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  1. 1. π‘Ίπ’†π’•π’”π‘Άπ’—π’†π’“π’—π’Šπ’†π’˜ 𝑺𝒆𝒕𝒔 π‘Άπ’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’ 𝒐𝒇 𝒔𝒆𝒕𝒔 π‘·π’“π’π’‘π’†π’“π’•π’Šπ’†π’” 𝒐𝒇 𝒔𝒆𝒕𝒔 π‘Ήπ’†π’π’‚π’•π’Šπ’π’π’” 𝒐𝒇 𝒔𝒆𝒕𝒔 βˆ’π‘ˆπ‘›π‘–π‘œπ‘› (βˆͺ) βˆ’πΈπ‘šπ‘π‘‘π‘¦ 𝑠𝑒𝑑𝑠 βˆ’πΈπ‘žπ‘’π‘Žπ‘™ βˆ’ πΌπ‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘› (∩) βˆ’ 𝐹𝑖𝑛𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑑𝑠 βˆ’ π·π‘–π‘“π‘“π‘’π‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘’ (βˆ’) βˆ’ 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑑𝑠 βˆ’π‘†π‘’π‘π‘ π‘’π‘‘π‘  βˆ’ πΆπ‘œπ‘šπ‘π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘ (β€²) βˆ’ π‘ˆπ‘›π‘–π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘Žπ‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠 βˆ’π‘ƒπ‘œπ‘€π‘’π‘Ÿ 𝑠𝑒𝑑s 𝑽𝒆𝒏𝒏 βˆ’ 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓′𝒔 π’…π’Šπ’‚π’ˆπ’“π’‚π’Žπ‘Ύπ’‰π’‚π’• π’Šπ’” 𝒂 𝒔𝒆𝒕? βˆ’ 𝐴 𝒔𝒆𝒕 𝑖𝑠 π‘Ž π‘π‘œπ‘™π‘™π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘› π‘œπ‘“ π‘œπ‘π‘—π‘’π‘π‘‘π‘ , 𝑑𝑕𝑖𝑛𝑔𝑠 π‘œπ‘Ÿ π‘ π‘¦π‘šπ‘π‘œπ‘™π‘  𝑀𝑕𝑖𝑐𝑕 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π’„π’π’†π’‚π’“π’π’š π’…π’†π’‡π’Šπ’π’†π’…. βˆ’ 𝑇𝑕𝑒 π‘–π‘›π‘‘π‘–π‘£π‘–π‘‘π‘’π‘Žπ‘™ π‘œπ‘π‘—π‘’π‘π‘‘π‘  𝑖𝑛 π‘Ž 𝑠𝑒𝑑 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘π‘Žπ‘™π‘™π‘’π‘‘ 𝑑𝑕𝑒 π’Žπ’†π’Žπ’ƒπ’†π’“π’” π‘œπ‘Ÿ π’†π’π’†π’Žπ’†π’π’•π’” π‘œπ‘“ 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑. 𝑆𝑒𝑑 = {π‘šπ‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ1, π‘šπ‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ2, π‘šπ‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ3} 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝑆𝑒𝑑 π‘œπ‘“ π‘‘π‘Žπ‘¦ = {π‘†π‘’π‘›π‘‘π‘Žπ‘¦, π‘€π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘¦, π‘‡π‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘¦, π‘Šπ‘’π‘‘π‘›π‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘¦, π‘‡π‘•π‘’π‘Ÿπ‘ π‘‘π‘Žπ‘¦, πΉπ‘Ÿπ‘–π‘‘π‘Žπ‘¦, π‘†π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘‘π‘Žπ‘¦}
  2. 2. π‘Ύπ’“π’Šπ’•π’Šπ’π’ˆ 𝑺𝒆𝒕𝒔 π‘‡π‘•π‘’π‘Ÿπ‘’ π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘‘π‘€π‘œ π‘€π‘Žπ‘¦π‘  π‘‘π‘œ π‘€π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘’ 𝑠𝑒𝑑𝑠 ∢ 1) 𝐿𝑖𝑠𝑑𝑖𝑛𝑔 π‘šπ‘’π‘‘π‘•π‘œπ‘‘ ∢ 𝐴𝑙𝑙 π‘œπ‘“ 𝑑𝑕𝑒 π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  π‘œπ‘“ π‘Ž 𝑠𝑒𝑑 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘€π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘‘π‘’π‘›, 𝑠𝑒𝑐𝑕 π‘Žπ‘  𝐴 = 1,3,5,7,9 . 2) 𝑆𝑒𝑑 βˆ’ π‘π‘’π‘–π‘™π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘šπ‘’π‘‘π‘•π‘œπ‘‘ ∢ 𝐴 π‘‘π‘¦π‘π‘–π‘π‘Žπ‘™ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘ 𝑖𝑠 π‘›π‘Žπ‘šπ‘’π‘‘, π‘Žπ‘™π‘œπ‘›π‘” 𝑀𝑖𝑑𝑕 𝑖𝑑𝑠 π‘‘π‘’π‘ π‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘›, 𝑠𝑒𝑐𝑕 π‘Žπ‘  𝐴 = {π‘₯|π‘₯ 𝑖𝑠 π‘Žπ‘› π‘œπ‘‘π‘‘ π‘›π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘“π‘Ÿπ‘œπ‘š 1 π‘‘π‘œ 10}. π‘π‘œπ‘‘π‘’: 𝑇𝑕𝑒 π‘£π‘’π‘Ÿπ‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘™ π‘π‘Žπ‘Ÿ 𝑖𝑠 π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘‘ "such that"π‘΄π’†π’Žπ’ƒπ’†π’“π’” 𝒐𝒇 𝒔𝒆𝒕𝒔 π‘Šπ‘’ π‘Ÿπ‘’π‘™π‘Žπ‘‘π‘’ π‘Ž π‘šπ‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘Žπ‘›π‘‘ π‘Ž 𝑠𝑒𝑑 𝑒𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑑𝑕𝑒 π‘ π‘¦π‘šπ‘π‘œπ‘™ ∈. 𝐼𝑓 π‘Žπ‘› π‘œπ‘π‘—π‘’π‘π‘‘ π‘₯ 𝑖𝑠 π‘Žπ‘› π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘ π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑 𝐴, 𝑀𝑒 π‘€π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘’ π‘₯ ∈ 𝐴. 