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  1. 1. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA MÓDULO Nº 2 Tema: RELACIONES Y FUNCIONES Representa de diversas formas la dependencia CAPACIDAD funcional: verbal, tablas, gráficos etc. I. ACTIVIDAD DE REFLEXION: Ejemplo 1: El director de la I.E.P. Señor de la Vida quiere construir una piscina de forma cúbica para el área de educación física. La Ingeniera está pensando en la cantidad de agua que será necesaria para llenar la piscina. Esto dependerá de la longitud del lado con la que se construya dicha piscina. La relación entre la longitud del lado de la piscina y el volumen de agua que contiene, se puede representar de tres formas distintas: mediante tablas, gráficas y fórmulas. TABLA GRÁFICA FÓRMULA El responsable de la construcción de la piscina tiene una duda: ¿podríamos llenar dos piscinas cúbicas de iguales dimensiones con distinto volumen de agua? La respuesta es _____________________________ ___________________________________________ Por tanto: La relación entre la longitud del lado de la piscina y su volumen es una función porque a cada valor del lado le corresponde un único valor del volumen. RECUERDA Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  2. 2. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA PAR ORDENADO Conjunto de dos elementos y denotado por (a; b), siendo “a” la 1era componente y “b” la segunda componente. Teorema Dos pares ordenados son iguales si y sólo si sus respectivas componentes son iguales. Así tenemos: . (a; b) = (c; b) a=c b=d . !ATENCIÓN! (a; b) (b; a) Ejemplo: Si los pares ordenados (3m + 1; 9), (7; n + 2) son iguales, hallar “m + n” Resolución (2m + 1; 9) = (7; n + 2) 2m + 1 = 7 9=n+2 m=3 n=7 m + n = 10 PRODUCTO CARTESIANO Sean los conjuntos no vacíos A y B se llama producto cartesiano de A con B denotado por A . B al conjunto de pares ordenados, tal que la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente pertenece al conjunto B. Así: A x B {(a; b)/a A b B} Ejemplo: A = (3, 5,7) ; B = {2, 3} Hallar A x B y BxA Resolución A x B {(3; 2), (3; 3), (5; 2), (5; 3), (7; 2), (7; 3)} B x A {(2; 3), (2; 5), (2; 7), (3; 3), (3; 5), (3; 7)} Observamos que: A.B B.A (no es conmutativo) Propiedades 1. El número de elementos de A . B es igual al producto del número de elementos de A por el número de elementos de B. n(A x B) n(A) x n(B) 2. Si: A x B = B x A A=B 2 3. Notación: A x A = A Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  3. 3. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA Grafica de un producto Cartesiano Sea: A = {1; 2; 3} B = {a; b} Hallar: . A x B y graficar . Resolución A x B = {1; 2; 3} . {a; b} A x B = {(1; a), (1; b), (2; a),(2; a),(3;a),(3;b)} 67 II. CONSTRUCCION DELCONOCIMIENTO: RELACIONES Una idea de relación es: Sean los conjuntos: A = {Lima; Bogota; Montevideo} B = {Colombia; Perú; Uruguay} Y la regla de correspondencia: “........ Es capital de ...........” Entonces podemos establecer el siguiente esquema Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  4. 4. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA Otra manera de escribir el esquema anterior es con Pares ordenados (Lima; Perú), (Bogotá; Colombia), (Montevideo; Uruguay) Una relación es una correspondencia entre dos conjuntos que asocia elementos de un conjunto con algún elemento de otro conjunto. Si tenemos los conjuntos no vacíos A y B la relación R de A en B la podemos obtener como un subconjunto de producto Cartesiano. Así tenemos: . R = {(x; y) AxB/x A x B} . En la relación R de A en B denotado por R: A B. es el conjunto de partida y B el conjunto de llegada, sus elementos x e y se llaman pre imagen e imagen respectivamente y R se encarga de la correspondencia entre ellos. Así: x R y dice que “x” se relaciona con “y” mediante R se puede reemplazar por: >; =; , es el doble de, etc. Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {3, 6, 2} B = {4, 7} Hallar: AxB= R1 = {(x; y)} A x B / x < y} R2 = {(a; b) A x B / a + b es par} R3 = {(m, n) A x B / m . n es múltiplo de 3} Resolución A x B = {(3; 4), (3; 7), (6; 4), (6; 7), (2; 4), (2; 7)} R1 = {(3, 4), (3; 7), (2; 4), (2; 7)} R2 = { R3 = { Notación: R:A B : donde A : Conjunto de partida B : Conjunto de llegada DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN Dominio Es el conjunto cuyos elementos son todos los primeros componentes de los pares ordenados de la relación. Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe 69
  5. 5. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA Rango Es el conjunto cuyos elementos son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. En toda relación hay: a) Un conjunto de partida b) Un conjunto de llegada c) Una regla de correspondencia Ejemplo: Dados los conjuntos A = {7, 9, 11} ; B = {4, 7, 12} Se define la relación R1 de la siguiente manera: R1 = {(x; y) A . B / x < y} Hallar su dominio y rango de R1 Resolución A . B = {(7; 4), (7; 7), (7; 12), (9; 4),(9; 7), (9; 12), (11; 4), (11; 7)(11; 12)} Luego se escoge los pares ordenados que cumplan con la condición x < y (la 1ra componente sea menor que la 2da componente) Así tenemos: R1 = {(7; 12), (9, 12); (11; 12)} Luego Dominio de R1 = Dom(R1) = {7, 9, 11} Rango de R1 = Rang (R1) = {12} RELACIÓN BINARIA Dados los conjuntos A y B, decimos que R es una relación de A en B si es un subconjunto del producto cartesiano AxB Notación: R: A B R AxB Donde R: A B, si lee: “R es una relación de A en B” R A x B; se lee “R esta incluido en A x B” o “R es un subconjunto de A x B” Ejemplo: Dado: A = {1, 2, 3,} B = {1, 2} Hallar: R = {(x; y) A x B / x 2} Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  6. 6. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA Resolución A x B = {(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)} Luego: R = = {(2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)} Clases de Relaciones. 3.1. Relación Reflexiva. Vx A (x,x) R 3.2. Relación Simétrica. (x,y) R (y,x) R 3.3. Relación Transitiva. (x,y) R (y,z) R (x,z) R 3.4. Relación Equivalencia. Cuando cumple los casos anteriores. FUNCIONES 1. DEFINICIÓN. Una función es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que asocia un elemento del primer conjunto con un único elemento del segundo conjunto. De acuerdo a la definición analicemos os siguientes diagramas sagitales, donde: A = conjunto de partida B = conjunto de llegada F1 A B 1 4 2 5 3 6 f1 ……… F2 A B 1 4 2 5 3 6 Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  7. 7. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA f2………… B 1 4 2 5 3 6 f3 ……… NOTACIÓN DE UNA FUNCIÓN. F = {(x,y) A x B / y = f(x) } Donde: A : Conjunto de partida B : Conjunto de llegada Y = f(x) Regla de correspondencia 2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN. 2.1. Dominio: Dom (f). Denominado también pre-imagen, es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de partida A. 2.2. Rango: Ran (f). Denominado también imagen, recorrido o contradominio, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenece al conjunto de llegada B. Dom (f) A Ran (f) B Ejemplo: Encontrar el dominio y rango de la siguiente función: 2 F={(2,5),(-1,-3),(2,2a-b),((-1,b-a),(b ,a) } Resolución: (2,5) = (2,2a-b) 2a – b = 5 (-1,-3) = (-1,b-a) b - a = -3 a=2 Luego la Función F será: F = {(2,5), (-1,-3), (1,2)} Dom (f) = {-1,1,2} Ran (f) = {3,2,5} III. TRANSFERENCIA: Resuelve los siguientes ejercicios y problemas en tu cuaderno de trabajo. Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  8. 8. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA 1. Hallar la suma de los elementos del dominio 7. Dada las siguientes relaciones, definidas en A = {1; 2; de la relación: 3}, indicar la relación que es reflexiva justifique su R = {(1; 0), (2; 3), (7; 9), (2;5)} respuesta. Rpta. R1 = {(1; 2), (2; 3), (3; 3)} R2 = {(1;1), (2;2), (3;3), (3;1)} 2. El gráfico adjunto, indica la relación “R” Rpta. definida en A x A. 8. Dadas las siguientes relaciones, definidas en M = {3, 5; 7} indicar la relación que es simétrica. Justifique su respuesta. R1 = {(3; 3), (3; 7), (7; 5)} Calcular la suma de los elementos del rango R2 = {(5; 3), (3; 5), (5; 5), (7;5)} de la relación R3 = {(7;7),(3;5),(5;3),(7;5),(5;7)} Rpta. Rpta. 3. Hallar los valores de “x” e “y” para que 9. Hallar la suma de los elementos del dominio de exista la igualdad de los siguientes pares la relación “R” de “A en “A” ordenados. A = {4; 5; 6; 7; 8; 9} (3x; 10) = (18; y - 3) R = {(a; b) A x A / b = a + 2} (5; 3 – 2x) = (5y; 5) Rpta. Rpta. 10. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4} 4. Hallar la mayor suma de elementos de algún par B = {4; 5; 7; 8} ordenado de N x M. Si ¿Cuál de los siguientes conjuntos son relaciones M = {x N / 3 < x < 6} de “A” en “B” N = {x z / -2 < x 1} R1 = {(1; 5), (2; 7), (2; 8)} Rpta. R2 = {(2; 5), (2; 8), (4; 4)} R3={(3; 5),(4; 2),(4; 8)} 5. Hallar el dominio de R1 en: Rpta. A = {2; 3; 5; 6} B = {3; 4; 6} 11. Dados los conjuntos R1 = {(x; y) A x B / x < y} A = {2; 4; 6} Rpta. B = {1; 2; 3} 6. Hallar el rango de R2 en: Se tiene una relación “R” de “A” en “B”. A = {3; 5; 7; 9} B = {1, 2} R={(2;1) (2;2) (2;a) (4;1) (4;b) (4;3)} R2 = {(x; y) A x B / x + y > 6} Si ningún par ordenado de “R” está repetido, Rpta. hallar “a + b” Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  9. 9. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA Rpta. V.- f A B 12. Dado el conjunto: A = {x/x N; 5 < 2x < 15} Son ciertas: Hallar el rango de la relación a) Todas b) I, IV y V c) I, III y IV d) I y I e) Sólo I R = {(a; b) A x A / a + b < 9} Rpta. 16. Dados los conjuntos A 1;2;3;4 ; B 2;3;4;5 ¿Cuáles de las siguientes relaciones son 13. Dados los conjuntos: funciones? A = {1; 3; 6} B = {2; 4; 7} R1 x; y AxB / x y R2 x; y AxB / x y C = {3; 4; 5; 6} R3 x; y AxB / x 1 y Cuántos conjuntos tendrá a) R1;R2;R3 b) Ninguna c) R2;R3 (A - B) x (B - C) d) R3 e) R1;R2 Rpta. 17. Marcar verdadero (V) o falso (F) Según corresponda: 14. De las siguientes relaciones. ¿Cuáles no son * Toda función es una relación ( ) funciones? * Toda relación es una función ( ) I. 4;4 , 5;5 , 6;6 * Toda recta es una función ( ) II. 3;4 , 4;4 , 5;4 , 6;4 * Toda parábola es una función ( ) III. 5;2 , 5;3 , 5;6 a) FVFF b) VFFF c) VFVV d) VFVF e) VFFV IV. 4;3 , 3;4 , 5;2 , 2;5 V. 3;6 , 7;4 , 3;8 , 2;9 18. De la figura mostrada: a) I ,II b) II,III c) III,IV,V d) III,V e) Sólo III (y) 6 f(x) 15. ¿Cuáles de los siguientes diagramas de Venn – 3 Euler representan a funciones: 2 1 (x) 1 2 3 4 5 I.- f II.- f A B A B f(5 ) f(1) Halle el valor de: E f(2) f(3) a) 1 b) ½ c) 2 d) 1/3 e) 3 III.- f 19. De los gráficos: A B IV.- f A B f Y g 3 5 3 8 2 4 1 2 3 X Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  10. 10. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA Calcule: f (3) g(3) R1 = { (x ; y )/ x + y es impar } f (4) g(2) R2 = { (a ; b )/ a . b es par } 20. Sea la función: Calcular n( R 1 R2) a)5 b)6 c)8 d)9 e) 12 x2 1x ; 2; 4 f ( x) x2 1x ; 9 ; 12 25. Dado el conjunto: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, se grafica una función de A Calcule f(f(3)) en A, así: F: A A 21. Si f y g representan funciones: 2 3 f g 1 1 0 4 1 2 5 2 4 6 2 7 3 9 6 3 5 Calcule: f(1).f(2).f(3) + g(6) + g(4) + g(5) Indicar la suma de elementos de su rango. a) 3 b) 4 c) 5 a) 21 b) 17 c) 16 d) 15 e) 12 d) 6 e) 7 26. Si el conjunto de pares ordenados F = {(4 ; 3), (2 , x) , (4 ; y -1),(7 ; 5),(2 ; y)} Representa una función, 22. Sean los conjuntos halla Dom F Ran F A = { 3 ; 6 ; 9} B = { 2 ; 4 } y el diagrama a) {2 ;4;7} b) {2;4} c) {4} sagital A x B d) { 2} e) {5} 27. Siendo f una función lineal talque: 2 f (2) + f (4) = 21 f ( 3) 3 f (1) = 16 Hallar f (1) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 PROBLEMAS PARA LA CASA ab ab Hallar el valor de: 1. Hallar la suma de los elementos del dominio de la b a a)4 b)5 c)6 d)3 e) 9 relación R = {(1; 2), (4; 5), (7; 3), (2; 11)} 23. Calcule la suma de elementos del rango de R , A) 5 B) 12 C) 13 si: R = { (a ; b) N x N / 1< a < b < 6} D) 14 E) 21 a)12 b)9 c)11 d)10 e) 9 2. El gráfico adjunto, indica la relación R definida en 24. Si A = { 3, 4 , 5} se define en A2 las relaciones AxA Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  11. 11. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA D) 16 E) 17 7. Dado el conjunto A = {4; 6; 7; 8; 9} y la Calcular la suma de los elementos del rango relación R = {(a, b) A x A / a + b < 12} de la relación “R” Hallar la suma de los elementos del rango. A) 9 B) 10 C) 11 A) 18 B) 17 C) 19 D) 12 E) 13 D) 21 E) 12 3. Hallar “x + y” si existe la igualdad del 8. Hallar “x” e “y” para que se cumpla: siguiente par ordenado (x + 7; y) = (12; x + 1) (2x + 5; 9) = (11; y - 7) A) 5 y 6 B) 3 y 6 C) 5 y 4 A) 26 B) 3 C) 20 D) 5 y 7 E) 4 y 6 D) 19 E) 1 9. Sea el conjunto: 4. Dados los conjuntos: A = {2; 3; 4;: 5, 8; 10} A = {x + 3 / x N 5 <x < 12 } Y la relación: B = {8; 9; 12; 14} R = {(a; b) A x A / a + b = 12} ¿cuántos elementos tiene el producto cartesianos de Hallar la intersección del dominio y el rango de la A x B? relación A) 20 B) 21 C) 22 D) 24 E) 25 A) {2} B) {2,4} C) {2,4,8} D) {10} E) {2, 4, 8, 10} 5. Si los pares ordenados: (m + 3; n - 5) y (11 – m; m) son iguales, hallar “m + n” 10. Dados los conjuntos: A) 10 B) 11 C) 12 A = {1; 5; 7} B = {3; 4; 5} D) 13 E) 15 C = {4, 5; 8} Hallar el número de elementos de: 6. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} A) 5 B) 6 C) 7 B = {4; 5; 6; 7; 8} D) 8 E) 9 Se define la relación “R” de “A” en “B” R = {(a; b) A x B / b = a + 2} Hallar la suma de los elementos del dominio A) 13 B) 14 C) 15 Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  12. 12. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA Resuelve los niveles I y II de funciones de tu libro Pág. 348 – 350 (Así como revisa MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Y MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONAL) IV. AUTOEVALUACION: 1. En el desarrollo de este modulo me he sentido: Muy bien Bien Más o menos Mal Porque:…………………………………………………………………………………………………………. 2. Lo desarrollado en este módulo me parece importante: SI NO Porque:…………………………………………………………………………………………………………. 3. Mi esfuerzo en este tema lo calificaría como: Muy bueno Bueno Poco Muy poco Porque:…………………………………………………………………………………………………………. 4. Mi rendimiento es este Tema lo calificaría como: Excelente Bueno Regular Malo Porque:…………………………………………………………………………………………………………. Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  13. 13. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA MÓDULO Nº 3 Tema: RAZONES Y PROPORCIONES Resuelve problemas que implique razones y proporciones CAPACIDAD I. ACTIVIDAD DE REFLEXION: H 45 hombres 45 hombres 30  mujeres 15 hombres M 30 mujeres        COMENTARIO PREVIO ANTECEDENTE CONSECUENTE RAZON En nuestro quehacer cotidiano, podemos notar que establecemos constantemente comparaciones como OBSERVACIÓN: Las unidades de la razón son las por ejemplo unidades del antecedente en general:  Un árbol es más alto que otro.  El peso de una persona es el doble que el de la otra.  Este año tiene más días que el año pasado.  