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03 faltas desbalanceadas

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calculo para falta de fases sistema trifásico, engenharia eletrica

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03 faltas desbalanceadas

  1. 1. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 1 3 Faltas Desbalanceadas 3.1 Introdução Neste capítulo são estudados os curtos-circuitos do tipo monofásico, bifásico e bifase-terra. Durante o estudo será utilizado o método das componentes simétricas. Assim, o problema poderá ser resolvido por fase. 3.2 Fundamentos das componentes simétricas As componentes simétricas permitem representar valores desbalanceados de tensão e corrente em três componentes simétricas balanceadas. Considere a representação fasorial da corrente mostrada na Figura 3.1. Figura 3.1 – Representação das componentes simétricas. Os fasores giram no sentido horário. Assim, esses podem ser escritos como, Eq. 3.1 sendo o operador de rotação a = 1∟120º Eq. 3.2 fica claro que Eq. 3.3 A ordem dos fasores é abc, sequencia de fase positiva. Quando a rodem for acb, tem-se a sequencia de fase negativa (Figura 3.1(b)). Os fasores de sequencia negativa podem ser representados por, Eq. 3.4
  2. 2. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 2 Dependendo do tipo de falta, um terceiro conjunto de fasores balanceados deve ser considerado. Esse é chamado de sequencia zero, e as três fases estão em fase. Os fasores de sequencia zero podem ser representados por, Eq. 3.5 O método das componentes simétricas foi introduzido por Dr. C. L. Fortescue em 1918. Baseando-se na sua teoria, fasores trifásicos desbalanceados de sistemas trifásicos podem ser resolvidos por meio de três sistemas de fasores balanceados, denominados sequencia +, - e 0. Considere as correntes trifásicas desbalanceadas Ia, Ib e Ic mostradas na Figura 3.2. As componentes simétricas para tais correntes são encontradas a seguir. Eq. 3.6 De acordo com a definição de componentes simétricas, a eq. 3.6 pode ser rescrita como, Eq. 3.7 ou Eq. 3.8 Figura 3.2 – Decomposição de um sistema desbalanceado em componentes simétricas.
  3. 3. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 3 Na forma matricial, a eq. 3.8 fica, Eq. 3.9 Onde A é conhecida como Matriz de Transformação Eq. 3.10 Resolvendo a eq. 3.9 para encontrar as componentes simétricas, Eq. 3.11 A inversa de A é, Eq. 3.12 Por meio das eq. 3.10 e 3.12, conclui-se que, Eq. 3.13 Substituindo a eq. 3.13 em 3.11, Eq. 3.14 ou, na forma de componentes simétricas Eq. 3.15 A eq.3.15 permite concluir que a componente de sequencia zero da corrente é igual a um terço da soma das correntes de cada fase. Portanto, a sequencia zero não existe quando a soma das três correntes de fase for zero (por ex. sistema trifásico ligado em Y não aterrado). Se o neutro do sistema for aterrado, a corrente de sequencia zero flui entre o neutro e o terra. Expressões similares existem para a tensão. Logo, tensões desbalanceados em termos de componentes simétricas são, Eq. 3.16 na forma matricial, Eq. 3.17 As componentes simétricas em termos das tensões desbalanceadas são,
  4. 4. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 4 Eq. 3.18 Na forma matricial Eq. 3.19 A potencia aparente complexa em termos das componentes simétricas é, Eq. 3.20 Substituindo a eq. 3.9 e 3.17 em 3.20, tem-se Eq. 3.21 Como AT = A, da eq. 3.13, ATA* = 3, e a potencia complexa fica Eq. 3.22 A eq. 3.22 mostra que a potencia complexa total desbalanceada pode ser obtida a partir da soma das potências complexas. Nas deduções acima, I0 , I1 e I2 são referentes a fase a. Exemplo 3.1 Obtenha as componentes simétricas para as correntes Ia = 1,6∟25º, Ib = 1,0∟180º, Ic = 0,9∟132º. As componentes simétricas e os fasores são mostrados na Figura 3.2 Assim, ver CHP10EX1.M Exemplo 3.2 As componentes simétricas da tensão são Va 0 = 0,6∟90º, Va 1 = 1,0∟30º, Va 2 = 0,8∟-30º. Determine os fasores desbalanceados. As componentes simétricas e os fasores são mostrados na Figura 3.3. Assim, ver CHP10EX2.M