𝐼𝑓 π‘Žπ‘› π‘œπ‘π‘—π‘’π‘π‘‘ π‘₯ 𝑖𝑠 π‘›π‘œπ‘‘ π‘Žπ‘› π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘ π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑 𝐴, 𝑀𝑒 π‘€π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘’ π‘₯ βˆ‰ 𝐴 ∈ π‘‘π‘’π‘›π‘œπ‘‘π‘’π‘  β€œπ’Šπ’” 𝒂𝒏 π’†π’π’†π’Žπ’†π’π’• 𝒐𝒇’ π‘œπ‘Ÿ β€œπ‘–π‘  π‘Ž π‘šπ‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘œπ‘“β€ π‘œπ‘Ÿ β€œπ‘π‘’π‘™π‘œπ‘›π‘”π‘  π‘‘π‘œβ€ βˆ‰ π‘‘π‘’π‘›π‘œπ‘‘π‘’π‘  β€œπ’Šπ’” 𝒏𝒐𝒕 𝒂𝒏 π’†π’π’†π’Žπ’†π’π’• 𝒐𝒇” π‘œπ‘Ÿ β€œπ‘–π‘  π‘›π‘œπ‘‘ π‘Ž π‘šπ‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘œπ‘“β€ π‘œπ‘Ÿ β€œπ‘‘π‘œπ‘’π‘  π‘›π‘œπ‘‘ π‘π‘’π‘™π‘œπ‘›π‘” π‘‘π‘œβ€ 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐼𝑓 𝐴 = {1, 3, 5} 𝑑𝑕𝑒𝑛 1 ∈ 𝐴 π‘Žπ‘›π‘‘ 2 βˆ‰ π΄π‘·π’“π’π’‘π’†π’“π’•π’Šπ’†π’” 𝒐𝒇 𝒔𝒆𝒕𝒔 π‘¬π’Žπ’‘π’•π’š 𝑺𝒆𝒕 𝒐𝒓 𝑡𝒖𝒍𝒍 𝑺𝒆𝒕 π‘‡π‘•π‘’π‘Ÿπ‘’ π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘ π‘œπ‘šπ‘’ 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ π‘‘π‘œ π‘›π‘œπ‘‘ π‘π‘œπ‘›π‘Žπ‘‘π‘–π‘› π‘Žπ‘›π‘¦ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘ π‘Žπ‘‘ π‘Žπ‘™π‘™. π‘Šπ‘’ π‘π‘Žπ‘™π‘™ π‘Ž 𝑠𝑒𝑑 𝑀𝑖𝑑𝑕 π‘›π‘œ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  𝑑𝑕𝑒 𝒏𝒖𝒍𝒍 π‘œπ‘Ÿ π’†π’Žπ’‘π’•π’š 𝑠𝑒𝑑. 𝐼𝑑 𝑖𝑠 π‘Ÿπ‘’π‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘‘ 𝑏𝑦 𝑑𝑕𝑒 π‘ π‘¦π‘šπ‘π‘œπ‘™ { } π‘œπ‘Ÿ Ø . 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ - The set of months with 32 days. - The set of squares with 5 sides. - 𝐴 = {} - 𝐡=βˆ…
  3. 3. π‘­π’Šπ’π’Šπ’•π’† 𝑺𝒆𝒕𝒔 π‘­π’Šπ’π’Šπ’•π’† 𝒔𝒆𝒕𝒔 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ π‘•π‘Žπ‘£π‘’ π‘Ž 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑒 π‘›π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘œπ‘“ π‘šπ‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿπ‘ . 𝐼𝑓 𝑑𝑕𝑒 π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  π‘œπ‘“ π‘Ž 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ 𝑙𝑖𝑠𝑑𝑒𝑑 π‘œπ‘›π‘’ π‘Žπ‘“π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘Žπ‘›π‘œπ‘‘π‘•π‘’π‘Ÿ, 𝑑𝑕𝑒 π‘π‘Ÿπ‘œπ‘π‘’π‘ π‘  𝑀𝑖𝑙𝑙 π‘’π‘£π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Žπ‘™π‘™π‘¦ β€œπ‘Ÿπ‘’π‘› π‘œπ‘’π‘‘β€ π‘œπ‘“ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  π‘‘π‘œ 𝑙𝑖𝑠𝑑. 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ - 𝐴 = {0, 2, 4, 6, 8, … , 100} - 𝐡 = {π‘Ž, 𝑒, 𝐼, π‘œ, 𝑒} - 𝐢 = {π‘₯ ∢ π‘₯ is an integer, 1 < π‘₯ < 10}π‘°π’π’‡π’Šπ’π’Šπ’•π’† 𝑺𝒆𝒕𝒔 𝐴𝑛 π’Šπ’π’‡π’Šπ’π’Šπ’•π’† 𝒔𝒆𝒕 𝑖𝑠 π‘Ž 𝑠𝑒𝑑 𝑀𝑕𝑖𝑐𝑕 𝑖𝑠 π‘›π‘œπ‘‘ 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑒. 𝐼𝑑 𝑖𝑠 π‘›π‘œπ‘‘ π‘π‘œπ‘ π‘ π‘–π‘π‘™π‘’ π‘‘π‘œ 𝑒π‘₯𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑙𝑦 𝑙𝑖𝑠𝑑 π‘œπ‘’π‘‘ π‘Žπ‘™π‘™ 𝑑𝑕𝑒 π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  π‘œπ‘“ π‘Žπ‘› 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑑. 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ - 𝑇 = {π‘₯ ∢ π‘₯ 𝑖𝑠 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘”π‘’π‘Ÿ, π‘₯ > 100} - 𝑄 = {-1,-2,-3,-4…} - 𝑁 𝑖𝑠 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ π‘›π‘Žπ‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™ π‘›π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿπ‘  - 𝐴 𝑖𝑠 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ π‘“π‘Ÿπ‘Žπ‘π‘‘π‘–π‘œπ‘›π‘  π‘π‘œπ‘‘π‘’: 𝑇𝑕𝑒 π’π’–π’Žπ’ƒπ’†π’“ 𝒐𝒇 π’†π’π’†π’Žπ’†π’π’•π’” 𝑖𝑛 π‘Ž 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑑 𝐴 𝑖𝑠 π‘‘π‘’π‘›π‘œπ‘‘π‘’π‘‘ 𝑏𝑦 𝒏(𝑨).π‘Όπ’π’Šπ’—π’†π’“π’”π’‚π’ 𝑺𝒆𝒕 𝐴 π’–π’π’Šπ’—π’†π’“π’”π’‚π’ 𝒔𝒆𝒕 𝑖𝑠 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ π‘Žπ‘™π‘™ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘π‘œπ‘›π‘ π‘–π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘–π‘œπ‘›, π‘‘π‘’π‘›π‘œπ‘‘π‘’π‘‘ 𝑏𝑦 π‘π‘Žπ‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘™ U. 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐺𝑖𝑣𝑒𝑛 π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ π‘ˆ = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 , 𝑙𝑖𝑠𝑑 𝑑𝑕𝑒 π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  π‘œπ‘“ 𝑑𝑕𝑒 π‘“π‘œπ‘™π‘™π‘œπ‘€π‘–π‘›π‘” 𝑠𝑒𝑑𝑠. π‘Ž) 𝐴 = π‘₯ ∢ π‘₯ 𝑖𝑠 π‘Ž π‘“π‘Žπ‘π‘‘π‘œπ‘Ÿ π‘œπ‘“ 60 = {5,6,10,12} 𝑏) 𝐡 = π‘₯ ∢ π‘₯ 𝑖𝑠 π‘Ž π‘π‘Ÿπ‘–π‘šπ‘’ π‘›π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ = {5,7,11}
