EcuacióN Cuadratica 1

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EcuacióN Cuadratica 1

  1. 1. Ecuaciones Ecuaci´n cuadr´tica o a Contenidos En esta secci´n se presenta un resumen del tema de ecuaciones cuadr´ticas, o a o ecuaciones de segundo grado, en una variable. x2 + px = S 1 1 x2 + px + p2 = S + p2 4 4 x =?? Definici´n. Una ecuaci´n cuadr´tica en la variable x es una ecuaci´n o o a o que puede ser escrita en la forma: ax2 + bx + c = 0 , donde a, b, c son constantes, a = 0. Ejemplos de ec. cuadr´ticas en una variable, x: a x − 4x + 3 = 0, 3x2 = 5x, 7x2 − 2x = 5. 2 Observaciones. Dada una ecuaci´n cuadr´tica ax2 + bx + c = 0, (a = 0). o a • Las constantes a, b y c se denominan coeficientes de la ecuaci´n. o • Se considerar´n s´lo ecuaciones cuadr´ticas con coeficientes reales. a o a • Una soluci´n o ra´ de la ecuaci´n es un n´mero tal que al sustituir o ız o u la x por dicho n´mero, se satisface la igualdad. u • Resolver una ecuaci´n cuadr´tica en R, significa hallar todas las o a soluciones o ra´ reales de la ecuaci´n. ıces o • El conjunto de todas las soluciones reales de la ecuaci´n, denotado o por S, ser´ llamado conjunto soluci´n de la ecuaci´n. a o o S = {x ∈ R/ax2 + bx + c = 0} • Una ecuaci´n cuadr´tica con coeficientes reales puede tener a lo o a m´s dos soluciones reales. a 1
  2. 2. Ecuaciones - Ecuaci´n cuadr´tica o a Contenidos 2 Resoluci´n de una ecuaci´n cuadr´tica o o a Dada la ecuaci´n cuadr´tica ax2 + bx + c = 0, con a, b y c constantes o a reales, a = 0. M´todo 1. Por Factorizaci´n. e o Si ax2 + bx + c = a(x − r)(x − s), donde r y s son constantes, entonces: la ecuaci´n cuadr´tica ax2 + bx + c = 0 es equivalente a: o a a(x − r)(x − s) = 0 y las soluciones de la ecuaci´n son: x = r, o x = s. M´todo 2. F´rmula cuadr´tica. e o a Las ra´ de la ecuaci´n cuadr´tica ax2 + bx + c = 0 est´n dadas por la ıces o a a f´rmula: o √ −b ± b2 − 4ac x= 2a Observaciones. 1. Resolver una ecuaci´n cuadr´tica por Factorizaci´n en muchos casos o a o es muy efectivo, por ejemplo: Ecuaci´n o Ecuaci´n equivalente o Soluciones x2 − 4x + 3 = 0 (x − 3)(x − 1) = 0 x = 3, x = 1 3x2 − 5x = 0 x(3x − 5) = 0 x = 0, x = 5/3 2. Un m´todo para resolver cualquier ecuaci´n cuadr´tica es la F´rmula e o a o Cuadr´tica. a 3. El n´mero D = b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuaci´n cuadr´tica u o a 2 ax + bx + c = 0. Valor de la discriminante Naturaleza de las ra´ ıces b2 − 4ac > 0 las dos ra´ son reales y distintas ıces 2 b − 4ac = 0 las dos ra´ son reales e iguales ıces b2 − 4ac < 0 no tiene ra´ reales ıces Inst. de Matem´tica y F´ a ısica Universidad de Talca
  3. 3. Ecuaciones - Ecuaci´n cuadr´tica o a Contenidos 3 4. La f´rmula cuadr´tica para resolver la ecuaci´n ax2 + bx + c = 0 se o a o deriva de la completaci´n de cuadrado, (ver ejercicio 7, de la secci´n o o Ejercicio resueltos). 5. Sean r y s las ra´ de la ecuaci´n ax2 + bx + c = 0. Se tiene que: ıces o b suma de la ra´ ıces r+s= − a c producto de la ra´ ıces r·s= a Inst. de Matem´tica y F´ a ısica Universidad de Talca

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