El costo de un artículo hace un mes era de $ 32 actualmente es de $ 61 2. RAZÓN GEOMÉTRICA: Cuando la comparación es  La Temperatura en chimbote es de 24° C y en mediante el cociente Huaraz 9° C Ejemplo: ANTECEDENTE     En los casos anteriores se observa que el costo, H 45 hombres 3 H 45 hombres (RAZON) M 30 mujeres M 30  mujeres 2 temperatura, altura son susceptibles de ser medidos   CONSECUENTE de allí que se les define como magnitud matemática, se nota también que toda magnitud matemática viene OBSERVACIÓN: Cuando nos digan: dos cantidades asociada a una cantidad, lo cual nos permite hacer son entre sí como 3 es a 2, podremos plantear: comparaciones y es precisamente ello lo que vamos a estudiar. II. CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO En general: RAZÓN: Es el resultado de comparar dos cantidades; puede ser de dos clases: 1. RAZÓN ARITMÉTICA: Cuando se compara mediante la diferencia. Ejemplo: Si tenemos: Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  14. 14. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones y puede b) Geométricas discretas ser de dos clases: a) PROPORCIÓN ARITMÉTICA (Equi - diferencia) Al último término se le llama cuarta proporcional II. CONTÍNUAS: Si sus términos medios son iguales a) Aritméticas continuas Propiedad: Suma de Extremos = Suma de Medios a+d = b+c Se cumple: 2b a c b) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA (Equi - cociente) a c b 2 A cada término igual se le llama media diferencial y cada término distinto se le llama tercera diferencial "El producto de extremos es igual al producto de medios" Observación: La proporción geométrica también se b) Geométricas continuas acostumbra representar como: Se cumple: CLASES DE PROPORCIONES b2 a. d I. DISCRETAS: Si sus cuatro términos son diferentes b a. d entre sí (b es la media proporcional de a y d) a) Aritméticas discretas A cada término igual se le llama media proporcional y a cada término distinto se le llama tercera proporcional. Al último término se le llama cuarta diferencial Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  15. 15. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA a) 124 b) 117 c) 66 d) 128 e) 130 Alumno: Ahora te asiste poner en práctica todo lo aprendido de 10. La suma y la diferencia de dos números son entre sí este tema. Tienes tu como 15 es a 7. Dichos números forman una compendio y la orientación proporción con: de tu profesor para lograrlo a) 11 y 4 b) 33 y 6 c) 33 y 4 d) 22 y 6 e) NA 11. La relación entre dos números es de 9 a 11. Si a uno de ellos se le suma 25 y al otro se le resta 33, ambos resultan igualados. Hallar el menor de III. TRNASFERENCIA dichos números. PRÁCTICA DE CLASE a) 261 b) 117 c) 266 d) 128 e) 130 1. Dos de cada 5 alumnos de la clase son niños. Hay 12. Las edades de dos personas actualmente son de 28 14 niños en la clase. ¿Cuántos alumnos hay en y 35 años. ¿Dentro de cuántos años sus edades total? estarán en la razón de 5/6? a) 24 b) 30 c) 35 d) 28 e) 30 a) 4 b) 7 c) 5 d) 8 e) 6 2. Se consiguen naranjas a 6 por 3 soles. ¿Cuánto costarán 24 naranjas? 13. Sabiendo que el producto de los cuatro términos a) 24 b) 30 c) 35 d) 28 e) 30 de una proporción geométrica continua es 256 y que uno de sus términos extremos es 8. Hallar la 3. En un grupo, la razón de hombres casados a suma de los cuatro términos. solteros es de 5 a 3. Si hay 240 hombres en el a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 16 grupo. ¿Cuántos hay casados? a) 124 b) 130 c) 150 d) 128 e) 160 14. En una fiesta hay 45 varones y 60 damas. Si se retira un cierto número de parejas, ahora el 4. La razón de dos números es 2/5. Si el mayor es 30. número de varones es al número de damas como 2 ¿Cuál es el menor? es a 3. ¿Cuántas parejas se retiraron? a) 12 b) 13 c) 15 d) 18 e) 14 a) 14 b) 13 c) 15 d) 18 e) 16 5. Dos números son entre sí como 7 es a 3. Si la suma 15. En una proporción aritmética, la suma de los de dichos números es 800. Hallar el menor. términos extremos es igual a 52. Sabiendo que los a) 560 b) 240 c) 360 d) 120 e) 300 términos medios se diferencian en 16 unidades, hallar el mayor de los medios. 