  4. 4. π‘Ήπ’†π’π’‚π’•π’Šπ’π’π’” 𝒐𝒇 𝒔𝒆𝒕𝒔 πΈπ‘žπ‘’π‘Žπ‘™ 𝑆𝑒𝑑𝑠 π‘‡π‘€π‘œ 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘’π‘žπ‘’π‘Žπ‘™ 𝑖𝑓 𝑑𝑕𝑒𝑦 π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘–π‘› 𝑑𝑕𝑒 π’”π’‚π’Žπ’† π’Šπ’…π’†π’π’•π’Šπ’„π’‚π’ π’†π’π’†π’Žπ’†π’π’•π’”. 𝐼𝑓 π‘‘π‘€π‘œ 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘•π‘Žπ‘£π‘’ π‘œπ‘›π‘™π‘¦ 𝑑𝑕𝑒 π‘ π‘Žπ‘šπ‘’ π‘›π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘œπ‘“ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘ , 𝑑𝑕𝑒𝑛 𝑑𝑕𝑒 π‘‘π‘€π‘œ 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ 𝑂𝑛𝑒 βˆ’ π‘‘π‘œ βˆ’ 𝑂𝑛𝑒 π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘›π‘π‘’. πΈπ‘žπ‘’π‘Žπ‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ 𝑂𝑛𝑒 βˆ’ π‘‘π‘œ βˆ’ 𝑂𝑛𝑒 π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘›π‘π‘’ 𝑏𝑒𝑑 π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘›π‘π‘’ 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘›π‘œπ‘‘ π‘Žπ‘™π‘€π‘Žπ‘¦π‘  π‘’π‘žπ‘’π‘Žπ‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠. 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐼 πΆπ‘œπ‘›π‘ π‘–π‘‘π‘’π‘Ÿ 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑𝑠: 𝑃 = {π‘‡π‘œπ‘š, π·π‘–π‘π‘˜, π»π‘Žπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘¦, π½π‘œπ‘•π‘›} , 𝑄 = {π·π‘–π‘π‘˜, π»π‘Žπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘¦, π½π‘œπ‘•π‘›, π‘‡π‘œπ‘š} ∴ 𝑃 𝑖𝑠 𝒆𝒒𝒖𝒂𝒍 π‘‘π‘œ 𝑄, π‘Žπ‘›π‘‘ 𝑀𝑒 π‘€π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘’ 𝑃 = 𝑄. 𝑇𝑕𝑒 π‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘’π‘Ÿ 𝑖𝑛 𝑀𝑕𝑖𝑐𝑕 𝑑𝑕𝑒 π‘šπ‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿπ‘  π‘Žπ‘π‘π‘’π‘Žπ‘Ÿ 𝑖𝑛 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 𝑖𝑠 π‘›π‘œπ‘‘ π‘–π‘šπ‘π‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘Žπ‘›π‘‘. 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐼𝐼 π‘Šπ‘•π‘–π‘π‘• π‘œπ‘“ 𝑑𝑕𝑒 π‘“π‘œπ‘™π‘™π‘œπ‘€π‘–π‘›π‘” 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘’π‘žπ‘’π‘Žπ‘™ π‘Žπ‘›π‘‘ 𝑀𝑕𝑖𝑐𝑕 π‘œπ‘›π‘’π‘  π‘Žπ‘Ÿπ‘’ 𝑂𝑛𝑒 βˆ’ π‘‘π‘œ βˆ’ 𝑂𝑛𝑒 π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘›π‘π‘’ ? 𝐴 = π‘Ž, 𝑓, 𝑗, π‘ž 𝐡 = 1, 2, 3, 5, 8 𝐢 = π‘₯, 𝑦, 𝑧, 𝑀 𝐷 = {8, 1, 3, 5, 2} π‘†π‘œπ‘™π‘’π‘‘π‘–π‘œπ‘› - 𝐡 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝐷 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘’π‘žπ‘’π‘Žπ‘™. 𝑇𝑕𝑒𝑦 π‘•π‘Žπ‘£π‘’ π‘–π‘‘π‘’π‘›π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘™ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘ . - 𝐴 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝐢 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ 𝑂𝑛𝑒 βˆ’ π‘‘π‘œ βˆ’ 𝑂𝑛𝑒 π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘›π‘π‘’ π‘œπ‘Ÿ π‘šπ‘Žπ‘‘π‘π‘•π‘–π‘›π‘” 𝑠𝑒𝑑𝑠. πΈπ‘Žπ‘π‘• 𝑠𝑒𝑑 π‘•π‘Žπ‘  4 π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘ . 𝑇𝑕𝑒𝑦 π‘•π‘Žπ‘£π‘’ 𝑑𝑕𝑒 π‘ π‘Žπ‘šπ‘’ π‘›π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘œπ‘“ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  𝑏𝑒𝑑 π‘›π‘œπ‘‘ 𝑑𝑕𝑒 π‘ π‘Žπ‘šπ‘’ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘ . - 𝐡 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝐷 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ 𝑂𝑛𝑒 βˆ’ π‘‘π‘œ βˆ’ 𝑂𝑛𝑒 π‘π‘œπ‘Ÿπ‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘œπ‘›π‘‘π‘’π‘›π‘π‘’ π‘Žπ‘›π‘‘ π‘’π‘žπ‘’π‘Žπ‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠. 𝑇𝑕𝑒𝑦 π‘•π‘Žπ‘£π‘’ 𝑑𝑕𝑒 π‘ π‘Žπ‘šπ‘’ π‘–π‘‘π‘’π‘›π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘™ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘ .
  5. 5. 𝑺𝒖𝒃𝒔𝒆𝒕𝒔 𝐼𝑓 π‘’π‘£π‘’π‘Ÿπ‘¦ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘ π‘œπ‘“ π‘Ž 𝑠𝑒𝑑 𝐡 𝑖𝑠 π‘Žπ‘™π‘ π‘œ π‘Ž π‘šπ‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘œπ‘“ π‘Ž 𝑠𝑒𝑑 𝐴, 𝑑𝑕𝑒𝑛 𝑀𝑒 π‘ π‘Žπ‘¦ 𝐡 𝑖𝑠 π‘Ž 𝒔𝒖𝒃𝒔𝒆𝒕 π‘œπ‘“ 𝐴. π‘Šπ‘’ 𝑒𝑠𝑒 𝑑𝑕𝑒 π‘ π‘¦π‘šπ‘π‘œπ‘™ βŠ‚ or βŠ† π‘‘π‘œ π‘šπ‘’π‘Žπ‘› β€œπ‘–π‘  π‘Ž 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“β€ . 𝑆𝑒𝑑 𝐡 𝑖𝑠 π‘Ž 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑 𝐴 𝑖𝑠 π‘€π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘‘π‘’π‘›: 𝐡 βŠ‚ 𝐴 π‘œπ‘Ÿ 𝐡 βŠ† 𝐴 𝐴𝑛𝑑 𝑑𝑕𝑒 π‘ π‘¦π‘šπ‘π‘œπ‘™ βŠ„ or ⊈ π‘‘π‘œ π‘šπ‘’π‘Žπ‘› β€œπ‘–π‘  π‘›π‘œπ‘‘ π‘Ž 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“β€. 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐼 𝐴 = 1, 3, 5 , 𝐡 = 1, 2, 3, 4, 5 ∴ π‘†π‘œ, 𝐴 βŠ‚ 𝐡 π‘π‘’π‘π‘Žπ‘’π‘ π‘’ π‘’π‘£π‘’π‘Ÿπ‘¦ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘ 𝑖𝑛 𝐴 𝑖𝑠 π‘Žπ‘™π‘ π‘œ 𝑖𝑛 𝐡. 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐼𝐼 𝑋 = 1, 3, 5 , π‘Œ = 2, 3, 4, 5, 6 ∴ 𝑋 βŠ„ π‘Œ π‘π‘’π‘π‘Žπ‘’π‘ π‘’ 1 𝑖𝑠 𝑖𝑛 𝑋 𝑏𝑒𝑑 π‘›π‘œπ‘‘ 𝑖𝑛 π‘Œ. π‘π‘œπ‘‘π‘’: ο‚· πΈπ‘£π‘’π‘Ÿπ‘¦ 𝑠𝑒𝑑 𝑖𝑠 π‘Ž 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ 𝑖𝑑𝑠𝑒𝑙𝑓 𝑖. 𝑒. π‘“π‘œπ‘Ÿ π‘Žπ‘›π‘¦ 𝑠𝑒𝑑 𝐴, 𝐴 βŠ‚ 𝐴 ο‚· 𝑇𝑕𝑒 π‘’π‘šπ‘π‘‘π‘¦ 𝑠𝑒𝑑 𝑖𝑠 π‘Ž 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ π‘Žπ‘›π‘¦ 𝑠𝑒𝑑 𝐴 𝑖. 𝑒. Ø βŠ‚ 𝐴 ο‚· πΉπ‘œπ‘Ÿ π‘Žπ‘›π‘¦ π‘‘π‘€π‘œ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝐴 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝐡, 𝑖𝑓 𝐴 βŠ‚ 𝐡 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝐡 βŠ‚ 𝐴 𝑑𝑕𝑒𝑛 𝐴 = π΅π‘·π’π’˜π’†π’“ 𝑺𝒆𝒕𝒔 π‘ƒπ‘œπ‘€π‘’π‘Ÿ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 𝑙𝑖𝑠𝑑 π‘Žπ‘™π‘™ 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘œπ‘“ 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑. 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐿𝑖𝑠𝑑 π‘Žπ‘™π‘™ 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘œπ‘“ 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 𝑄 = π‘₯, 𝑦, 𝑧 ∴ 𝑇𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘œπ‘“ 𝑄 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ { }, {π‘₯}, {𝑦}, {𝑧}, {π‘₯, 𝑦}, {π‘₯, 𝑧}, {𝑦, 𝑧}π‘Žπ‘›π‘‘ {π‘₯, 𝑦, 𝑧} π‘π‘œπ‘‘π‘’: 𝑇𝑕𝑒 π‘›π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘“π‘œπ‘Ÿ π‘Ž 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑑 𝐴 𝑖𝑠 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑏𝑦 𝑑𝑕𝑒 π‘“π‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘’π‘™π‘Ž: π‘π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑𝑠 = 2 𝑛 𝐴 π‘€π‘•π‘’π‘Ÿπ‘’ 𝑛(𝐴) = π‘›π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘œπ‘“ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  𝑖𝑛 𝑑𝑕𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑑 𝐴 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝑄 = π‘₯, 𝑦, 𝑧 . π»π‘œπ‘€ π‘šπ‘Žπ‘›π‘¦ 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑀𝑖𝑙𝑙 𝑄 π‘•π‘Žπ‘£π‘’? ∴ 𝑛 𝑄 = 3, π‘π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿ π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑒𝑑𝑠 = 23 = 8 π‘œπ‘Ÿ 𝑃(𝑄) = 23 = 8
  6. 6. π‘Άπ’‘π’†π’“π’‚π’•π’Šπ’π’ 𝒐𝒇 𝒔𝒆𝒕𝒔 π‘Όπ’π’Šπ’π’ 𝒐𝒇 𝑺𝒆𝒕𝒔 𝑇𝑕𝑒 π’–π’π’Šπ’π’ π‘œπ‘“ π‘‘π‘€π‘œ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝐴 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝐡 𝑖𝑠 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘ , 𝑀𝑕𝑖𝑐𝑕 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ 𝑖𝑛 𝐴 𝒐𝒓 𝑖𝑛 𝐡 𝒐𝒓 𝑖𝑛 π‘π‘œπ‘‘π‘•. 𝐼𝑑 𝑖𝑠 π‘‘π‘’π‘›π‘œπ‘‘π‘’π‘‘ 𝑏𝑦 𝐴 βˆͺ 𝐡 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝑖𝑠 π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘‘ β€˜π΄ π‘’π‘›π‘–π‘œπ‘› 𝐡’ πΉπ‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘™π‘™π‘¦: 𝐴 βˆͺ 𝐡 = {π‘₯|π‘₯ ∈ 𝐴 π‘œπ‘Ÿ π‘₯ ∈ 𝐡} 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐺𝑖𝑣𝑒𝑛 π‘ˆ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 , 𝑋 = 1, 2, 6, 7 π‘Žπ‘›π‘‘ π‘Œ = 1, 3, 4, 5, 8 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑋 βˆͺ π‘Œ ? ∴ 𝑋 βˆͺ π‘Œ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ← 1 is written only once. π‘·π’“π’π’‘π’†π’“π’•π’Šπ’†π’” π‘ͺ𝒍𝒐𝒔𝒖𝒓𝒆: βˆ’ 𝑇𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘π‘™π‘œπ‘ π‘’π‘‘ π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘’π‘›π‘–π‘œπ‘›. βˆ’ π‘‡π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑑𝑕𝑒 π‘’π‘›π‘–π‘œπ‘› π‘œπ‘“ π‘‘π‘€π‘œ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘Ž 𝑠𝑒𝑑. π‘¨π’”π’”π’π’„π’Šπ’‚π’•π’Šπ’—π’Šπ’•π’š: βˆ’ π‘ˆπ‘›π‘–π‘œπ‘› π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘Žπ‘ π‘ π‘œπ‘π‘–π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘’: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑨 βˆͺ 𝑩 βˆͺ π‘ͺ = 𝑨 ∩ 𝑩 βˆͺ π‘ͺ π‘ͺπ’π’Žπ’Žπ’–π’•π’‚π’•π’Šπ’—π’Šπ’•π’š: βˆ’ π‘ˆπ‘›π‘–π‘œπ‘› π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘π‘œπ‘šπ‘šπ‘’π‘‘π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘’: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑨 βˆͺ 𝑩 = 𝑩 βˆͺ 𝑨 π‘°π’…π’†π’π’•π’Šπ’•π’š: βˆ’ 𝑇𝑕𝑒 π‘’π‘šπ‘π‘‘π‘¦ 𝑠𝑒𝑑, βˆ…, 𝑖𝑠 π‘π‘œπ‘‘π‘• π‘Ž π‘Ÿπ‘–π‘”π‘•π‘‘ π‘Žπ‘›π‘‘ 𝑙𝑒𝑓𝑑 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑦 π‘“π‘œπ‘Ÿ 𝑠𝑒𝑑 π‘’π‘›π‘–π‘œπ‘›: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, π‘“π‘œπ‘Ÿ π‘Žπ‘™π‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝐴, 𝑨 βˆͺ βˆ… = 𝑨 π‘Žπ‘›π‘‘ βˆ… βˆͺ 𝑨 = 𝑨 𝐈𝐝𝐞𝐦𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐜𝐲: βˆ’ 𝑆𝑒𝑑𝑠 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘–π‘‘π‘’π‘šπ‘π‘œπ‘‘π‘’π‘›π‘‘ π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘’π‘›π‘–π‘œπ‘›: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, π‘“π‘œπ‘Ÿ π‘Žπ‘™π‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝐴, 𝑨 βˆͺ 𝑨 = 𝑨 π‘«π’Šπ’”π’•π’“π’Šπ’ƒπ’–π’•π’Šπ’—π’Šπ’•π’š: βˆ’ π‘ˆπ‘›π‘–π‘œπ‘› π‘‘π‘–π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘’π‘‘π‘’π‘  π‘œπ‘£π‘’π‘Ÿ π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘›: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑨 βˆͺ (𝑩 ∩ π‘ͺ) = (𝑨 ∩ 𝑩) βˆͺ (𝑨 ∩ π‘ͺ) π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘š 𝐴 βˆͺ 𝐡
  7. 7. π‘°π’π’•π’†π’“π’”π’†π’„π’•π’Šπ’π’ 𝒐𝒇 𝑺𝒆𝒕𝒔 𝑇𝑕𝑒 π’Šπ’π’•π’†π’“π’”π’†π’„π’•π’Šπ’π’ π‘œπ‘“ π‘‘π‘€π‘œ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝐴 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝐡 𝑖𝑠 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘π‘œπ‘šπ‘šπ‘œπ‘› π‘‘π‘œ π‘π‘œπ‘‘π‘• 𝑠𝑒𝑑 𝐴 𝒂𝒏𝒅 𝑠𝑒𝑑 𝐡. 𝐼𝑑 𝑖𝑠 π‘‘π‘’π‘›π‘œπ‘‘π‘’π‘‘ 𝑏𝑦 𝐴 ∩ 𝐡 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝑖𝑠 π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘‘ β€˜π΄ π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘› 𝐡’. πΉπ‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘™π‘™π‘¦: 𝐴 ∩ 𝐡 = {π‘₯|π‘₯ ∈ 𝐴 π‘Žπ‘›π‘‘ π‘₯ ∈ 𝐡} 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐺𝑖𝑣𝑒𝑛 π‘ˆ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 , 𝑋 = 1, 2, 6, 7 π‘Žπ‘›π‘‘ π‘Œ = 1, 3, 4, 5, 8 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑋 ∩ π‘Œ ? ∴ 𝑋 ∩ π‘Œ = {1} π‘·π’“π’π’‘π’†π’“π’•π’Šπ’†π’” π‘ͺ𝒍𝒐𝒔𝒖𝒓𝒆: βˆ’ 𝑇𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘π‘™π‘œπ‘ π‘’π‘‘ π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘›. βˆ’ π‘‡π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑑𝑕𝑒 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘› π‘œπ‘“ π‘‘π‘€π‘œ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘Ž 𝑠𝑒𝑑. π‘¨π’”π’”π’π’„π’Šπ’‚π’•π’Šπ’—π’Šπ’•π’š: βˆ’ πΌπ‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘› π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘Žπ‘ π‘ π‘œπ‘π‘–π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘’: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ π‘ͺ = 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ π‘ͺ π‘ͺπ’π’Žπ’Žπ’–π’•π’‚π’•π’Šπ’—π’Šπ’•π’š: βˆ’ πΌπ‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘› π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘π‘œπ‘šπ‘šπ‘’π‘‘π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘’: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨 π‘°π’…π’†π’π’•π’Šπ’•π’š: βˆ’ 𝑇𝑕𝑒 π‘’π‘›π‘–π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘Žπ‘™ 𝑠𝑒𝑑, 𝑼, 𝑖𝑠 π‘π‘œπ‘‘π‘• π‘Ž π‘Ÿπ‘–π‘”π‘•π‘‘ π‘Žπ‘›π‘‘ 𝑙𝑒𝑓𝑑 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑦 π‘“π‘œπ‘Ÿ 𝑠𝑒𝑑 π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘›: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, π‘“π‘œπ‘Ÿ π‘Žπ‘™π‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝐴, 𝑨 ∩ 𝑼 = 𝑨, 𝒂𝒏𝒅 𝑼 ∩ 𝑨 = 𝑨 π‘°π’…π’†π’Žπ’‘π’π’•π’†π’π’„π’š: βˆ’ 𝑆𝑒𝑑𝑠 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘–π‘‘π‘’π‘šπ‘π‘œπ‘‘π‘’π‘›π‘‘ π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘›: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, π‘“π‘œπ‘Ÿ π‘Žπ‘™π‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝐴, 𝑨 ∩ 𝑨 = 𝑨 π‘«π’Šπ’”π’•π’“π’Šπ’ƒπ’–π’•π’Šπ’—π’Šπ’•π’š: βˆ’ πΌπ‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘› π‘‘π‘–π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘’π‘‘π‘’π‘  π‘œπ‘£π‘’π‘Ÿ π‘’π‘›π‘–π‘œπ‘›: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑨 ∩ (𝑩 βˆͺ π‘ͺ) = (𝑨 βˆͺ 𝑩) ∩ (𝑨 βˆͺ π‘ͺ) π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘š 𝐴 ∩ 𝐡
