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Los textos de la serie Schaum se han convenido en
clésicos,  per estar a la vanguardia en sl estudio,  y
fior ser una inest...
MATEMATICAS
FINANCIERAS

POR

FRANK AYRES,  JR. , PILD. 

Profesor y Jefe del Departamento
de Matemdtica del Dichinson Col...
MATEMATICAS FINANCIERAS

Prohibida la reproducciòn lolal o parcial de esta obra, 
por cualquler medio,  sin autorlzacion e...
TABLA DE MATERIAS

Capitolo I orlzluclonrs con NuMuo:  .
Lo!  numeri».  Fnneiorlel coillllnu.  Unl {rumba deei .  Mltlllpl...
‘rum.  DE MATERIAS

riigin. 
CIpIIIIID I?  sono:   .  . .    [06
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OFERACIONES CON NUMERÙS (CAP.  I

Continuando.  despnés de memorizar ciertas tablas de suma y multiplicaciòn,  utiliznmos ...
OPEFACIONES CON NUMEROS (CAP.  l

UNA FRACCION DECIMAL es unu lracciòn cuyo denominador es una potencia entcra de l0: por
...
UNA PROPORCION es la igiialdad de dos razones lales como g =  e

OPERACIONES CON NUMERDS ICAP.  l

La iilurnu linea di la:...
8 OPFRACIONES coN NUMEROS (CAP.  1

Cuando se requiere depreciar mzquinaria.  existe un metodo.  igual de simple pero mis ...
OPERACIONES CON NUMERÙS ICAP.  l

 

 

Saturnia xaluruzn
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12 OPERACIONES CON NUMEROS lCAP.  l

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(n) 40 c:  Z0 — = 

620 __ __
31 — 2D fi 200072

75_ __
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14

2o. 

26.

27.

OPERACIONES CON NUMEROS (CAF.  I

Excrlbi!  en forma dclzimzl,  aproxlmxndo a dfli decimnles. 
00%.  (b...
Capîtulo 2

Exponenfes y Iogarifmos

EXPONENTFS.  Cuando a-a-u-a-tra se abrevia como a5, a se conoce como base y 6 como
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18 EXPONENTE Y LOGARITMOS (CAP.  Z

Siendo r1 un entero positivo,  la igualdad dada en (I0) se cumple para cualquier valor...
20

EXPONENTkS v LOGARITMOS lCAP» 1

 

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22 sxmusurm v LOGARITMOS [cm 2

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24 EXPONENTES v LDGARITMOS lCAP.  2

unilinmo loprilmns

1023.2113 =  10.51.5609 — 1o
— 10g 90.25 =  1.955495
18.5601“ - 2...
5.

6.

(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

Puesm que

Pueslo que
Pucslo qu: 
Pueslo que

4‘ =  1024, 1081 1024 =  5.
Pucsm que 7’ =  348...
28

EXPONENTES Y LOGARITMOS

(b) Lu carucncmuu u e — no.  Pura I-. . muullxa nucrsìlumus
938865 + 0.7(50) =  935655 + 35.0...
15. Dcvurrollar y 111111111101-

 
 

(11) (z + y)‘ =  2' + 3z’v + 32v’ + v‘
(11) (x + y)‘ =  z‘ + szw + 101111‘ + 10m‘ + ...
Ccipiiuio 3

Progresiones

UNA PROCRFSION ARITMET1CA es una sucesiòn de nùmeros,  llamados rinninus,  tIles como

(i) 6, 1...
PROGRESIONES [CAP- 1
De (J),  tenemos que,  r1 :  ar"
por lo cual (l) y (f) pueden ser escritos como
_ l-
(5) a =  ‘îjî,  ...
36

1.

PROGRBIONES lCAP- 3

 

 

 

    

Fiflnplo 4.
(‘ulcuxm r.  mma m- la ptuxrexion guomélncz Inlìnllu
l",  1. 1/2, 1...
38

ll.  Trasfurmar 0,22222

PROGRESIONES {CAP- 3

en fraccién comùn. 

Pndemos exribir
0,22122 =  0.2-1- 0.02 + 0.002 + 0...
Capîlulo 4

Interés simple

COMO UEMPLO da algunax opuaciones que seràn esludiadas en est:  libro considénnse las si-
guie...
Matematicas Financieras. Frank Ayres Schaum
Matematicas Financieras. Frank Ayres Schaum
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Matematicas Financieras. Frank Ayres Schaum

