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  1. 1. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 1TOPOGRAFÍA PARA INGENIERÍAMarzo 2008
  2. 2. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 2Capítulo 1 Conceptos y generalidades.1.1. Definición de topografía.Tradicionalmente se ha definido a la topografía como una ciencia aplicada,encargada de determinar la posición relativa de puntos sobre la Tierra y larepresentación en un plano de una porción de la superficie terrestre.En un sentido mas general, se puede definir como la disciplina que abarcatodos los métodos, para reunir información de partes físicas de la Tierra y susalrededores, usando para ello los métodos clásicos de medición en terreno, latopografía aérea (Anexo A) y la topografía por satélite (Anexo B).1.1.1. Representación de un punto en topografía.Un punto en el espacio puede representarse en 3D o en 2D, a través de lossistemas cartesianos tri y bidimensionales respectivamente.En 3D o sistema cartesiano tridimensional.Figura 1: Sistema cartesiano tridimensional.P(X;Y;Z): coordenadas tridimensionales del punto P, expresadas en metros.P(X;Y) : coordenadas bidimensionales del punto P, expresadas en metros.Ejemplo: P(X;Y;Z) = P(5000; 5000; 500) Este trío de puntos nos indica que lascoordenadas respectivas del punto P son:XP = 5000 m (coordenada este de P).YP = 5000 m (coordenada norte de P).ZP = 500 m (cota o altitud de P).P(X;Y;ZP(X;Y)X (Este)Z (Cota o Altitud )Y(Norte)XPYPZPXP : Proyección Este de P.YP : Proyección Norte de P.ZP : Cota o altitud de P.
  3. 3. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 3La diferencia entre cota y altitud, radica en que la primera está referida a unplano de referencia cualquiera, mientras que la altitud lo está al nivel medio delmar.En 2D o sistema cartesiano bidimensional.Figura 2: Sistema cartesiano bidimensional.1.1.2. Operaciones topográficas.En los métodos topográficos corrientes de medición en terreno, no seconsidera la verdadera forma de la Tierra, solo se utilizan modelos aproximados ala realidad, entre las prescindencias esta se considera plana, la dirección de laplomada entre dos puntos sería paralela y los trabajos se desarrollan enextensiones relativamente pequeñas, hechas estas consideraciones, cabe destacarque se distinguirían tres operaciones topográficas importantes, el levantamiento, elreplanteo y el control.1.1.2.1. Levantamiento topográfico.Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición depuntos en el espacio y su representación en un plano, el conjunto de operacionesincluye:• Selección del método de levantamiento (poligonación, radiación, triangulación,intersección inversa, perfiles, contorno, etc.)• Elección del instrumental a utilizar (estación total con jalón y prisma, teodolitocon mira, teodolito con cinta, teodolito-distanciómetro con jalón y prisma, nivelde ingeniero con mira, etc.)• Identificar y ubicar posibles vértices de apoyo (red geodésica nacional, redgeodésica de nivelación nacional, red G.P.S., red local, etc.)• Realizaciones de mediciones en terreno (distancia horizontal, vertical,direcciones de líneas, ángulos) en forma directa o indirectamente.• Registro de datos en forma manual (tiende a desaparecer), o automatizada(tendencia actual).Y(Norte)X(Este)P(X,Y)YPYP: Proyección Norte de P.XP: Proyección Este de P.XP
  4. 4. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 4• Cálculo y procesamiento de datos por procedimientos manuales (tiende adesaparecer), o automatizada ( a través de software topográfico).• Elaboración de planos por medios manuales (tiende a desaparecer) yautomatizados ( a través de software topográfico y plotter).1.1.2.2. Replanteo.Una vez realizado el levantamiento y teniendo como resultado un planotopográfico, los ingenieros o planificadores realizan proyectos sobre ellos, que hayque materializar en el terreno, por lo tanto, la operación de replanteo consiste envolver a terreno a ubicar cada uno de los elementos geométricos previamentedefinidos en el proyecto. Esta operación contempla un replanteo planimétrico(consistente en ubicar en el terreno en 2D la posición de un punto, al medir ladistancia horizontal y el ángulo horizontal horario entre la estación de ubicación delinstrumento, la estación de calaje y el punto a replantear) y un replanteoaltimétrico ( consistente además en ubicar en el terreno la diferencia de nivelsobre o bajo la cota de terreno, para completar la posición en 3D del punto amaterializar). Esta operación de replanteo general incluye la colocación de hitos,monolitos, marcas, crucetas, etc. para delinear, delimitar y guiar trabajos deingeniería.1.1.2.3. Control.Conjunto de operaciones cuya finalidad es constatar o fiscalizar en elterreno la materialización de las obras de ingeniería, en el caso de una obra vial nosolo se fiscaliza las dimensiones y componentes de la loza o carpeta de asfalto, consus respectivos testigos y especificaciones técnicas, sino también los radios decurvatura, desarrollos, las posiciones de los principios y fin de curvas, el peralte, elbombeo, y demás elementos geométricos de las curvas verticales y horizontales.Por otro lado en la propiedad minera, el inspector debe chequear la posición oamarre del hito de mensura a la red geodésica nacional, o a la red G.P.S, lascorrectas dimensiones de los hitos, y el método topográfico o geodésico utilizado.En general es según la actividad desarrollada y el organismo estatal con facultadesde georreferenciación, lo que el inspector debe realizar.1.2. Relación de la topografía con otras disciplinas y ciencias.La topografía (clásica de medición en terreno, aérea y satelital) se relacionacon diversas ciencias tales como, las ciencias exactas, las ciencias naturales, lasciencias de la tierra y un sin número de disciplinas, esta relación tiene que verdesde los fundamentos matemáticos, ópticos, teóricos, de proyeccionescartográficas, hasta con los elementos y soluciones químicas que se requierenpara rebelar las imágenes fotográficas de los levantamientos aerofotogramétricos,como también la tecnología aplicada en la topografía clásica, en los sistemas deposicionamiento global por satélite y la que se usa en las imágenes satelitales.
  5. 5. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 5En este texto abordaremos la estrecha relación de la topografía con lageodesia y la cartografía.1.2.1. Definición de geodesia.La geodesia es la ciencia que trata de las investigaciones de la forma ydimensiones de la superficie terrestre, incluyendo su campo gravitacional exterior yel posicionamiento de puntos sobre la superficie de la Tierra.Figura 3: El geoide y un elipsoide geocéntrico.La superficie de la Tierra, tal como la conocemos, dista mucho de seruniforme, sin embargo los océanos son bastante mas uniforme (aún cuandoimágenes satelitales indican que también en el mar se observan valles ymontañas), pero la superficie o topografía de las masas de tierra muestrangrandes variaciones verticales entre montañas y valles, lo cual hace imposibleexpresar la forma sobre un área de gran tamaño, mediante un modelorazonablemente simple; esto se puede simplificar al remover la masa continentalsobre el nivel medio del mar, resultando una superficie con algo de realidad física,que se denomina geoide, figura que no posee una expresión matemática, peroque corresponde a una superficie equipotencial del campo de gravedad de laTierra que mejor se aproxima al nivel medio del mar (nmm).Si la Tierra tuviera una densidad uniforme, la topografía terrestre noexistiría, y el geoide tendría la forma de un elipsoide achatado, centrado sobre elcentro de masa de la Tierra; sin embargo donde exista una deficiencia de masa, elgeoide se undirá por debajo del elipsoide promedio, y al revés donde exista unexceso de masa, el geoide se levantará por sobre el elipsoide medio, a estadesviación se le conoce como ondulación o altura geoidal que alcanza en algunaszonas mas o menos 100 m. Estas variaciones han sido determinadas utilizandodatos de satélites ópticos y dópler, mediciones gravimétricas, redes geodésicas,poligonales de alta precisión, mediciones astronómicas y adoptando previamenteun elipsoide con parámetros establecidos.ElipsoideGeoideOndulación geoidal
  6. 6. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 6Para realizar cálculos de posición, distancia, direcciones, etc. sobre lasuperficie terrestre, es necesario tener algún marco de referencia matemático, ennuestro caso el elipsoide achatado es el mejor modelo matemático, dado que esuna figura geométrica relativamente simple y que se ajusta al geoide.Las naciones o grupos de naciones han escogido diferentes elipsoides dereferencia, los cuales calzan en forma adecuada con un área particular del geoide,y al punto donde la altura geoidal es mínima o cero, es decir, donde coincide elelipsoide de referencia con el geoide se le denomina datum, y para suidentificación, se le agrega el nombre del lugar geográfico y el país donde seorigina.La expresión del elipsoide como modelo matemático de la Tierra es:1/// 222222=++ czbyax si ⇒= 0z 1// 2222=+ byax , correspondiendo a laecuación de la elipse, donde a representa el semieje mayor o ecuatorial y b elsemieje menor o polar.Los parámetros utilizados para definir un elipsoide de revolución son ( ba, )o ( fa, ) y e , donde abaf /)( −= “achatamiento” y e = 2)/(1 ab− = 22 ff −excentricidad”.1.2.1.1. Representación de un punto en geodesia.Un punto en geodesia se representa en el sistema de coordenadasgeográficas, cuyos orígenes son el paralelo del Ecuador y el meridiano deGreenwich, que permiten fijar la posición de un punto sobre el elipsoide, por mediode la latitud (ϕ) y longitud (λ).Figura 4: Coordenadas geográficas de un punto P.Polo NortePolo SurMeridiano GreenwichEcuadorP(ϕ ,λ)Hemisferio NorteHemisferio SurϕλParalelo del punto PMeridiano del punto P