  8. 8. π‘«π’Šπ’‡π’‡π’†π’“π’†π’π’„π’† 𝒐𝒇 𝑺𝒆𝒕𝒔 𝑇𝑕𝑒 π‘‘π‘–π‘“π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘’ π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝐴 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝐡 𝑖𝑠 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ π‘Žπ‘™π‘™ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  π‘œπ‘“ 𝐴 𝑀𝑕𝑖𝑐𝑕 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘›π‘œπ‘‘ π‘Žπ‘™π‘ π‘œ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  π‘œπ‘“ 𝐡. 𝐼𝑑 𝑖𝑠 π‘‘π‘’π‘›π‘œπ‘‘π‘’π‘‘ 𝑏𝑦 𝐴 βˆ’ 𝐡 . πΉπ‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘™π‘™π‘¦: 𝐴 βˆ’ 𝐡 = {π‘₯|π‘₯ ∈ 𝐴 π‘Žπ‘›π‘‘ π‘₯ βˆ‰ 𝐡} 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐺𝑖𝑣𝑒𝑛 π‘ˆ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 , 𝑋 = 1, 2, 6, 7 π‘Žπ‘›π‘‘ π‘Œ = 1, 3, 4, 5, 8 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑋 βˆ’ π‘Œ ? ∴ 𝑋 βˆ’ π‘Œ = {2,6,7} π‘·π’“π’π’‘π’†π’“π’•π’Šπ’†π’” π‘ͺ𝒍𝒐𝒔𝒖𝒓𝒆: βˆ’ 𝑇𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘π‘™π‘œπ‘ π‘’π‘‘ π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘‘π‘–π‘“π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘’. βˆ’ π‘‡π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑑𝑕𝑒 π‘‘π‘–π‘“π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘’ π‘œπ‘“ π‘‘π‘€π‘œ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘Ž 𝑠𝑒𝑑. π‘¨π’”π’”π’π’„π’Šπ’‚π’•π’Šπ’—π’Šπ’•π’š: βˆ’ π·π‘–π‘“π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘’ π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 𝒏𝒐𝒕 π‘Žπ‘ π‘ π‘œπ‘π‘–π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘’: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑖𝑛 π‘”π‘’π‘›π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™, 𝐴– 𝐡 βˆ’ 𝐢 β‰  𝐴– 𝐡– 𝐢 π‘ͺπ’π’Žπ’Žπ’–π’•π’‚π’•π’Šπ’—π’Šπ’•π’š: βˆ’ π·π‘–π‘“π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘’ π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 𝒏𝒐𝒕 π‘π‘œπ‘šπ‘šπ‘’π‘‘π‘Žπ‘‘π‘–π‘£π‘’: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑖𝑛 π‘”π‘’π‘›π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™, 𝐴 βˆ’ 𝐡 β‰  𝐡 – 𝐴 π‘°π’…π’†π’π’•π’Šπ’•π’š: βˆ’ 𝑇𝑕𝑒 π‘’π‘šπ‘π‘‘π‘¦ 𝑠𝑒𝑑, βˆ…, 𝑖𝑠 π‘Ž π‘Ÿπ‘–π‘”π‘•π‘‘ 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑦 π‘“π‘œπ‘Ÿ 𝑠𝑒𝑑 π‘‘π‘–π‘“π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘’, 𝑏𝑒𝑑 π‘‘π‘•π‘’π‘Ÿπ‘’ 𝑖𝑠 π‘›π‘œ 𝑙𝑒𝑓𝑑 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑦 π‘“π‘œπ‘Ÿ 𝑠𝑒𝑑 π‘‘π‘–π‘“π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘’: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, π‘“π‘œπ‘Ÿ π‘Žπ‘™π‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝐴, 𝐴 βˆ’ βˆ… = 𝐴 π‘°π’…π’†π’Žπ’‘π’π’•π’†π’π’„π’š: βˆ’ 𝑆𝑒𝑑𝑠 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ 𝒏𝒐𝒕 π‘–π‘‘π‘’π‘šπ‘π‘œπ‘‘π‘’π‘›π‘‘ π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘‘π‘–π‘“π‘“π‘’π‘Ÿπ‘’π‘›π‘π‘’: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑖𝑛 π‘”π‘’π‘›π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™, π‘“π‘œπ‘Ÿ π‘Žπ‘™π‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝐴, 𝑨 βˆ’ 𝑨 = βˆ… β‰  𝑨 π‘«π’Šπ’”π’•π’“π’Šπ’ƒπ’–π’•π’Šπ’—π’Šπ’•π’š: βˆ’ πΌπ‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘π‘–π‘œπ‘› π‘‘π‘–π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘π‘’π‘‘π‘’π‘  π‘œπ‘£π‘’π‘Ÿ π‘’π‘›π‘–π‘œπ‘›: π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑨 ∩ (𝑩 βˆͺ π‘ͺ) = (𝑨 βˆͺ 𝑩) ∩ (𝑨 βˆͺ π‘ͺ) π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘š 𝐴 βˆ’ 𝐡