  1. 1. Los textos de la serie Schaum se han convenido en clésicos, per estar a la vanguardia en sl estudio, y fior ser una inestimable ayuda para el alumno a la ora de adquirir conocimiento y pericia completos en la materia que se aborda. Cada capitulo esté estructurado de la siguìente manera: o Teoria: resumen de Ias definilciones, princjpios y teoremas pemnentes, que sxrve al estudnante come repaso. - Problemas rasuehos: completamente desarro- Ilados, y con grado creciente de dificultad. - Problemas propuestos: dando en cada caso la soluciòn indncada, permiten a! estudiante afianzar 10s conocimientos adquiridos y apli— carlos con deslreza en nuevas situaciones. 1604 160-6 Esîu ediciòn incluye teoria necesaria ara com render Ios Fundamenîos P p h de Ìas mateméîlcas Fmancleras Contiene 234 problemas resueltos, totalmente explicados Incluye 302 problemos propuestos con lo respectivo respuestu yFINANCIERAS Frank Ayres, Jr.
  2. 2. MATEMATICAS FINANCIERAS POR FRANK AYRES, JR. , PILD. Profesor y Jefe del Departamento de Matemdtica del Dichinson College TMDUCCXON v ADAPTACION FERNANDO OCAMPO COMPEAN Attuario, Univeuidad Nacinnal Auldnnmn de Mitico Director Técnico d: PnnAmerican d! Méxica, Cla. d: Squml. S. A. McGRAW-HILL MEXICO G BUENOS AIRES ° CARACAS ' GUATEMALA 0 LISBOA ' MADRID ' NUEVA YORK PANAMA I SAN JUAN ' SANTAFE DE BOGOTA - SANTIAGO ' SAO PAULO AUCKLAND 0 HAMBURGO - LONDFÌES I MILAN ' MONTREAL I NUEVA DELHI ' PAFIIS SAN FRANCISCO ' SINGAFUR ' ST. LOUIS ' SIDNEY ' TOKIO 0 TORONTO
  3. 3. MATEMATICAS FINANCIERAS Prohibida la reproducciòn lolal o parcial de esta obra, por cualquler medio, sin autorlzacion esenta del editor. DERECHOS FlESERVADOS © 1988, 1991.vrespecto a la primera ediciòn en esparìol per MCGHAW-HILL/ INTERAMEHICANA DE MEXICO, S4 A. de C. V, Atlacomulco 499501, Fracc. Indi San Andrés Atoto 53500 Naucalpan de Juàrez, Edo. de México Miembro de la Càmara Nacional de la Industria Editorlal, Reg. Num. 1890 ISBN 968-422-1606 Traducldo de la primera edlclòn en inglés de MATHEMATICS OF FINANCE Copyright o MCMLXIII. by McGraw-Hill, Inc, u. s A. 11023456789 ING-Qt lmpreso en Colombia Esta obra se terminò de Imprimir on Sepfiembre de 1997 lmpreandes Presencia S. A. Se tirarun 7.400 ejemplarss 9087543216 Printed in Colombia xx Pro’Iogo Este libro se ha proyectndo de manera que pueda usarse o bien Como complemento de cualquier texlo corriente. o bien Como manual para un curso l'ormai de matematica financiera. También ser— vira coma obra de consulta y COITIO lexto para el aprendizaje sin maestro‘ Cada capjtulo comienza con una Clara exposicion de delìniciones y prineipias, acompniados de niaterial ilustrativo y dncriplivo. Siguen luego grupos graduados de problema: resueltos y proble- mas propuestos. Los problema: resuellos ilustran y amplian Ios prirvcipios. destacon Ios punlos clave; sin los cuales eI estudiante continuamente se sentirà inseguro, y suministran la repelicion de Ius pro— piedades basìcas, tan vìlales para un aprendizaje electivo. N05 Iiemos esforzado por presentar este material en forma simple y concisa. Eri Ins problemas resueltos se ineluyen muchas deducciones de resultados basicos. El gran numero de problemas propuestos, con su: respuestas, sirve come repaso completo del materia] de cada capitulo; ademàs. después del ultimo capllulo se incluye un grupo muy variado de problema: de repaso general. Los tres primeros capitulos son una revisién del algebra necesaria para entender los conceptas presentados en los cnpitulos siguientes. Se incluyen allî. come aplicaciones, problema: de descuento comercial y por pago al contado. y algunos procedimientos sencillos para cnlcular la depreciaciòn de activos. Puesto que muchos lcctores no tendràn màquinas calculadoras, se ha empleado en todo el libro la multiplimciòn abreviada (véase el capîtulo l). En esta seccién se han formulario las reglas funda- mentales que estahlecen el numero de dîgitos que se toman de Ias diversa: tahlas de interés. A causa de su creciente importancia, los pago: parciales y compras a plazo se cstudian detallada- mente. Debemos lambién Ilamar la atenciùn sobre eI tratamiento de la anualidad general. que suele dar tanto trabajo y que aqui’ se basa en el caso sencillo junto con el concepto de tasas equivalentes. _ Se ha incluido mucho màs material del que se puede ver generalmente en el primer curso. Estu se ha hecho con eI fin de que el texto sea ma: {Iexible y ulil como obra de consulta, y para eslimular el inlerés par lo: lemas. El aulor agradece a la Financial Publishing Company su permise para reducir a oeho cilras de- cimales partes de sus tablas de interés compuesto y anualìdades. Desea lambién expresar su agra- decimiento al personal de la Schaum Publishing Company pur su magnifica colaboraciòn. FRANK Ayxes, Jx.
  4. 4. TABLA DE MATERIAS Capitolo I orlzluclonrs con NuMuo: . Lo! numeri». Fnneiorlel coillllnu. Unl {rumba deei . Mltlllpliflleibll Ibra- ilio. l. . "non, un. piopoiolon. Deprecìlcién. rei mento. numnio corner- ciel. Benevento pflr ma a. animo. mi. .l pfll nimi. cui. .. 2 EXPDNENTES v LDGARHMOS . ... . .4 Llyfl a. Glpvllulufll nonnuooi binomio. Lonriurlol. Antilonritmol. Cllcll o. curi logiiiinioi. Col Irlllllol. cuiiiiln 3 PIOGRESIONES s: un. piogmlon minano un. iiiogmlon nométrlcl. u dcpneiacibn. PMJ - ilon uomeliiu lnrlni. .. c-pliiilii 4 INTERFS SIMPLE . ... ... . 4. Intere: Illllpin elmao y oniln Cllculo ollclo y Iyrnlimldn ool tionlpo. uni. Valm prfllflw de un. ai. .. solaio. .. o. voloi. I6 Capitolo 5 nmcuemo slMru: . . nuoleniiulinpl. lln neimnlooipumi. S0 da lnurh. Bonalumi nllnpl- e una! n d: demanio. cipinlo 6 n00: PARCIALB . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . , . . .. se Regia Comflflili, y regi: u. lo. Ellldol unnloi, sii comprai . plum. Inhfll y lnu de dmuenlu llllliznde. en compra: I plum. Capitolo 7 mene: COMPUESTO lnlaés cflmplllsm. El monto eflmpllfiw un namlull y erecllu de intera. Aprroxinlncibn de in tua de interi: y del uempn. b! Cnplmlo 8 INTEIES coMrulsTo 7: El valor premi. .. Evulcinnel da valor. Tìempo equivalente. cqinilo 9 ANUALIDADES ClEItTAS ORDlNARIAS . .. . . . g. Monlo y vllnr prllenll Ile iin. uiiiiiiini. Cnplmlo I0 ANIJALIDADFS cruna: OIDINAIIAS . . . . .. . . . u Pub pfiflfldkfl. Aproliinluién de Il llll III lzrél. Capitale AMORTIZACION Y FONDOS BE AMOITIZACION . . Amoitinsibn de una dewdl. Tibia de Imoflin fin. Inletfl en el vllor de un bien Idquirido. Extiileidn d: deudu ponmlidldls. Fondo: de Imorliuciòn. Tubi: de fondo d: amerliucibn. Depreeiaeîòn. Anstllnienln.
  5. 5. ‘rum. DE MATERIAS riigin. CIpIIIIID I? sono: . . . [06 nonni. Pncio del nono en llrll iocll. il. ma de inieresu. Compra a pieinlo o descuenlu. El precio cotizldo o. un bono. Tua de redilulbîlidlfl. Burlo: con fecha opciorlal il. redencîòn. un bono o: ariualidald. Em on HIIIÈI o. bonus. Capîiulo I3 ANuALloAors ANTICIPADAS DIFERIDAS v PERPÉTUIDADES . . . II7 Anualidades aniicipiiiai. Aiiiizlloadci dlferidax. roiyioiuiiiiiiei. coito oipiiall- ndo. cipiiiili. 14 ANUALIDADES CIERTAS. caso GENERAL . . . lzo Una anualìdzd generll. Puo periodico. El niinieio o. yiiioi. l. . m. ii. inloiei. Cxpîiulo i5 FROBABILIDAD v LA TABLA DE MORTALIDAD m Probabllidad matematica. Prahab dari estadisticu. Esperilnzu matematica. Va- lor presente de urla esperanza mateln ica. Tlbill de murtalidld. Un doni puro. ClpllIIIo I6 ANUALlDADI-‘S CONTINGENTES . . . . . . . . . . la Anunlidald oioinaii. vilulicin. Anualldnd vini Imicipldl. Anualidnd vit . oioinaiia dlieridl. un. ainialioao conungonu uiiipoiii. un. pblixrl d: .. ... .- inino cnpiiulo I7 SEGURO oc VIDA . . . .. . . .. . . . . lsz Sefllrfl o. ilo. un. .. seguiti ieinpoiii. suo. .. ooiil. Primi IIINIII. lzoieiy. ieiniinii. PROBLEMAS n: REVISION . . . . . . . . I6J INDICE pi: non: .. . . . . I6’! I mlnlilas con o decimale: . . . los Il manusascon7decimaln . . . . . .. . I8] Ill. Ilùlmifl o. «no. or. del . i.o . . . .. . lu lv. monto o. I . Inllrès compuaslo . = (1 +. )- . . . IIJ v. Vaio! prcslnll de l . iinoiei cnmpucsiu a = i1 + i)"- . l9l vi. valore: de (l +0”! . . . l99 VII. valore: o. (1 + n-w- . x99 . .. _ vlll. VaIDICS de .5], = m, _ - . ... ix valore: o: om, = 2m l x. valore: o. 2m - I i _ . xi valcrei ì: - . 20| XII. lllonto de una ariualidad o. I p0! periodo q, = m xlli. valor prcsenle de una znnilioao o. l porperiudu m, : m. 1 xiv pago periodico il. un. anualldad cuyn monta e: l. 1 mi xv iiolo o. mulialidad cso mi con CDIIAIIIHIX a. coninuiniivoi il 2-. 22o INDICE . . , m Capituio i a1 Operaciones con numero: LOS NUMEROS l, 2. 3, 4, S, 6, 7. 8, 9, i0, ll. i1. i3, I4, I5, . son conocidos como miniera: naturale: ya que se derivan en forma natural del proceso de contar Para sumar do: cualesquiera de diciios numeros, digamos 5 y 7, empezamos con 5 (o con 7) y contiamo: liscia la dereclia siete (o 5) numero: para obtener I2. Debido a que no existe un . ..‘. - mero naturai mayor que todos los demas, siempre la suma de do: numero: naturale: es un numero natural, es decir, siempre e: posible la suma. Para restar 5 de 7, a partir de 7 contiamo: 5 numero: llacia la izquierda Ilastl. 2. La operacibn de resta (o sustracciòn), sin embargo, no puede ser efectuada en todos los casos. Por ejemplo, 7 no puede ser reslado de 5 ya que unicamente hay cuatro numero: B In izquierda de 5. Para que siempre sen posible eicctuar la resta, e: necesario crear nuevos numero: para colocarios a la iz- quierda de los numeros naturales. El primero de ellos, 0, es conocido corno oero, y los dcmàs —I, - ——2, —3, ——4, —5, . . son conocldos como enleros negativos. Estos nuevos numero: junto con los numero: naturale: (llamados allora enteros positivo: y representados como +1. +2, +3, +4, +5, , . ) forman el conjunto (a) —8.v7. —6.——5. —4.—3. —2.—l.0. +1. +2. +3. +4. +5. +6. que no tiene principio ni I'm. La operaciòn de suma y resta (o sea. cantar llacia la derecila o izquiel- da) siempre es posibie sin excepciòn. Por razones pràcticas ei signo + normalmente si: omite. Para sumar do: entcros como +7 y —5, empezamos con +7 y contamos liscia la izquierda (direceiòn indicada por el signo de —5) cinco numeros ilasta +2, o empezando con —5 eontamos ilacia la derecila (direcciòn indicadil por el signo de +7) siete numero: iiasta +2. gCémo sumaria —7 y "s? Para reslar +7 de —5, empezamos con —5 y contamos llacia la izquierda (direccién opuesta a la indicada por el signo de +7) siete numero: tlasla —l2. Para restar —-5 de +7, empezamos con + 7 y contamos llacia la derectla (direcciòn opuesta a la indicada por el signo de —5) einco numero: Iiasta +I2. Lcòmo restaria +7 de +57 LComo resiarîa -5 de —7 y -7 de +5’? Si se quiere operai facilmente con numero: positivo: y negativos, es necesario evitar el proceso de contar. Para llacerio notamos que cada uno de los numero: +7 y -7 està a siete posi- ciones d: 0. Este ileciio lo indieamos diciendo que eI volar rlumérico de cada uno de los numero: +7 y ——7 es 7. En general, el valor numerico deOesO . a sì a es positivo (L. oxpiesiài. n40 dehe leerse d‘ a E 0 c5‘ {-0 si a es negativo "a diiereiile d: 0". )
  6. 6. OFERACIONES CON NUMERÙS (CAP. I Continuando. despnés de memorizar ciertas tablas de suma y multiplicaciòn, utiliznmos las si- guientes reglas. Regia l. Para rurnar da: mimero: con rigno: igualer, re mina el volar numerico y se antepone el rigiro cambi. Par eiemplo. +7 + (+5) —a + (-9) +(7 + E) -(6 + 9) +12 -16 Il Il ll ti Regie 1. Para rumar dai niimerar con rignar di/ erentei, se urta el valor numerico menor del mayar y . re antepone eI rigiro del miniera con ma yor volar numerico. Poi‘ ejlmplo, +13 + (-5) +(13 - E) = +8 +l+ (-18) = -(1l-4) —H Regia 3. Para renar un niimero. re cambia el rlgna y . re ruma. Poi qhtnpla. H - (-6) = Il + 9 = 20 —a—(—n —a+i =1 —8- (7) = -8+ (-7) = —l5 yn que 8(2) =2+2+2=6 =8+3=2(3) podemoe iupaner que (+3)(+2) = +6, (+3)(-2) = —G, y (-3)(+2) = -6 Falle por coniiderlr el producto de dosi numero: negativos, por ejempio, (-—3)(—-2). Ya que —3 - —(+3), terremo: (—-3)(—2) - —(+3)(—2) - —(—6) - +6. De aqul podemos esta- blecer: Regia 4. Para multipllcar da: miniera: a dividir un mirnero entre otro (la division entre cero nunen e: porniitida), .re multlpllea 0 divide eI valor numerica y . re antepone eI rigna + ri lo: dar nilmeror tknen el rnùma rigna. y el rigira — ri‘ tienen signor dl/ erenier. Altn mando lai reglas anteriore: han sido ilustradas con enteros positivo: y negativos, es de iuponerse que son aplicables tanto a los lracciones comune: como a los nflmeros irracionales trntndos inls adelante. Véase el problema l. FRACCIONES COMUNES. En lo: ejercicios del problema l, los cunles utilizan la divisién, todos los cocientes resultan enteros. Fato ha sida necesario porque en el conjunto d: enteros menciona- do, no existe un simbolo para represenur, por ejemplo, el resultndo de dividir 3 enlre 4. Si la divi- sién entre un entero distinto de cero ha de ser posible. sin excepciòn, deben ser inventados slmbolos Idicionales (nùmeros). Btos simbolo: conocidos comofraccioner comune: lian sido represenudos indicando la operacion