  5. 5. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 5 Figura 3.3 – Transformação de componentes simétricas em componentes de fasores. 3.3 Impedâncias de sequência É a impedância de um equipamento que é percorrida por diferentes sequências. A impedância que se estabelece para a corrente de sequência positiva é a Z1. Para a sequência negativa é a Z2 e para a sequência 0 é a Z0. 3.3.1 Impedância de sequência para carga em Y Uma carga trifásica balanceada com impedância própria e mútua é mostrada na Figura 3.4. Figura 3.4 – Carga balanceada em Y. As tensões fase-terra são, Eq. 3.23 Da lei de Kirchhoff tem-se, Eq. 3.24
  6. 6. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 6 Substituindo a eq. 3.24 em 3.23 e reescrevendo a eq.3.23 na forma matricial, tem-se Eq. 3.25 ou, na forma compacta Eq. 3.26 onde Eq. 3.27 Escrevendo Vabc e Iabc em termos de suas componentes simétricas, tem-se Eq. 3.28 Multiplicando a eq. 10.28 por A-1, tem-se Eq. 3.29 onde Eq. 3.30 Substituindo Zabc (eq.3.27), A-1(eq. 3.10), A (eq. 3.12) tem-se Eq. 3.31 Realizando a multiplicação, tem-se Eq. 3.32 Se não houver acoplamento mútuo, Zm = 0, e a matriz de impedância fica Eq. 3.33 A matriz de impedância tem elementos não zeros somente na diagonal principal. Portanto, para cargas balanceadas, as três sequências são independentes. Isto é, as correntes relativas a cada sequencia produzirão quedas de tensão somente na mesma sequência de fase. Esta é uma propriedade importante, já que permite analisar cada rede de sequencia para uma única fase.
  7. 7. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 7 3.3.2 Impedância de sequência de linhas de transmissão Para dispositivos estáticos, tais como as LTs, as impedânicas Z1=Z2, pois as correntes e tensões se deparam com a mesma geometria da LT. Os condutor de aterramento está no caminho da sequência zero. Logo, Z0, que inclui o efeito do caminho de retorno pela terra, geralmete é diferente de Z1 e Z2. Para ter idéia da ordem da Z0, considere a seguinte configuração. Considere uma LT de 1m de comprimento com condutores equilateralmente espaçados, de acordo com a Figura 3.5. Figura 3.5 – Corrente de sequência zero com retorno pela terra. Pelos condutores fluem correntes de sequência zero (monofásica) que retornam pelo neutro aterrado. A superfície da terra é aproximada a um condutor fictício equivalente localizado na distância média Dn em relação a cada uma das fases. Como o condutor n transporta a corrente de retorno em direção oposta, tem-se Eq. 3.34 Como Ia0 = Ib0 = Ic0, tem-se Eq. 3.35 O fluxo concatenado da fase a é Eq. 3.36 Substituindo Ib0, Ic0 e In em termos de Ia0, tem-se Eq. 3.37 Como L0 = λa0/Ia0, a indutância por fase em mH/km é
  8. 8. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 8 Eq. 3.38 O primeiro termo é a indutância de seq. positiva. Logo, a reatância de seq. zero é Eq. 3.39 onde Eq. 3.40 A Z0 de uma LT é maior que 3x Z1. 3.3.3 Impedância de sequência de máquinas síncronas X1 pode ser igual a X"d, X'd ou Xd, dependendo do caso estudado. X2 é aproximadamente igual a X"d. Eq. 3.41 X0 é aproximadamente igual a X de dispersão. Eq. 3.42 3.3.4 Impedância de sequência de transformadores As perdas no núcleo e a corrente de magnetização são da ordem de 1% do valor nominal. Logo, o ramo de magnetização é desprezado. O transformador é modelado por meio do equivalente série da impedância de dispersão. Como o transformador é um dispositivo estático, a impedância de dispersão não muda se a sequência de fase mudar. Logo, Eq. 3.43 Nos transformadores Y-∆ ou ∆-Y, a o lado de AT está adiantando em relação ao de BT em 30º, para a sequência positiva. Na sequência negativa o deslocamento angular é de -30º. A mostra algumas configurações de transformadores e o circuito de sequência zero.