  9. 9. π‘ͺπ’π’Žπ’‘π’π’†π’Žπ’†π’π’• 𝑢𝒇 𝑺𝒆𝒕𝒔 𝑇𝑕𝑒 π‘π‘œπ‘šπ‘π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘ π‘œπ‘“ π‘Ž 𝑠𝑒𝑑 𝐴 𝑖𝑠 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ π‘Žπ‘™π‘™ π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  π‘œπ‘“ 𝑑𝑕𝑒 π‘’π‘›π‘–π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’ 𝑀𝑕𝑖𝑐𝑕 π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘›π‘œπ‘‘ 𝑖𝑛 𝐴. 𝐼𝑑 𝑖𝑠 π‘‘π‘’π‘›π‘œπ‘‘π‘’π‘‘ 𝑏𝑦 𝐴′ πΉπ‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Žπ‘™π‘™π‘¦: 𝐴′ = {π‘₯|π‘₯ βˆ‰ 𝐴} 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐿𝑒𝑑 π‘ˆ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 𝑃 = {1, 2, 3} 𝑓𝑖𝑛𝑑 𝑃’ ? ∴ 𝑃′ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} π‘·π’“π’π’‘π’†π’“π’•π’Šπ’†π’” π‘ͺ𝒍𝒐𝒔𝒖𝒓𝒆: βˆ’π‘‡π‘•π‘’ 𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ 𝑠𝑒𝑑𝑠 𝑖𝑠 π‘π‘™π‘œπ‘ π‘’π‘‘ π‘’π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿ π‘π‘œπ‘šπ‘π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘Žπ‘‘π‘–π‘œπ‘›. βˆ’π‘‡π‘•π‘Žπ‘‘ 𝑖𝑠, 𝑑𝑕𝑒 π‘π‘œπ‘šπ‘π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘ π‘œπ‘“ π‘Ž 𝑠𝑒𝑑 𝑖𝑠 π‘Ž 𝑠𝑒𝑑. π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘š 𝐴′
  10. 10. 𝑽𝒆𝒏𝒏 βˆ’ 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓′𝒔 π’…π’Šπ’‚π’ˆπ’“π’‚π’Žπ‘‰π‘’π‘›π‘› π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘š 𝑖𝑠 π‘Ž π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘š π‘œπ‘“ π‘œπ‘£π‘’π‘Ÿπ‘™π‘Žπ‘π‘π‘–π‘›π‘” π‘Žπ‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘  π‘Ÿπ‘’π‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘’π‘›π‘‘π‘–π‘›π‘” 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘Žπ‘›π‘‘ 𝑑𝑕𝑒 π‘π‘œπ‘šπ‘šπ‘œπ‘›π‘’π‘™π‘’π‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘  𝑏𝑒𝑑𝑀𝑒𝑒𝑛 π‘‘π‘•π‘’π‘š.π‘«π’Šπ’‚π’ˆπ’“π’‚π’Žπ’” βˆ’π‘‰π‘’π‘›π‘› π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘  π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘›π‘œπ‘‘ 𝑑𝑒π‘₯π‘‘π‘’π‘Žπ‘™. 𝑆𝑒𝑑 𝐴 U π‘ˆπ‘›π‘–π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘Žπ‘™ 𝑆𝑒𝑑 𝑨 βˆ’ 𝑉𝑒𝑛𝑛 π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘  π‘’π‘ π‘’π‘Žπ‘™π‘™π‘¦ π‘Ÿπ‘’π‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘’π‘›π‘‘ 𝑑𝑕𝑒 π‘’π‘›π‘–π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘Žπ‘™ 𝑠𝑒𝑑 π‘Žπ‘  π‘Žπ‘  π‘’π‘›π‘π‘™π‘œπ‘ π‘–π‘›π‘” π‘Ÿπ‘’π‘π‘‘π‘Žπ‘›π‘”π‘™π‘’, π‘Žπ‘›π‘‘ π‘–π‘›π‘‘π‘–π‘£π‘–π‘‘π‘’π‘Žπ‘™ 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘Žπ‘  π‘π‘–π‘Ÿπ‘π‘™π‘’π‘  (𝑒𝑝 π‘‘π‘œ π‘‘π‘•π‘Ÿπ‘’π‘’). 𝑠𝑒𝑑 ∢ 𝐴 𝑠𝑒𝑑 ∢ 𝐴 ∩ 𝐡 𝑨 𝑩 π‘ˆπ‘›π‘–π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘Žπ‘™ 𝑆𝑒𝑑 U 𝑠𝑒𝑑 ∢ 𝐡 Two Sets 𝑠𝑒𝑑 ∢ 𝐴 𝑠𝑒𝑑 ∢ 𝐴 ∩ 𝐢 𝑨 U 𝑠𝑒𝑑 ∢ 𝐴 ∩ 𝐡 𝑠𝑒𝑑 ∢ 𝐢 𝑩 π‘ͺ 𝑠𝑒𝑑 ∢ 𝐡 𝑠𝑒𝑑 ∢ 𝐡 ∩ 𝐢 Three Sets 𝑠𝑒𝑑 ∢ 𝐴 ∩ 𝐡 ∩ 𝐢 π‘ˆπ‘›π‘–π‘£π‘’π‘Ÿπ‘ π‘Žπ‘™ 𝑆𝑒𝑑
  11. 11. 𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐼 π΄π‘›π‘ π‘€π‘’π‘Ÿ 15 𝑷 𝐿𝑒𝑑 π‘ˆ = {π‘₯|15 ≀ π‘₯ ≀ 25, π‘₯ ∈ 𝑁} 17 𝑃 = {𝑠𝑒𝑑 π‘œπ‘“ 𝑒𝑣𝑒𝑛 π‘›π‘’π‘šπ‘π‘’π‘Ÿπ‘  } 16 21 19 18 20 π·π‘Ÿπ‘Žπ‘€ π‘Žπ‘›π‘‘ π‘™π‘Žπ‘π‘’π‘™ π‘Ž 𝑉𝑒𝑛𝑛 π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘š π‘‘π‘œ 23 22 24 U π‘Ÿπ‘’π‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘’π‘›π‘‘ 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 𝑃 25𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐼𝐼 π΄π‘›π‘ π‘€π‘’π‘Ÿ π·π‘Ÿπ‘Žπ‘€ π‘Žπ‘›π‘‘ π‘™π‘Žπ‘π‘’π‘™ π‘Ž 𝑉𝑒𝑛𝑛 π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘š π‘‘π‘œ π‘Ÿπ‘’π‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘’π‘›π‘‘ 𝑑𝑕𝑒 𝑠𝑒𝑑 𝑹 𝑅 = {π‘€π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘¦, π‘‡π‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘¦, π‘Šπ‘’π‘‘π‘›π‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘¦}. π‘€π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘¦ π‘‡π‘’π‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘¦ π‘Šπ‘’π‘‘π‘›π‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘¦ U𝐸π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’ 𝐼𝐼𝐼 𝐺𝑖𝑣𝑒𝑛 π‘ˆ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 , 𝑋 = 1, 2, 6, 7 π‘Žπ‘›π‘‘ π‘Œ = 1, 3, 4, 5, 8 𝐹𝑖𝑛𝑑 𝑋 βˆͺ π‘Œ π‘Žπ‘›π‘‘ π‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘€ π‘Ž 𝑉𝑒𝑛𝑛 π‘‘π‘–π‘Žπ‘”π‘Ÿπ‘Žπ‘š π‘‘π‘œ π‘–π‘™π‘™π‘’π‘ π‘‘π‘Ÿπ‘Žπ‘‘π‘’ 𝑋 βˆͺ π‘Œ. π΄π‘›π‘ π‘€π‘’π‘Ÿ 𝑋 βˆͺ π‘Œ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ← 1 𝑖𝑠 π‘€π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘‘π‘’π‘› π‘œπ‘›π‘™π‘¦ π‘œπ‘›π‘π‘’.π‘π‘œπ‘‘π‘’: 𝐼𝑛 π‘”π‘’π‘›π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘™, π‘‘π‘•π‘’π‘Ÿπ‘’ π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘šπ‘Žπ‘›π‘¦ π‘€π‘Žπ‘¦π‘  π‘‘π‘•π‘Žπ‘‘ 3 𝑠𝑒𝑑𝑠 π‘šπ‘Žπ‘¦ π‘–π‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘π‘‘. π‘†π‘œπ‘šπ‘’ 𝑒π‘₯π‘Žπ‘šπ‘π‘™π‘’π‘  π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘ π‘•π‘œπ‘€π‘› π‘π‘’π‘™π‘œπ‘€.
