 𝐑−𝟏) “La relación inversa de la relación padre es la relación hijo, y la relación inversa de la relación hermano es ella misma. La relación inversa de divide es ser múltiplo.” Definición N°5: RELACIÓN INVERSA ( 𝐑−𝟏) Dada una relacióndefinidade 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, tiene una relación inversa ( 𝑅−1), cuyos elementos son los pares conmutados de 𝑅. Por comprensión, esto es: 𝑅−1 = {(𝒴, 𝒳)/(𝒳, 𝒴) ∈ 𝑅} Si la relación viene dada por los pares de la forma (𝒳, 𝒴 ), los pares de la relación inversa se invierten, es decir, (𝒴, 𝒳). Si 𝑅 es una relación definida de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, entonces 𝑅−1 es una relación definida de 𝐵 𝑒𝑛 𝐴. 𝑅: 𝐴 → 𝐵 Entonces, 𝑅−1: 𝐵 → 𝐴 Además, si 𝑅−1 es una relación inversa de 𝑅, entonces: 𝐷𝑜𝑚 𝑅 = 𝑅𝑒𝑐 𝑅−1 𝑦 𝑅𝑒𝑐 𝑅 = 𝐷𝑜𝑚 𝑅−1 El diagrama sagital se tiene la relación 𝑇 de 𝐴 en 𝐵 y su relación inversa 𝑇−1 de 𝐵 en 𝐴. 𝑇−1 = {(1, 𝑎), (2, 𝑏),(3, 𝑏)} Figura 2.3
  6. 6. Universidad Católica del Norte Departamento de Matemática Cecilia Alejandra Cabello Bugueño 6 Ejemplo N°11: a.- En un conjunto de personas consideramos la relación: 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦} La relación inversa es: 𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)/ 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦} b.- Si 𝑇 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑥2} ⊆ ℝ 𝑥 ℝ La relación inversa es: 𝑇−1 = {(𝑦, 𝑥)/ 𝑦 = 𝑥2} ⊆ ℝ 𝑥 ℝ 2.4 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN 𝐀𝐱𝐀. Una relación 𝑅definida en un conjunto 𝐴 puede cumplir las siguientes propiedades: a) Propiedad Refleja: Una relación 𝑅definidaenunconjunto 𝐴,satisface lapropiedadreflejasi,ysólosi, ( 𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅 para todo elemento de 𝑎 ∈ 𝐴. Para que una relación sea refleja deben estar todos los pares ordenados de la forma (𝑥, 𝑥), para todos los elementos del conjunto. Ejemplo N°12: Para 𝐴 = {0,1,2,3} y se definen las relaciones siguientes: 𝑅1 = {(0,0), (1,1),(2, 2),(1, 2), (3,1), (3, 3)} 𝑅 1Satisface la propiedad refleja: ∀ 𝑎 ∈ 𝐴 ∶ 𝑎 𝑅 𝑎 𝑅2 = {(0,0), (1,1), (2, 2)} 𝑅2 No satisface la propiedad refleja, pues el par (3, 3) ∉ 𝑅2
  7. 7. Universidad Católica del Norte Departamento de Matemática Cecilia Alejandra Cabello Bugueño 7 b) Propiedad Simétrica La relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴, satisface la propiedad simétrica si, y sólo si (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅, entonces ( 𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅. Una relacióncumple lapropiedadsimétricasi ensuspares ordenados se encuentra el par ( 𝒳, 𝒴), entonces necesariamente debe estar el par (𝒴, 𝒳), en el caso de estar en la relación esta el par ( 𝒳, 𝒴), y no esta el par (𝒴, 𝒳), entonces la relación ya no cumple la propiedad simétrica. Una relación 𝑅 satisface la propiedad simétrica si, y sólo si, 𝑅 = 𝑅−1. Ejemplo N°13: En 𝐴 = {1,3, 5,7, 9}. Sean las relaciones. 𝑅1 = {(1,3), (1,5),(1, 1),(5, 1)} 𝑅1 −1 = {(3, 1),(5,1), (1,1),(1, 5)} 𝑅1 No satisface la propiedad simétrica pues (1,3) ∈ 𝑅, pero (3, 1) ∉ 𝑅1. Además, 𝑅 ≠ 𝑅−1 𝑅2 = {(1, 1),(1, 3), (3,1)} 𝑅2 Satisface la propiedad simétrica; además 𝑅2 −1 = 𝑅 c) Propiedad Transitiva Una relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴, satisface la propiedad transitiva si, y sólo si, ( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 ∧ ( 𝑏, 𝑐) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ( 𝑎, 𝑐) ∈ 𝑅. La propiedadtransitivaindicaque si enlarelaciónse encuentranlospares ( 𝑎, 𝑏) 𝑦 ( 𝑏, 𝑐),entonces también debe estar dentro de la relación el par( 𝑎, 𝑐). Debemos notar que deben estar ambos pares (( 𝑎, 𝑏) ∧ ( 𝑏, 𝑐) ) para verificar la propiedad transitiva, en el caso de que estuviese sólo un par no significa que la relación no sea transitiva. Ejemplo N°14: a.