  7. 7. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 7La latitud ϕ de un punto, es el ángulo que se genera entre la normal alelipsoide a través del punto y el plano ecuatorial, toma el valor cero gradosexagesimal en el Ecuador y aumenta hacia los polos hasta un valor máximo de 90grados sexagesimales en el Polo Norte y 90 grados sexagesimales en el Polo sur.La longitud λ de un punto, es el ángulo que se forma entre la elipsemeridiana que pasa a través de Greenwich y la elipse meridiana que contiene alpunto; se mide a lo largo del Ecuador desde el meridiano de Greenwich 180 gradossexagesimales en dirección Este y 180 grados en dirección Oeste.Figura 5: Las tres superficies, Topografía superficie terrestre, Geoide y Elipsoide.1.2.2. Definición de cartografía.La cartografía es la disciplina que estudia la representación de la superficieterrestre en cartas o mapas topográficos, a través de proyecciones cartográficas.1.2.2.1. Proyección cartográfica U.T.M. (Universal Transversal de Mercator)Figura 6: Elipsoide girando en su eje polar en un cilindro secante da origen a 60 Husos.Normal al elipsoide Normal al geoide (Dirección de plomada)ElipsoideSuperficie terrestre Superficie del mar ≈ geoideDesviación de la vertical
  8. 8. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 8Acuerdos cartográficos internacionales que se iniciaron a partir de laconferencia en Bélgica 1951 por la I.U.G.G. (International Union of Geodesy andGeophysics, Unión Internacional de Geodesia y Geofísica), recomendaron el uso dela proyección Universal Transversal de Mercator, por ser esta una proyecciónconforme, donde las deformaciones se hacen mínimas.Esta proyección puede ser visualizada como la Tierra encerrada en uncilindro secante, cuyo eje forma un ángulo de 90 grados sexagesimales con el ejepolar de la tierra. El cilindro tiene generalmente un radio menor que el de la Tierra,de tal manera que las líneas de contacto entre la superficie cilíndrica y la superficieelipsoidal serán líneas paralelas a los meridianos.Girando el elipsoide dentro del cilindro, la secancia podría hacerse frente acualquier meridiano central y los puntos situados a 3 grados sexagesimales de el,se pueden considerar casi libres de distorsión, donde los paralelos y meridianosterrestres quedarán representados en una superficie plana, por líneas rectas yparalelas que se cortan en ángulo recto; todo esto gracias a que la superficie delcilindro puede extenderse como un plano, lo que da origen al sistema decuadriculado U.T.M.Si se gira el cilindro en torno al eje polar terrestre se forman 60 zonas de 6grados sexagesimales de longitud cada una, cada zona se denomina Huso y estánnumerados desde el 1 al 60, partiendo del meridiano 180º y siguiendo la direcciónEste. Nuestro país está comprendido en los Husos 18 y 19, cuyos meridianoscentrales son 75º y 69º de longitud Weste respectivamente. Por otro la extensiónen latitud de cada zona es de 84º y 80º hacia el Norte y Sur del Ecuadorcorrespondientemente.Figura 7: Tres zonas o Husos de 6° de longitud cada una, con sus respectivos meridianos centrales.
  9. 9. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 9La proyección UTM toma como origen de las ordenadas al Ecuador, para elHemisferio Norte se le asigna el valor 0 m, ascendiendo en la dirección del PoloNorte, al Hemisferio Sur se le asignan 10.000.000 m, descendiendo en la direccióndel polo Sur, el origen de las abscisas es el Meridiano Central de cada Huso,asignando a cada uno de ellos un valor de 500.000 m. Las ordenadas se conocencomo coordenadas Norte UTM y las abscisas como coordenadas Este UTM.El valor de las abscisas en la proyección UTM (EUTM) aumentan en ladirección Este del Meridiano Central y disminuyen en la dirección Weste. Por otrolado si se trazaran paralelas al Paralelo del Ecuador en la dirección Sur, y paralelasa ambos lados del Meridiano Central, se generaría el sistema de cuadriculadoUTM, consistente en una red de líneas perpendiculares entre si, que forman unaserie de sectores cuadrados del mismo tamaño, con datos marginales que danvalor a cada una de las líneas que los forman.1.2.2.2. Cartografía nacional y sistemas de datum utilizados.En nuestro país trabajamos con tres sistemas de datum, dos locales y unoglobal:Datum Provisorio Sudamericano La Canoa, Venezuela 1956 (PSAD-56).Elipsoide: elipsoide internacional de 1924.a : 6.378.388,000 m “semieje ecuatorial”b : 6.356.911,946 m “semieje ecuatorial”f : ( ba − ) / a = 1 ≈ 1 “achatamiento”296,999998231 2972222/)(: abae − = 0,00672267006118 “primera excentricidad cuadradadel meridiano de la elipse”2e : 222/)( bba − = 0,0067681702366 “segunda excentricidad cuadradadel meridiano de la elipse”Obs. 1 : La cartografía nacional escala 1:50.000 y 1:250.000 está referida alPSAD-56.Obs. 2 : La Constitución de la Propiedad Minera nacional al norte de la latitudSur 43º30’ está referida al PSAD-56.Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide PSAD-56 no coincide con el centrode masa de la tierra (es no geocéntrico).
  10. 10. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 10Datum Sudamericano Chua, Brasil 1969 (SAD-69).Elipsoide: elipsoide sudamericano de referencia 1969.a : 6.378.160,000 m “semieje ecuatorial”b : 6.356.774,720 m “semieje ecuatorial”f : (a- b) / a = 1 ≈ 1 “achatamiento”298,250011223 298,25e2: (a2– b2) /a2= 0,00669454160387 “primera excentricidad cuadradadel meridiano de la elipse”e’2: (a2– b2)/b2= 0,0067396605417 “segunda excentricidad cuadradadel meridiano de la elipse”Obs. 1: La cartografía Nacional escala 1:25.000, 1:100.000, 1:500.000 y laortofotografía 1:10.000 y 1:20.000 está referida al SAD-69.Obs. 2: La Constitución de la Propiedad Minera nacional al sur de la latitudSur 43º30’ está referida al SAD-69.Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide SAD-69 no coincide con el centrode masa de la tierra (es no geocéntrico).Sistema Geodésico Mundial Misuri, EE.UU. 1984 (WGS-84).Elipsoide: Elipsoide mundial de referencia de 1984.a : 6.378.137,0000 m “semieje ecuatorial”b : 6.356.752,3142 m “semieje ecuatorial”f : (a- b) / a = 1 “achatamiento”298,257222933e2: (a2– b2) /a2= 0,0066943800047 “primera excentricidad cuadradadel meridiano de la elipse”e’2: (a2– b2)/b2= 0,00673949675703 “segunda excentricidad cuadradadel meridiano de la elipse”
  11. 11. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 11C2,0 : -484,16685 x 10-6“Coeficiente normalizado de armónico zonalde segundo grado de potencial de gravitación”.W : 7292115 x 10-11Rad/S “Velocidad angular de la tierra”.GM : 3986005 x 108m3/S2“Constante de gravitación de la tierra”(masa de la atmósfera de la tierra incluida).Obs. 1: El Instituto Geográfico Militar (IGM) ha comenzado a partir de1996, la edición conjunta en PSAD-56 y WGS-84 de la cartografía nacional1:50.000, existiendo en las cartas parámetros para convertir coordenadas desdePSAD-56 a WGS-84 y viceversa.Ejemplo : para la carta de Santiago E-58 escala 1:50.000NUTM PSAD-56 = NUTM WGS-84 + 414 m.EUTM PSAD-56 = EUTM WGS-84 + 192 m.Obs. 2: Los GPS tipo navegadores, profesionales y geodésicos vienenconfigurados en el sistema WGS-84, en el caso de los navegadores cuando se leagotan las baterías y se está trabajando en algún sistema geodésico local (PSAD-56 o SAD-69), debe revisarse el datum de configuración del equipo, dado que,cuando pasan varias horas del reemplazo de las baterías, automáticamente vuelvela configuración al datum WGS-84.Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide WGS-84 coincide con el centro demasa de la tierra (es geocéntrico).1.3. Tipos de levantamientos.Existen diversas variantes de levantamientos, tanto es así que un especialistaen una disciplina topográfica a lo largo de su trayectoria, puede tener escasocontacto con las otras áreas de desarrollo de la topografía.Los levantamientos actualmente se utilizan para confeccionar cartastopográficas de la superficie terrestre, de los fondos marinos, deslindes depropiedades públicas, privadas, mineras, agrícolas, para la navegación aérea,terrestre y marítima, para conocer el relieve del suelo y el comportamiento delsubsuelo, también se usan en los estudios catastrales, peritajes judiciales yproyectos de ingeniería. Además se emplean en la evaluación de datos sobre eltamaño, forma, gravedad y campo magnético terrestre, y aún se ha logradoconfeccionar planos de la Luna y de los Planetas.
