Trabajo3 unidad2

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Trabajo3 unidad2

  1. 1. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI1.- Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.a) Sea X=1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianza de X.p(X=1)=0.55 por tanto X~Bernoulli (0.55)MEDIA VARIANZAμX= p σx= p(1-p)μX= 0.55 σx= 0.55(1-0.55) σx= 0.55 (0.45) σx= 0.2475b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos.Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así,encuentre la probabilidad de éxito. Si no explique por qué.No, porque una variable aleatoria de Bernoulli solo tiene valores posibles de 0 y1. Y los valores posibles de Y son 0 y 2.c) Determine la media y la varianza de Y.MEDIA VARIANZAμX= 2(p)+0(1-p) σx= (2-1.1)20.55+ (0-1.1)20.45μX= 2(0.55)+0(1-0.55) σx= (0.9)20.55+ (-1.1)20.45μX= 1.1+0(0.45) σx= (0.81)0.55+ (1.21)0.45μX=1.10 σx= 0.4455+0.5445 σx= 0.992.- En un restaurante de comida rápida. 25% de las órdenes para beber es una bebidapequeña. 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamenteuna orden de una bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la ordenes una bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden de bebida espequeña o mediana y Z=0 en cualquier otro caso.a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px. La probabilidad de p(X=1)=0.25 por lo tanto X~Bernoulli (.25)b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py. La probabilidad de p (Y=1)=0.35 por lo tanto Y~Bernoulli (.35)c) Sea Pz la probabilidad de éxito Z. determine Pz. La probabilidad de p (Z=1)=0.60 por lo tanto Z~Bernoulli (.60)
  2. 2. d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1? Si, solamente por separadoe) ¿Es Pz=Px+Py? Si3.- Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica, 5% es la probabilidadde que se decolore, 20% de que se agriete, y 23% de que se decolore o no se agriete,o ambas. Sea X=1 si se produce una decoloración y X=0 en cualquier otro caso. Y=1 sihay alguna grieta y Y=0 en cualquier otro caso; Z=1 si hay decoloración o grieta, oambas, y Z=0 en cualquier otro caso.a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px. La probabilidad de éxito p(X=1)=0.05 por lo tanto X~Bernoulli (.05)b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py. La probabilidad de éxito p (Y=1)=0.20 por lo tanto Y~Bernoulli (.20)c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz. La probabilidad de éxito p (Z=1)=0.23 por lo tanto Z~Bernoulli (.23)d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1? Si, solamente por separadoe) ¿Es Pz=Px+Py? Si4.- Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z=XY.a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli Puesto que los valores posibles de Xy Y son 0 y 1, los valores posibles delproducto Z=XY son también 0 y 1. Por tanto, Z es una variable aleatoria deBernoulli.b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz=PxPy. Pz=P(Z=1)=P(XY=1)=P(X=1 y Y=1)=P(Z=1)P(Y=1)=PxPy5.- Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.a) Si anota el tiro, su equipo obtiene tres puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos.Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es asi,encuentre la probabilidad de éxito. Si no explique por qué.No, porque una variable aleatoria de Bernoulli solo tiene valores posibles de 0 y1. Y los valores posibles de Y son 0 y 3
  3. 3. b) Determine la media y la varianza de Y.MEDIA VARIANZAμX= 3(p)+0(1-p) σx= (3-1.65)20.55+(0-1.65)20.45μX= 3(0.55)+0(1-0.55) σx= (1.35)20.55+(-165)20.45μX= 1.65+0(0.45) σx= (1.8225)0.55+(2.7225)0.45μX= 1.65 σx= 1.002375+1.225125 σx= 2.2275 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL1.- Se lanza al aire una moneda diez vecesa) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?P(X=3)= (0.5)3(1-0.5)10-3=0.1172b) determine la media del número de caras obtenidas μX=10(0.5)= 5c) determine la varianza del número de caras obtenidas. σ2x= 10(0.5) (1-0.5)=2.5d) determine la desviación estándar del número de caras obtenidas σx= = 1.582.- En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cadabit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits sonindependientes.a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1? P(X=8)= (0.5)8(1-0.5)8-8=0.0039b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1? P(X=3)= (0.5)3(1-0.5)8-3=0.2188c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1) P (X≥6)= P(X=6)+P(X=7)+P(X=8) = (0.5)6(1-0.5)8-6+ (0.5)7(1-0.5)8-7+ (0.5)8(1-0.5)8-8