- Sea 𝐴 = {1,2} y la relación 𝑅 = {(1,2)(2,1)(2,2)(1,1)}, verifiquemos que 𝑅 es una relación que cumple la propiedad transitiva (1,2) ∈ 𝑅 𝑦 (2,1) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (1,1) ∈ 𝑅
  8. 8. Universidad Católica del Norte Departamento de Matemática Cecilia Alejandra Cabello Bugueño 8 (2,1) ∈ 𝑅 𝑦 (1,1) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (2,1) ∈ 𝑅 (2,1) ∈ 𝑅 𝑦 (1,2) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (2,2) ∈ 𝑅 (2,2) ∈ 𝑅 𝑦 (2,1) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (2,1) ∈ 𝑅 (1,1) ∈ 𝑅 𝑦 (1,2) ∈ 𝑅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (1,2) ∈ 𝑅 Luego, la relación 𝑅 es una relación que cumple la propiedad transitiva. b.- Sea 𝐴 = {1,2} y la relación 𝑆 = {(1,2)(2,1)(2,2)}, verifiquemos si 𝑆 cumple la propiedad transitiva (1,2) ∈ 𝑆 𝑦 (2,1) ∈ 𝑆 , 𝑝𝑒𝑟𝑜 (1,1) ∉ 𝑆 Luego, la relación 𝑆, no cumple la propiedad transitiva. d) Propiedad Antisimétrica La relación 𝑅 definidaenunconjunto 𝐴,satisface lapropiedadantisimétricasi,ysólo si ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 ; ( 𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 𝑦 ( 𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅. Entonces, 𝑎 = 𝑏. Para todos los elementos del conjunto A se forman los pares ordenados ( 𝑎, 𝑏) y los pares de la forma( 𝑏, 𝑎) que estánenla relación 𝑅,entoncesnecesariamente los elementos son los mismos, es decir, 𝑎 = 𝑏. Ejemplo N°15: Sea el conjunto 𝐴 = {1, 2,3}. Se define 𝑅1 como la relación definida en 𝐴𝑥𝐴 𝑅1 = {(1,1), (1,2)} 𝑅1 Cumple con la propiedad antisimétrica. Sea 𝑅2 una relación definida en 𝐴𝑥𝐴 𝑅2 = {(1,2),(1, 3),(3,1)} 𝑅2 No cumple la propiedad simétrica y tampoco cumple la propiedad antisimétrica.
  9. 9. Universidad Católica del Norte Departamento de Matemática Cecilia Alejandra Cabello Bugueño 9 2.5 TIPOS DE RELACIONES Las relaciones si satisfacen algunas propiedades vistas anteriormente, son denominadas por: a) Relación Equivalencia Una relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴, es una relación de equivalencia si, y sólo si 𝑅 cumple con las propiedades refleja, simétrica y transitiva. Esto es, debe cumplir las tres propiedades de manera simultánea. Si una de estas no se cumple, la relación no es de Equivalencia. Ejemplo N°16: Sea 𝐴 = {1,2,3} y se define una relación por 𝑅 = {( 𝑥, 𝑦)/ 𝑥 = 𝑦} Los pares ordenados de la relación son: 𝑅 = {(1,1), (2,2), (3,3)} Luego, la relación es una Relación de equivalencia. b) Relación de Orden Una relación 𝑅 definida en un conjunto 𝐴 es una relación de orden si, y sólo si 𝑅 cumple las propiedadesrefleja,antisimétricay transitiva.Estoes,tiene que cumplir con las tres propiedades de manera simultánea(refleja,antisimétricaytransitiva),si unade estasno se cumple, la relación no es una Relación de Orden. Ejemplo N°17: Sea 𝐴 = {1,2,3} y se define la relación 𝑅 = {( 𝑥, 𝑦): 𝑥 ≤ 𝑦} Luego, la relación es una Relación de Orden

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