  12. 12. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 12Dado que la topografía es demasiado importante para muchas ramas de laingeniería, en este texto trataremos los levantamientos que tienen mayoraplicabilidad en ella.• Levantamiento geodésico o de control: son levantamientos de grandesextensiones de terrenos, de alta precisión u orden geodésico, generalmenteabarcan la totalidad o gran parte de los territorios de los países, consideran laverdadera forma y dimensiones de la Tierra, conforman redes longitudinales ytransversales de puntos con coordenadas horizontales y verticales, que sirvencomo marco de referencia para otros levantamientos de menor rangogeodésico. Comúnmente los ejecutan organismos del Estado, en nuestro país elIGM (Instituto Geográfico Militar), el SHOA (Servicio Hidrográfico y Oceánico dela Armada).• Levantamientos topográficos: determinan la posición y características delos accidentes naturales y artificiales, incluyendo las elevaciones de los puntosque permitan la representación en un plano. No consideran la verdadera formade la Tierra , ésta se considera plana, la dirección de la plomada entre puntossería paralela en la obtención de los rumbos y azimutes de las líneas que seforman, los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeñas.• Levantamientos aerofotogramétricos: forman parte de la topografía aérea(ver Anexo A), utiliza la percepción remota a través de una cámara fotográficaubicada en la parte posterior de un avión para tomar los datos de terreno(fotogramas), siguiendo rigurosamente la planificación del vuelo y a partir delas fotografías aéreas obtenidas, se hace uso de la fotogrametría, de losprocesos de restitución, fotointerpretación, clasificación de terreno, procesocartográficos y de los vértices de apoyo terrestre para obtener las cartas,mapas o planos topográficos. Estos levantamientos se usan para terrenos dedifícil acceso, pueden abarcar grandes extensiones del territorio y se puedenlograr gran precisión en ellos. La cartografía nacional del territorio continental,insular y Antártico se ha obtenido usando esta metodología. El SAF (ServicioAerofotogramétrico) de la Fuerza Aérea de Chile, el IGM (Instituto GeográficoMilitar) son los principales organismos del estado que realizan este tipo delevantamientos en nuestro país.• Levantamientos catastrales: normalmente se trata de levantamientosurbanos o rurales, con el propósito de localizar los linderos de las propiedades(agrícolas, mineras, acuicultura, derechos de agua, etc.), las construccionesque contienen, para conocer sus detalles, su extensión, su valor o tasación, losderechos de propiedad y transmisión, con la finalidad principal de que el estadopueda recaudar los impuestos respectivos.
  13. 13. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 13• Levantamientos hidrográficos: corresponden a los levantamientosrelacionados con la definición de deslindes de playas de mar, ríos, lagos,embalses, y otros cuerpos de agua, así como con la configuración eirregularidades de sus profundidades (batimetría), utilizando instrumentaltopográfico clásico en la determinación planimétrica y sofisticados instrumentoselectrónicos para determinar sus profundidades. Las finalidades pueden irdesde la delimitación de sus playas para uso público, pasando por lanavegación, estudio de sedimentos y el dragado de sus fondos. El organismooficial, técnico y permanente del estado en nuestro país facultado para dirimirdiferendos en los trabajos en las costas, lagos y ríos es el SHOA.• Levantamientos de ingeniería: incluye los trabajos topográficos requeridosantes, durante y después del término o cierre de los proyectos de ingeniería,un plano topográfico resultante de un levantamiento que entregue laconfiguración del terreno, mas la incipiente concepción mental de algúnproyecto de ingeniería, son las materias primas mas elementales y suficientespara que un ingeniero comience a plasmar en el plano su proyecto.Posteriormente necesitará materializar cada uno de sus elementos en el terreno(operación de replanteo), y alguna institución de fiscalización tendrá la facultadpara verificar si lo materializado efectivamente corresponde a lo proyectado(control topográfico), de ahí la importancia que tiene la topografía para losestudiantes de ingeniería en el desarrollo u orientación de sus potencialidadesingenieriles.• Levantamientos satelitales: corresponden a los levantamientos obtenidoscon tecnología satelital (ver Anexo B), por una parte se puede utilizar lapercepción remota a través de un sensor electro-óptico ubicado en la parteposterior de una plataforma satelital, que captan las diversas bandaselectromagnéticas correspondiente a luz solar reflejada por los cuerposterrestres, que luego es clasificada en formatos digitales, que permiten obtenerproductos computacionales llamadas imágenes satelitales, que con apoyos deredes de puntos coordenados, permiten obtener productos cartográficos deamplio uso civil y militar. Por otro lado, el uso de posicionadores satelitales(GPS, GPS + GLONASS, y en el futuro GALILEO) en conexión con susrespectivas constelaciones de satélites artificiales, permiten obtener la posicióntridimensional de puntos en la superficie terrestre, y por ende de los planostopográficos que requiere la ingeniería, así como también el monitoreo yposicionamiento de móviles terrestres, marinos y aéreos, con el apoyo de otrastecnología electrónicas.