  4. 4. = 0.10938+0.03125+0.00391 = 0.1445d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1? P (X≥2)= 1-P(X<2) = 1-P(X=0)-P(X=1) =1- (0.5)0(1-0.5)8-0- (0.5)1(1-0.5)8-1 =1-0.00391-0.03125 = 0.96483.- De los pernos manufacturados por cierta aplicación, 90% satisface la longitudespecificada y se puede utilizar inmediatamente, 6% está demasiado largo y solo sepuede usar después que sea cortado, y 4% está demasiado corto y debe deshacerse.a) Determine la probabilidad de que un perno seleccionado aleatoriamente se puedautilizar (inmediatamente o después de ser cortados)P (se puedan usar)= P (usar inmediatamente)+P (largo)= 0.90+0.06=0.964.-Sea X ~ Bin (8,0.4) Determine a) P(X=2) n=8 P(x=2)= ) P(x=2)= 28 (0.16) P(x=2)= 28(0.16) (0.046656) P(x=2)= 0.20901888 b) P(X=4) n=8 P(x=4)= ) P(x=4)= 70 (0.0256) P(x=4)= 70(0.0256) ( P(x=4)=0.2322432 c) P(X<2) n=8 P(X<0)= ) P(X<0)= 1 (1) P(X<0)= 1(1) ( P(x<0)=0.1679616 n=8 P(X<1)= )
  5. 5. P(X<1)= 8 (0.4) P(X<1)= 8(0.4) ( P(x<1)=0.08957952 d) P(X>6) n=8 P(X=7)= ) P(X=7) = 8 ( ) P(X=7) =8( )(0.6) P(X=7) =7.86432 P(X=8) = ) P(X=7) = 1 ( ) P(X=7) = 1( ) (1) P(X=7) =6.55365.-Sea X ~ Bin (5, 0.35) a) P(X=0) N=5 P(X=0) = ) P(X=0) =1 (1) P(X=0) = 1(1) (0.1160290625) P(X=0) =0.1160290625 b) P(X=1) N=5 P(X=1) = ) P(X=1) =5(0.35) P(X=1) =5(0.35) (0.17850626) P(X=1) =0.3123859375 c) P(X=2) N=5 P(X=2) = ) P(X=2) =10(0.1225)
  6. 6. P(X=2) =10(0.1225) (0.274625) P(X=2) =0.336415625 d) P(X=3) N=5 P(X=3) = ) P(X=3) =10(0.042875) P(X=3) =10(0.042875) (0.4225) P(X=3) =0.181146875 e) P(X=4) N=5 P(X=4) = ) P(X=4) =5(0.0150625) P(X=4) =5(0.150625) (0.65) P(X=4) =0.487703125 f) P(X=5) N=5 P(X=5) = ) P(X=5) =1(5.252187x ) P(X=5) =1(5.252187x ) (1) P(X=5) =5.252187x DISTRIBUCIÓN POISSON1.- Sea X ~ Poisson(4). Determinea) P(X=1)= e-4 *P(X=1)= 0.018315638 *P(X=1)= 0.018315638 * 4P(X=1)= 0.073262555b) P(X=0) = e-4 *
  7. 7. P(X=0)= 0.018315638 *P(X=0)= 0.018315638 * 1P(X=0)= 0.018315638c) P(X<2)P(X=1)= e-4 * P(X=0) = e-4 *P(X=1) = 0.018315638 * P(X=0)= 0.018315638 *P(X=1) = 0.018315638 * 4 P(X=0)= 0.018315638 * 1P(X=1) = 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638P(X<2) =P(X=1)+P(X=0)P(X<2) =0.07326255+0.018315638P(X<2) =0.091578193d) P(X>1)P(X=2)= e-4 * P(X=3)= e-4 *P(X=2)= 0.018315638 * P(X=3)= 0.018315638 *P(X=2)= 0.018315638 * 8 P(X=3)= 0.018315638 * 10.66666667P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814P(X=4)= e-4 * P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)P(X=4)= 0.018315638 * P(X>1)= 0.146525111+0.195366814+ 0.195366814P(X=4)= 0.018315638 * 10.66666667P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739e) μXμX= 4f) σx
  8. 8. σx=σx= 22.- Suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en cierto procesotiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el número decontenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto.Determine:a) P(X=3)= e-3*P(X=3)= 0.049787068 *P(X=3)= 0.049787068 * 4.5P(X=3)= 0.0224041807b) P(X≤2)P(X=0)= e-3 * P(X=1)= e-3 *P(X=0)= 0.049787068 * P(X=1)= 0.049787068 *P(X=0)= 0.049787068 * 1 P(X=1)= 0.049787068 * 3P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205P(X=2)= e-3* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 0.049787068 * P(X≤2)= 0.049787068+0.149361205+ 0.149361205P(X=2)= 0.049787068 * 4.5P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008c) P(X<2)P(X=1)= e-3 * P(X=2)= e-3*P(X=1)= 0.049787068 * P(X=2)= 0.049787068 *P(X=1)= 0.049787068 * 3 P(X=2)= 0.049787068 * 4.5
  9. 9. P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807P(X=3)= e-3* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)P(X=3)= 0.049787068 * P(X<2)= 0.149361205+0.224041807+ 0.224041807P(X=3)= 0.049787068 * 4.5P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819d) μXμX= 3e) σxσx=σx= 1.7320308083.- El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es unavariable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?P(X=3)= e-8*P(X=3)= 3.354626279x10-4 *P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667P(X=3)= 0.09160366b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?P(X=10)= e-12*P(X=10)= 6.144212353x10-6 *P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571P(X=10)= 0.104837255c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2horas?