  9. 9. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 9 Figura 3.6 – Circuito equivalente de sequência zero do transformador. Exemplo 3.3 Uma tensão de fase de 100 V é aplicada a uma carga trifásica balanceada conectada em Y, conforme mostra a Figura 3.7.
  10. 10. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 10 Figura 3.7 – Circuito elétrico do exemplo 3. Determine: a) as correntes de linha usando análise de malhas, sem fazer uso das componentes simétricas b) As correntes de linha por meio das componentes simétricas. Aplicando a LTC, tem-se: Pela LCK, tem-se: As duas equações na forma matricial fica, ou, na forma compacta, resolvendo o sistema de equações, tem-se as correntes de linha b) Pelo método das componentes simétricas onde da eq. 3.32, Assim, ver CHP10EX3.M
  11. 11. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 11 Exemplo 3.4 Uma fonte trifásica desbalanceada tem os seguintes valores de tensão de fase Alimente a seguinte carga Sendo Zs = 8 + j24 e Zm = j4, e sabendo que o neutro da fonte e carga são solidamente aterrados, determine: a) A matriz de impedância de sequencia Z012 b) As componentes de sequencia da tensão c) As componentes de sequencia da corrente d) As correntes de fase da carga e) A potência complexa fornecida para a carga em termos de componentes simétricas f) A potência complexa fornecida para a carga. Ver CHP10EX4.M 3.4 Componentes de sequência de geradores A Figura 3.8 representa um gerador síncrono trifásico aterrado por meio de Zn. O gerador está alimentando uma carga trifásica balanceada. Figura 3.8 – Fonte trifásica balanceada.
  12. 12. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 12 As tensões internas da máquina síncrona são, Eq. 3.44 Aplicando a LTK em cada fase, tem-se: Eq. 3.45 Substituindo In = Ia + Ib +Ic , e escrevendo a eq. 3.45 na forma matricial, tem-se: Eq. 3.46 ou, na forma compacta Eq. 3.47 Transformando para as componentes simétricas Eq. 3.48 Multiplicando 4.48 por A-1 , tem-se Eq. 3.49 onde Eq. 3.50 Realizando as multiplicações, tem-se Eq. 3.51 Como a emf gerada é balanceada, só existe tensão de sequência positiva Eq. 3.52 Substituindo Ea 012 e Z012 em 3.49, tem-se Eq. 3.53 reescrevendo a equação na forma de componente
  13. 13. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 13 Eq. 3.54 Estas três equações podem ser representadas pelos três diagramas de sequência mostrados na Figura 3.9. Figura 3.9 – Diagramas de sequência: (a) positiva; (b) negativa; (c) zero. Observações: • as três sequencias são independentes. • o diagrama de sequencia positiva é igual ao diagrama unifilar utilizado em estudos balanceados. • somente a sequência positiva tem fonte de tensão. Portanto, a corrente de seq. positiva causa queda de tensão de sequência positiva. • correntes de seq. negativa e zero causam quedas de tensão de seq. negativa e zero, somente. • o neutro do sistema é referência para a seq. positiva e negativa, enquanto que o terra é referência para a seq. zero. • a impedância de aterramento é refletida na seq. zero em 3Zn. • sistemas trifásicos podem ser resolvidos separadamente para uma única fase. 3.5 Curto-circuito fase-terra A Figura 3.8 mostra um gerador síncrono trifásico aterrado por meio de Zn. Figura 3.10 – Falta monofásica na fase a. Suponha que a falta ocorre na fase por meio de uma Zf e o gerador está a vazio. As condições de contorno no ponto de falta são:
  14. 14. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 14 Eq. 3.55 Eq. 3.56 Substituindo Ib = Ic = 0, as componentes simétricas das correntes (eq. 3.14) são Eq. 3.57 Da eq. acima tem-se Eq. 3.58 A tensão na fase a em termos das componentes simétricas é Eq. 3.59 Substituindo a eq.3.54 na eq. 3.59, tem-se: Eq. 3.60 onde Z0 = Zs + 3Zn. Substituindo por Va da eq. 3.55, e sabendo que Ia = 3Ia0 , tem-se Eq. 3.61 ou Eq. 3.62 A corrente de falta é Eq. 3.63 Substituindo Ia na eq. 3.54, as componentes simétricas da tensão de fase no ponto de falta são obtidas. As eq. 3.58 e 3.62 podem ser representadas por meio da conexão do diagrama de sequência em série, conforme a Figura 3.11. Nas faltas monofásicas, as impedâncias equivalentes de Thévenin no ponto de falta são obtidos para cada sequência. Se o gerador for solidamente aterrado, Zn = 0 e se a falta for do tipo franca, Zf = 0. Figura 3.11 – Falta monofásica na fase.