  14. 14. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 141.4. Teoría de errores.Todas las mediciones realizadas con fines topográficos o geodésicos estánafectadas por errores de diferentes clases, es imposible determinar la verdaderamagnitud de una serie de mediciones que podrían representar distancias,ángulos, superficies, cubicación de movimiento de tierra y coordenadas. En lapráctica solo es posible obtener los valores más probables de dichas medicionesacompañados por una cierta incerteza, es decir: l dl±nlilni/1∑== “valor mas probable de la serie de mediciones ”∑=−−=ninnllidl12))1(/()( = E2Ml “incerteza ” o “error medio de la media odesviación estándar del valor mas probable de la serie de mediciones”1.4.1. Clasificación de los errores.Errores accidentales o aleatorios (se compensan).Errores sistemáticos (se corrigen).Errores personales o faltas (se eliminan).1.4.1.1. Errores accidentales o aleatorios, pueden ser provocados por laimperfección de nuestros sentidos (dislexia, miopía, estrabismo, etc.) por lairregularidad de la atmósfera y del terreno a medir, actúan de un modocompletamente irregular sobre los resultados de las mediciones y se presentan consigno positivo (+) y negativo (-), ejemplos de esto último, serían los cambios detemperatura por sobre y bajo de la de inicio de un trabajo de medición con unacinta de acero, o con un teodolito de círculos metálicos, también sucede lo mismocuando se están midiendo ángulos con un teodolito y el viento que incide sobre laseñal de puntería, cambia constantemente en un sentido y en otro contrario;algunas veces movimientos sísmicos imperceptibles para nuestros sentidos,desnivelan los equipos topográficos, afectando aleatoreamente las mediciones, porello es que el tratamiento de la serie de mediciones se hace a través de las leyesde las estadísticas y probabilidades, utilizando en algunos casos los Test dedistribución Normal (para n ≥30) o la T- Student (para n < 30).1.4.1.2. Errores sistemáticos, pueden ser originados por mala calibracióninstrumental, por la acción unilateral de la atmósfera sobre la línea de puntería,por mediciones no conformes, tales como la mala alineación de las miras o de lascintas durante la medición de distancias. En igualdad de condiciones son siempreconstantes en magnitud y con el mismo signo, obedecen siempre a una leymatemática o física.Ejemplos de estos errores serían, cuando falla el control de calidad y se pasanequipos de medición angular electrónica con círculos en graduación sexagesimal ycentesimal, originándose errores instrumentales constantes. Cuando se utiliza un
  15. 15. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 15teodolito o un taquímetro mecánico desconocido para un operador, esrecomendable realizar previamente mediciones angulares por reiteración(mediciones en directo y directo-tránsito), para descubrir posibles erroresinstrumentales tanto en el origen del limbo horizontal como en el círculo o limbovertical (error de índice), para posteriormente realizar las correccionespertinentes.Si se conocen antecedentes de fabricación de una cinta de acero tales como,la temperatura, tensión de calibración, y dichos datos durante la medición,también es posible corregir las mediciones por corrección por temperatura, portensión incorrecta y por pandeo o flecha.1.4.1.3. Errores personales o faltas, son producto de la inhabilidad, descuido ocansancio del operador de un instrumento, pueden generarse por la malaanotación de las mediciones, se descubren repitiendo las observaciones.1.4.2. Cuantificación de los errores accidentales o aleatorios.1.4.2.1. Método matemático.1.4.2.1.1. Principales parámetros estadísticos.Sea l una serie de mediciones de distancias, ángulos, superficies, volúmenes o deposición topográfica, entonces:nlilni/1∑== “valor más probable de la serie de mediciones”El = ∑=−ninlli12/)( “desviación estándar de la serie de mediciones”E2l ∑=−−=ninlli12)1/()( σ= “error medio cuadrático de la serie demediciones”E2Ml ))1(/()(12∑=−−=ninnlli “error medio de la media” o“desviación estándar del valor más probable de la serie de mediciones”E2Ml = E2l / n “error medio de la media en función del error medio cuadrático ydel número de observaciones realizadas”.Cuando se conoce MSE (Root Mean square error) para medir distanciaselectrónicas con Estaciones Totales o Distanciómetros, que es una característicapropia del instrumental topográfico utilizado, entonces se debe usar:
  16. 16. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 16E2Ml = M.S.El / n “Error medio de la media para instrumental electrónico dedistancia”Ejemplo. Si el error medio cuadrático (M.S.E) para una Estación Total es M.S.E = ï(3 mm + 3ppm) y se ha medido 5 veces una distancia electrónica inclinadaresultando un valor mas probable de 4.589,325 m. Determine la incerteza conque se midió dicha distancia.Solución:l = 4.589,325 mn = 5M.S.El = ï (0,003 + 3/106l ) m = ï (0,003 + 3/1064.589,325) mM.S.El =4.589,325 = ï 0,016767975 mE2Ml = M.S.El / 5 = ï 0,007498866389 m ≈ 0,0075 m1.4.2.1.2. Error relativo o exactitud relativa.1.4.2.1.2.1. Error relativo al medir una base topográfica, geodésica oGPS.E.R. = E2l / l = 1/ (l /E2l ) = 1/ Denominador “cuantifica la precisión con que seha medido una base topográfica con cinta o con taquímetro y mira”E.R. = M.S.El /l = 1 / ( l / M.S.El ) = 1/ Denominador “ cuantifica la precisióncon que se ha medido una base geodésica con estación total o distanciómetro”E.R. = M.S.EL / L = 1 / ( L/ M.S.EL) = 1/ Denominador “cuantifica la precisión conque se ha medido un vector GPS” ( ver ejercicio en página 66 y grados deprecisión en página 64 del texto Topografía en Minería Cielo Abierto)Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, almedir sus bases se dan las siguientes referencias.i) 1/1.000 ≤ E.Rl Bases en Trabajos de Laboratorio de Topografía ≤ 1/500ii) 1/10.000 ≤ E.Rl Bases en Trabajos Topográficos corrientes ≤ 1/1.000iii) E.Rl Bases en Trabajos Geodésicos ≤ 1 /100.000
  17. 17. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 171.4.2.1.2.2. Error relativo al medir un polígono topográfico, geodésico oGPS.E.R.Polígono = ε/∑=nkkjiDH1,= 1/(∑=nKkjiDH1,/ε ) = 1/Denominador “cuantifica la precisióncon que se ha medido un polígono taquimétrico o electrónico”ε = (εN2+ εE2)(1/2)“error de cierre lineal “ o “ error de posición al medir unpolígono taquimétrico o electrónico”εN : “ error de cierre lineal o de posición en la proyección Norte”εE : “ error de cierre lineal o de posición en la proyección Este”∑=nkkjiDH1,: “lados o distancias horizontales más probables del polígono” o “ perímetrodel polígono”Y(Norte)BYA AεN εYA′A′CDεEX (Este)XA′XAFigura 8: Error de cierre lineal en un polígono cerrado de 4 lados.nE.R.Polígono GPS = 1/ ( ∑i=1 Di3D / d3D) “cuantifica la precisión con que se ha medidoun polígono GPS” (ver páginas 65,66, 162-171 del texto Topografía en MineríaCielo Abierto de los autores).Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, almedir polígonos taquimétricos y electrónicos se dan las siguientes referencias.
  18. 18. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 18i) 1/1.000 ≤ E.R.P/ Polígonos en Trabajos de Laboratorio de Topografía ≤ 1/500ii) 1/10.000 ≤ E.R.P/ Polígonos en Trabajos Topográficos corrientes ≤ 1/1.000iii) E.R.P/Polígonos Trabajos Geodésicos ≤ 1 /20.0001.4.2.2. Método diferencial.1.4.2.2.1. A partir de la ley general de propagación de errores accidentales oaleatorios, es posible cuantificar la incerteza (dF) al calcular indirectamente pormedio de una función F conocida, que a la vez contiene variables con errores.Sea F una función que depende de n variables ( F= f(a, b, c,...., n) ), entonces laincerteza dF , puede calcularse de acuerdo a la ley de propagación de erroresaleatoreos por:dF = [ (δF/δa)2(da)2+ (δF/δb)2(db)2+..........+(δF/δn)2(dn)2](1/2)donde :(δF/δa) , (δF/δb),.........(δF/δn) “representan las derivadas parciales de la función Fcon respecto a sus variables a, b, c,....., n.(da), (db),........,(dn) “representan las incertezas al medir las variables a, b, c,....,n,es decir:E2Ma = da E2Mb = db E2Mc = dc E2Mn = dnEjemplo: las funciones para calcular la DHA-B por medio de una estación total o condistanciómetro son:DHA-B = Di A-B Cos α A-B = Di A-B Sin Z A-B = Di A-B Sin N A-BSi escogemos la primera expresión :dDHA-B = [ (δDHA-B/δ Di A-B)2(d Di A-B)2+ (δDHA-B/δα A-B)2(dα )2](1/2)1.4.2.3 Errores de 50, 90, 95 y 99.7 %, de los datos de la gráfica de relaciónentre el error y el porcentaje del área bajo la curva de distribución normal, puededeterminarse la probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad,donde la ecuación general es:EP = CP σ , donde CP: factor numérico tomado desde la curva.
  19. 19. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 19E50 = ± 0.6745 σ “Error del 50%, fija los límites dentro de los cuales han depermanecer las mediciones un 50% de las veces”.E90 = ± 1.6449 σ “Error del 90%”.E95 = ± 1.9559 σ “Error del 95 %, llamado también error dos sigma (2σ ) “.E99.7 = ± 2.567 σ “Error del 99.7 % o error tres sigma (3σ ).Figura 9: Relación entre el error y el porcentaje de área bajo la curva de distribución normal.1.5. Unidades de medición.1.5.1. Unidades angulares.Los círculos horizontales y verticales en los teodolitos, taquímetros,estaciones totales, o los limbos horizontales en los niveles de ingeniero y brújulas,vienen generalmente graduados en los sistemas angulares sexagesimales ycentesimales, sin embargo la últimas pueden también venir graduadas en elsistema de 6400-milésimas.1. Sistema sexagesimal (MODE DEG).1 Círculo horizontal o vertical graduado = 360° grados sexagesimales.1° = 60′ (minutos sexagesimales)1′ = 60″ (segundos sexagesimales)
  20. 20. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 20Observación 1: Las cantidades expresadas en este sistema deben sumarse orestarse por separado, los grados, los minutos y segundos.Observación 2: Es importante que los usuarios de calculadoras aprendan ausarlas, seleccionando apropiadamente el sistema de medición de ángulos, en estecaso Mode DEG, así como también conocer el proceso de conversión demediciones angulares expresadas en formato de fracciones de gradossexagesimales, a formatos de (grados, minutos, segundos) sexagesimales.Ejemplo: 270° 45′ 52″- 120° 37′ 13″150° 8′ 39″2. Sistema centesimal (MODE GRA).1 Círculo horizontal o vertical = 400 g1g= 100 c(minutos centesimales)1c= 100 cc(segundos centesimales)Observación 1: Las operaciones aritméticas se efectúan exactamente igual que elcomún de las operaciones usadas en el sistema decimal.Ejemplo: 215 g30c40cc= 215,3040 g(grados centesimales)215,3040 g+ 28,7227 g244,0267 g3. Sistema en radianes (MODE RAD)En este sistema de unidades angulares trabajan los computadores, luego al usaralgún lenguaje de programación debe conocerse la equivalencia entre los sistemashasta aquí tratados.2 π radianes = 360 ° (Sistema sexagesimal).2 π radianes = 400 g(Sistema centesimal).4. Sistema en milésimas.En este sistema de graduación han sido fabricadas algunas brújulas geológicase instrumentales de artillería.1 Círculo horizontal = 6400-(milésimas)1/4 Círculo horizontal = 1600-(milésimas)1/64 Círculo horizontal = 100-(milésimas)5. Relación entre sistemas sexagesimal y centesimal.