que ha de electunrse (utilizando el signo / ); por ejemplo, I + 2 = l/2, 5+4-3/4, —2+3=—2/3. Sean a y b dos enieros positivos cunlesquiera diferenies. Si en la escala (a) el entero a està situndo u la izquierda del entero b, decimo: que a es menor que b, lo cual se represenla como a < b. Si por el contrario, a està situado n la derecha de b, decimo: que a er inayor que b y lo represen- lumos como u > b. Si a < b, la frnccìòn (comiin) a/ b se le conoce comopropia; en caso contrario como impropia. Las fracciones prupias del tipo a/ b son: CAP. I] OFERACIONES CON NUMEROS 3 1/2 1/3 2/3 1/4 2/4 3/4 l/ E 2/5 3/5 4/5 4/6 5/6 Sean c/ d y e/ fdos fraccionei cuulesquiera del conjunto interior. El problema que surge es: LComo poderi-los conocer cuindo c/ d = e/ f, c/ d< e/ f o c/ d> e/ f? Esto nos conduce a la regla mAs comfin en la operuciòn con lracciones: Regie. l. El valar de una fracridn na re altera n’ tanta el numerador como eI denaminador . re rnulttpllean o dlvlderi par un mLrmo niimero diferente de cera. Por ejernplo, l _ i _ .4. y i _ ‘_ _ 5 a ' e 12 2o ’ 1o " a De acuerdo con la regia I, dos o mi: lrncciones cunlesquiern pueden ser exprendas con el mismo denominador; por ejemplo, è, è y Ila pueden ser eicritns coma g-g. 3% y È o como %%, %% y à-g. etc. , de donde l—36<%<—: - ya que ÉBÎ< ; —g< Al sumar y restar frncciones es necesnrio expreur la: distinta: lrncciones con el mismo de- nominador. De los muchos denominadores que puederi ser usados, siempre exiite una menor que todoi llunado minimo camiin denaminadar. En el ejemplo anterior, 30 ca el mlnimo eomùn de- nominndor. Regia 1. La suma {o dijfereneta) de da: flacrlanei. exprerndm con eI mir-ma denominador. e: una fmecidn euya denominadar er e! denomlnadnr eomiîn y euya numeradar er la ruma (a dife- Ieneia) de lo: numeradarer. Porejelnpln, 3 I _ E _5_ _ 12+5 _ L7 E*Z‘20+2o" 2o ‘io V z Z+E_É—L+H_E_ ____.9“1"15 —l3 8 K l — 12 13 12 g 12 — 2 Regia 3. Elproducta de dar 0 mdxflaccianer e: una fiacciòn euyo numerador e: eI prodotta de la: numeradare: y cuya denaminador e: el prodotto de lo: denaminadare: de la: distinta: frac- cioner. Par eìernplo, Regie 4. El cadente de dor fracciane: puede ser evaluado mediante la aplieaeién de la regia I , utilizando el mlnimo carntin denominadar de Iarfraeeianer tomo rnultirlicando. Parejemplo. "-E— “E4- . ” É-ÈE—ÉÈ. T'ii’”1"5‘7-12‘1-r“42 y g-g, 12 3-124 a-s Véase el problema 2.
  7. 7. OPEFACIONES CON NUMEROS (CAP. l UNA FRACCION DECIMAL es unu lracciòn cuyo denominador es una potencia entcra de l0: por ejemplo. 6/IO. ll/ l00 y l25/|000 son fruscio/ re: decima/ ex. Estas lracciones se rcpresenlan lrecueniemente como 0.6, 0,lI y 0,125 respectivamcnte haciendo uso de la notacion decimal. Para irasformar una lrncciòn comun cn una lracciòn decima] simplemente dividimos el numerndor de la fraccién comùn enlre su denominador. Al electuarsc diclia divisiòn se pueden presentar dos posibilidades: (i) la division resulta exacta; por ejemplo, 1 = 0.25 y 23/8 = 2,875, es decir. son lraccianes comunes que se convierten en lraccìones decimale: exactas. (ii) la divisiòn no rcsulla exacln; por ejemplo. l/ J = 03333. . y Z/7 = 0.2857l42857|428S 714 . . Este es el caso de lracciones decimale: per dicas. En la primera lracciòn, el digito J se repìle ìndefinidamente: en lit segunda, eI periodo de digitos 285714 se repile también in- dclînidamente. ' A los enteros y a Ias fracciones comunes se Ies conoce corno niimeros raeianizler. Los niinieror irrarionaler son aquellos que cuando se expresan eri forma decimal, ésta no puede ser exacta ni periodica, por qcmplo: i/ E, i7’, F. En el desarrollo de este libro, utilizaremos numeros rcpresentados en lorma decimal. Los valores en la mayoria de Ias lablas incluidas son numeros con lì digitos después de la coma de- cimal, pero en forma tal que son aproximaciones obienidas de la representacién decimal completa correspondiente, “redondeada" al numero requerido de cilras decimales. Par ejemplo. (l) l.082958643Z (3) l. Z84453|25 (2) 1.05342“ |9375 (4) 1045678375 son numeros que dan lugar a los sìguientes cilras: (/ ’) 1118295864 (T) 118445312 (Z’) 1115342412 (f) 104567838 Eslos rcsultados se obtuvierun redondeando de acuerdo con la "regia del compulador" que dice asi: (u) Incrementar en l el ultimo digito retenido si los dîgitos despreciados exceden el valor 5000. (b) Dejar sin cambio eI ultimo digito relenido si los digitos despreciados son menores de 5000.. . (c) Hacer par cl ultimo digito retcnido (incrementàndolo en l cuando sea necesario). si el digito despreciado es exzciamenie 5. En (/ ) los digito: despreciados son 32 < 50; el ultimo digito retenido permanece sin cambio. En (2) los digitos despreciados son 9375 > 5000. por lo cual cl ultimo digito relenido se incrementa en l. En (J) y (4) el digito despreciado es 5; en (3) el ultimo digito retenido es par y permanece sin cambio. mientras que en (4) el ultimo digito rctenido es impar por lo que ha sido incremen- iado eii l. Véase el problema 3. OPERACIONES CON DECIMALES. Excepto por el cuidado que debe tenerse cori la coma deci- mal, existe muy poca diferenciu entre Ias operzciones con lracciones decimales y las operaciories con enteros. AI sumar y restar decimales, deben niantenerse las comas decimale: en columna. CAP l] OPERACIONES CON NUMEROS 5 Ejeinplo i. (a) Sumnr 12.5. 1.34 y 0.27 (b) Restar 42,6] de 118.4 32.5 1.34 128.40 L" .4 1L“ 34,11 85.77 El numero de cilras decirnales de un producto es igual a la suma del numero de cilras deci- males de los factores. Elemplo 2. (a) 0.3x 0.4 = 2.72 (b) 2.7sx 0.3 = 0.32a (c) 0.02 xond = 0.0003 El numero de cilras decimales de un cociente es igual a la dilerencia entre el numero de cilras decimales del dividendo (incluyendo los ceros que se agrcguen) y el numero de cilras decimales del divisor. Ejeinplo 3. (a) 1.S2+1.2 = 1.1 (b) 14,1+5,8 = 16.1000 . 5,6 = 2.518 La confusiòn que algunas veces surge al tratar de colocar la coma decimal en un cociente, puede ser evitada si antes de electuar la divisiòn se multiplica tanto el dividendo come el divisor por una polencia de l0 que haga el divisor entero (regia 1 de las fracciones) y luego dividir. En esta forma, el numero de decimale: del cociente serà igual al numero de decimale: del dividendo. Elempla 4. la) 1.32 +11 = 13.2 + 12 = 1.1 (unto el dividendo como el divisor se mulliplicnn por I0). (b) 14.385 + 1.25 = 1433.5 + 125 = 1.433.500+ 1.25 = 11.668 MULTIPLICACION ABREVIADA. Con lrecuencia se necesita calcular producios del tipo AB o ABC en los que A es un numero con dos decimale: (pesos y centavos por ejemplo) mientras que B y C son valores con ocho decimales tomados de tablas; el producto deberti ser correcto redondca- do a dos cifra: decimales (pesos y centavos). I Èjempln s. Encontmr ei produclo correcto redondeadn a doi decimales, de 523.01 x 129724447. Tenzmos que. 229724447 523.58 123779 6576 1378346 682 5391733 41 45944509 d 1143522235 1 203.020984 0496 El produclo tcsflllanl: iieiie io digito; ala deieciia de la com: decimll y ieiidia que sei iedoiideado I dos cirm decima- les; esto es. a 1201.02. si se uliitu una miquxna ciiiciiiadoia. ei exceso de oirias {I0 iieiie gmi lmpnrlancia: eii cm cun- imio. deberi IGdIICÌrSC lauto como m posible ei lrlbain marinai efecluida L. wimela giegumie que lurg: ei; Fucili: mio 119714447 es simpiemenie im valor tomado de un: libll. .; ei neceslrîo que utilscemos los i deeimaiew. pfll sllplleflo que no; S111 embargo. por el momento iupoiigimo; que todos lo; digiios a Il derechl d: la linea veriioiii puedeii sei iter- pieciidas caii sezuridad, Veamas que significa tuo‘
  8. 8. UNA PROPORCION es la igiialdad de dos razones lales como g = e OPERACIONES CON NUMERDS ICAP. l La iilurnu linea di la: producioi parcialcs di la muliiplicaciàn anieriar coiresporide a 5 x 2141714447. la linea prrcedenie correspond: a Z x 119724447 con el iillimo digiio rednndeado. la anierior correspniide I J x 2.29724“ con el iiliirnn digita rednndezdo. la que sigue correspnnde a 6 x 2.297144 ianihiéii con el iillimo digiio redondeadu. y H1 sucuivamenic. Empecemox niievamenie 1| niiilliplicuiòn. En ve: de Iomar lqs digito: 51368 del mallipliicldnr lelrlus de dererha a izquierda. los iumamos ahara leidos di izquierda a derecha. En prime! lugar efeciuamos el prodiicto pucìal 5x 2.Z9724447 En segiiida celculamvx Z X 129724447 y redondeames el 111111110 diji : o su 2 X 7 - I4. Iedondea- 229721117 523 .8! 1 148122285 46044889 01917211 1 878846 1111770 12178020982 inoi i1 4 y llevaiidu ii 1 iiniiooi 2 XN‘ + 1 - 9. ealoelmui ii 9 mi ii iiiiimo diqiio dei piiiner pioiiuoio ueieioi; conti- niilmos ion 2 x 4 - 11 y ul eueeoiiaininie. coiooonioi un piinlo roiiie ei 7 o io iuoiiimoo plrl indicar que ye no ie iililinrl mls. En uguida ooieoemoo ii oiodueio J x 12172444 iedondeondo eI animo digita. e: decir. 3 x 4 - i2; iedondeeido z y Ilevando 1 iinemoe J x 4 + I - i1. Nloclmm i in il riiiimo ioiumna y iii moi 1; conlinulmoacon 1 x 4 + 1 - I3 y n11 iuoisiiomenie (cnlucamos un piinin ioiiie c1 iiiiimo 4), elc. riia deiiimiiior In que iurai debemua eoioiii io coni: dioimii eu i1 pmducla iinoi. no podemos proceder corna oniii eumiiido oi niimeio di diii iiea di lo: iieioru. Sin eniblrso. ubemos qui ii pioouoio busuda re eneuiiiiii inire 2 x S23 y z x 574. El deeii. qui time que hlbfll‘ 4 diqiioi o rquiiidi di i. ioina deeiinoi. De aqul que ii pzoducio con dos oiriu decimale: ieri 1101.02. Vease el problema 4. E1 problema de determinar el minimo nùmero de dccimales que deben tomarse de un viilor delerminado para ohiener una eierta precisibn no es de facil solucìòn. Podemos ver que en el pro- blema 41a) la respuesta eorrecla se obiiene euanda 219724447 se redaridea a 2.29724. e510 es. a cìnco decimales. Observese que e: precisamente el nùmero de cifras eri 52368 euando 523.68 (pesos y oentavos) se conviene a eentavos. Este heclio lo consideraremos come regia en capiiulos posieriores. E510. sin embargo. no c5 completamente cierio, pero el crror es pequefio. Puede asegurarse una precisién completa si iitilizamos una cifra decima] adicional. LA RAZON de dos cantidades cxpresadaa en la misma unidad. es su cocìcnte. Mangio 6. 15 l (a) La 111611 de 15 a 105 e: m = 7 ‘i? 1_ 15 2 I . (c) En 1956111 iiiilidad nei: de 12 Campania XVZ file de S45 826 siendo sii ulivo ioial de S341695. La razén de la ulili- isazs _ 343.695 “ 8. (b) LI ruba de 116 a I6 es I1 dad nei! al aclivn ioiai rin Véase el problema 5. E. En e512 proporcion a y d reciben el nombre de avremo: mientras que b y c se conocen como media; Claramente vemos que ud= bc eniances podemos csiablecer cn general que. en una proporciòn. el producio de los medio: es igual al producio de los cxiremos. CAP. l] OPERACIONES CON NUMEROS 7 iziiieoie 7. Resolver paia x: ;_5 % iiuiiimdo ii pruducio di 10s ixiremoi 0-702) Il pioouiio de los inedioi (20.101). ienemos 702i - 264W. di donde ai = 75"” 4. 702 J ueoioin x Una inversiòn de 14000 eii una empresa le prvdiioe a M un reivdimienio de 1240. (a) Enconlrar el reiidimienin que uhiendril N mm una inversibn de 17000 en la mimi: empresa. (b) gCulnlo debc inveriir P par: ubiener un rendimienio d: 360W (o) kepizaenieinm por x ei iindimiinio riqueiido. iquoiaudo iii IIIDM! "_"“'““"‘° di N y 14 lenemos: z m 3 inyereien 7000 = i000 = 5T P“ "’ 1"‘ 60z=3'70W Y 4:=8'140=!420 (b) Reprueniemos por y 12 inversidn requeriida. Prowdiendo tomo eri (a)1cnemo1: 9% _ A’. .. i u ’ 4000 ‘ 50 dedonde Jy-u ooo-su y y —200.s0-xi0.o00. DEPRECIACION c5 la pérdida de valor de un aciivo fisico (edificios. maquinaria. eta). como conse- ciiciicia del uso. Para prevenir la necesidad de remplazo de un determinado actìvo al fin de su vida iitìl, cada ano se traspasa una parte de 125 utilidades de una cmprcsa a un fondo especìal llamado fluida pani deprniaciòn. A los depésiios anuales en el fondo para depreciaciòn se Ies conace como targa: par depreciacidn. En un momento determinado, a 1a diferencia entre cl c0510 original del ac- tivo y el importe del fondo para depreciaciòn se le conoce como valor zn libras. El valor en libros de un aciivo al fin de su vida fltil debe ser su vulor da salvamcnio. En cl metodo màs simple para dcpreciar aciivos. conocido como mélodo d: promedim o mé/ o- do lineul. se efectùan depòsitos anuales iguales cn el fondo para dcpreciaciòn. durante toda la vida iitil del activo. Eiempio 9. si iiiimo que una iiiiquina iuyo ooiio ei di 14000. iendii una yida iiiii de o 1110s y 211'111 di: diCÌID periodo un valur di szlvamenln di 2400. (a) Enconlrar io depreciacibn proniedio inuui. un Elabora! ilnl llbla di deoreeiueion en donde ii inueiire ii valar en libros cada ano. (a) nepiieiaoiisn lolal = cosin _ vaio! di Sllvlmenl’ = 4000 — 400 = 33000 3600 neorieiioiisn pioniedio anual = 6 55170. (b) Passio qui i1 eiiqo poi depieiiacion anull c5 de x100, ii fondo paia depmeiacibn a: ineriminu in ESI euniidod cada uno. iniiniiu que i1 uioi en iibroe deeroie anualmenie in in misma canlidad. Esta ai maestra en 1a siguienle uh . 1‘ mp0 Cargo por 1mm dei [onda vuoi in iiiiioo .1 îdnd i s) deoieciucion plrl depreiioiion anni dei mio 0 0 o
