Modelling strategies in market finance Lecture 8: Black-Litterman model (in French)

1. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Mod´elisation de strat´egies en finance de
march´e
S´eance 13 : Mod`ele de Black & Litterman
Alexander Surkov, CFA, FRM, PRM, PhD
alexander.surkov@usherbrooke.ca
´Ecole de gestion
Universit´e de Sherbrooke
Le 12 avril 2017

2. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Table de mati`ere
Fondations th´eoriques du mod`ele de Markowitz
Mod`ele d’´evaluation des actifs financiers
Extensions du mod`ele de Markowitz
Mod`ele de Black & Litterman

3. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Table de mati`ere
Fondations th´eoriques du mod`ele de Markowitz
Mod`ele d’´evaluation des actifs financiers
Extensions du mod`ele de Markowitz
Mod`ele de Black & Litterman

4. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Probl`eme de consommateur (1)
Supposons que le consommateur ne vive que lors
2 p´eriodes : aujourd’hui et demain .
L’utilit´e de sa consommation demain est d´ecrite par
la fonction suivante :
u(c) = 1 − exp (−αc)
(noter la d´ecroissance de l’utilit´e marginale)
Le consommateur poss`ede aujourd’hui le capital V0
`a investir dans les actifs risqu´es et sans risque.
Son probl`eme d’optimisation
E u(c) → max
ω0, ω
c = V0 1 + ω0Rf + ωT
R , ω0 + ωT
1 = 1

5. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Probl`eme de consommateur (2)
Supposons que R ∼ N (µ, Σ).
La consommation demain est donc distribu´ee selon
la loi normale.
E [1 − exp (−αc)] = 1 − exp −α E c +
α2
2
V c
Le probl`eme d’optimisation
−α V0 1 + ω0Rf + ωT
µ +
α2
2
V 2
0 ωT
Σω → min
ω0, ω
ω0 + ωT
1 = 1
α est l’aversion absolue au risque.

6. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Probl`eme de consommateur (3)
δ
2
ωT
Σω − ω0Rf + ωT
µ → min
ω0, ω
ω0 + ωT
1 = 1
δ = αV0 est l’aversion relative au risque.
En substituant la contrainte,
δ
2
ωT
Σω − ωT
(µ − Rf 1) → min
ω
δΣω∗
− (µ − Rf 1) = 0
ω∗
=
1
δ
Σ−1
(µ − Rf 1)

7. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple : probl`eme de consommateur, δ = 10
0 0.02 0.04 0.06
0
0.005
0.01
0.015
0.02
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1
SPXTSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds

8. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple : probl`eme de consommateur, δ = 20
0 0.02 0.04 0.06
0
0.005
0.01
0.015
0.02
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1
SPXTSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds

9. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple : δ = 10, pas de vente `a d´ecouvert
0 0.02 0.04 0.06
0
0.005
0.01
0.015
0.02
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1
SPXTSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds

10. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple : δ = 20, pas de vente `a d´ecouvert
0 0.02 0.04 0.06
0
0.005
0.01
0.015
0.02
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1
SPXTSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds

11. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
CAPM
Nous sommes int´eress´es par l’´evaluation d’actifs : quel
est le rendement moyen µi ´equilibr´e ?
Le consommateur investit dans son portefeuille optimal :
µ − Rf = δ Σω∗
, µi − Rf = δ (Σω∗
)i
Pour n’importe quel portefeuille optimal ωπ,
cov R(i)
, Rπ
= cov R(i)
, ωT
π R = (Σωπ)i
µi − Rf = δ cov R(i)
, Rπ
Le mˆeme est vrai pour le portefeuille de march´e :
µi − Rf = δ cov R(i)
, RM
µM − Rf = δ σ2
M
µi − Rf =
cov R(i), RM
σ2
M
(µM − Rf )

12. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Table de mati`ere
Fondations th´eoriques du mod`ele de Markowitz
Mod`ele d’´evaluation des actifs financiers
Extensions du mod`ele de Markowitz
Mod`ele de Black & Litterman

13. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Probl`emes de l’approche de Markowitz
Les r´esultats de l’approche de Markowitz sont souvent
peu intuitifs :
Positions importantes `a d´ecouvert (si la vente `a
d´ecouvert est permise),
Poids nuls des nombreux actifs (si la vente `a d´ecouvert
est interdite),
Poids importants des actifs avec une petite
capitalisation.
Les raisons :
Les rendements moyens sont tr`es difficiles `a estimer et
l’investisseur ne peut couvrir que quelques march´es dans
son analyse.
Le mod`ele exige cependant l’opinion sur le rendement
de tous les actifs.
Le r´esultat est tr`es sensible aux rendements estim´es.

14. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Mod`ele de Black & Litterman
Le mod`ele de Black & Litterman est une approche
Bay´esienne, les rendements moyens ´etant inconnus et
al´eatoires.
Le point de d´epart est l’´equilibre de march´e.
Pour pr´eciser la distribution des rendements moyens,
des opinions (partielles ou compl`etes) de l’investisseur
sont int´egr´ees dans l’analyse.
On va consid´erer l’optimisation sans contraintes sur la
vente `a d´ecouvert. Cependant, notre analyse est tr`es
facile `a g´en´eraliser : il faut tout simplement utiliser
l’optimisation num´erique avec la contrainte
correspondant.

15. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Hypoth`eses
Les rendement sont normaux : R ∼ N (µ, Σ)
Dans l’´equilibre, tous les investisseurs d´etiennent le
portefeuille de march´e ωM.
Les rendements ´equilibr´es
µeq = Rf + δ ΣωM
Supposons que les rendements moyens sont al´eatoires :
µ = µeq + ε, ε ∼ N (0, τΣ)
ε et R sont suppos´es ind´ependants.
τ refl`ete l’incertitude dans l’estimation des rendement
moyens.

16. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Les param`etres du mod`ele
La matrice de covariance des actifs Σ peut ˆetre estim´ee
`a partir des donn´ees historiques. Dans le mod`ele elle est
pr´esum´ee connue.
Les poids du portefeuille de march´e refl`etent les
capitalisations.
δ provient des donn´ees historiques ou de l’exp´erience.
Disons, δ = 3.
τ doit ˆetre choisi. Disons, τ = 1/T, o`u T est le nombre
d’observations.

17. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Capitalisations des march´es
0 1 2 3 4
x 10
13
US stocks
CA stocks
UK stocks
DE stocks
FR stocks
JP stocks
US bonds
Capitalisation en 2012, $
Selon les donn´ees de la Banque Mondiale et SIFMA

18. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Rendements ´equilibr´es
0 0.02 0.04 0.06
2
4
6
8
10
x 10
−3
σi
µi
SPX
TSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds
SPX
TSX
FTSE
DAX
CAC
Nkk
Bonds

19. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Investisseur sans opinions
R ∼ N (µ, Σ) , µ = µeq + ε, ε ∼ N (0, τΣ)
´Etant donn´e que ε et R sont ind´ependants,
R ∼ N [µeq, (1 + τ)Σ]
ω∗
=
Σ−1 (µeq − Rf 1)
δ(1 + τ)
=
ωM
1 + τ
, ω0 =
τ
1 + τ
Une partie du capital est investie dans l’actif sans risque
en raison de l’incertitude suppl´ementaire li´ee aux
rendements moyens.

20. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
τ = 0
0 0.02 0.04 0.06
0
1
2
3
4
5
x 10
−3
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1

21. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
τ = 0.5
0 0.02 0.04 0.06
0
1
2
3
4
5
x 10
−3
σπ, σc/V0
µπ,µc/V0−1

22. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Opinions
L’investisseur suppose que k certains portefeuilles ont
les rendements moyens q :
P
k×N
µ = q
k×1
+ε , ε ∼ N (0, Ω)
Ω est une matrice diagonale k × k, elle est connue et
refl`ete l’incertitude de l’investisseur concernant ses
opinions.
ε et ε sont suppos´es ind´ependants.

23. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Inf´erence bay´esienne (1)
Nous sommes int´eress´es par la distribution de µ ´etant
donn´e les opinions de l’investisseur.
Supposons que les opinions de l’investisseur son form´ees
suite aux observations.
Par exemple, il observe les portefeuilles P et trouve que
leurs rendements moyens µP ∼ N (q, Ω).
On cherche
P (µ |µP ) =
P (µP| µ) Pµ
PµP

24. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Inf´erence bay´esienne (2)
La probabilit´e d’observer µ
Pµ ∝ exp −
1
2
(µ − µeq)T
(τΣ)−1
(µ − µeq)
´Etant donn´e les rendement des actifs µ, la probabilit´e
d’observer les rendements µP
P (µP| µ) ∝ exp −
1
2
(Pµ − q)T
Ω−1
(Pµ − q)

25. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Inf´erence bay´esienne (3)
Suite `a certaines transformations...
P (µ |µP ) ∝ exp −
1
2
(µ − ¯µeq)T
H−1
(µ − ¯µeq)
Les rendements moyens compte tenu des opinions :
¯µeq = H (τΣ)−1
µeq + PT
Ω−1
q
La covariance des moyennes compte tenu des opinions :
H = (τΣ)−1
+ PT
Ω−1
P
−1

26. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Portefeuille optimal
R ∼ N ¯µeq, ¯Σ
¯µeq = H (τΣ)−1
µeq + PT
Ω−1
q
¯Σ = Σ + H = Σ + (τΣ)−1
+ PT
Ω−1
P
−1
ω∗
=
1
δ
¯Σ−1
(¯µeq − Rf 1)

27. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple 1
Supposons que
le rendement moyen mensuel de DAX sera 0.5% plus
´elev´e que celui de CAC,
le rendement moyen mensuel de TSX sera 1%.
P =
0 0 0 1 −1 0 0
0 1 0 0 0 0 0
, q =
0.005
0.01
L’incertitude dans notre opinion :
Ω =
0.0012 0
0 0.0012
Supposons que δ = 3, τ = 0.01.

28. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple 1 en Matlab (1)
Weq = caps / sum( caps );
delta = 3;
mu_eq = sigma * Weq * delta + Rf;
P = [0 0 0 1 -1 0 0; 0 1 0 0 0 0 0];
q = [0.005; 0.01];
Omega = [1e-6 0; 0 1e-6];
tau = 0.01;
H = inv( inv(tau * sigma) + P’ * inv(Omega) * P );
barmu_eq = H * ( inv( tau * sigma ) * mu_eq ...
+ P’ * inv( Omega ) * q );
barsigma = sigma + H;
W = 1 / delta * inv(barsigma) * ( barmu_eq - Rf );

29. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple 1 en Matlab (2)
>> [mu_eq barmu_eq Weq W]
ans =
0.0048 0.0103 0.2775 0.2747
0.0042 0.0098 0.0300 0.8306
0.0041 0.0059 0.0449 0.0444
0.0045 0.0100 0.0221 2.3866
0.0046 0.0057 0.0271 -2.3379
0.0033 0.0044 0.0547 0.0542
0.0018 0.0015 0.5438 0.5384
>> sum(W)
ans =
1.7910

30. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple 2
% Omega = [1e-6 0; 0 1e-4];
>> [mu_eq barmu_eq Weq W]
ans =
0.0048 0.0061 0.2775 0.2747
0.0042 0.0048 0.0300 0.2009
0.0041 0.0030 0.0449 0.0444
0.0045 0.0067 0.0221 2.3011
0.0046 0.0024 0.0271 -2.2524
0.0033 0.0029 0.0547 0.0542
0.0018 0.0016 0.5438 0.5384

31. Mod´elisation de
strat´egies en
finance de march´e
Alexander Surkov
Fondations
CAPM
Extensions
Black-Litterman
Exemple 3
% q = [0.005; 0];
>> [mu_eq barmu_eq Weq W]
ans =
0.0048 0.0043 0.2775 0.2747
0.0042 0.0028 0.0300 -0.0612
0.0041 0.0018 0.0449 0.0444
0.0045 0.0053 0.0221 2.2655
0.0046 0.0010 0.0271 -2.2168
0.0033 0.0023 0.0547 0.0542
0.0018 0.0016 0.5438 0.5384
>> sum(W)
ans =
0.8992