  21. 21. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 21X° = 0,9 X gX g= 1/0,9 x°6. Relación entre sistemas en radianes, sistema sexagesimal ycentesimal.x (radianes) = π/180 ° x°x (radianes) = π/200 gxg7. Relación entre sistemas en milésimas, sexagesimal y centesimal.x-(milésimas) = 1/0,05625 x°x° = 0,05625 x-(milésimas)x-(milésimas) = 16 x gx g= 1/16 x–(milésimas)1.5.2. Unidades de longitud.Los múltiplos y divisores del metro aumentan o disminuyen de diez en diezsegún la siguiente tabla:10-610-310-210-11 101102103106micro mili centi deci metro deca hecto kilo megaμ m mm cm dm m da hm km Mm Abreviatura1.5.3. Unidades de superficie.Los múltiplos y divisores del metro cuadrado aumentan y disminuyen decien en cien, según la siguiente tabla:10-610-410-212102104106mili2centi2dici2metro2área hectárea bilom2mm2cm2dcm2m2a ha Abreviatura1 acres (ac) = 4.046,873 m21 hectárea = 2,47104 acres1.5.4. Unidades de volumen.Los múltiplos y divisores del metro cúbico aumentan o disminuyen de mil enmil, según la tabla:10-910-610-31 103106109mili3centi3deci3m3--- --- Kilo3
  22. 22. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 22Observación: en las cubicaciones de movimiento de tierra se sugiere trabajarsolo a la décima del metro cúbico, dado que los modelos utilizados para cubicarsolo son aproximaciones a la realidad.Ejemplo: Volumen Terraplén = 702,3 m3Volumen Corte = 975,9 m31.6. Escalas.1.6.1. Escala numérica. Es la relación entre una distancia medida en el plano yla correspondiente distancia medida en el terreno, ambas expresadas en unamisma unidad de longitud.E = Dibujo/Terreno = 1/DenominadorEjemplo: ¿Cuál sería la escala numérica de un plano si 10 cm de dibujorepresentan 200 m de terreno?E = 10 cm/200 m = (10 cm 1m/100 cm)/200 m = 1/20001.6.2. Escala gráfica. Es una barra graduada sobre el plano, subdividida endistancias que corresponden a determinado número de unidades en terreno.0,8 cmFigura 10: Escala gráfica.¿ A que escala numérica se encuentra la escala gráfica?E = Dibujo/Terreno = 0,8 cm/1 km = 1/125000
  23. 23. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 23Capítulo 2 Medición de ángulos.2.1. Medición de ángulos horizontales.Los ángulos horizontales proporcionan la posición horizontal de un punto,respecto a una alineación o a una base topográfica, pueden medirse en el sentidohorario (+) (HR) o antihorario (-) (HL), son medidos en un plano horizontal entredos planos verticales.HR = Horizontal RightHL = Horizontal LeftP.V = Plano VerticalP.H = Plano HorizontalFigura 11: Medición de ángulos horizontales en el Plano Horizontal P.H.A : Estación topográfica o vértice de instalación del teodolito.B : Vértice de calaje u orientación cero – cero grados ( 0,00 g).C : Vértice de medición angular horizontal y/o vertical.θ : Angulo horizontal (+) medido en el círculo horizontal del teodolito.α : Angulo horizontal (-) medido en el círculo horizontal del teodolito.La medición de ángulos horizontales puede realizarse en dos posiciones delanteojo topográfico, una en directo y la otra en directo-tránsito, con lo cual esposible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generadospor la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante lasmediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisiblespueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados.
  24. 24. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 242.1.1. Medición de ángulos horizontales en directo.El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado izquierdo delanteojo topográfico si se está observando de frente el lente ocular.2.1.2. Medición de ángulos horizontales en directo-tránsito.El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado derecho del anteojotopográfico si se está observando de frente el lente ocular.En general la condición que debe cumplir la medición de un ánguloHorizontal en Tránsito y ángulo Horizontal en Directo debe ser la siguiente:Teoría: Angulo HorizontalT– Angulo HorizontalD≈ R2Práctica: Angulo HorizontalT– Angulo HorizontalD≈ R2 + ∠εR = 1 Recto (100 ggrados centesimales o 90° grados sexagesimales).∠ε : Error de cierre angular obtenido en el origen.Si el ∠ε ≤ ∠ε Admisible ⇒ Ajuste de Angulo HorizontalD∠ε Admisible ≤ ± 0,01g“si el instrumento tiene una precisión de 1 minutocentesimal”∠ε Admisible ≤ ± 0,0017g“si el instrumento tiene una precisión de 1 segundocentesimal”2.1.3. Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular.Est. Pto. Obs. Ang. Horiz. (+) Ang. Horiz. AjustadoA BD0,00gCD74,81g74,81gCT274,80gBT199,99gToma de datos de terreno.A : Punto Estación o de instalación instrumental.BD: Punto Observado o de Orientación en Directo.BT: Punto Observado o de Orientación en Tránsito.CD: Punto de Medición angular en Directo.CT: Punto de Medición angular en Tránsito.Cálculo de registro y ajuste angular.i) Origen: (0,00g+ 199,99g– 200g)/2= -0,005g= 399,995g
  25. 25. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 25ii) .HorizAngulo = (74,81g+274,80g– 200g)/2 = 74,805giii) .HorizAngulo AJUSTADO = .HorizAngulo + 500,0− g= 74,81g.HorizAngulo : Representa el ángulo horizontal promedio.2.2. Medición de ángulos verticales.Los ángulos verticales proporcionan la posición vertical de un punto respecto:1. Zenit (Z)2. Nadir (N)3. Horizonte (α)Figura 12: Las tres referencias de la medición de ángulos verticales.Zenit (cenit) (Z): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical delteodolito o estación total con la semiesfera celeste aparente, el cero del círculovertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto zenit.Horizonte (α): es el punto celeste que se genera al prolongar una líneaperpendicular al eje vertical del teodolito o estación total en la dirección de la líneaaparente que separa la tierra de la esfera celeste, el cero del círculo vertical delinstrumento topográfico coincidiría con el punto horizonte.