  10. 10. P(X=0)= e-12* P(X=1)= e-12*P(X=0)= 6.144212353x10-6 * P(X=1)= 6.144212353x10-6 *P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6 * 12P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5P(X=2)= e-12* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 6.144212353x10-6 * P(X<3)= 6.144212353x10-6 + 7.373054824x10-5 + -6P(X=2)= 6.144212353x10 * 72 4.423832894x10-4 =P(X=2)= 4.423832894x10-4 P(X<3)= 5.2225805x10-44.- Una variable aleatoria X tiene una distribucion binomial y una variable Y tieneuna distribucion de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3. ¿Es posibledeterminar que variable aleatoria tiene la varianza más grande? Elija una de lassiguientes respuestas:i) Sí, X tiene la varianza más grande.ii) Sí, Y tiene la varianza más grandeiii) No, se necesita conocer el número de ensayos, n, para X.iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X.v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial:σ2x= (1-p)σ2x= (1-3)σ2x= -2Fórmula para determinar la varianza en una distribución Poisson:σ2y= λσ2y= 3Respuesta:ii) Sí, Y tiene la varianza más grande5.- La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita porcompleto la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número departículas que son retiradas. Determine.a) P(X=5)= e-6 *
  11. 11. P(X=5)= 2.478752177x10-3 *P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8P(X=5)= 0.160623141b) P(X≤2)P(X=0)= e-6 * P(X=1)= e-6 *P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513P(X=2)= e-6 * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 2.478752177x10-3 * P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+ 0.044617539P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804c) μXμX= 6d) σxσx=σx= 2.449489743 DISTRIBUCIÓN NORMAL1.-Determine el área bajo la curva normal a) Ala derecha de z= -0.85. b) Entre z = 0.40 y z = 1.30. c) Entre z =0.30 y z = 0.90. d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas
  12. 12. A – 1 – 0.1977 = 0.8023B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.74042- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente conmedia de 480 y desviación estándar de 90. a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700? b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones? c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En qué percentil se encuentra? d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?µ = 480 σ = 90A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073 B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67 El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7 C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082 Por lo que una puntuación de 600 está en el percentil 91 D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67 Z = (520 – 480)/90 = 0.44 El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4183- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con mediade 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa? b) Determine el primer cuartilde la resistencia de esta aleación. c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.RESULTADOSµ = 10 σ = 1.4
  13. 13. A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 =0.0764B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645El 25 º percentil es entonces 10 +1.645(1.4) = 12.303 Gpa.4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en uncaldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. Laconcentración optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentraciónexcede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todoel día. a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en qué proporción de días se suspenderá el proceso? b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida? RESULTADOS A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336 B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228 Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye conmedia de 12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En qué valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En qué valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o más?RESULTADOS A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475
  14. 14. B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas DISTRIBUCIÓN GAMMA1.-El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribuciónde Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurramenos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta lallegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a p)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundopaciente es 0,98.2.-Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que sonsometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribuciónGamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429
  15. 15. Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  16. 16. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT1.-Sea T ~ t(4,0.5)a) Determinarb) Determinarc) Determinar P TP (T= 1- e – (0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e (0.5)(1)=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636=0.000175d) Determinar P(TP(T= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551=0.93442.-Sea T ~ Weibull (0.5,3) a) Determinar b) Determinar
  17. 17. c) Determinar P(T P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-3.-En el articulo “Parameter Estimation with OnlyOne Complete FailureObservation”se modela la duración en horas, de cierto tipo de cojinete con ladistribución de Weibull con parámetros a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure más de 1000 horas b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas P(T<2000)= P(T c) La función de riesgo se definió en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en T=2000 horas? h(t) =4.-La duración de un ventilador, en horas, que se usa en un sistema computacionaltiene una distribución de Weibull con a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure más de 10 000 horas? P (T>10 000) =1 – (1- =0.3679 b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas? P (t<5000) =P (T5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallaracuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistema falla.Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2 sonindependientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con 2 a) Determine P(
  18. 18. P( b) Determine P(T 5) P(T =0.8647 c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus parámetros? Si, T~ Weibull (2,

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