  12. 12. π‘Ύπ’π’“π’Œπ’Šπ’π’ˆ π’˜π’Šπ’•π’‰ π’•π’˜π’ 𝒔𝒆𝒕𝒔 π‘¬π’π’†π’Žπ’†π’π’•π’” π’Šπ’ 𝒕𝒉𝒆 π’–π’π’Šπ’π’ 𝒐𝒇 π’•π’˜π’ 𝒔𝒆𝒕𝒔 𝑛 𝐴 βˆͺ 𝐡 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐡 βˆ’ 𝑛(𝐴 ∩ 𝐡) 𝑛 𝐴 βˆͺ 𝐡 = 𝑛 𝐴 βˆ’ 𝐡 + 𝑛 𝐴 ∩ 𝐡 + 𝑛(𝐡 βˆ’ 𝐴) 𝑛 𝐴 = 𝑛 π΄βˆ’ 𝐡 + 𝑛 𝐴∩ 𝐡 ⟢ 𝑛 𝐴 βˆ’ 𝐡 = 𝑛 𝐴 βˆ’ 𝑛(𝐴 ∩ 𝐡) 𝑛 𝐡 = 𝑛 π΅βˆ’ 𝐴 + 𝑛 𝐴∩ 𝐡 ⟢ 𝑛 𝐡 βˆ’ 𝐴 = 𝑛 𝐡 βˆ’ 𝑛(𝐴 ∩ 𝐡) U 𝑨 𝑩 π·π‘–π‘ π‘—π‘œπ‘–π‘›π‘‘ 𝑆𝑒𝑑𝑠 𝑛 𝐴 βˆͺ 𝐡 = 𝑛 𝐴 + 𝑛(𝐡)
  13. 13. π‘Ύπ’π’“π’Œπ’Šπ’π’ˆ π’˜π’Šπ’•π’‰ π’•π’˜π’ 𝒔𝒆𝒕𝒔 π‘¬π’π’†π’Žπ’†π’π’•π’” π’Šπ’ 𝒕𝒉𝒆 π’–π’π’Šπ’π’ 𝒐𝒇 𝒕𝒉𝒓𝒆𝒆 𝒔𝒆𝒕𝒔 𝑛 𝐴βˆͺ 𝐡βˆͺ 𝐢 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐡 + 𝑛 𝐢 βˆ’ 𝑛 𝐴∩ 𝐡 βˆ’ 𝑛 𝐴∩ 𝐢 βˆ’ 𝑛 𝐡∩ 𝐢 + 𝑛 𝐴∩ 𝐡∩ 𝐢 𝑛 𝐴 βˆͺ 𝐡 βˆͺ 𝐢 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐡 βˆͺ 𝐢 βˆ’ 𝑛(𝐴 ∩ (𝐡 βˆͺ 𝐢)) π‘Šπ‘’ π‘•π‘Žπ‘£π‘’ ∢ 𝑛 𝐡 βˆͺ 𝐢 = 𝑛 𝐡 + 𝑛 𝐢 βˆ’ 𝑛 𝐡 ∩ 𝐢 𝑃𝑒𝑑𝑑𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝑑𝑕𝑒 𝑒π‘₯π‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘ π‘–π‘œπ‘› π‘“π‘œπ‘Ÿ "𝑛(𝐴 βˆͺ 𝐡 βˆͺ 𝐢)", 𝑛 𝐴 βˆͺ 𝐡 βˆͺ 𝐢 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐡 + 𝑛 𝐢 βˆ’ 𝑛 𝐡 ∩ 𝐢 βˆ’ 𝑛(𝐴 ∩ (𝐡 βˆͺ 𝐢)) π‘Šπ‘’ π‘•π‘Žπ‘£π‘’ ∢ 𝑛 𝐴 ∩ 𝐡 βˆͺ 𝐢 = 𝑛( 𝐴 ∩ 𝐡 βˆͺ 𝐴 ∩ 𝐢 ) 𝑛 𝐴∩ 𝐡 βˆͺ 𝐴∩ 𝐢 = 𝑛 𝐴 βˆͺ 𝐡 + 𝑛 𝐴 βˆͺ 𝐢 βˆ’ 𝑛((𝐴 ∩ 𝐡) ∩ (𝐴 ∩ 𝐢)) 𝑛 𝐴∩ 𝐡 ∩ 𝐴∩ 𝐢 = 𝑛(𝐴 ∩ 𝐡 ∩ 𝐢) π‘†π‘œ, 𝑛 𝐴 ∩ 𝐡 βˆͺ 𝐢 = 𝑛 𝐴βˆͺ 𝐡 + 𝑛 𝐴βˆͺ 𝐢 βˆ’ 𝑛 𝐴∩ 𝐡∩ 𝐢 𝑛 𝐴 βˆͺ 𝐡 βˆͺ 𝐢 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐡 + 𝑛 𝐢 βˆ’ 𝑛 𝐡 ∩ 𝐢 βˆ’ (𝑛 𝐴 βˆͺ 𝐡 + 𝑛 𝐴 βˆͺ 𝐢 βˆ’ 𝑛 𝐴∩ 𝐡∩ 𝐢 ) 𝑛 𝐴βˆͺ 𝐡βˆͺ 𝐢 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐡 + 𝑛 𝐢 βˆ’ 𝑛 𝐴∩ 𝐡 βˆ’ 𝑛 𝐴∩ 𝐢 βˆ’ 𝑛 𝐡∩ 𝐢 + 𝑛 𝐴∩ 𝐡∩ 𝐢

Γ—