  26. 26. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 26Nadir (N): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical delteodolito o estación total atravesando diametralmente a la tierra e intersectando ala semiesfera celeste aparente, el cero del círculo vertical del instrumentotopográfico coincidiría con el punto nadir.La medición de ángulos verticales al igual que los horizontales puederealizarse en dos posiciones del anteojo topográfico, una en directo y la otra endirecto-tránsito (dando vuelta de campana el anteojo topográfico), con lo cual esposible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generadospor la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante lasmediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisiblespueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados.Las recomendaciones para medir ángulos verticales en directo y en directo-tránsito, son las mismas dadas en los ángulos horizontales referente al círculovertical, en lo concerniente a las condiciones angulares que deben cumplir losángulos verticales en ambas posiciones del anteojo serían:Teoría : ZD+ ZT= 4 RND+ NT= 4 RαD+ αT= 2 R (Para ángulos de elevación)αD+ αT= 6 R (Para ángulos en depresión)Práctica: ZD+ ZT= 4 R + ε∠ND+ NT= 4 R + ε∠αD+ αT= 2 R + ε∠ (Para ángulos de elevación)αD+ αT= 6 R + ε∠ (Para ángulos en depresión)ε∠ : Error angular obtenido o error de índice obtenido, puede producirse pordesajuste del instrumento, por turbulencias atmosférica, imprecisión en el visado ocalaje.Si el ∠ε ≤ ∠ε Admisible ⇒ Ajuste de Angulo VerticalD(εi = ± ε∠ /2 )εi : Factor de ajuste o compensación.εi > 0 si ∠ε < 0εi < 0 si ∠ε > 0∠ε Admisible ≤ ± 0,03g“si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto centesimaly se trata de trabajos topográficos corrientes”∠ε Admisible ≤ 0,0050g“si el instrumento tiene una precisión de 1 segundocentesimal y el trabajo es de 3erorden geodésico”
  27. 27. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 272.2.1. Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular.Estac. Pto. Obs. Ang. Vert. (N) Ang. Vert. AjustadoA BD89,14g89,13gBT310,88gToma de datos de terreno.A : Punto Estación o de instalación instrumental.BD: Punto Observado en Directo.BT: Punto Observado en Tránsito.Cálculo de registro y ajuste angular.i) ND+ NT= 400g+ ε∠400,02g– 400g= ε∠ε∠ = 0,02g⇒ εi = - 0,02g/2 = - 0,01gNDAJUSTADO = ND+ εi = 89,13g
  28. 28. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 28Capítulo 3 Medición de distancia.3.1. Procedimiento taquimétrico.Este método utiliza el anteojo topográfico del teodolito o taquímetro y lalectura en una mira graduada, para determinar distancias horizontales, inclinadas yverticales.Figura 13: Medición de distancia con teodolito y mira.I : Punto Estación o de instalación instrumental.II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada.LiII : Lectura de hilo inferior en la mira en el Punto II.LsII : Lectura de hilo superior en la mira en el punto II.hmII : Lectura de hilo medio en la mira en el punto II, hmII = (LsII + LiII )/2.G : Generador, G= LsII - LiII.hiI : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I.Z : Angulo vertical de referencia zenital.N : Angulo vertical de referencia nadiral.α : Angulo vertical de referencia al horizonte.DHI-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II.DiI-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II.DNI-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II.K : Constante estadimétrica (K= 100 m).
  29. 29. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 29Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que losteodolitos sean fabricados, nos permiten determinar los parámetros necesariospara obtener la coordenada conocida como cota de un punto observado.DHI-II = KG Cos α2= KG Sin Z2= KG Sin N2DiI-II = KG Cos α = KG Sin Z = KG Sin NHI-II = DHI-II tg α = DHI-II / tg Z = - DHI-II / tg NDNI-II = hiI + HI-II - hmIITI-II = HI-II - hmIICotaII = CotaI + DNI-II “para registro por diferencias de nivel entre estaciones”CotaII = CotaI + hiI +HI-II – hmIICotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II “para registro por cota instrumental”3.1.1. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel.AnguloEstac. hi Pto.Obs. Horiz.(+) Vert.(Z)EstadíaLs Lihm D.H. D.N. CotaI 1,32 500,25II 0,00g100,32g3,240 1,000 2,120 223,99 -1,93 498,321 102,39g98,25g3,080 1,000 2,040 207,84 4,99 505,242 223,84g102,78g2,272 1,000 1,636 126,96 -5,86 494,393 77,20g99,24g2,950 1,000 1,975 194,97 1,67 501,92Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que sehan asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguienteorden:i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidosal sistema centesimal.ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular lasdistancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas.iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones paracompletar el registro serían:DH= 100 * (Ls – Li) * Sin Z2: DN= 1.32 + DH/Tan Z – hm: Cota= 500.25 + DNObservación: En Basic Sin Z2= Sin Z * Sin Z
  30. 30. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 303.1.2. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental.Angulo CotaEst. hi PtoObsHoriz.(+) Vert.(Z)EstadíaLs Lihm D.H. TINST. PTO.I 1,32 501, 57 500,25II 0,00g100,32g3,240 1,000 2,120 223,99 -3,25498,321 102,39g98,25g3,080 1,000 2,040 207,84 3,67505,242 223,84g102,78g2,272 1,000 1,636 126,96 -7,18494,393 77,20g99,24g2,950 1,000 1,975 194,97 0,35501,92El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manualtambién es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro:i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora.ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular lasdistancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (500.25+1.32=501.75) y las cotas de los puntos.iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones paracompletar el registro de datos serían:DH= 100 * (Ls – Li) * Sin Z^2 : T= DH/Tan Z – hm: Cota= 501.57 + TObservación: En Basic Sin Z^2 = Sin Z * Sin Z3.1.3. Condiciones y requisitos operacionales del teodolito.El teodolito o taquímetro es uno de los instrumentos topográficos mascompletos y de gran utilidad en la ingeniería. Su adecuado uso, cuidado y manejo,permiten disponer de una valiosa herramienta para medir ángulos horizontales yverticales, obtener distancias horizontales, inclinadas y verticales, todosparámetros fundamentales para representar la superficie terrestre.Los elementos geométricos del teodolito deben cumplir las siguientescondiciones y requisitos de operación:1. E.V.R. ⊥ L.F. (P.S.) “se cumple con instalación del equipo”.2. E.H. (A.T.) ⊥ E.C. (A. T.) “se logra con calibración del equipo”3. E.H. (A. T.) ⊥ E.V.R. “se logra con calibración del equipo”E.V.R.: Eje Vertical de Rotación del instrumento.L.F. (P.S.) : Línea de Fe (Plato Superior).
  31. 31. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 31E.H. (A.T.) : Eje Horizontal (Anteojo Topográfico)E.C. (A.T.) : Eje Colimación (Anteojo Topográfico).Figura 14: Teodolito en corte.3.1.4. Elementos mecánicos del teodolito.• Movimiento general (plato inferior).1. Base nivelante.2. Plato inferior.3. Sistema de tornillos de fijación y tangencial.4. Eje vertical del movimiento general (E.V.).6. Círculo o limbo horizontal.8. Plomada óptica.• Movimiento de alidada (plato superior).5. Sistema de tornillos de fijación y tangencial.7. Eje vertical de movimiento de alidada.9. Plato superior o alidada.10. Eje horizontal del anteojo topográfico (E.H.)11. Círculo o limbo vertical.12. Sistema de tornillos del anteojo topográfico.13. Ampolleta tubular del plato superior.14. Anteojo topográfico.3.1.5. Operaciones de terreno con el teodolito.El buen uso y manejo del teodolito en la ingeniería requiere tener presentetres operaciones básicas, por un lado está la correcta instalación sobre una estaca,clavo, o estación; el calar cero-cero, y el orientar el teodolito, estas dos últimas enalgunos equipos pueden fusionarse en una sola operación.
  32. 32. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 321. Instalar el teodolito: es la operación que consiste en el hacer coincidir el EjeVertical del instrumento con la cabeza de la estaca, a través de la plomada (óptica,mecánica, o vástago), accionando los tornillos nivelantes, nivelando el nivel circularcon las patas de trípode, y finalmente nivelando la burbuja tubular con los tornillosnivelantes.2. Calar cero-cero: una vez instalado se hace coincidir el cero del limbo o círculohorizontal con el cero del plato superior e inferior.3. Orientar el teodolito: consiste en dirigir la visual cero-cero hacia un punto decoordenadas o dirección conocida.Figura 15: Teodolito en sistema modular para la instrucción.Para la instrucción de sus estudiantes de ingeniería algunas universidadeseuropeas utilizan los teodolitos en el sistema modular, lo cual les permitedidácticamente observar el funcionamiento de los círculos horizontal y verticaldescubiertos, así como también el suministro de accesorios modulares les permiteconvertir el teodolito en un nivel de ingeniero, o en una alidada (alidada: todoelemento óptico o mecánico que sirve para trazar visuales).
  33. 33. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 333.2. Procedimiento electrónico.Este método a diferencia del taquimétrico que utiliza principios de la físicaóptica, aquí se utiliza los elementos de la física cuántica para medir distancias, esdecir, se determina el tiempo en que tarda una onda luminosa o electromagnéticaen hacer el recorrido de ida y regreso, entre el aparato emisor de la onda y elprisma reflectante, de modo que en función del tiempo de recorrido, es posibledeterminar la distancia inclinada, horizontal o vertical entre dos puntos, previacorrección por presión, temperatura y humedad atmosférica.El distanciómetro montado sobre el teodolito, o integrado al teodolito, fue unode los primeros instrumentos que incorporó la tecnología de medición de distanciaelectrónica, llegando algunas generaciones de estos equipos, a contar con tarjetaselectrónicas y memorias incorporadas para la recolección de datos en terreno. Unavariante de tecnología mas avanzada lo constituyen las Estaciones Totales,conformando un solo equipo, con mayor alcance en las mediciones, así comotambién con la toma automatizada de datos de terreno, también en el últimotiempo han salido las Estaciones Totales GPS, que en forma alternativa puede usarla metodología convencional del posicionamiento de puntos o el uso de latecnología satelital, todo lo anterior ha contribuido a la agilización y eficiencia en eltrabajo de campo, y a la vez, velocidad en el procesamiento de la información através de software de topografía y calidad en el trazado de los planos con el usodel plotter.Figura 16: Medición de distancia usando Estación total con jalón y prisma.