6. La razón de dos números es como 11 es a 9; si la a) 34 b) 33 c) 35 d) 38 e) 36 diferencia de dichos números es 300. Hallar el mayor. 16. calcular la suma de la cuarta diferencial de 32; 24 y a) 1450 b) 1650 c) 1258 d) 1028 e) 1230 45 con la media diferencial de 23 y 31. 7. Dos números son entre sí como 2 es a 3; si la suma a) 64 b) 53 c) 55 d) 58 e) 66 de sus cuadrados es 52. Hallar el menor número positivo. 17. Tres números son entre sí como 2; 3 y 5; si la suma a) 4 b) 3 c) 5 d) 8 e) 6 de dichos números es 600. Hallar el número intermedio. 8. Dos números son entre sí como 4 a 9, si la suma de a) 120 b) 140 c) 180 d) 300 e) 240 sus raíces cuadradas es 20. Hallar el mayor. a) 144 b) 126 c) 135 d) 128 e) 130 18. Dos números están en la relación de 3 y 7. Si se aumenta 135 a uno de ellos y 75 al otro se obtiene 9. La razón aritmética de dos números es 26 y su cantidades iguales. ¿Cuál es el menor? razón geométrica es 9/7. Hallar el antecedente. a) 105 b) 115 c) 45 d) 75 e) 60 Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  16. 16. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA 20. La suma de los cuatro términos de una proporción A B C 23 . A.B es 65; cada uno de los tres últimos términos es los 19. Si: Y 48 . Hallar el 4 3 5 3 A 2B C 2/3 del precedente. ¿Cuál es el último término? a) 27 b) 18 c) 12 d) 8 e) 14 valor de: 2 B C a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 7 IV. RESUMEN CONCEPTUAL OBSERVACIÓN: Cuando nos digan: dos cantidades son entre sí como 3 es a 2, podremos plantear: I.AUTOEVALUACION: 1. En el desarrollo de este modulo me he sentido: Muy bien Bien Más o menos Mal Porque:…………………………………………………………………………………………………………. 2. Lo desarrollado en este modulo me parece importante: SI NO Porque:…………………………………………………………………………………………………………. 3. Mi esfuerzo en este tema lo calificaría como: Muy bueno Bueno Poco Muy poco Porque:…………………………………………………………………………………………………………. 4. Mi rendimiento es este Tema lo calificaría como: Excelente Bueno Regular Malo Porque:…………………………………………………………………………………………………………. Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  17. 17. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA MÓDULO Nº 4 Tema: PORCENTAJES Resuelve problemas de la vida diaria que implique CAPACIDAD porcentaje I. ACTIVIDAD DE REFLEXION: INICIANDO: En la vida diaria se presentan situaciones como: El 82% de los alumnos de la IEP “Señor de la Vida” practican algún tipo de deporte. Esto quiere decir que de cada 100 alumnos del colegio, 82 practican algún tipo de deporte. Lo que significa que si en el colegio hay 600 alumnos (6 cientos) ¿Cuántos alumnos practican algún deporte? Si no pudiste resolverlos revisemos la información que a continuación se te brinda. A continuación obtendrás información, que te ayudará resolver este tipo de problemas sobre porcentajes. II. CONSTRUCCION DELCONOCIMIENTO: TANTO POR CIENTO O PORCENTAJE El tanto por ciento o porcentaje, es el número de centésimas partes que se puede tomar de una cantidad cualquiera. Por ejemplo: * 5 por ciento nos indica que tomemos: 5/100 de una cantidad cualquiera * 23,7 por ciento nos indica que tomemos: 23,7/100 de una cantidad cualquiera. La expresión “por ciento” se simboliza por %, que es la abreviatura de 1/100 Así tenemos que: A A% = 100 Toda expresión porcentual puede escribirse en su forma equivalente (< >), como una fracción o un número decimal, es decir: 6 1 6 por ciento <> 6% <> <>6x 100 100 1 5 1 1 1/5 por ciento < > 1/5 % <> <> x 100 5 100 (a - b ) 1 (a – b) por ciento < > (a – b )% < > < > (a – b ) x 100 100 Consideraciones * Una cantidad total representa su 100 % * Media cantidad, representa el 50 % * Una cantidad aumentada en el 28 % representa el 128 % ( tanto por ciento más ) Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  18. 18. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” AREA MATEMATICA * Una cantidad disminuida en su 37 % representa el 63 % ( tanto por ciento menos) CÁLCULO DE PORCENTAJES Todos los problemas de porcentajes, pueden al final, reducirse a una expresión como la siguiente: P % de N = R de donde: P % = Nos indica el número de centésimas a tomar N = Representa la cantidad de la cual hay que tomarlas. R = Es el resultado de la operación anterior. En porcentajes se dan tres situaciones o casos, que se deducen de la forma general, es decir: Recordar: Las palabras “de” , “del” , “de los” significa que debemos multiplicar y la palabra “es” significa igual. Ejemplos 1. En una aula del 2do. Año rindieron examen 55 alumnos de los cuales 13 fueron desaprobados. Hallar el % de alumnos aprobados. Solución: Fueron aprobados: 55 – 13 = 42 Luego hallamos que % de los 65 es 42 aprobados Aplicando : R. T. S.: 55 100 % 42 x 2. El 15 % del 40 % de los 5/8 de un número es equivalente al 25 % del 0, 02 % de 2 250. El número es : Solución: Sea el número: N Entonces: 15 40 5 25 0.02 x x xN x x2250 100 100 8 100 100 Primer Caso: P%deN R 4. Hallar los 2/5% de la cuarta parte de 6000;  Se conocen P% y N disminuido en 2.  Se desconocen R 5. Si: A=3/8 del 0,02% de 160000. Ejercicios: B=5/6 del 0,3% de 40000 1. Hallar el 30% de 6000. 6. De un granja de 4800 pollos se venden el 25% 2. Hallar el 0,4% de 50000. y se donó a Essalud el 25% de los que 3. Hallar el 2% del 6% de 35000. quedaban. ¿Cuántos pollos quedan en la Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  19. 19. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA granja?. 6. El 12% de lo que gana Losen en un año es s/ 7. Leonor compró un libro a s/18 que le habían 2400. ¿Cuánto recibe anualmente? ofrecido a s/ 21. Aarón compró un pantalón a 7. Si el 20% del 30% de la mitad de un número s/ 54 que costaba s/ 60 ¿Quién recibió mayor es el 15% del 80% del 20% de 300. Hallar descuento? dicho número. 8. Si un comerciante vende una tonelada de 8. Si el a% del 15% de (a/2) es el 75% de 6. camote de la siguiente manera: El 25% lo Hallar el 35% de a. vende a s/ 0,50 el kg y el resto a s/ 0,80 el kg. Tercer Caso: P%deN R ¿Cuánto invertirá para su negocio si  Se conocen N y R corresponde al 72% de los que recauda?  Se desconocen P Segundo Caso: P%deN R Ejercicios:  Se conocen P% y R 1. ¿Qué porcentaje de 80 es 4?  Se desconocen N 2. ¿Qué porcentaje de 420 es 84? Ejercicios: 3. ¿Qué porcentaje de 0,04 es 0,0028? 1. ¿El 20% de que número es 70? 4. ¿Qué % de 60 es 12? 2. ¿0,25% de qué número es 4? 5. Calcular que % de 360 es 90 3. Si tuviera 30% más del dinero que tengo, 6. ¿Que porcentaje de a 3b 2 es 0,02a 2 b 3 ? tendría 260 soles. ¿Cuánto es el dinero que 7. De 80 alumnos; 16 desaprueban el curso de tengo? Raz. Mat. ¿Qué porcentaje de los 80 alumnos 4. Si vendiera un libro de razonamiento aprobaron el curso de Raz. Mat.? matemático en un 40% menos, costaría 6 8. Si Luigui al construir un tablero de ajedrez soles. ¿Cuál es el precio del libro? pinta de negro 20 recuadros. ¿Qué 5. El 20% de qué número es el 40% del 5% de porcentaje le falta pintar? 600. III. TRANSFERENCIA: PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE PORCENTAJES 1. Hallar el 25% de 400. 5. Hallar: ¾% de la tercera parte de 1800, a) 25 b) 100 c) 50 d) 125 e) 200 disminuido en 2. a) 2,5 b) 4,5 c) 6,5 d) 25 e) 30 2. Hallar el 0,2% de 2000. a) 2 b) 1 c) 4 d) 8 e) 6 6. Si Vanessa recibe el 32% de 200 soles. ¿Cuánto será lo que recibe? 3. Hallar el 1,25% de 3000. a) 64 b) 640 c) 320 d) 60 e) 32 a) 375 b)3,75 c) 37,5 d) 3750 e) 425 4. Hallar 2/3% de 15000 7. Hallar el 0,6% del 20% de 5 103 a) 10 b) 100 c) 30 d) 20 e) 80 a) 8 b) 6 c) 12 d) 36 e) 15 Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  20. 20. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA 8. Hallar 3% del 30% del 5% de 6 10 4 19. ¿Qué porcentaje de 0,36 es 0,0072? a) 27 b) 72 c) 81 d) 12 e) 15 a) 4% b) 2% c) 6% d) 8% e) 12% 20. ¿Qué % de 84 es 42? 