  9. 9. 8 OPFRACIONES coN NUMEROS (CAP. 1 Cuando se requiere depreciar mzquinaria. existe un metodo. igual de simple pero mis real, que consisle en calcular el cargo anual por depreciaciòn con base en el niîmero de horas que una màquìna esluvo en operacìén. o en cl nùmcm de arliculns producidos en cl 01"10. Èjempln m. A una maqum cuyo cnslu Tue a: 12250 s: lc ha esllmada un valor a: szlvzmento de 5450 y n: vidz probabl: d: 50.000 1mm. de opzuciòn (u) Enconlrar cl cargo pur deprecilclòn por non u: operuiòn. 151 Frzparn . n. xzhla e11 1a qu: s: mucur: 21m. » rn llbmx pura cm una de lns cualro pnmtrus aîias a: vide a: 1. miquinu duranl. 0x cualex las horas d: open-Acida fueron 4000. 1100015004750. (a) Dcprmîìnciòn mul a c0510 - vnlor de salvamenio = 2250 - 450 = 31800 Clrgo por depreciaclbn por horn a: npzracié _ % = 30,03. l” Horn le cupi pur 1.1.15". 11.1 fondo Vnlor e11 115m .1 opernlòn drpncìnclòn pan dtprrtlltlbll flnll del 10o 2'560 21 S0 2018 1851 1738.50 21.11.510 11. A un: miqulna cuyo c0510 (u: d: xzzso [G 1: hu animando un valor a: n Imenlo d: x450 y s: talculn que pucfl: pmducir 120.000 umdndcs. (n) Enconuar cl c1150 007 uepumcian por 01mm. (51 Pupmu una 15.01. . .. 1. qu: 1: mun- (re e! valm e11 libro; plra cm una a: I0: primerns tunro m; a. vidi a: la mbquìna. durante lo: mm la: 01.10.02; pi. » ducidxs Iueron: 15.000. 19.000. 21.000. 10.000. (a) Depretinciòn 10151 - cono — vllor d: sllvnmenlo = 2250 — 450 = 31800 1800 30.015. Cargo por depreciaciòn pur unidad = (b) Unidndu Cargo por impone del fonda V110: u llhros Il Produckhs deprulnriiin pm dtprfltilclon rlllll da nnn POR CIENTO (Porccmaje), El termino por tiemo. represenlado con el simbolo %, significa ccmésh mus; 0 sea que, 25% es simplemenlc olra l'arma de rcpresenlar 25/100, 0,25 à l/4. Ejrmpln 11. 1,21 Si dccimns: 14 cmrga el m w cl cobra de clcnzls deudns Significa. M targa 51s par cm 1100 que 51mm 1a) Sldcclmui. un clzrm inversiòn produce 5m mm. S1g111f1ca La mversinn pruduce x5 anuules por cada 5100 iuverlidus Cualquier nùmero expresado en forma decima]. puede ser escrilo como por cienlo colacando simplememe el puma decima! dos lugarcs a la derecha y agregando cl simbolo 9a. Par qemplo: CAP. I] OPERACIONES CON NUMEROS 9 è: 0.125 = 12.5%; % = 2.75 = 275%; a = 3.00 = 300%; à: 1.125 = 112,5% 1 , _ . E — 0.50 _ 50%, lnversameme, para expresar numéricamenle un por ciento dado. suprimimos e] simbolo % y colocamos el punto decimal dos lugares a la izqurerda. Por ejemplo. 75% = 0.75 = 3/4; 8% = 0.09; 51% = 0.0525; 154% = 1.54; 100075 = 10 uempln u. Pademo: resolver ahau el zjemplo 3.601110 xiguc: Sabemos que. = % = 0.05 = 5% e510 ex. que la lnverslàn produce un rendimienlo d: 5%. (.1 '°I"“‘: :': ‘s‘; ':° = nmonces. z = 70001005) = x420. 111 = al, ” = 0.B6:: n|n111:ei.0,l)6y=600 , y = 3T‘; = 310.000. Nélese que mienlras se habla de por cienlos. siempre se opera con el equivalente e11 l'arma decima]. Véanse los problemas é-ll. DESCUENTO COMERCIAL es una rebaja sobrc cl prccio de lista de un artîculo. Diclia rebaja se da siempre coma por cienlo del precidde lisla. Eknrplo 14. El pmm a: 1m. a: "III miquinn lavndara e: 5275 y el dexcuemo tomerclzl e; a: un. LCuàI u al valnr d: rum. (premo de 11m 0 descuenm camercizl)? Pnmem salumi": E1 dcscucnlo camercial c; 21510401 = x110. , El ma: d: fnclum e; 27s —— 110 - x155. Segunda rolurtén. ‘ Un descuenm 11214051 solar: A 11:12 un szldn a: (1 27510501: S165. A014 = 0.504 es decn 60% a: A El valor de fattura c: Si se conceden dos o màs descuenlos comerciales. las deduccinnes correspondienles deben ser hechas sucesivamente. Ejemplu 15 si la cnmpnîlîa mnyorlslz xvz concede descuenlos d: 20%. 11m y 5%. cncnnlrar cl CDSIO (vzlor de rumn) pan la Kienda de comesliblex ABC de un pcdido mnrcado e11 51250. Pnmm mluciiin. Precio de lisu = 3250 Primer dexcucnw = 32500120) F- 650 Primer saldo = 3250 - 650 = 2600 Squndo descuenlv = 260D(D.10) = 280 Squmîo saldo = 260D - 26D = 2340 Tercer ducnenlu = 23405105) = 117 Teme: salda = 2340 - 117 = 32228 vzlor de lacuna 1|
  10. 10. OPERACIONES CON NUMERÙS ICAP. l Saturnia xaluruzn PREÌD d: Iisn = Z250 Primer snldn S250(0.B0) = 2600 Segundo nldu ZGOO(0.90) = 2340 Teroer nido 23490135) = 32228 vllnr d: Iacluîz o su. VuXor de fnclura = 3250(0.80)(0.90)(O.95) = 82223 Véas: cl problema l2. DESCUENTO POR PAGO DE CONTADO c: una reduccién sobre el valor d: futura, por pago den- lro de un periodo delerminndo. Eiunvlo 10 Si 1. compnill 111mm. xvz 11:1 njemplo 1s. concede 1111 xv, d: mcuenln por ma dentro de 1a; diex dm 11.01:11. 1:; .1.’re:1u a: 111111.. encunlur 11 cnnlidld mm. por la ìienda a: camutiblu ABC pur su pedidn, si al puo s: 11m dentro a1 periodo espveificldn. Vnlor a: 1mm. 0:10:11» por puo de wnlmdu Snmn pqm. 2223 2223(0.02) N.46 2223 - “,48 = 82178,54 Véase e] problema I3. 11 PRECIO AL POR MENOR. Ala diferencin entre el costo de un articulo par: un comercianle y el pre- cio en que es marcado para su venia, se le conoce come margan de ulilidad. 0 utilidad bruta. Es conumbre calcular dicho margen como un ciano porcemnjc sobr: el precio d: vanta. annuo 11. 1A que pwtio dcbe marca: un comerciunu‘. un Irlîcnlo cuyo cena m: de 310.50. ubkndo que su 11mm. u: 0101M u 407.1 Rtprenenlemos por m1 praia de venu: puma que Precio d: veni: — 1111114111 bruu - coslo. V—0,40 V- 10.60 0.60 V= IU,6O V —- 517.67 Véanse los problema; I4-lS. Problemas resueltos Efecluar las opcraciones indicadas: (a) 7+(-8)+2-(—<4)=7-3+2+l=10 (D) 5-(—2)+0-l—5+2—4=8 (u) 7(—2)(5) = —('I ' 2 ' 5) = -70 (J) 6(-9)(l)(-2) = +(5 ' S ‘ 4 ' 2 = 1M (t) 12 4-0-1) -(12+4) —3 (I) —2n + (—5) +00 + o) d CAP. 1] OPERACIONES CON NUMEROS 11 1. Efecluar las operaciones indicadas y simplificar. 3 2 1 9 E S 5+E+6_ a “’ x+î+î - 1’2*’1—2+1’z - î" 12 (b) 1+ì_7 _2À+15-7_32 I a i 24 ‘z—4'= s (c) g_g+y_s72—220+17s a_21_g s a 0 ‘ 30 Ì s0 ’ 10 a (d) —; -’ ÌLE- . — (a) Î ‘ _ 2 za _ 10 3 . . _i g; )+(10 E -4 3-8 1 1,) _+ xs-ànség = s+1—ao) = —Î (h) 1/5 - 213 _ 80(1/5)— 800/3 _ 6 — 20 3/10 - 578 — 8001/10) —’S0(5/0) ' 9 - E5 Escrihir cl equivalente en forma decima]. aproximado a dos cifras: (a) 17/B, (b) lTS/ B, (c) 3245/I52. Efeclulmon II dìvixibn non J cifra: decimxk: y redondelmuu cl usullldn I 2 rifru decimllu. (o) E9: 21,141“, a 21.35 (.1 g = 2,125 cxlclamenu. 0 2.12 m 175 m T = 21,115 exulnmenle. o 21.111 Encontrar cl resullado correclo con dos dccimales: (a) 523,68 X 2,29724 (b) 487,35 X 0.01487 zzéìàì 520.59 0.011117 11411020 41-130 4594s 10m 01102 ma 1m 341 11m 72469 1203010 ’ Rup. 1203.02 Rup- 1.25 Una zapalcrîa, cuya exislencia promedia d: mercancia cs de 530.000 obtuvu una ulilidad dc 536.000 solare una venla tuta! de 5120.0013 en i959. Encontrar (a) la razén de| lotal de venlas a] inventario promedio, (b) la razén de la urilidad a la venia 10101. (a) = = 4; lagnén cade‘ u 1. 11111101 _ 30.000 _1_; . (1) ‘ìmî_finî_lo_ar Izrazbnudexzs}. Encontrar: (a) 4% a: 725 12610,04) = 29 (b) 175% de 90o 80011,76) = 1400 (c) 2}% d: 835.540,80 866403001025) = 3851.02 (a; 1% a: 312.000 12.00010001» = 390.00
  11. 11. 12 OPERACIONES CON NUMEROS lCAP. l 7. Qué por cienlo de: (n) 40 c: Z0 — = 620 __ __ 31 — 2D fi 200072 75_ __ mÎ-OJÌE-fi 131.50 _ _ ma _ 0,055 — 55% (b) Jl c: 62D {c} 51500 cs S75 (t) 52500 ex 1117.50 8. Hallar x si cl 7% d: x es 5.25. _ 525 Tcnemas que. 0.07:: — 5.25 por lama z — = 76. 9. (a) u): qué nùmero es 20 al 25%? = su (b) ma que cantidad es 542,00 el mm = mao (c) .0: qué camidnd e: 3531,55 el 125%? = mm I0. Sohr: una inversiòn d: 52500. M oblicne una ulilidad de 5131.25. LQué porcenlaje de la inversiòn represenu dicha utilidad‘! El problemi u: gQué porceuuje d: 82500 cs IIJLZS? 131.25 2500 = 0.0525 = 53% Il. Un abogado recupera el 90% de una demanda de 5300.00 y cobra por conceplo dc servicios eI 15% de la suma recuperada. LQué canlidad recibirà su clìenle’! El aboudo recupera 3000.90) = S270. Sns hononrìox son (z7oxo, is) - 140,50. EX clienl: wcibe z7o— 60.50 - 5229.50. l2. La compafiîa M A Z adquirié I0 radios marcados en 537.50. con dcscucnlo del 20% y I2 radios marcados en 360.00 con descuemos del 25% y del 10%. Encontrar cl valor de {aciura del pedido. Cono d: Ius I0 india: - 375m 0.20) - Nsinxa) = 300 Costo de lax I1 rndìm - non 035m 70.10) x 720(0.75)(0.v0) - 486. Valur de rmm ‘n 10o + 6M - S786 I3. J. L. Garcîa comprò 4 lclevisores marcados cn S400. cnn descuenms del |5% y del l0%. La faclura (iene fechn del I5 de marzo. y se ofrcciò un descuenm de 3% por pago dentro d: los IOdias siguien- las. ;, Qué canlidad pagò Garcia cl 2J d: marzo? Vllor d: Îuclull - IGOOU 0,l5)(l . tuo) — I600(D.35)(D,90) - 31124. Caniidad papiri: a 122m 0.03) : I2]J(0.97) a mana CAP. D} OPERACIONES CON NUMEROS 13 I4. gCuàl e: el precio de venia de un millar de hojas de papcl si su costo cs de 52,70 y tieneii un margen I6. de ulilidad del 33}? Lhmcmos v al preda de vcnu. Pucuo qua. Precio d: venia - muto + ulìlidad y — 2.70 + {v v — {V s iv u 2.10 y V)- 4.2.70) - 34.05 Demoslrar que una utilidad del 40% sobre e] precìo de venia V de un articulo. es equivalente a una ulilidad de| 665% suhre su costo c. Casto - prttio d: venia — ulilìdad c - v _ 0.40a omqmc-txwv-Qvuy- gc- c+gc rei ramo. u uiilidnde: 1c. E! decir. salvi del cono. Problemas propuestos Emma: las operaciones indicldu. . ..) 5.. .-. .) i. ) 7—(—2)+o+(—5) (o (-I)(-10)(—5) (n) 54-2) (n s(—1z) (i) 1544-5) (t) -a+(—s) u) su» (h) 4044-8) (d) —10—1—4) (h) (-fi)(-10) (l) ‘W 5) Ra); (a) z, (b) s. (19-14. (d) -6. (4) l. (l) ‘103. (I) 0. (h) E0. (0 -4W. (i) -! - (k) l“. (l) -l5 A cada m d: lo: siguiznles nùmcros ——1, o, 3. s. 9, i1, ls 6. (u) “m”. .. 5 (d, “. ..”. .. .4 (g) inviamo: entre 1 (h) gumzflgs .4 (r) mulliplicnrlns por 6 (h) dividirlm m! " -| m anni“ o (f) mulnplicarlox por —s (I) dividirlox enne —3 Efacluar las opernciumx mdicxdas y ximplificar zI màximu. s a s g i mg+g+à 0057‘; (0)9+27 1a z_ 4 m2_%_]8_ . (,)Z_É. %.fi (Ìùîvfi / —2 (c) fl-Zl-S} (D 9'354} (‘7 m” km. (u) 13/a, (b) 3/8. (e) 3. (d) 15/14. (-) 4/5. (l) 55g, (a) 3/2. (M312. (D 45/64 Rcdondear cadi un: d: In c: nlidadu xiguicnlu I Z cifra: derimalu; (a) II.3815.(b) 9.6471“) | B5.145.ld) 22.255, (e) RJ95 Ram (a) n.33. (n) 9,05. (r) IHJS. (d) 21.20. (e) 8.30
  12. 12. 14 2o. 26. 27. OPERACIONES CON NUMEROS (CAF. I Excrlbi! en forma dclzimzl, aproxlmxndo a dfli decimnles. 00%. (b) (c) (d) l? Rtsp (11) 5.69, (b) 1.83. (n) (,38, 25.43 Cllclllar los siguiznlns produrlo; con apraxlmncibn 1 da: dccimnles. (a) 122.58 X 1526585 (c) 1125 X 1.796855 (b) 8250 X 0.082585 (d) 1775 X 0.115029 Rup. (l) 1871.28, (b) 258.73, (c) 2020,34. (d) 205,95 Enclocuar cl cargo per dzpmciacidn allunl gnr el mélodo limal y preparlr una ublx que muesuc zl cambio Inull dtl valor en i ros de: (a) Una miquina cuya coslo Tu: d: SI 750 y s: deprecid cll S 311171, Ilcnnurldo un vllor d: ulvamenlo d: SISO (b) UnI màquinu cuyfl c0510 fu: d: 365.000 y s: deprecìb en I0 Iflos. Ilclnundn un vllur de ulumenm d: 55000. Rup. (a) S320, (b) 86000 u. .. mkquinn a. .. ad. .. da 51000 liaua u. . pmmadio da vld. eslimldo au 20.000 no. .. da opauaio. .. y . ... vu| uv da ulu- mai. .. da 5500. Lu han: da usa du. a.. .a la: pnmaao. 5 un. .. fueron: n00. 2200, 2000, 2500. 2400. Preyulr uua 1.51a au lu qua u mueslr: al vnlar en libro: 110.. da ud. u. .. da la. 5 Iioa. sa esuma qua una mlqulu. ad. costo da 51000 u capu de producir 125 00o uuiduda. ama. da su aampluo. y qua dupua. iaudm un valar da salvlmemo da 5500. l. .. uuidudas producîdm dumula ud: uno da las 5 primula: alla: rum. .. 15.000. 12.500. 10.000. 14 000. 17.500; preplur u. .. ubla au 1.. qua u muama al vnlor a. . libro: a1 r. .. de aada uno da lo: s a1.. . Exprzsar cada un: da las nguiama. cnnlìdadt: a. . porcunlajcs: (a) 0.05 (a) 0,76375 (i) 1/5 (m) 5 (b) 0.08 (l) 0.54545 (i) 1/6 (n) 1,25 (c) 0.055 (p) 1.2575 (h) 5/8 (o) 7.2 (d) 0,082 (h) 2,3784 (l) 7/8 (p) 17,5 m): (a) 5%, (b) 0%. (a) 53%, (d) 14%, (c) 7.3%. (I) 54.545%. (I) 125575, (h) 237,04%. (I) 20%. (1) 151%. (k) 62}%, (I) 57.1%, (m) 200%, (n) 125%, (a) 720%, (p) 17507.. Exprcszr cada uno de lox siguicnlcs porcenlajzx como îrlcclones decimaln: (a) 4% (a) 0.5% (0 15% (b) 10% (1) 0.75% (i) 2,5% (c) 52°! - (2) 1% (k) 075% (d) 55% (h) 1% (l) 127,5% Redp. (a) 0.04. (b) 0.1. (c) 0.62. (d) 0.85, (e) 0,005. (Î) 0,0075. (l) 0,0025, (A) 0,00875. (i) 0,0175, (7) 0.02125, (k) 0,875. (l) 1,275 Eummrar los smuiaulas pnreenujzx. (u) 0% da 200 (d) 18% da 54000 (p) 2% da 7% da 55000 (b) 5% de 800 (e) 43% de 512.500 (h) 8% da 5% da 512.000 (d) 12% da 35000 (1) ss}% da 521.720 (u) 10% da 20% da 3250000 Rrxp. (n) 6, (b) 40, (c) S860, (d) 3720, (a) 3562,50. (I) 37240, (p) 87, (h) S18, (i) 35000 LQné parcanlzje da- (c) 20 ex 107 (d) 84800 e: 5168‘! (b) 10 r5 207 (e) 51664 e: 585,36! (e) 81200 u S108’! (I) 0,28 e: 0.0060? Rn/ I (u) 50%. (b) 200%, (c) 9%, (d) 33%. (a) 23%, (/ ) 2% CAI’. l) OPERACIONES CON NUMEROS 15 29. YJI. JJ. 37. (a) ma qué luìmeroes 9 al 21m (d) (Da que‘ aumidad = s 52000 al 535.? (5) una qnéjlflmuo c: 9 al 12h? (a) 4D: que dauliaual as 5173.75 al 1h? (c) (Da qué unlidld a. S400 al 271.7 (/ ) (De qué aunlldad ad 5275,10 al su? Rup (a) 45. (b) 72, (z) 820.011), (li) 532.000, (r) X5150. (f) X5240 5.. della asudu se In imphnladu u. . impuaup dal 491. aampal impdua dala. uaums. Encolluxr al ìnlpueslo 10h75 uu aum- mbvil rucluudo a. . 