  34. 34. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 34I : Punto Estación o de instalación instrumental.II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada.hmII : Lectura de hilo medio en el punto II, (hmII= hpII = hjII).hpII : Lectura de prisma en el punto II, (hmII= hpII = hjII).hjII : Lectura de jalón en el punto II, (hmII= hpII = hjII).hiI : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I.Z : Angulo vertical de referencia zenital.N : Angulo vertical de referencia nadiral.α : Angulo vertical de referencia al horizonte.DHI-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II.DiI-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II.DNI-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II.6.66/108DiI-II2: Factor combinado de curvatura terrestre y refracción atmosférica.Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que lasEstaciones totales hayan sido fabricadas, nos permiten determinar los parámetrosnecesarios para obtener la coordenada conocida como cota de un puntoobservado.DHI-II = DiI-II Cos α = DiI-II Sin Z = DiI-II Sin NHI-II = DiI-II Sin α = DiI-II Cos Z = - DiI-II Cos NHI-II = DHI-II Tg α = DHI-II /Tg Z = - DHI-II /Tg NPara trabajos topográficos de precisión:DNI-II = hiI + HI-II + 6.66/108DiI-II2– hmIITI-II = HI-II + 6.66/108DiI-II2– hmIICotaII = CotaI + DNI-II “para registro por diferencia de nivel entre estaciones”CotaII = CotaINSTRUMENTAL I + TI-II “para registro por cota instrumental”
  35. 35. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 353.2.1. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel.AnguloEst. hi Pto.Obs. Horiz (+) Vert (N)Di hj DH DN CotaI 1.30 782,32II 0,0000g100,0425g1502,87 1,45 1502,87 1,00 783,321 55,2981g101,9872g2891,32 2,60 2889,91 89,49 871,812 189,7532g99,3741g1125,60 2,60 1125,55 -12,28 770,043 202,2734g98,7890g525,37 0,05 525,27 -8,72 773,60Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que sehan asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguienteorden:i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidosal sistema centesimal.ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical nadiral para calcular lasdistancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas.iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones paracompletar el registro serían:DH= Di * Sin N : DN= 1.30 - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 – hm : Cota= 782.32+ DNObservación: En Basic 108= 10^8 ; Di2= Di^23.2.2. Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental.Angulo CotaEst. hi PtoObsHoriz. (+) Vert.(Z)Di hj D.H. TINST. PTO.I 1,30 783,62 782,32II 0,0000g100,0425g1502,87 1,45 1502,87 -0,30783,321 55,2981g101,9872g2891,32 2,60 2889,91 88,19871,812 189,7532g99,3741g1125,60 2,60 1125,55 -13,58770,043 202,2734g98,7890g525,37 0,05 525,27 -10,02773,60El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manualtambién es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro:i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora.
  36. 36. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 36ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical nadiral para calcular lasdistancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental (782.32+1.30=783,62) y las cotas de los puntos.iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones paracompletar el registro de datos serían:DH= 100 * Sin N : T= - DH/Tan N + 6.66/10^8 * Di^2 - hm: Cota= 783.62 + TObservación: En Basic 108= 10^8 ; Di2= Di^23.2.3. Mediciones de distancia electrónica en forma automatizada.Las últimas generaciones de estaciones totales permiten la toma deinformación de terreno en forma automática, reemplazando a la recolecciónmanual de la información. Estos instrumentos tienen tres componentes en uno, elInstrumento Electrónico de Medición de Distancia (IEMD), un teodolito digitalelectrónico y un microprocesador.Figura 17: Estación Total Geodimeter con característica de toma automatizada de datos enterreno.La memoria del microprocesador en el caso del Geodimeter está dividida en dosarchivos separados, los Job (archivos de trabajo o de terreno) y los Area(archivos de coordenadas conocidas). El número total de archivos está limitado
  37. 37. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 37solo por la capacidad total de la memoria, en cuanto mas información sin procesarexista almacenada en los archivos Job, menos información se podrá almacenar enlos archivos de coordenadas conocidas o de Area y viceversa. La capacidad dememoria de las Estaciones Geodimeter 600 alcanzarían a la toma de alrededor de4000 puntos de terreno, a lo cual habría que descontar la memoria utilizada alcargar las UDS (Secuencias Definidas por el Usuario), que corresponden a losdiversos Programas que eventualmente el usuario podría utilizar entre los que seencuentran:PRG : PROGRAMAS.PRG 20 : Establecimiento de la Estación.PRG 23 : Replanteo por coordenadas.PRG 24 : Línea de Referencia.PRG 25 : Cálculo de superficie.PRG 26 : Distancia entre dos objetivos.PRG 40 : Creación de UDS (desde PRG 1 a PRG 19).PRG 41 : Definición de Etiquetas.PRG 43 : Creación de archivos de tipo Area.PRG 54 : Transferencia de archivos.3.2.4. Procedimiento para trabajar con los PRG más elementales queposee la Estación Total Geodimeter 600, para realizar levantamientostopográficos.Para mas detalles sobre uso y manejo de este instrumental (vea Anexo C), acontinuación veremos como utilizar los PRG 20, PRG 1 y PRG 2 para realizarlevantamientos topográficos en forma automatizada.Una vez instalada la estación total siguiendo procedimiento semejante a lainstalación del teodolito, se sigue el siguiente protocolo:1. Presionar la tecla PWR tanto para el encendido como para el apagado delsistema, si no se pulsa ninguna tecla después de 60 segundos desde que se haactivado, el instrumento automáticamente se desactivará. Si se desea conectar elinstrumento antes de las primeras 2 horas, en la pantalla aparecerá la siguienteleyenda:Interrupción por el operador¿Continuar (S/N)?Si responde “S”, la estación total conserva sus parámetros de instalación.Si responde “N”, la estación total se restablece perdiendo sus parámetros deinstalación.
  38. 38. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 382. Calibración del compensador para obtener la precisión máxima de lainteligencia inherente al sistema, esta operación se logra en forma semejante a lanivelación de la burbuja tubular del teodolito, es decir, se perfila la pantalla en ladirección de dos tornillos nivelantes, se accionan dichos tornillos hasta lograr lanivelación del compensador, luego accionando el tercer tornillo nivelante se lograla nivelación electrónica del equipo. Posteriormente se presiona la tecla A/M oENT, se oirá un pito, se debe esperar entre 6 a 8 segundos por un segundo pito, ypor el cambio en la pantalla:INIC CompGirar: 200Girar el instrumento en 200 g(grados centesimales) y la pantalla cambiará:INIC CompPresionar A/MUn nuevo pito se oirá y la pantalla ahora indicará:INIC CompEsperarSe espera por un pito doble entre 6 a 8 segundos hasta que la pantalla vuelva acambiar automáticamente.3. Aparece en la pantalla el PΦ, indicador de que el compensador está activado locual permite introducir las siguientes variables:Temp = 15 ºC (Temperatura promedio anual en La Serena, o se mide contermómetro).Presión = 760 mm de Hg (al nivel medio del mar o en el Patio de Topografía, o semide con barómetro)Se introducen o aceptan los valores presionando la tecla ENT, apareciendo en lapantalla la constante del prisma:Const = 0.000Se acepta el valor previa verificación del prisma en el Jalón y se presiona ENT,solicitándose ahora en la pantalla el ángulo azimutal de referencia:AHZ : 128.3845AHZ Ref = ---------------
  39. 39. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 39Se teclea el nuevo azimut de referencia, o el valor cero, o se acepta el valorque aparece en la pantalla; se dirige la visual hacia el objetivo de referencia y sepresiona la tecla ENT, el instrumento automáticamente quedará en el modo demedición STD y con orientación en el sistema de coordenadas locales.En esta fase se debe seleccionar la forma en que se desea realizar lasmediciones de distancia, modo Tracking (al cabo de 2 a 3 segundos se obtiene lamedición de distancia con precisión centimétrica), modo Estándar STD ( sedemora un poco más pero se logra precisión milimétrica).4. Para lograr “Alta resolución de nivelación” en la estación total, se presionala tecla del nivel electrónico ( figura ampolleta de nivel) y se procede a afinar lanivelación electrónica del equipo, para salir de este proceso se presionanuevamente la tecla del nivel electrónico.En esta etapa la estación total se encuentra habilitado para trabajar comoteodolito y como Instrumento Electrónico de Medición de Distancia, es decir, sepuede medir ángulos verticales, horizontales azimutales, distancias inclinadas,distancias horizontales y diferencias de nivel, que junto con la altura instrumental,la altura de jalón en el punto observado, el azimut magnético de la línea base quese quiere determinar, más la asignación de coordenadas arbitrarias al punto deinstalación, o la determinación de coordenadas aproximadas a través de unnavegador GPS, permiten calcular las coordenadas del punto observado usando lassiguientes expresiones:YB = YA + DiA-B * Sin ZA-B * Cos AzA-BXB = XA + DiA-B * Sin ZA-B * Sin AzA-BZB = ZA + hiA + DiA-B Cos ZA-B + 6.66/10^8 * DiA-B^2 - hjBCon la obtención de la base topográfica (Ver Figura 18 A), o si eventualmentese conocieran las coordenadas de un par de puntos (Ver Figura 18 B), se estaríaen condiciones de comenzar a utilizar el PRG 20:Teclear PRG 20, ENT, aparece¿Medir Cota? Se puede responder con un Si o un No, si es con Si presione ENT.10:21 Esta sería la cota de la última Estación de instalación, por lo tantoCota = X.XXX se puede teclear Si o No, si es Si presione ENT.Sustituir Z?