9. ¿El 12% de que número es 36? a) 50% b) 5% c) 10% d) 20% e) 80% a) 3 b) 30 c) 300 d) 360 e) 60 21. ¿Qué porcentaje es 13 de 52? 10. ¿El 0,35% de qué número es 0,07? a) 20% b) 30% c) 25% d) 35% e) 52% a) 2 b) 20 c) 200 d) 0,7 e) 70 22. De 200 melones, 80 resultaros en mal estado. 11. ¿El 20% de los 2/5% de qué número es 0,004? ¿Qué porcentaje de los 200 están buenos a) 5 b) 0,5 c) 25 d) 0,4 e) 0,25 para venta? a) 80% b) 120% c) 60% d) 30% e) 50% 12. ¿3/8% de los 4/9% de qué número es 0,00024? 23. Hallar el 0,5% del 0,4% del 25% del 2 105 a) 144 b) 14,4 c) 1,44 d) 0,44 e) 0,144 a) 20 b) 10 c) 1 d) 0,1 e) 0,01 13. ¿El 40% de qué número es el 20% del 6% de 24. Hallar el 0,02% del 60% de 5 10 4 800? a) 12 b) 6 c) 60 d) 0,6 e) 10 a) 48 b) 36 c) 24 d) 84 e) 42 25. Hallar el 15% de los 2/3 de 5/8 del 8% de 14. ¿El 0,05% de que número es el 3% del 5% de 4 104 9? a) 20 b) 200 c) 40 d) 10 e) 400 a) 18 b) 27 c) 36 d) 81 e) 25 15. Si Manuel tuviera el 25% menos de la edad 26. Si: A = 30% del 2% de 5 10 2 que tiene, tendría 30 años. ¿Cuántos años B = 0,4% del 50% de 3 103 tendrá dentro de 6 años? Hallar: el 0,5% del 80% de (B - A) a) 36 b) 24 c) 46 d) 52 e) 48 a) 0,012 b) 1,20 c) 0,01 d) 0,12 e) 12,1 16. Si vendiera mi libro de Raz. Mat. En un 25% 27. El 30% del 20% de los 2/5 de un número es más; costaría 20 soles. ¿Cuál es el precio real equivalente al 24% del 0,01% de 1000. El del libro? número es: a) 16 b) 25 c) 30 d) 45 e) 50 a) 0,1 b) 0,2 c) 100 d) 120 e) 2 17. ¿Qué porcentaje de 480 es 24? a) 6% b) 5% c) 8% d) 12% e) 9% 28. ¿El 0,08% de qué número es el 4% del 12% de 9? 18. ¿Qué porcentaje de 200 es 8? a) 24 b) 48 c) 54 d) 64 e) 45 a) 16% b) 20% c) 4% d) 2% e) 50% Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe
  21. 21. IEP. “SEÑOR DE LAVIDA” MATEMÁTICA - 1º SECUNDARIA 29. El 20% del 35% de los 5/8 de un número es equivalente al 14% del 0,04% de 5 10 4 , el 32. Jaime reparte su fortuna de la siguiente número es: manera: a Rosa le da el 28% de la fortuna: a a) 36 b) 32 c) 48 d) 64 e) 720 María el 32% y a Fidel los 160 soles restantes. ¿De cuánto fue la fortuna? 30. Si Manuel tuviera el 25% más de la edad que a) 800 b) 400 c) 320 d) 480 e) 840 tiene, tendría 65 años. ¿Qué edad tuvo hace 4 años? 33. Al comprar una grabadora en la tienda de mi a) 56 b) 48 c) 46 d) 42 e) 52 amigo me hace un descuento de 15% costándome así 170 dólares. ¿Cuánto le 31. Sandra va al mercado, donde al comprar un costaría a otra persona que no es su amigo? cierto numero de naranjas le regalan un 12% a) 340 b) 200 c) 300 d) 240 e) 380 de las que compró. Obteniendo así 224 34. De 460 frutas, 115 son papayas. ¿Qué naranjas. ¿Cuántas naranjas compró? porcentaje de las frutas no son papayas? a) 400 b) 600 c) 200 d) 120 e) 240 a) 25% b) 45% c) 65% d) 75% e) 85% IV. AUTOEVALUACION: 1. En el desarrollo de este modulo me he sentido: Muy bien Bien Más o menos Mal Porque:…………………………………………………………………………………………………………. 2. Lo desarrollado en este modulo me parece importante: SI NO Porque:…………………………………………………………………………………………………………. 3. Mi esfuerzo en este tema lo calificaría como: Muy bueno Bueno Poco Muy poco Porque:…………………………………………………………………………………………………………. 4. Mi rendimiento es este Tema lo calificaría como: Excelente Bueno Regular Malo Porque:…………………………………………………………………………………………………………. V. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS COVEÑAS NAQUICHE , Manuel. Matemática 1. Perú. Edit. Bruño. 2008. ROJAS PUEMAPE Alfonso. Matematica 1. Perú. Edit. San Marcoa. 2008. ROJAS PUEMAPE Alfonso. . Matematica 1. Perú. Edit. San Marcos. 2006 SANTILLANA, Innova. Matemática 1. Perú. 2008 Lic. José Azañero Sánchez. - Lic. Alex Iparraguirre Zavaleta. www.iepsenordelavida.edu.pe

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