55500. 7m. .. 5140 I1 1.. complflln xvz numi: 10v. da descuenlo a. . loda su muum Si u pompa. u. .. aupimdum eléclrkl miranda con 5125. mm. .. 1ia. .a qua pulr pur elll? mamo . a.. d.1 qu: pauu. .1 a. i.. a . ... impuuln da 42.7 m. .. 5112.50 y sll7 5057: In vai. .. da cicno amlaulo exisl: uu impuana da 10a. y un: ve: qua me impuano 1.5 ma umadu u upliaa 0170 im- punto dal 471. mbm al 10m. s. uu unldulu aau munda au 5250. . au5.. .o 1a. .d.5 al cnmpudnr que plnr p. .. e17 Rlsp. x205 Un odmamiumu compri u. . Irllculo a. . 52o y lu vauda a. . 532.50. Expresar la ulilidud como porucnuj: dal pmaiu da Nilo y del precio da venu. Rrsp. 52h. y 50.571 SUI’ u 257. menor qua y. .a. . qua polculluje da x. axdada r a x7 m. .. 55h. Um persona u. .. 5147 en uaaiia con precio da 30.14 por uulo. .. Enconlnr al m. .. da la mm. .. aumldud da mila a 50,15 p. .. p.15.. . m)». 5151 Eucomm al uloa de lualuu. dado: (u) precio da Iina — S750 0.. .. ducucnlo dal 4m. u - 5750 al. .. dauauaulu. dal 10% y 10% - S750 auudaaauaulo. dal 2071., 1071. y i071. (d) pncio da 11.1. - 5750 clan dascuaulo. dal 15%, 15%. s7. y 57. Rrxp. (a) 5450.0) 5412.50. (a) 1455.01) 5459,05 goue damuamu uuiap a equivllcnle a los dexclwnlm wocsîvos: (H) dal problemi 150.170) dal pluhlem:36(: )?(r) dal pmblamamm Rlxp (a) 379m, (b) J5,2%, (:) 34,7935 D05 (ÌHHIS cmrlpclidoras licnen cl mismo previo de lìxu plu un 11115:1110. Un: firma ofreu dutuenms del 25% y 155, L17 Olll vince dsclwmou del 20%, 10% y 10%, LQuE dcscunlas xon mi: vemajmm pzu el compudnr? I UnI fxclura de SSÌXX). fechnd: 2| lo. dejunio, enipull lo sìguienle: Un dcscuenlo del 9% p0! pago eri I0 dîn 01171 riizscucnlo del 2% por pqo un 30 dlu, Encunlrar In slum pugni: si h liquidlcién fu: hechl (n): | I0 dejunio, (5): ! 19 dejunm. Rup. (a) 52850, (b) 52940 Encunlrar h canlidld pmndn si cada una d): lo: Siflliflnle! mamma: non y15141472 danno del perîado csnblccìdo puri da» manu» por pmnlo pago: Pncio da Iisn Descutnm puuamlal pax-aula po. pqu da «una (a) 52500 252, 37. por puo au 10 dia: (o) 55000 m, 10v. 291. por pub a. . I0 dlu. (c) 53750 25%. 107.. 570 5% pd. puo au 30 dlu (d) 57500 507.. . 57s. su. 2% po. puo a. . 15 dlu Ra; (a) 11118,75, (b) 5152i. (r) 52284,46, (.1) 14541,15 Una limda de mp1 ndquicm Injex en S60 y los mani par: su veni: e71 una cunlidnd lil. qu: |e produxcl un margen de ulilidld 1101445 505!: cl precio d: venia. Encollllar al precio d: Venll. Rnp. 5100.
  13. 13. Capîtulo 2 Exponenfes y Iogarifmos EXPONENTFS. Cuando a-a-u-a-tra se abrevia como a5, a se conoce como base y 6 como exponenle. Un exponenle es. por lanzo, un entero positivo escrim en la parte superior derecha de la base, el cual indica el mîmeru de veces que la base aparece como fnclor. m. » I. (. ).= =.. -b (1) 2ODo=2-2-2-2-5'5-5=2‘-5' (b) r-a-a-a-b (a) 4' 4-4-4=2-2-2-2-2—2=2' (a) a -2-2=2* (M011) s1-s1=9-s-s-s= s' (d) m- -s-a-a-a= a' (n (1+i)'= (1+0(1+n(1+t) (c) 432 = 2-2-2-2-3-3-3 = 2‘-3’ (il (1+î)' = (1+I')(l+î)--vhauun Îflclnres LEYES DE EXPONENTES. Si m y n son enleros posìlivos y asbD. lenemos que n'ha" = (a-a . .. haslam faclnres)(a-a . .. hasla n faclores) (I) = (cc-a, . haslnm + nfactores) = a"'" Pur lama. tf-a, ‘ = a! " = n", 13"12‘ 2 N" = b‘, 2"? : 2"‘ = 2‘ = 32. 3" _ (a-(Luhasla m faclores) '1' — (a-u. Jlasla n faclores) = a" cuando m > n = (a-a . . . hasla m — n factores) (I) r». unta, uVn‘ = 4"’ = m, b‘/ b' = N" = b‘, 2'-/2' = zw-- : 2< = 15. a" _ (n'a . ..hasla m facmres) _ 1 (S) a‘ — (a-u . . . hasla n faclores) _ (a-u . . mesta n — m faclores) : m, cuando m< n m unto, E; = = (un). amìmò» . ... .. . mmmm (4) m» lame, (n‘)‘ = a” = (Il'b)" : (n'a . . . hasla n facloresflb-b hzsla n Facmres) (5) z anbn Pur umn. («by = u’b', un)‘ : zar, (21')! : 2a" : 32x“, (x-w = z“y". 16 CAP 1) kXPONENTES v LOGARITMOS 17 G) . . . haxm n Îaclores (o) hasla n lacmres a". . hasla n faclores — b‘ s . u 4 u u I 4 I m . ... .. (g) = g, (a = =3 = = ) EX PONENTE CERO, NEGATIVO Y ERACCIONARIO. Para incluir en la nociòn de exponcnle cunl- quier nùmero racional (por ejemplo, cero, enleros positivo: y negalivos y fracciones comunes) son necesarias las siguienles definiciones: Véase el problema l. a" = 1, a 9‘ 0 (7) r" = à, a-fio siendo n un entero positivo (s) 11"" = f/ î, siendo n un enleru positivo (9) Puede demoslrarse que las leyes (l) y (I5) dada: para los exponenles, se cumplen si la condiciòn “m y n son enleros posilivos" se cambia por “m y n son nùmeros racionales“. Obsérvese. sin em- bargo, que el exponenle en la expresiòn 11"". por ejemplo, nada (iene que ver con el nùmem de ve- ces que la base aparece como fnclor. Eiullpln z. (a)1= (1) (Z5)"'= /2—6=5 (n) <8)" = W = V42" = {/2'-= 2'": z- = 4 (h) nor" = (v)- <. e->‘"'= (i) (1.02)‘(1-02)"" = (1.472 "' (b) z-' = I" = lld‘ = Il“ Véase el problema 2. TEOREMA DEL BINOMIO. Bajo cienas reslricciones eslablelcidas més adelanle lenemos que ma)‘ = a» + m"‘b + Kffz-‘ìa-«bz + a'-'b' + (I0) E5 posible oblener cualquier (érmina de la expresiòn anlerior mediante la aplicacibn de las siguien- lcs propiedades: (i) El exponenxe de a en el primer lérmino es n. en el segundo es n —- l, y decrece en l en cada lér- mino sucesivo. (ii) La suma de los expouenles de a y b. en cualquier termino es n. (iii) El coeficienle del primer termino es I, el del segundo lérmino e: n. cl coeficienle de cualquier termino poslerior es igual al eoeficienle del lérmino precedeme, mulliplicado por e! exponente de a en ese misma termino, y dividido enlre eI exponenle de b aumenlado en I. de ese lérminu. En cunsecuencia, el quìnlo lérmino en (I0) es n(n — 1)(n - 2)(n - S) 1-2-3-4 “H”
  14. 14. 18 EXPONENTE Y LOGARITMOS (CAP. Z Siendo r1 un entero positivo, la igualdad dada en (I0) se cumple para cualquier valor de a y b. produciéndose (n + l) lérmìnos. 21mm 3. Dulrrolhr (zx + Jy)'y ximplirnr. (zzuyr = (zar + 5(2z)‘(lv) + Humus, » + f j (2== )'(81r)' 5'l'3'2 5'O'8'! 'l * rîrî-î""""‘ * r-a-a-a-N” = 82:‘ + Zlflaw + 720557‘ + 1080fy’ + 81021‘ + Mly‘ Sea n cualquier numero racional que no sea entero positivo; (I0) se cumple siempre y cunn- do el valor numerico de a se: mayor que el vilor numerico de b. produciéndose un numero ilimi- mio de Iérminos. Ejuqlo 4. Deurrollnr (9:- + mm . 510mm y simpfifinlt m. umrnu. 1221-471"- = 19:0" + }(9=‘)'"'(lv) + %<nz'u-maur ÈÉ-Î-‘EÎÌ (9-')""14v)' + *H"""“ ‘19='>-"147>' + l'2%‘! EL TEOREMA DEL BINOMIO tiene aplicnciòn en el cilculo de polencias de (I + i). donde 1' es un: ma de interés. con resultado eproximado a un numero dado de decimales. Par: nproximar (l + 1')" a r cifrus decimale: deben seguirse los siguienles puos: (a) Escribir los primeros termino: del desarrnllo. (b) Evaluar cada termino con (r + l) cifra: decimales. (c) Si es neoesario. seguir agregando términos en (a) hasra finalizar el desarrollo o hasu alcanzar un termino con (r + l) ceros a la dnrecha del punto decima]. (d) Sdmar lodo: los lérminos evalundos y redondear a r cifra: decimale; lit-Ii! 5» Enoonlrnr el mar de (l, UJ)'con 6 cifns decimalu. 0.03)‘ = (l 4' 0.03)‘ = l‘ + 8(l)'(0.03) + 28(1)'(0.03)‘ + 56(l)’(0,03)' + 7D(1)‘(D.03)‘ + 56(l)'(0,03) ' + 28(1)‘(U.0J)‘ + = 1 + 0,24 + 0,0252 + 0.001511 + 00000567 + 17.00001714 + (OJDWÙDZNIZ) + . L26677!) I1 Véanse los problema: 34. LDGARlTMOS. E1 logzrilmo en base b d: un numero positivo N (Ius. N). es el exponenle L tal que b’- = N. Porejemplo. 10h32 = 5, ya que, 2’ s- 32 y 10g; [25 = 3. ya que. S’ = 125. Véanse los problemxs 5-6. CAP. 2] EXPONENTES Y LOGARITMOS 19 Para nucslros propòsitos, en zdelante ulilizaremos la base I0 escrihiendo 10g N en vez dc lasn N. Per definicién lenemos 10g 1000 = 3 ya que 10' = 1000 10g 10o = 2 ya que 10- = 10o lo: 10 = 1 ya que 10‘ = 10 10g l = 0 ya que 10“ = 1 los 0.l -1 ya que - lo: 0.01 — —2 ya que SeanA = I0‘, E — 10'. y C = IO‘ tale: que 10g A = n. log B = b, y IogC = c, Pneslo que A-B'C = 10"lO'-10' =10“"', A/ B = 10'/10' = 10'", y A‘ = 00')‘ = 10*‘, se deduce que logA-B-C = n+b+c = logA+logB+loxC loxA/ B = a-b = lozA-loxB 103.4" = M = 711014 Con lo interior hemos moslrado que: l. El logarizmo del produrlo da da: 17 mi: nùmero: pasùîva: e: igual a la xuma d: la: Iagalltma: d: lo: nùmcrox. Il. El logarilmo de! cadenze d: dos mìmtro: pasmvo: e: igual al Iagarilmo del numeradar mena: al lagarilmo del denominador. lll. E! logarilmo de una palencia d: un nùmem paxilivn e: lgrml al produclo del lagarlmra del nùmera mulupllcadv por al exponenr: d: la palencîn. Enna: 6 Conncido: 10:2 = 0.101010 y 10:8 = 0.477121; enorme: (a) 10:6 = lega-a) = 10:2 +1021 = 0.301030 + 0.477121 = 0.771151 (b) 10360 = Rum-IO) = 10364417310 = o,77n51 + 1.000000 = L77815] (e) legano = 1044640‘) 1635 +16{10’ = 0.779151 + 2.000000 = 2.771151 (d) 16g 0,06 = una; = ma —1og10- = 0.775151 — 2.000000 E: corrienre scribir m: resullndo ma 7.771151. pero nuxolros lo: eseribiremos corno 1.776151 — 1o. (a) 1630.0036 = 1020,06)‘ = 21o: 0.06 = 2[B,778Iì1 — 1o] = 17.5563111 - 2o = 7.556302 — 1o (f) 103V’ 0.1.16 = lo{(D, D6)"' = glog 0,06 = {[x,77x151 — 1o] r. “ASJWISI — 6a] = 9.755630 — 1o CARACTERISTICA Y MANTISA. El | ogarilmo (en base I0) de un numero positivo consiste de dos parles: (i) una plrl: enlem llamada caranerrîrzim y (ii) una pane decimal llamada manllm Del ejemplo 6, podemns concluir que la manrisa e514 determinada por la serie de digito: del m‘: - mem sin irnporlar In posiciòn de la coma decimal, mienuas que la caraclerlslica eslà determina- da unicamente porla posiciàn de la com: decima].
  15. 15. 20 EXPONENTkS v LOGARITMOS lCAP» 1 Puni nfinierm mziyurea qui: l. Iii carauier. ca es iguzil zil nùmcru dl: digilus a la iaquierda dc lu coinii de‘ mul nlcnux una unidad [Veii e los ejemplos Ma). (b). (r) ]. Eri nùmcros cum- prcndidm unln: 0 y I Iu ciiructeristica . e determina contando e| nùmero de ceros entre la coma decinial y la primcra cifra ignificaliva. restando est: niîmero a ‘J y agregando iii fina] I0 [ véan- s: lo: ejemplos 6 (d). (r)]. Véase iidemiis e| problema 7. La miintisa. por lo generali ex una fracciòn decima] infinita redondeada a un nùmero dado de cifrias decimales. TABLA DE MANTISAS. La tablrl proporciona la mantisa con seis cifras decimale: de cualquier infimero con cualro o mcnos digito)‘. La coma decimal antes de cada cantidad ha sido omitida en la impresiòn. Pur eI momento, ignoraremos la iabla de piirtes proporcionales. Ejnrmlo 7. (a) Pura emunlriir l: minlim dei lux N7841: loc 73|! eii la Coiumnu N los primerus ire: digims. JI7. EH . ie; iiia. . en In mimi linea iie II7. 9G ioeaiin eii i. Cfliumll! del a la eaiiisdmi 501i s4, e: decil N 8 l 3.. —ì——owzis4 L: mnntiu requeridl e: 0.50254. Por llvllb. login: = 1.502154 luzomiu = ILSOZISÀ — w 103317800 = Lsiizism 10g 0,00JI78 : 15mm — io (o) P. .. IHCDUIHI! i: VIIIMÌSI del Iog 25. lmllmfls mie e» ii. misma manlisa del lo; zso y del i. .. 2500. si. zl rfllfliòn de zsu bajfl ei o. Iouliznmos 0.397940 r. .. CDIISÌQIJIGIHC. 1031.5 = 0.197940 10g‘ 0,25 = 9.197940 - 10 10g 21W = 2.397940 log25flDO = 4.397940 i. ) 9m eiicomm. i. manliu del IogSEIM. iiiiiese que la mlniisz de sarai. e: 0.754024 y la IVIIIIUSI de 55170 e: 0.754.020. La iiirereiieii iie 53164 Cfln saiw ei 41m de la iiireieiicia eiiiie simo con Sllw: goderne; eiieoiiim in mantiu del Iog SEIM si supnncmofi mie il dÌÎGltntI-l CDII la manlisa d: i. .. 58160 e; 4/(0 de i. dÌÎflfllCÌa emie im miiiiism de i. .. 58| 70 con io. saiw. ex decir, 0.754024 + {HOJMGM 0.754524) = 0.704024 + Îifiiimoooms) - 0.754024 + 0.000030 = 0.764654 El procedimieiiio aiiiuior rccibc cl iiomixe di: MHfflIHflfllÌ/ l Seri uiiiiudo irecueniemeiiic Cfln I2 ubla l y mi. alpina; oim inhlw d: esle iiizm. L. inierpoiaciisi. puede ilusirurse como cigue. (Utiiizamm las cantidadzs lzl como apareczn en la labln l. colocàndnw la com: decimal después que I: i minima ha xidu enconlrzdl. ) Niîmero Muli. “ 581601 4 764624} z 10 [E8164 '75 i: m 58170 764699 Eh ma ftplrstnlnclorl. ei iiiimem riieia del p-i. e'iiieii< Coflhpolldt .1 ii direieiim entre la: caiiiiamee indieadzs: por Uhm. I = m 75452441. dnnd: i = i 75 10 ' m = 7Gd62l+: = 764624+S0 = 764654 l i. = 1-0075) = a0. y Li: YrIAHlISàI u-qimiii. e» 0.704554 CAF 2] EXPONENTES Y LOGARITMOS 21 (il) Piira encoiiimr il] mfllfliîîl del Iiig imaaz, ex Hirtcitnlc cui-omni In MZMISI del lo; 3714s. para eucunuar la manlisa dei log 373459. se busca la inaniisa iie 147347. Gemmlizando. pirz cnconim l: mlniin del logarilmo de un iiùmero non mi: n màs dîgllofl. <2 redundcx dieho miniera u mi) digims. Véanse los problemas 8-9. TABLA DE PARTES PROPORCIONALÉS. El proceso d: intespolaciòn descrito anteriormente consiste en parte en: (i) encnntrar la diferencia. Ilamada diferencia iabulur, entre dos caniidades consecutiva: de la ta- bla i (En el ejemplo 7(r). la diferencia tabular es 75.) (ii)' encontrar un cierto ntîmero de decimos de dicha diferencia tabular. (En eI ejemplo No). ne- cesitamos 4/ I0 de la diferencia tabuiar. ) En la tabla i. e| promedio de las diferencias tubulares de las cnntidades de cualquier renglén. està dado en el mismo renglòn bajo “Dil”. Puesto que cl uso del promedio de las difereneias tabu- lares en vez de las dìfcrencias tabulares exacias no altera en forma apreciable niieslros cùleulos. emplearemos el prumedio de las diferencias tabulares. Ekmpio a Sllpònfilse q“! s: iiem I: milnlÌSH del io. 22967. Bnju el iiamem e. eii e| ieiigiaii cnrnspondiellle I m. se ioclillil ieo912 y mi Dil. i. diitrcllcil llbuilr H49. Necexilzmos 7/iii de ma. El! In mimi. pagina. mi | a mai. iie plrlu propul- rionale: SI iiiiscz ix9 eii Dir y. e. i eI misrnu nngién ei. I: Cnillllllll Cfllrespolldienle Il iiiimem 7 s: locaiin lil. }: es dlCÌr. qIlG .1., de tao si. .. IJZJ. Sumzmos e 250972 i. coiieeeiai. IJZ. y ellionfies i: m. .. ieqiieiia. e: 0.161 IOl. En cierio tipo dc càlciilos es necesario lograr una precisiòn rnayor que la que se obtiene in- terpolando en la tabia I (véase cl ejemplo I3). Pura est: propò o. se incluye la labla Il. In cual praporciona mantisas basta con siete cifra: decimales para niîmeros desde 10.000 hasta i039‘). Elemplo 9. De in iabla Il ubiznemns sin necesidad da interpoluciifin. OJDOWW como maniisz de 10013. Rednndenrflo n sei: de- cimales. el resultada = s similnr al que se ebbene liaciendn uw de l: Inbla l. n su 0.000991. Véase ci problema I0. ANTILOGARITMOS. Sea Iog N = L: a N se le canoce como el unrilagariima de 1.. Eiemplo I (ii) sabieiido que log N a 1.57|0|0.