  15. 15. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 15 3.6 Curto-circuito bifásico A Figura 3.12 mostra um gerador síncrono trifásico com as fases a e b em curto-circuito, sendo a impedância de falta Zf. Considerando que o gerador está em vazio, as condições de contorno no ponto de falta são: Eq. 3.64 Eq. 3.65 Eq. 3.66 Figura 3.12 – Falta bifásica entre as fases b e c. Substituindo Ia = 0, e Ib = - Ic na eq. 3.14, as componentes simétricas das correntes são Eq. 3.67 Da eq. acima encontra-se Eq. 3.68 Eq. 3.69 Eq. 3.70 Da eq. 3.69 e 3.60, tem-se Eq. 3.71 Da Eq. 3.16, tem-se Eq. 3.72 Substituindo por Va1 e Va2 da eq. 3.54 e sabendo que Ia2 = - Ia1, tem-se Eq. 3.73 Substituindo Ib da eq. 3.69, tem-se
  16. 16. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 16 Eq. 3.74 Como (a - a2 )(a2 - a) = 3, e resolvendo para Ia1 tem-se Eq. 3.75 As correntes de fase são Eq. 3.76 A corrente de falta é Eq. 3.77 ou Eq. 3.78 Substituindo Ia na eq. 3.54, as componentes simétricas da tensão de fase no ponto de falta são obtidas. As eq. 3.71 e 3.75 podem ser representadas por meio da conexão do diagrama de sequência em paralelo, conforme a Figura 3.11. Se a falta for do tipo franca, Zf = 0. Figura 3.13 – Conexão dos diagramas de sequência para falta bifásica. 3.7 Curto-circuito bifásico-terra A Figura 3.14 mostra um gerador síncrono trifásico com as fases a e b em curto-circuito, sendo a impedância de falta a terra Zf. Considerando que o gerador está em vazio, as condições de contorno no ponto de falta são: Eq. 3.79 Eq. 3.80 Da eq. 3.16, as tensões de fase Vb e Vc são Eq. 3.81
  17. 17. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 17 Figura 3.14 – Falta bifase-terra entre as fases a e b. Eq. 3.82 Como, no ponto de falta Vb = Vc, tem-se Eq. 3.83 Em termos das componentes simétricas, a eq. 3.79 fica Eq. 3.84 Substituindo 3.84 e 3.83 em 3.81, tem-se Eq. 3.85 Substituindo as componentes simétricas da tensão (eq. 3.54) em 3.85 e resolvendo para Ia0, tem-se Eq. 3.86 Do mesmo modo, considerando a eq. 3.83, tem-se Eq. 3.87 substituindo Ia0 e Ia2 em 3.80 e resolvendo para Ia1, tem-se
  18. 18. _________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 18 Eq. 3.88 As eq. 3.86 e 3.88 podem ser representadas pela conexão da seq. positiva em série com a combinação em paralelo da seq. negativa e zero, conforme mostra a Figura 3.15. O valor de Ia1 encontrado na eq. 3.88 pode ser substituído nas eq. 3.86 e 3.87 de modo a encontrar o valor de Ia0 e Ia2. As correntes nas fases pode ser encontradas por meio da eq. 3.8. Finalmente, a corrente de falta é Eq. 3.89 Figura 3.15 – Conexão dos diagramas de sequência para falta bifase-terra.

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