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Cap1 Modelizacion

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Modelización de Sistemas Mecánicos

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Cap1 Modelizacion

  1. 1. Modelización de Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Capitulo 1 Modelización de Sistemas Introducción Mecánicos Segunda Ley de Newton usando Ecuaciones Diferenciales Resorte Amortiguadores Método de Lagrange Aplicaciones computacionales de la Mecánica de Materiales Alfonso Cubillos V Programa de Ing. Mecánica Universidad de Ibagué 1.1
  2. 2. Modelización de ¿Qué se puede hacer con las Ecuaciones Diferenciales ? Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Prácticamente todos los sistemas físicos se pueden modelar por medio de Ecuaciones Diferenciales ¿Qué sistemas se pueden modelar por medio de Ecuaciones Diferenciales? Introducción Segunda Ley de • Mecánicos Newton Resorte • Vibraciones Esto ha permitido realizar Amortiguadores Método de Lagrange analogías, soluciones • Térmicos generales, modelar sistemas • Hidráulicos complejos o mixtos, y mucho • Eléctricos más !!! • Magnéticos • Poblacionales • Económicos • Espaciales 1.2
  3. 3. Modelización de Sistemas Mixtos Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Introducción Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores Método de Lagrange Sistema Electro-Mecánico 1.3
  4. 4. Modelización de Sistemas Mixtos Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Introducción Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores Método de Lagrange 1.4 Sistema Servo-Mecánico
  5. 5. Modelización de Algunos datos sobre las Ecuaciones Diferenciales Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Qué tipo de ecuaciones Diferenciales se pueden encontrar? • Según Tipo : Ordinarias y Parciales • Según el Orden : Primer, Segundo u Orden Superior Introducción • Según Linealidad : Lineales y No Lineales Segunda Ley de Newton • Según Coeficientes : Constantes y Variables Resorte Amortiguadores Método de Lagrange Qué métodos se pueden usar para solucionarlas? • Métodos Clásicos Analíticos • Aplicando la Transformada de Laplace y obteniendo la Función de Transferencia • Métodos Aproximados Simulación Digital • Elementos Finitos 1.5
  6. 6. Modelización de Segunda Ley de Newton Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Descomposición Escalar Para sistemas Fx = m ax Traslacionales Fy = m a y Introducción F=ma Segunda Ley de Newton Fz = m az Resorte Amortiguadores Método de Lagrange Para sistemas Rotacionales Mx = Ix αx − (Iy − Iz ) wy wz My = Iy αy − (Iz − Ix ) wz wx Mz = Iz αz − (Ix − Iy ) wx wy 1.6
  7. 7. Modelización de Resortes Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V • Se utilizan para almacenar energía • Se caracterizan por su respuesta estática a las cargas aplicadas • El comportamiento del resorte puede ser lineal o no lineal • La fuerza de un resorte depende del desplazamiento Introducción relativo de sus extremos Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores Método de Lagrange 1.7
  8. 8. Modelización de Tipos de Resortes Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Resorte Lineal Traslacional F = k (x2 − x1 ) Introducción Resorte Lineal Rotacional Segunda Ley de Newton Resorte T = k (θ2 − θ1 ) Amortiguadores Método de Lagrange 1.8
  9. 9. Modelización de Constante de Elasticidad o Rigidez de elementos Sistemas Mecánicos Estructurales Alfonso Cubillos V Tracción Pura EA k= L Introducción Torsión Pura Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores G Ixx k= Método de Lagrange L 1.9
  10. 10. Modelización de Constante de Elasticidad o Rigidez de elementos Sistemas Mecánicos Estructurales Alfonso Cubillos V Flexión Pura Depende del tipo de carga Introducción Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores Método de Lagrange 1.10
  11. 11. Modelización de Amortiguadores Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Introducción Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores Método de Lagrange Amortiguador Lineal Traslacional F = b (x˙2 − x˙1 ) Amortiguador Lineal Rotacional T = b (θ˙2 − θ˙1 ) 1.11
  12. 12. Modelización de Ecuaciones de Lagrange Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Para desarrollar el método de Newton, normalmente es necesario separar los cuerpos y realizar los diagramas de cuerpo libre de cada uno de ellos. Sin embargo, se presentan casos donde no es necesario conocer las fuerzas entre los diferentes elementos. Lagrange (Matemático Frances, 1736 - 1813) demostró que una consideración energética permite Introducción resolver el problema. Segunda Ley de Newton • Seleccionar un número mínimo de coordenadas Resorte Amortiguadores independientes necesarias para describir la posición del Método de Lagrange sistema • Cada una de estas coordenadas se denomina qi , y como Qi las cargas en cada coordenada • Se selecciona un sistema de referencia y se expresa la Energía Potencial la cual incluye a los resortes y el cambio en la altura de la masa. Ug = W · g U = f1 (qi ) ⇒ 1 Ue = 2 K · s2 1.12
  13. 13. Modelización de Ecuaciones de Lagrange Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V • La energía cinética T es función de la masa, inercia, velocidad lineal y angular. 1 Tt = 2 m x 2 ˙ T = f2 (q 2 ) ⇒ ˙ ˙ 1 I θ2 Ta = 2 Introducción • Las pérdidas por fricción de los dispositivos se describen Segunda Ley de como energía de disipación y esta depende de la Newton Resorte velocidad del sistema y del coeficiente de Amortiguadores Amortiguamiento Método de Lagrange 1 R = f3 (q 2 ) ⇒ R = b x2 ˙ ˙ 2 • La fuerzas se concideran como Qi asociadas con cada coordenada. • Usando el principio de d’Alembert, se puede obtener la ecuación de movimiento para cada coordenada utilizando d δT δT δR δU − = Qi + + ˙ ˙ dt δ qi δ qi δqi δqi 1.13

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