= nconlrarN Como la uizeiemiiu e: 2, sabemos qiie iiÎne J digito: a I: izquierdn de I: com: decimll; la fllllflisì e: 057mm. Empezamus por znalizar I2 mantixa. Eri a lzhla I. localizamox 57mm eii I2 columnl del 4 en el renuàn Enrrexpollfiitnl: a 172 La: digilas de N sori 112m; por Hnm N es una! a 372.4. (b) Sabini-in que lng N = L32752. enconlrar N. E]! est: E150. 732752. mi aparrce eii i. iiiiiia l. pera mm que s: eiieiiemia enne 7Jz7i5 correxpoiiiiientc a 54040 712791: cnrrzspondienl: a 54050 s: «mi. qiie I: iiireieiiei. cui. 7JZ7I5 equivale a = g; d: i. dilemmi-I eiiiie 732790 y m7is, raaemm mpurltr qut i. diÎcrtncifl eiiiie N y 54040. iamiiieii equivale a J7/si d: I2 diiereiieii. entre 54050 y 54040. es decir.
  16. 16. 22 sxmusurm v LOGARITMOS [cm 2 54040 + î-ZGO) = 54040 + 5 = 54045 Puesln que I2 czrarlerî ca e; 1. 1mm dm una: a 1a imuiema de 1a coma dccinnl. o se: que N — 54.045. En e51: casa puede ser u: gran ma: I: lahla .1: panes praporcuunnles. umaunama. pracederiamos cumo sigue: (a) Se localinnel rcnglòn y 1. cnlumna 4:1: nunlìu m. pròximna 1. dudloìflenuéndnseenesle casa 5404. (11) Se deumflna I: dikrencla enlr: In numisn dadi y1n inmedìnln ameriur (en esle cm 731752 — 732715 - 17) y eI promedio a: dîîerencm Iahula: (que e: un. m. la uhln d: pane: ptnporcionnlex Ioezlizlmos a1 e11 nir y e11 el mismo ren| lòn huscamos 1a cnnlidud m4s ceycunn . 11m. e51: tuo encumramns 40.5 en 1. mlumn: 4:1 s. Agreglmm s n 1. 22mm a: los nùmeros yl enenuuldos pm oblener 5400s. (111) Se colncn la com: dccimal de Icuerdo a In regia esublenflu plu In clnclerîxlicu. nhleniéndose N u 54.045. (t) DIdoIug N a- ].790IN. e11con1rar N. L: ennlidnd inrnedìnll nnlerior I 790100 e11 In llblu 1 e: 790074. eonespondìenle I 6167. LI diferencìn e: 790100- 790074 - Z6; Il nferencil lnhulll e: 707 Locllixlndo 70 e11 Dif e11 11111711 d: plrlex praporcinnlles. e11- conulmus que 28.0 e11 In enlumnl del 4 e: In clnlìdnd m4: prbnmn I 26. E11 esu l'arma nhunemw 616747 La el- nelerluìel u 3; por lauto. M1714 4 dîgilos I Il izquieml de II com: deeimll y. e11 cansecueneil. N - 6167.4. (d) Dldn lo] N - S.073464,enoo11IrIr N. La menor mlnliu m4: prflximn a 073451, en In llbll 1. u 013352 eonexpondienle I 1104. LI dlferencia e: 073464 — 073352 - 112 y 1| diferencin labulur 366. Loul Indo 366 e11 D11’. en 1| ubll de pulci pmporeiunflu. tnmnlumns 109.8 en 1| cnlumnl de1 3 come el m4: préximfl a 112. Lo; 111mm: requeridox per! N. son 118437 Dehe hlher 6 0115110: aule: d: Il 001M dncimll. Aumenundo 11843 e11 un: cifre lenemu que N - 118430. Nola. Si N repmenu peso: y cenuvos. c1 resuludo uhlenido 51187430 eslull aproximndo I In deuenas de pesci. q. ) Dm 1a; N - uswoo- 10. enconlrar N. 1.: menor 111211111: mh prbximn 135991» e; 359035. eorrespolflinte I Z290 L1 difzremiles 359900 — 359835 - 63 y Il dilzrencin uhullr 189. Locnlinndo 189 e11 1| labln de plrlcs prnyflrcionlles encunlrlmm 56.7 en Il Colum- nl del 3 como I2 cunxidld mi: pr6xìmi I 65. Los dlgilns de N xer4n 22903. Debe heher due nero: ìnmedinumenlt dexyuéx de In mm: decImII; por unto N - 011322903. m ma» 1o. N - 0.019144. enwnlrar N. Cunndo m xuficienlc una m: iòn d: s 07.110.. poaeqos cunocer dichos digito: direclamenle a. 1a Iahla 11. Enconlrlmos que 0391364 cflrrupondienle a 10943. e111 nunlisz m4: préximx I 0391440, por 1o cual N = = 1.094). Podemos ohlener N mn a digito: por inlzrpoluiòn. Nueslru dìfuencin ex 0191440 — 11391304 2. 10. siendn la dilerendl unum 397. Y: que 750 + 397, e: aproxnnadamcnle 1. Ienemos que N = 1.09432. CALCULOS CON LOGARITMOS. Los logarilmos son un inslrumenlo eficaz en la elaboraciòn de cienos càlculos. debido al liempo que se ahorra. Para aprovecharlos a1 màximo, es conveniente definir un procedimienlo de càIcu1o anles de recurrir a las lablas. lîjunplo 11. Uli1inndo luurnmos. zmonlrar N — 11175 x 0.03452. IoxN - 1032875 + 1og0.08462 Pmeaimienuo t: ciluflo Cilmlo completo 1012875 1232875 = 3.458658 +11120378462 — 8 -10 +10111178462 = 8.927473 logN lufN = 2.386111 N = N = = 248728 (N014. 12306111 i 10 = 2.386111) CAP7 2] EXPONENTÈS Y LOGARITMOS 23 Ekmplu 127 Uiilizandnloganlmosencnnuar N 5‘ 25 JEE ‘ IogN = Ing 14.726 — Iug8.ls6 Procedimknm d: cilculn Cilello tompleln 1og34.720 = 1, 103343120 = 1.540055 —1og 2.15a = o. —loz 3.150 0.911477 lntN = 7 IagN 0.62l178 N = N = 4.2577 Ejemplo 1:7 UHIizando iugarumos. encnmrlr N - 71.0225)". lojN = 101.1310225 1021.11225 = 0.009003: (Iabh 11) IogN = 1010310225 = omessa N = 1.11492 COLOGARITMOS. Delînimos como cologarilmo de N (ca/ og N). a Iogà = —logN = o — logN = (10000000- 1o) — logN Ejemplo 14. (n) S1 10| N - 2.463876. culo; N - 10.0001300‘ 10 — 2.453370 = 7.538124 - 1D (b) S1 IOgN = 7.224465 —— I0. colon N u 10900000- 10 — 7.224455 — 10 2.775585 1| Se debe tener la precauciòn de no usar cologarilmus siempre que se encueulre con —1ogN. La dec1s1òn de uuluzarlos o no. dependerà del proeediniienlo de càlculo resullante. Ejuwlo 1 Encanlrar N = S4 H28 8.1 56 logN = 10336726 — 10g 8,156 = 10g 34.725 + 2010x8166 1o[84,720 = 1.540655 ‘I-colng 8.156 = 9.088523 10 lofN = 0.629178 N = 4.2577 A1 comparar con eIejemp10 I2. vemos claramenle que no se gana nada. en esle caso. ulilizan- do cologariîmos. 1 uunplo 16. Enconlur N = = 1013278 - 1n[90726 —- 1030.04247 = 1028278 + coIOgWJG + c010: 0.04247
  17. 17. 24 EXPONENTES v LDGARITMOS lCAP. 2 unilinmo loprilmns 1023.2113 = 10.51.5609 — 1o — 10g 90.25 = 1.955495 18.5601“ - 2|) -- 1530.04247 = B. 28082 — 10 lug N 9.932032 - 10 N = 0.55513 Ulilinniu cnlqnrilmos 1023275 = 0,515509 + colo: 90.26 = 8.044505 - 10 +colo[0.04247 = 1.371918 logN = 9.952032 — 10 N = 0.85513 Claramente, en eslc caso, c: rnàs convenicnlc utilizar cnlogarilmos. Ejnnplu I7, Encaulrar N = (1.0115)"’ - 1 uunumo bunrilmos SIIM - (LUI I0)" 101M = 15|oz1,011fl mmoosooas) 04175132 Yn que N - ì/ M loxN 10:1 — lngM Iozl 10000000 — 10 - 103M — 0.075132 IozN 9.024868 - I0 N — 0.84114 ' (1.on5)"' UIiIluMn colognrilmu lagN = —15 1521.0115 = 15 colo; 1.0115 1510110115 = 0575132 non! = 15colug1.01|5 = 9321888-10 N = manu En est: caso es vcnlajoso ulilizar cologarìlmos. sin embargo. véas: ademàs el problema l Ho). Véanse los problcmas ll-IZ. Problemas resueltos L (a) “La4 : ano : un (b) annua: = anni : “u (c) manina! ‘ = “un: = a: 4.1.“: una (d) __a_. __ a. : urna-n = a: 44.“: _ un: a1 _ 1 1 u) . .. — .5 — . ... — . ... .. — .3 “La: a»; a" (l)au. a.= îu F Il p. - H (a) (w = a” = .. ., (. ... .. z . ... .. z . ... z z . .., <2)‘- <1)‘- un — una — a: — (f, xayhzawwy. z xaoznylu z xuvna k) zavnzayz _ x575 _ 14 ( 1.1,. - ,41’; h v: x h a (z) <%%> = = (3-22» = s= -2' CA? 1| EXPONENTFS v LOGARITMOS 25 1. (a) “umana = nuum = dm (b) u’-a“' = 5M = a‘ “m (c) m = aIu-‘v/ z = az/ z = a (d) Il u) (una): z un: u = (i) (una. .. z “mm. z a»; z È (g) “mm ___ (Zuma/ z = (gxynulrm 2a, " = 32,‘: H 3. Calcular (I,04)" con 4 cifras decimales. (1,04)" = (li-OJN)" I 1 z il a (h) = 9-. = g _ a4 ' b: ‘ ambi a: ‘l’ F F = = 77 u, z . ... ... ... . z .0 (k) 935W)“ = e= = 21s (l) (zsr-"(zsq = 254m = Il >- (1n)(158,5)" = 1; È)" m = = 22 - . __27'>‘ = I" + <-G)(1)"(o. o4) + î'—. ‘ì, (;—"Ì(1)-'<o, o4;- + %_î%luyqovo4y . , r;62mc2(-_92.. ,—. .«, _., .,. 1'2'3'4 z <—o)r—7<—a)—9 qouurwllo“. + 1-2'3'4-5 = 1 — 6(0,04J + 21(0.04)‘ - 5601,04)‘ + l26(0.04)‘ - 25207,04)‘ + l - 00.04) + 21(0.0015) — 560.000064) + 128000000255) — 252(0,0000001024) + 1 — 0.24 + 0.0386 - 0,00358 + 0,00032 — 0,00003 + 0.790! El séplìmo | érmnnn licnc cinca «m: después del punln dccimal y no u muesul aqvi. 4. Calcular (I,0Z)"" conbcifras decimales. (non-v- = r“ + (—a/2><1>-" <0 02) + (1)""(0,o2)= + mî-n(o, oz). 1'Z*Z + (-—! /2)(-5/2 —7/2 —9/2 (l)’_x'! '(°m2)( + 1'2'3-4 315 1 — 2mm) + 18101,02)‘ — îggmpzr + îîiaxoa)‘ —- 1 - 0,0! + 0,00075 - 00000175 + 0.000000! - 0.970733
  18. 18. 5. 6. (a) (b) (c) (d) (e) Puesm que Pueslo que Pucslo qu: Pueslo que 4‘ = 1024, 1081 1024 = 5. Pucsm que 7’ = 348, 1011343 — 3. 36"‘ = 6, 101343 — 125"’ = 25, 1031x525 = EXPONENTES Y LOGARFTMOS (CAP. 2 5" = ù = 0.04, 1081034 = -2. De las siguientes equivalencias 3‘ = 8 3’ 9 S’ 27 3‘ = 81. 8' 243 8' = 729 3' = 2187 3' 6561 8' = 19688 se daino: que n-m = a‘ a- = a"- em = = a. .. W ("nu- = (mm _ avi-—- ‘mm 1081 3 = 10x; 9 = 10g: 27 10g: 8 1 10g; 243 10g: 729 10g; 2187 10x: 6561 10h 19683 I1 II 1| tamsîmmaxmn» 10981-2“) = 4 + E = 101181 + 103x243 G561 E — 6 = 10118551 - 103.729 109012101" = g-a = panna 7. Ulilizando las siguienles reglas pura 13s caracterlsticas: (i) Si A > 1. 1a caratteristica dcl 10g A es igual al nùmero da digitos shuados a la izquierda d: 1a coma decimal d: A meno: 1. (ii) Si 0< A < I, la czraclerîstica del 10g»! se determina restando d: 9 el nùmcro de ccros situa- dos immediatamente después de la coma decima] de A y agrcgando a conlinnaciòn —I0, 1a caramerislicn del lo; de (n) (b) 4:) (l) (I) Enconlrar la mamisa 11:1 logarilmo dc: 134 r: 1 2.34 e: o 4569 e; 3 45090 cs 4 0,2004 u 9 —l0 u‘) 0,2003 e: 9 410 4,) 0,0243 c: a —10 (h) 00021111457 —10 (i) 0,00002 es s —m (1) 1,00002 e: 0 (n) 2345, (b) 1,2, (c) 61775, (d) 100,23, (e) 2.3446, (f) 0,98792 Pm crmmui las nuuuus 11o mmnemus e11 cucnu la: coma: decimale: d: lo: nùmeros. E111: columna encabeuda por / v. m1: uhla Llocaliznnos 10:11:; primcms digilas 214; :11 cl r= n|I6n correspond‘ nle (n) (b) (r) loulixamox In iru 370143411 la cuiumnn del s. (Nola. E1 nluixco 1111:: de o 14:1 indie! que 10s dos primems d (no ucnms) sun 37 en lupi de 16.) La mnnlisl c: 0.170143. L: mznlin d: 10g 1.2 e51: mismz de lo; 1200 E11 el raiulòn d: 12o y en 1a mlumnl encxhcudl por o. locllinmox 1a manlisz 0.079101 EH el nnflàn d: m s: localiu 790m H11! calumna (nubendi por 7. y 790m km0 1. eolumnl tncnbezzdn p0! x. baqucmìlìtzmcnlc (Humus: CAP. 2] EXPONENTES V LOGARITMOS Nuimero Mmis. [GX770 s [7907781 z 10 61775 70 m 61780 790348 Enlomes. = _.ì -1 - - _ 53_10, z—w(70)—85. m_71o'ns+ae_70oau LI 111111115: a: 0.790113. l’ (4) 10020] a come] z 1o 10021 «a: m xooao 001301 a: = fiuaa) = 120.9, n = 0o0a5s+1ao = 00m: La mnnlixl ex 0000991. Pued: u! delerminmda direcumcnle e11 111.111211. m 23110 mm s J a 1o una un m amo mm a: = han) = m, m = assenza-m = mm La mznlisz 1:: 0.170009. (f) 92'190] z mm] ’ o 913m u m amo 9mm z = fiat) = u. 111 = 994713” = 004'122 L: mnnnsl ex 0.994721. 9. Del problema s, 1.012345 ‘ 3.870148 lo‘ 1,2 = 0.072181 10g 51775 4,79081}! lo: 2,3446 = 0370069 10g 100.23 = 2.000298 1130.98792 = 91994722 - 10 I0. Utilizando 1a labla d: panca proporcionales. cnconlrar: (a) 10g 37,483, (b) 10g 000086437. (c) Iog 2573.8, (d) 10g 0.055692 27 (a) La czraclcrîxlicl ex 1. L: manlisl canespandìenlc 11748 e: 573300 y 12 diferencin labulnr e: H6 (Iacalîndn en =1mis- mn renglen a la derecha bnjo Dir). En 1: 11h11 d: plrlex yroporcionales localizamos 1 11s bnja D11; un c1 renglàn corres- pondlenu mconlramos 34,! e11 1I cohunna encabzxlda por 3. Sumlnda II cnrrwciòn 1:11: 573800 + 34.8 - 5738345 A 573835 rednndazndo a 6 d1ji| flì L: manlua c: OJDUSy Iog 37.483 x 1,57305.
  19. 19. 28 EXPONENTES Y LOGARITMOS (b) Lu carucncmuu u e — no. Pura I-. . muullxa nucrsìlumus 938865 + 0.7(50) = 935655 + 35.0 : 936'100 Pur unto. lo; 000056437 r 6.915700 — I0. (c) La urntcrislica e: 1. Para la manlisa musnamm 410440 + 0.81159) = 410440 +1352 = 410515 Per l'amo. lo; 2571.5 = 3.410575. (a) L: cnrucxerisuc: e: a - m. P. .. I. mnmisa necmumus 745771 + 0,2175) = 745777 + 15,6 = 745793 Per Iunlo. 1050.055592 - 5.145793 — I0. Encontrar: a N _ a5. 24x0.08762 (d) a‘ = 4r(1.014)"‘—11 1 1 ‘ o, 054328 (E) S _ (1.0185)"—1 (b) N = z4a.55(1.oa2)" 0.0136 1- 1.0245 -= - (c) N = s200o(1.0o25)-" (l) A = —î—-—(°‘0245) (a) 10.35.124 = 1.545005 + 1010.08752 = 8342805-10 +colog 17.0054325 = 2.254078 logN = 2.153134 N = 555.48 (b) 10124855 = 2.395414 + 22 1011.0132 = 0.300953 (ubl: Il) lagN = 2.696367 N = 497.01 (c) 10332000 = 4.505150 — 4810310025 = 0.052051 (libia 11) logN = 4.458099 N z 28388 (d) Frimcrn znconlramu; N 111,014)“. logN = }lozl.014 = 0.001510 N — 1.0035 7' = 4[11.014)"‘— 1] = 4(1.0035—1) = 0.014 (e) Primera emonlramos N x- 0.0135)". logN = 2010310135 ‘ N s = 1010.8078 8.487988 — 10 — 1030.0185 a 1311534 — 10 1035 1.357852 S — 22.785 [ma z CAP. 1] EXPONENTB V LOGARITMOS 1[) Primzm gnconlramos N - 1.0245‘? logN = 32 co1og1.0248 = 9563518-10 111M: I1) N 4 0.45091 ___ 1-046091 _ 0.53909 "‘ ‘W’ 4 - ma. ‘ - Îoîaî 9.781682 — 10 8.389186 10 l. 342498 22.004 10| 0.58909 — lo: 0. 0245 lug A A II Il 12. (a) Enconlrzr n, si 11.036)" = 2.154 1110x1036 = 1ow2.164 = 1:12.154 _ 338246 1:31.036 — 015360 login = 1430.825248 - 1030.015360 10g 0.85325 18227707- 10 - 1010.01588 8.186891 - 10 lo: n 1.388378 1| 21.886 (b) Enconlrar n. si 5225110255)" = 3750 10g 5228 - 11101111265 = 1o‘ 3750 ÌOEBZH -1g5750 _ 1718086-3574031 _ 0.144055 1011.0285 fl 0.010938 _ 0.010936 102 0.14408 ’ 8.188543 — 10 - 10g 0.010938 8.088858 — 10 login " 1.119885 u 13.173 11.048)‘ —- (1. 048)" Prlmermsc encuenlra N = 11.041)”. logN x f 1051.4148 x OJDWW y N = 1.0115. Ahou lcnmnux que alcuni/ II . . szbiendo que’ (r) Enconlrar n. si 526 _ _ _ _ 3125X0.0118 — 3125 u 11,048) 1 — g? ’ 10g 111.048)‘ —- 1] = 1og31Z5 + 1og0,0118 + co1og525 1og3125 = 3.494850 10g 0,0118 8.071882 — 10 co1og525 7.278841 — 1o 10g 111.048)" — l] 8.845573 — 10 11.048)‘ - I 0.070238 11,048)‘ 1.070238 n 1og1.048 10g 1.0702 = 1021.0702 _ 0.029465 | ng1.048 h‘ 0.020351 10g n x 1010.029465 -- 1010.020851 10g 0.029485 8.469307 - 10 - lux 0.020361 308799 103W. .150508 n = 1.4471 29
  20. 20. 15. Dcvurrollar y 111111111101- (11) (z + y)‘ = 2' + 3z’v + 32v’ + v‘ (11) (x + y)‘ = z‘ + szw + 101111‘ + 10m‘ + 5:0‘ + v‘ (t) (z + 214)‘ z‘ + 921V + 241-1.‘ + Mzy‘ + 151.1 EXPONENTES V LOGARITMOS lCAP. 2 (d) 510111111111 1.. dado n.0155)" : 0.43994. —nlox1.0!85 = 1010.40884 n1og! .03!5 = —10x0.43884 = 00101043854 n z 0013048084 _ 0.367593 1031.0385 h‘ 0.015406 1030.35789 = 1558507-10 — 10g 0.015406 10x11 11 — 21,902 Problemas propuestos Il. Sìmplnficxr: . (n) n'-u' 1:) (5) 11h11‘ l . (11) una‘ 11' (k) % (d) a-a'-n . .. m 7‘ (m) 11.02111021" (111 n.02)” R. .. (.1) 111- (a) 11' u) m" 1100.02)" (5) a" (u) 0‘ (11) avv- (n) 11.02)" (e) 11" (I) 1/51 (f) 11"10" 14. Snmphficar. o. ) . u--1.m u) <41) (z*">'" (a) a"’-a"' 19) (t) 122")” (c) amm- (h) (m) = ’v""+z74"‘ m . ..). .." m (n) (E). .. 1.) 11")- m b‘ u" Rtrp (a) 11 (d) a‘ (i) 1/7 (111) zw (b) 21”‘ (e) l/ a‘ (k) z (n) 5'114‘ (c) a‘ (I) u‘ (I) fu‘ (d) (a + 2)‘ — 0' + 15a‘ + 1120‘ + 448d. ‘ + 112042‘ + 179211‘ + 17920‘ + 1.0241! + 256 (l) (a4 21' = [a+ (*2)I' = a‘ — 14a‘ + 11442‘ —— 29042‘ + 560m’ - 57247.‘ + 44842 - 128 CAF. 1] I6. i211. ‘y 11. 21. 111151121 51.1 1': (11)(1+1)1- = 1.5942, (5) (1 +1 -1- = 0.54292. u. [lesarrnllar 55111 s 151111111115 y 1111051111111: (u) (1+1)v= = 1 +g1'—p‘+flu'—fl,1‘+ (b)(1+0-"* = 1 — 11+ i? — m" +1131“ — EXPONENTFS v LOGARITMOS Aproximn. con 8 decimnu: (u) 0.015)‘, (0) (1.025)‘. >(e) 0.005)‘. Rup. (a) 1.04s57919. (5) 100751759. 11) 103017751 Apmximzv, con 4 decimzlu; (a) 11.03)", (b) (l.0D'I5)". (c) 0,02)", (d) 0.005%", Rap. (a) 1.3439. (b) 1.1612. (001535. (d) 0.111128 Àprulîmll. c1171 S 45121111415.. (n) 0.015)“, (b) (1.005)"', (c) 0.02)“. (d) 0.0075)”. R011: (a) 1.00747. (b) 1.00150, (r) 190491101) 1,00125 51115111111 11 111111111115 .1.: 1o) 2594 u) 0.00795 '15) 75.” (l) 860.35 «(n 5.29 (h) 75.902 -(d) 0.2554 (n) 54595 (a) 0.01941 u) 1,0055 Rup (a) 9.412299 (1) 7000557-10 (b) 1950595 (y) 2.544514 (c) 0.729551 (n) 1595572 (d) 0551959-10 (1) 4.755575 (o) 9259519-10 (n 0.002192 Enconlrlr N x1: -(0) 15:11 0.951217 .0») 111.11 2.955594 -0) 1112M _ 1.759595 411) logN = 9.955254 Rrxp. (a) 2.11010 (d) 7195.4 (h) 719.99 (a) 0,45559 (.1) 51.475 u) 0011511345 511111111 111 111111111111 4195111151111 111111111145 1.1.1111.11115: _(o) îs+à = 4.9411 70,75 11.0294 #11) X = 11,751 _(o) 322501743) = 0421.72 1111111111 par: 1.. (a) (1.05)- = 2 (b) 11.03)‘ = 1.9425 (c) 2750.04)’ (d) 0.0125)‘ (11) 0.44544 (1) 0.052901 (m) 11.00247511 (11) 1.0259 (a) 1.00940 (11) 2540752-10 (1) 93722542-10 (m) 7.599904 — 10 (n) 0.011059 (0) 0.005459 (I) 102 N 9.835900 - 10 (I) lagN 7.9o1712— 10 (y) 10g N = 5.240952 — 10 (h) logN = 5.009549 — 1o (y) 0017417 (A) 0011010252 Rnp (a) 14.207, (b) 10.617. (c) 12. (d) 31.002. (r) 15.540 ‘(è 338812003484) 8011.65 (0) 1784.500023)" 11034,10 (I) M30.E0(1.0033)"' ‘ 5811.33 (p) S55555(1.024)"0.038)' 5662,44 (h) 8755.85(1.067)"(1-042)‘ — 3198610 Rup. (a) 0.0542, (b) 0.0298 440.28 0.67532 001;! = 2m
  21. 21. Ccipiiuio 3 Progresiones UNA PROCRFSION ARITMET1CA es una sucesiòn de nùmeros, llamados rinninus, tIles como (i) 6, 11, 16, 21, 26, 31, S6, 41 Y (| |) 54, 50, 46, 42, 88, 84, 30, 26, 22, 18 en la cual cualquier término posterior Il primero puede ser obtenìdo del termino Interior mediInte la sumn de un numero constante llamado dijertnria camila. En (i) hay 8 términos, el ? fI| I’| lf0 es 6 y cIdI uno de los lérrninas siguientes se obtiene sumando II diferenciu comùn S, Il termino Interior. En (ii) liay I0 términos, el primero es 54 y cIdI uno de los termino: siguientes se ubtiene sumando la diferencia corniin —4 Il termino Interior. Generemos unI progresién aritmetica con 7 términos, siendo a el primer termino y 4 Il dife- rencia comiîn. LI progresiòn serà a, a+d, a+2d, afl-Bd, a+4d, ci+5ii, u+6d Supòngase ahora que II progresiòn tiene n términos. Es claro que el n-ésimo termino. o se: el ùlti- mo, seria I= a+(n_—l)d (I) DichI progresiòn puede ser escrita como (iii) a, a +11, u+2d, a +(n—3)d, a + (n—2)d, a +(n—1)d o (iv) a, a+d, a+2d, .. ., (l-Zd), (l-d), l Representando con s la suma de los términos de (iv), tenemos que, a : u+(a+ii)+(ct+2d) + +(l—2d) +(l—d)+l o sca, s = l+(l—d)+(l—2d) +. .+(a+2d)+(a+d)+a Sumando termino a termino las dos exprcsiones anterìores obtenemos 2a = (a+l)+(a+l) +(a+l) + +(a+l)+(a+l)+(a+l) = n(a+ l) Per tanto s = go; +1) (2) Hemos demostrndo que la suma de una progresiòn aritmetica de n términos es igual a lI mitad del numero de términos, multiplicada por la suma del primero y ultimo términos. Suslituyendo en (.7) e] valor dado en (I ), tenemos B : %[a+a+(n—1)d] = g[2a+(n—1)i1] 12') 32 CAP» 3] PROGRESIONES 33 Ejemplo l. q. ) EncuntrIr = I 12o. lérmlllv y i. suma de los i2 prirricrus Iérminosd: I: progresiòn aritmetica siguiente: e. II, i6. 21 Tenemos: a = 6. d = s. y n - i2. P’)! unto. I: 1z+(7l—1)d = 6+(12-1)5 = 61 1 = f(a+1)= %(a+s1) = 402 (b) Enconlru il Iunu de lol prlmerul lS termino: d: In progresiòn Iritmétic: 54, S0. 46. 41. En suono: i: - 54, 4 - —4, y 11 - I5, yen-me. - = intona-né] = lî5l2454)+14(-4)] É %uoa-se> = %<s2) = m Véanse los problemas l—4, UNA PROGRESION GEOMETRICA cs una sucesién de nfimeros, llamados Iérminos, IIIes come (i) 4, -8, 16, —82, 64, —128, 256, —512. 1024, —-2048 Y (li) 729, 486, 824, 216, 144, 96, 64 en la cual ciialqiiier termino posterior Il primero puede ser obtenido del anterior, multiplicandolo por un numero constante llamndo mzén (o cociente comfln). En (i) hay IO tei-minos; el primer termino es 4 y cIdI uno de los términos siguientes se obtiene multiplicando el Interior por lI ruòn --2. En (ii) hny 7 términos; el primero es 729 y cada uno de los termino: siguientes se ohtiene del anterior rriultiplicàndolo por in razòn 2/3, Generemos iinI progresiòn geometrica con 8 ierminos, siendo a el primer termina y r la razòn. La progresiòn es a. a1, a1‘, 111-‘, ar‘, a1", a1‘, a1’ Supòngase ahora que la progresìén tiene n términos. Es claro que el n—ésimo termino I, o sea el iiliimo. seria l = 47"” (3) Representemos por s la suma de los n prìmeros térmìnas de la progruìòn geometrica a, ar, M‘, a1‘, .. ., 11"‘ es decir, que s = a+ar+ar’+ar‘+ +ar*'“+a1—"‘ Entonces, r: = ar+ar‘+ar‘ +a14+ +ar""+u1‘, a — 1: i 11+ (ar-ar) +(a.1“—a1") +(a1—‘—a1‘) + + (arrl-ar") —ar' o sea que, (1—r)s = a — 111*‘ Y __ a — ar" s — 1 — r (4) Es màs conveniente utilizar (4) cuando r < l y a = azlfila cuando r> 1 x (I)
  22. 22. PROGRESIONES [CAP- 1 De (J), tenemos que, r1 : ar" por lo cual (l) y (f) pueden ser escritos como _ l- (5) a = ‘îjî, cuando r<*1. y (5’) a = %_ f, cuando r> 1 tue-pio z. (c) emnim eI tuo. termino y i. suma de los io primeros ieuniooe ac Il progrcsian geometrica 4, ii. I6, 12, Eri si: tuo a - 4. r - 1, y Il - IO. pertanto, = 22049-4 ___ m” 1= 47"‘ = 4m‘ = 1104s y F, (b) Encontnr In suma de lo: IZ primeros tlénninoq de la projruién [eotnetrica 4, —-8. I6, —J2, En cale uso n - 4. r - —2, n — l2. por llnto, AÎ-«(jîn = 4434096) = 4m Véanse los problema: 5-7. LA DEPRECIACION lv‘. definida en el capitulo l. Los métodos discutidqs para determinar el cargo anni por depreciaciòn dan Iugar a seria: objeciones. Per ejemplo, la depreciacién de un activo en su primer ano de uso es lrecuentemente mayor que lI del segundo, y la del segundo es mayor que la del terecro, y ISI sucesivantente. La tabla de depreciacién de un automòvil minestra esta tendencia. El IÌIÉIDdD d: porcznmi: jîjo responde a dicha objeciòn al suponer que el cargo por depre— ciaciòn que debe lizcerse al I'ma] de cada aio es un porcentuje fijo del valor contable al principio del Irìo. Sea C el costo originIl de un activo. S su valor de salvImenm y n el nùmern de arîos de vida tìtil. Sea d el porcentnje lìjo anual. Al final del primer aîio, el cargo por depreciaciòn es Cd y el valor contable es C —— Cd = - C(l — d). AI final del segundo afio. el cargo por depreciacién e: C(| — d)d yel vnlor contable es C(l à d) — C(l —— d)! = C(l — d)(l -— d) = ("(1 —— d)’. Los valores contables sucesivos, durante la vida del activo. corresponden a los términos de la progresiòn geometrica (i) C(1— d), C(1 —d)’, C(1 — d)‘, .. . Por tamo, al final de n afios, e] valor contable es (ii) C(1—d)" = S El valor d. la rasa de deprtciacfnîn, puede ser un valor estimado o puede ser determinado de la re» laciòn dada en (ii), en cuyo caso es neoesIrio utilizar logaritmo; eia-ci. 3. Se eslimI que o. .. miquina con costo de m0o tendrà una vidi mai a. o aîios y llll valor ae salvamenlo de i360. Daerminar i: tua Inunl de depreciactòn y eonslruir i. tibia de depreciIciòn correìpondienle. C —-- 4000, S - 160. n - 6; Iplicnndo (ii), lenemos que: 360 _ ma — 0.075 6 togli-d) = iogoms = 8.875061 —10 10g (t —.1) = 9.012510 — 10 1 — d = 0.6494 y ii = 0.3505 = 85.06% 4800(1— d)‘ î 360 y (1 - ii)‘ = En II tabla que "In: los valures conlablex al firmi de cada ma se ohiiemn a: la relctcubn ti): CA? » l] PROGRESIONES 35 48000141494) = 3117,12. 480005494)‘ = 3117.12(0,6494) = 2024.25. y, ai sucesivamente El cargo por deprecizcxòn. pari cullquîer ma. e: la diIerencia entre el valor contahle de ex: nîio y eI del Iîtu Interior El importe del l'onda pIrI depreciaiziòn «i final de cada Iîio e; la suma a: lo; cargo! p0! aeprucimon efeetuados. incltiyeiido el del ano o. también, I: diferenciI entre zl cono original y ei valor en libro}: Ictualizndo. Valur contthte Cargo por Import: kl Ionio nl inni del mio depreelnciòn plrn deprerin m 4800,00 3117.12 1682.88 1682.88 0021,25 (109235 2775.74 1314.55 700.71 3425.45 1153.57 450.88 3940.33 su. ” 299,30 4245.03 860,00 194,37 4410.00 Nnla. El valor conuhle miei relullb de 1:60.01. que ex il dìferenciI debida u i. pr4cticl de rcdonfleflr las eantitlldex e dos decimlles. Véanse los problema: 8-9. PROGRISION GEOMETRICA INFINITA. Considérese la progresiòn geometrica 1, 1/4, 1/16, U64, 1/256, cuyo primer termino es a - I, y cuya rIzòn es r = g. De (4), tenemos que la suma de los n primeros términos es , = mi)" = ,1__ u)" _ g 1C)” 1-1 1-1 ‘ 3 ’ E ì En primer lugar observamos que para cualquier n. .1 < 4/3. Al aumentar n. (})"‘ permanece positivo pero cada vez màs pequeiìo; es decir. que a medidîa que n crece, s crece pero siempre es menor que 4/3. Sin embargo. podemos demostrar que para n sulìcientemente grande, o seI, sumando un nùmero suficientemente grande de términos, la diIerencia entre 4/3 y s puede ser tan pequeiìa como deseemos. Supongamcs, por ejemplo, que deseamos que la diferencia sea menor que 0.000001. Como Mi)‘ = 0,00000l3 y fa)” = 000000032, ùnieamente es necesario sumar los ll prime- ros térmìnos. El comportamiento de esta progresién geometrica puede expresarse diciendo que al crecer n sin limitaciòn, o al tender n a infinita, la suma s de los primeros n termino: se aproxima a 4/3 como limite. En la forma gerieral de la prcigresiòn geometrica a, 111, a7‘ 111-‘, con .7 : se puede ver que, cuando r està entre ——I. y l, .1 tiende a este caso. decimos que T como limite, al crecer n. En S = (—1<r<1) (a) x es la suma de la progresiòn geometrica infinita.
  23. 23. 36 1. PROGRBIONES lCAP- 3 Fiflnplo 4. (‘ulcuxm r. mma m- la ptuxrexion guomélncz Inlìnllu l", 1. 1/2, 1/4. l/ E. ‘ 1 lzncxlccuxu . . n y y l. m-rwnm- 5 = l“ 7- m 1. —1/4. 1/16, —1/u. . . 1 _ 4 Euexlecaxo a a A y r— {x I. vurnnw- 5' = “r = 141) —- g Véans: los problema: IO-IZ. Problemas resueltos Calcular cl lSo. lérmino y la suma de los primcros 15 lérminos de la progresiòn arilmélica 2. 5. S. II I4. u- z. d = a. n = 15; por lo cunl. l——a+(n-1)d:2+!4l3)=44 y '= %(u+l)= '12—5(2+“)=345 Calcular la suma de los primcras 20 lérminos de la progresiòn arilmélica 48. 40. 32. 24. l6.. a = 4a, d = . m=2D; por lo cual. . z ’2-‘[2g+(n—1)d] : %[2(4s)+m(—s)] z —uo Calcular la suma de la progresiòn arilmélica L00: L04; L08; | .l2: . 2.16. Uliliundu r= a + (n — m. lcncmos que, ma x- l.00 + (n r’ 003.04). Pur I-nw. _ J. “ “ 0.04 . = fon! ) = %(1.0o+2,16) = 41.4 (0.01)(n—1) = 21s- ma = 1.16. n-l = 29 y En la fecha M dcbe 34000. Decide pagar S400 al finnl dc cada 6 meses para disminuir la deuda. pagando ademàs 29% de su nblìgaciòn por conceplo de intereses. Enconlrar el inlerés lolal que del’): pagar. M m: hacer = || 101ml 5% —. m 9.30.. El prima paga por inlcrtsu : s 4000x0925) = mo. AI misma «izmpn. reduc: su fionda a 4000 40o = 11000. s1 ugum ma por mm“; e: smwms) = - 80- E" '°""_' 55"51“ ‘l “r” pago por inlarexes u un y. usi sucesivxmenlc. El Inlcrés Ioul puma ex la suma a: lo: pnmerm no lcvmmos da l: pro» zrexìèn nrìlmétncn 100.90. no. Po: lanlo. , = 312.. + (n-m] z sano-so) = 5550 Encomrar cl 8o. (érmino y la suma de los 8 primeros lérminos d: la prngresiòn geomélrlca I. 3. 9. Z7. a= l,r:3.n= B:pov| nn1u. I = rl-a : S218’! —1 = ano l: ar"': (lH3)':2lE7 y , _1 3,4 CAP. 3| PROGRESIONES 37 b. Hallar la suma de los I5 primcros lérminos dc la progrcsiùn geometrica I, I.0). (l.03)’, (|,03) a = l. 7: 1.03, 1L = 15: par lanlo, 117" - _ (l)(1.03)"—1 _ (Loa)"—1 1.03 — 1 ‘ 0.03 r 7. Enconlrar la suma de la prugrcsién geomélrica 0.04)’ l, (L04) “‘. (l.04)““. ,(l.04)' ‘2. a = (1.04)", r = 0,04)", l— (1.0l)“’; por Ilnlu. u-rl 2 41.00'! —(1,o4r'(1.o4)-" _ 1—(1.on-" _ 1—(1.o4)_-'_* ' l-r 1- (1.001. ‘ 1174-1 ’ 0.04 n. Un: méquina costò ìZOOO. La depreciaciòn mensual al final d: cualquier ma: es calculadn en 5% del valor al comicnzo del mes. gQué valor Iendré la màquina al calza de 24 mcscs de uso? Al finnl del pvimu Ines II mbqumn valdri 2000(l » 0.05) u 20W(0.95) - S000; Il finll del xuundo ma, Il mi- quina muri Ivnluuda en |900(0,9S) - SIHDS; y. Ixl uuctsivlmenle. S: va I hnlln 2| 21o. lérmìno d: una pmnesién 5:0- mflrica myo prima: Iérmino <5 N900 y cuya ruén e. ‘ 0.95. Tnwmus I = ur"" = '- l900(0.95)" I 8583,99 (uundolnjltilmm) 9. UnI màquina nucva onesta SJISO y se deprecia hlslll S650. en 8 aios. Hnllnr (a) In un de depre- ciaciòn anual por cl mélodo del porcenlaje constante y (b) e] valor conlable al final dcl quinto ma. (a) c= a1w. s=sso. n=s; YYIque C(1—d)"= S a1so(1—d)'=5m y (1—d)'= i5l 3150 Slazll-lî) = 147x650 — IogCHEO = 9.314802 - I0 logfi -d) = 9314325- 10 l-d = 0,82097 y d = 0,17903 : 17.9091: (b) AI final d: lox 5 11'101. = I valor conlable c: B. = SISMI v d)‘. lo; E; = 1033150 + S lotll <4) 3,49831! + 56314325- 10) = 3.069936 Sll7d.70 , s, I0. Se deja czcr una bela desd: una altura de IJS cm y rebota (cada vez que golpea cl piso). dos (cr- ceras parles de la altura de la cual cae. (a) gCuànto se clevarà al cabo del 60, rebole? (b) LQuédis» lancia habrà rccorrido cuando golpea cl piso por 8o, vez? (c) gQué dislnncia hnbri recorrido hasla alcanzar e] rcposo? El prima: rebolz u {n15} : 9o cm: cl segundu rebole c5100) - 60cm. flr/ m El 0o. Iénnino en u proycxlòn paia la mal a m 90 y » = Z/ Jzs = 90m! : 113i cm (b) La un ca: ma. us cm. mm. y u: dcsd: w cm, rcbola y u: ma. s0 cm y, ma sucesivlmenlc. La amami. ruurrîda uri us mix dos non n: mm. de los 1 primcmx lérminn: u: la progresìòn 90, so. 4o. .. . o so-sou/ a)‘ _ 20.590 _ 1as+2——m—- — 135+2 m _ acsficm (r) Laaismmmxunuaserausmasdomusnasumnaen. gromesionmmexrmhnnniuso.00.40. .0 1ss+2 : 1a5+2 "m G _ l” l — 575cm
  24. 24. 38 ll. Trasfurmar 0,22222 PROGRESIONES {CAP- 3 en fraccién comùn. Pndemos exribir 0,22122 = 0.2-1- 0.02 + 0.002 + 0.0001 + que <5 la suma .1: una pruurtsiòn geumélma inlînìln cuyo pnmer lérmîno c: 0,2 y cuyz ruba = s o. 1; por (ama. ‘02 02_g —9 _ a s ' 1—0.1 I2. Trasformar 01272727. . en fracciòn comùn. u. 15. 10. 17. I8. 20. Pndrmns uscribir 0.372727 x 0,2 + 10.027 + O. lX)027 + 09000027 + 1 Problemas propuestos Hnlhv cl ISÈ. |érmìno y In 511111: de h: I5 primcras Iérminos de In siuuienkx progrexinnes. (n) 2. B. N. 20.. (b) 3, E. l). Il. Rtxp. (a) 80: 66° (b) 45:5” Hallar II Suml dz‘ (a) lo; primems I0 lèrminus d: 160. I“. Uh I24.. un Ius primcros 12 Iérminas a: e00; 540.10: 491.52. Rup. la) 1060 (b) 3686.“: Hallar la suma de. (a) lo: primcms 200 enl= rox pnsìlivns, (11 las primems 1011 nùmeros parta Rlxp (a) 10.1011 (b) 10000 Demaslrarque 12 +( —f)+ (K—ZÉ)+ + [B-(n-IJE] = Per 1. tempra a. nnn un un. personl se mmpmmfl: u plpr 31400 .1 finxl 11:1 yrimc! nna. 52:40 al finll 0:1 segunda m. mao al finai 11:1 lemr |1ìo y. a.1snc= s1vannenu. ,;cnsnno mana pur 1. un si eftcuîz 15 puas e11 101.17 Rflp. i 29.700 Encunnar cl 9o. lémuno y 1. suma d: Ius 9 primato: lérminos a: In niguienles progruìnnes: 1a) 3.012,21. (c) 1.1.05. 11.05151005)‘. (a) 21311,27», (a) 11021-1.(1,02)-*, (1.02)- 12.. .,» (11)'I68,l533 (b) 1/21110419 (c) 11.05)'. % (011.021 , % Dcicrminur la canndud 111ml n rapunir xl u: vun 11 znlrrgur 11 premm d: 31.32. S4. R21;- 54095 End-n wnuàn d: uru bumhu 11: v.11:1'11e|111c 4'. 11:1 air: cflruenido en 1111 Lìnqur. ,; Qué cxnlidxd d: aire hzbrà e11 11| lanquu dapué) d: S0 succumn «i a1 prìnrlplu cnnunin 1 ccmîmelro cùhnco’! Rnp 0.11179 cenlfmennx cnîhlcox c110. 11 0110011510115 39 21. 22. 14. 2b. 27. 2!. U11 edificio li=11e nn cmlv 11: 5500.0110. AI l'un] a. cada arìo, 10s prnpnelarim deducen d: su valor duenminnan al princ1p1o 11:1 afln e] m. por conupln a: dzprtciuiàn. LCuÀI seri =1 n.1111 11:1 cdificia z! final d: zs 01'105’! Rup. 315.196 un mulor con costo inicixl a: 51050 se dzprecu a u las: .1: ma anual. Delerminl! su valor cunlabl: a1 final 11.1 12. aîm Rrxp. 5605.39 A 111111 lmzomulurz con caxla d: S150000 s: le hl esfimado 1111 ulnr de silvlmenm d: 55000 y un: vidi pmhuhrl: de 30 A505. Delerminlr: (a) la un dc depreciniòn mul. (b) al valor n11 libro: Il finnl del 209. ma, y (r) cl cargo por dzpreciacnun del 2517. aM, Ru-y. (u) IOJIW. (b) M1536, (r) IIOSBJD un nn1onnevn1 c1111 c0110 de 1247s 11:11: un. ud: 1111 da 5110s y 1111 vllor a: ulvamenlo a. sono. (n) Delcrminnr In Iau anufl de deprecinciòn. (a) Pupi r un: nbl- 11: depncincibn que muulre el n10. conlnble cada n11.. . Rtsp. (a) 15.595: Enconlrur In suma de In aiguienlcs progresiones zcomèlricn: inlinnus. (a) L-L} —} . .. (d) 1, 1/511/2511/1“. . . . (b) ‘n—2, 1, (s) 0.4, 0.04, 0.001, 0.000’, . . . (e) 04.1/11.109. m Rcxp. (a) 2/5, (b) 8/3. (c) 18, (d) 6/4. (a) 4/9, m 1/1‘ Comuni! z 71301:1611“ nornuncs. (a) 0.6666. . . (b) 0.454545 . (: )D. l13l23l2J. . (d) LZJJJJ Rom. (a) 2/3. (b) 5/11. (a) 41/838, (d) 37/30 El mélodu d: suma dr dir/ In: puri duprucilr un ulivu con collo C. con vida prublble 11 y c011 vllor d: nlvlmenlas ras» pende a la objeeiòn del 11161040 d: depreciicìbn lincll mednnle cl ma de dislimu lrwcionas da Il diferencîl C- S. cn ca- dl Iio. El denomìnldnr d: ndl frlecién e: igull I 1+2+' '+(n-2)+(n—1)+n = (fumi-l) y lo: numeradure: son n plrl cl prima! ano. n à 1 pan 01251111150. n _ 2 plnel Ierceru, , 1 pm al 111111110 100. (a) 511mm una ubln 11: deprecimién pm un nulumbvil con c0510 d: m0o. con vid: pmhlhl: d: s aùos y con 1111 va- lor a ulvamanlo u: mo. (b) Ehhoru un: uhla d: deprecincibn para un: 111541111111 d: 35500 que Ii1en= 1111: VÌdl ùnl d: 8 11'105 y un valor d: salva- manm d: S700. Ruullada parcial. Deprccimibn pxu el primer Iflo: (a) %(2700) = S900, (b) ÉUEM) = S106607 Una variuibn 11:1 mélndo a: porcenlaje Iîjo pan dcpreciar un flclìvn c011 c0110 c y con ma prohhl: n ignora cualquier n.101 11011111: a: szlvzmenxo y uliliza 11 s z/ n. D: aquî que al ma: conlable dcspufi a: 1 s n Ifios m1: con >' (a) Elaborzr nnn 12121: de dzprecinciàn par: nn Iclivn d: 15000 con ma prohabl: a: s Iîms. (o) 51.1.1111. un: Iahla a dcprocìacibn par! nn ulivo a: 54000 con ma prahxble a: a m; Rnulmda patria]. Valm tu libro: finll: (a) IJSSJD. (b) 1400.46 /
  25. 25. Capîlulo 4 Interés simple COMO UEMPLO da algunax opuaciones que seràn esludiadas en est: libro considénnse las si- guiemcs: (a) B oblicne de L un préslamo d: 5500 y l: firma un documento que esublec: que al Iérmino d: 6 meses le pagani los S500 preslados màs una canlidad adicional de SI2,50. (b) C compra un bono de S|000 con vencimienlo a I0 aîros. emilidu porla compaùîa XYZ. El bono cslipula, (i) el rembolso de los 5 i000 al lérmino dc I0 aîlos. Y (ii) el pago d: S lS cada lres mes: s después de los I0 arios. La canlidad de S|2,50 mencianada en (a) y los S I5 de (b) son conocidos como pagos de in- lercscs; es decir. que e! inltrir r: la mnlldad pagadn por el uso d: dintra obrenido In préslamo o la canlidad produrfdu por la inversiòn del mpiml. Volviendo al ejemplo (n), parece lògico suponer que si B hubiera pedidc a L 81000 preskados por 6 meses. el cargo por imcrescs seria 202,50) = S25, y si hubiern pedido S500 por J mescs, :I cargo por imereses seria }(l2.50) = 56,25. lo cual significa que el cargo por inlereses solare un préslamo depend: lanm de ln canlidad del préslamo como del liempo que serfi ulilizado el dinero. Por olra parte. si B hubìera pedido el préslamo d: x500 por un aio, L podrîa requerir un pago de inlereses de S25 al | 'mal del arìo o dos pagos iguales de Sl2,50, uno al final de 6 meses y olro al lînal del aùo. Màs aun. si en csl: ÙIHMO caso B no cumpliera cn pagar el primer cargo por inlereses de 512,50, L no se conformaria con un pago de S25 al lînaldcl aflo, sino que rcclamaria una cami- dad adicional por conceplo de inlereses sohr: cl pago de inlereses no cumplidos; es decir. que L considerarla los inlereses omilidos como un préslamo adicional, pueslo que si hubieran sido pagados cn su vencìmienlo, él los podria haber invcrtido en cualquier olra forma. Con lo anlerior. s: iluslra la suposiciòn b a d: las malcmàlicas lînancieras: El dinero se invierl: siempre en forma producliva. cs decir. siempre esla ganando inleresesl En ocasionea s: nor u que la préclica comcrcial no eslzî d: acuerdo con la logica. Como ejemplo. consideremos el aùo que cunsla de 365 dias (excepluundo los aîms bisieslm con 366 dius) divididos en l2 mcses, no todos iguules enlre s’ sin embargo, frecucnlemenle al calcular inlereses sobre préslnmos a curlo plazo se uliliza un afro teorico que consiste d: I2 meses, cada uno con 30 dian mtuclamenl: LA TASA DE INTERES. Designamos por C a una cierla canlidad d: dinero en una fecha dada cuyu valor aumcnla a S : n una fecha puslerior: (‘ se conocc: como capìlal, S s: conoce como mwrm o valor arumuludu de (Z I z S— (' x: lîofloctî como imrrrv 40 . .., " CM’ 4) lNfERhS sIMPLr 41 55mm r. a obuen: d: L un préslama de ssoo y al Iînal d: un aiuole paga x525. u. m: (un: r ; 551x14 3m . , s c - 125. La mm de intere’; devengada o cargada c5 la razòn del inlcrés dcvengado al capita]. en la umdad d: uempo. A menos que s: eslablezca lo contrario. In unidad de (lampo convenidn c3 de un ano. La tasaanual de inlerés. represenlada por r‘. eslà dada como un porcenlaj: (pur ej m» plo. 6%). o como su equivalmtc un forma dccimal (0.06). En los càlculox se uliliza la lIuCL on decima]. Ejempla z. 1 2 E" elejcmplo 1,. a F = à a 0.05; esdecirque Lerga inlereses a la usa d: s‘; INTERES SIMPLE. Cuando rinicamcnl: :| capita] gana inlerescs por lodo el licmpo qu: dura In lransacciòn. al inlerés vencido al linal del plazo se I: conoc: como imeréx nmplr. El intcres simple sobri: el Capilal C, por l arìos a la lasa i. csuì dado por la expresiòn I . -.- (‘u ‘ (1) y el monio simple ma dado por = C+I: (‘+CrI= C(l+i1) (2) Ejunplu 3. . Determinar eI iruerét simple sohre x750 al 4m durunle a aio. Lcm ma cl monta’? En ule usa c a 750. x - 0.04 y 1 a 5.90110 cual I x ci: = 7s0(u.0«nà = su S x C-rI= ‘=750+|5=S7b5 Véanse los problema: I-6. DOS PROBLEMAS TIPICOS del inlerés simple son: (a) Hallar eI inlerés simple sobre 52000 al 5% durame 50 dias. (b) Hallar cl interés simple sobre S|500 al 6%, del |0 de marzo de l97| al 2| de mayo de l97l. Eslos dos problemas se resuelven aplìcando (I ). Sin embargo. debido a las variaciones en la pracuca comercral. pueden darse dos respueslas difcrenlcs en el primcr problema y no mcnos de cualro en eI segundo. La diversidad d: resullados se origina en las difercmes praclicas para eslimar l. INTÉRES SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO. El interi: ximple exaclo se calcula sobr: la base del afro de 365 dias (366 en arìos bisieslos). El inlerés simpl: ordinario se calcula con base en un aîlo de 360 dias. El uso del arìo de 360 dias simplifica algunos eàlculos. sin embargo aumenla el inlerés cobrado por el acreedor. Ekmplo 4. Dzlermmar al inlerés exaclo y ordinarlo xobre szooo‘ al 5". . durame 50 dias. En m: caso t‘ - 2000 e r = 0.05. lumi: IimEl: ex-cto. U 50 10 l 1000 ndoel xrîo u: 365 dia: lenemos que z = m = 75 e 1 = u: v mwuxos; 7 = î : SIJJO Inluù simpl: ordln o. Ulilixando un arìo de 160 dias. lenemnx que I = % = % c I '- Z00O(0.03)(3i6> : = SILS?

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