  40. 40. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 4010:21 Introducir la altura instrumental de su equipo, ENT.A1Figura 18 A Datos requeridos cuando no se conoce una base topográfica. Figura 18 B Datosnecesarios para ingresar a Estación Total Geodimeter, después de seleccionar Programa UDS 20.
  41. 41. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 414. Tipo de direcciones.En topografía se puede trabajar con cuatro tipos de direcciones, la geográficao verdadera que se obtiene por medio del giróscopo, o realizando observacionesestelares, amarrándose a la Red Geodésica Nacional o a la Red GPS, la UTM(Universal Transversal de Mercator) corresponde a una dirección cartográfica quese puede obtener amarrándose a Red Geodésica Nacional o a la Red GPS, ladirección magnética se obtiene por medio de brújula, y la arbitraria se lograpor simple arbitrio y se corrige posteriormente.Figura 19. Origen de los cuatro puntos cardinales o sistema de referencia de direcciones.4.1. Rumbo de una línea topográfica.Corresponde a la dirección de una línea respecto al meridiano escogido, seindica por el ángulo agudo que la línea forma con el meridiano, se mide a partir delNorte o Sur, el rumbo puede ser geográfico, UTM, magnético o arbitrario.RumboA-B = N θ E “Rumbo directo A-B”RumboB-A = S β W “Rumbo directo B-A”“Rumbo inverso A-B”θ = βConvención: N,E (+); S,W (-).Figura 20. Dirección A-B del rumbo directo, dirección B-A del rumbo inverso.
  42. 42. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 424.2. Azimut de una línea topográfica.Representa la dirección de una línea respecto al meridiano escogido, se indicapor el ángulo entre la línea y un extremo del meridiano (para trabajos topográficosextremo Norte y para trabajos geodésicos extremo Sur), el ángulo se mide ensentido horario y el azimut puede ser geográfico, UTM, magnético o arbitrario.AzimutA-B = θ “Azimut directo A-B”AzimutB-A = 2R + θ “Azimut directo B-A”“Azimut inverso A-B”R = 90 ̊ sistema sexagesimal.R = 100gsistema centesimal.Figura 21. Dirección A-B del azimut directo, dirección B-A del azimut inverso.4.3. Determinación de distancia horizontal (DH), rumbo (Rbo) o azimut(Az) de una línea o base topográfica.Si se conocen las coordenadas bidimensionales de una base topográfica,además los cuadrantes topográficos de las funciones trigonométricas y laconvención de los signos de los cuatro puntos cardinales, entonces podemosobtener los siguientes parámetros:Δ : Estación topográfica de coordenadas conocidas.Figura 21A. Base topográfica en el primer cuadrante (IC). Figura 21B. Cuadrantes topográficos ysus funciones trigonométricas S: Seno, C: Coseno.DHA-B = 22BABA XY −− Δ+Δ = 22)()( ABAB XXYY −+− Distancia HorizontalA-B.
  43. 43. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 43Tg BA−θ = BAX −Δ / BAY −Δ = Sen BA−θ /Cos BA−θ⇒ )/()(()/( ABABBABABA YYXXArctgYXArctg −−=ΔΔ= −−−θ “Interpretar el cuadrantetopográfico”Cuadrante I. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = )/()( ++ = (+)⇒ RboA-B = N BA−θ E; 0 R1≤≤ θ⇒ AzA-B = BA−θ ; 0 RAz BA 1≤≤ −Cuadrante II. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = )/()( −+ = (-)⇒ RboA-B = S BA−θ E; 0 R1≤≤ θ⇒ AzA-B = +R2 BA−θ ; R1 RAz BA 2≤≤ −Cuadrante III. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = (-)/(-) = (+)⇒ RboA-B = S BA−θ W 0 R1≤≤ θ⇒ AzA-B = +R2 BA−θ ; 2 R RAz BA 3≤≤ −Cuadrante IV. ))/()(( ABABBA YYXXArctg −−=−θ = (-)/(+)= (-)⇒ RboA-B = N BA−θ W; 0 R1≤≤ θ⇒ AzA-B = +R4 BA−θ ; 3 R RAz BA 4≤≤ −Ejemplo: Determine la DHA-B, RboA-B, AzA-B, RboB-A, AzB-A, de la base topográficasiguiente:YA = 4500,830 mXA = 3820,370 mYB = 3973,980 mXB = 3572,250 mSoluciónDHA-B = 22)830,450098,3973()370,3820250,3572( −+− = 582,353 m))830,4500980,3973/()370,3820250,3572(( −−=− ArctgBAθ = (-)/(-)=(+) 28,0201g
  44. 44. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 44⇒ III Cuadrante; RboA-B = S 28,0201gW; AzA-B = 2R + BA−θ = 228,0201g=−−=− ))980,3973830,4500/()250,3572370,3820((ArctgABθ (+) 28,0201g⇒ I Cuadrante; RboB-A = N 28,0201gE; AzB-A= AB−θ = 28,0201g4.4. Relación entre Norte Astronómico y Norte Magnético de una basetopográfica.Para fines topográficos se considera que las direcciones astronómicas de unabase topográfica no cambian en el espacio ni en el tiempo, por el contrario si lohacen las direcciones magnéticas, por lo cual es de suma importancia conocer lasexpresión que nos permita calcular las direcciones astronómicas y magnéticas deuna base topográfica.AzA-B Astronómico Año = AzA-B Magnético Año+ ∂ M Año∂ M Año: declinación magnética de la base para un año determinado.∂ M > 0 ⇒ Norte Magnético está al Este del Norte Astronómico.∂ M < 0 ⇒ Norte Magnético está al Weste del Norte Astronómico.Figura 22.La declinación magnética M∂ entre los meridianos magnético (en rojo) y astronómico(en negro) en el Hemisferio Norte, se repite en el Hemisferio Sur.La declinación magnética es el ángulo comprendido entre los meridianosmagnético (en rojo) y astronómico (en negro), en las cartas IGM 1:50000 seencuentra impresa en el extremo derecho de la carta, entregándose su valor parael lugar y año del levantamiento, así como también su variación anual expresadaen minutos sexagesimales y su dirección de cambio, lo que permite evaluar ladeclinación correspondiente a unos cuantos años antes o después del año de lacarta topográfica; la declinación magnética como se dijo varía en el tiempo encualquier parte del planeta, clasificándose sus variaciones como seculares, diarias,anuales e irregulares.
  45. 45. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 45Ejemplo: El azimut magnético de una base topográfica A-B para el año 1970 erade 137,82g, si la declinación magnética en el lugar para el mismo año era 5̊ 33,8̓E , con una variación anual de 5.4̓ W. Determine AzA-B Magnético 2004 , AZA-BAstronómico 2006 , ¿a partir de qué año la M∂ estará al Weste del Norte Astronómico ?.Datos:AzA-B Magnético 1970 = 137,82 gM∂ 1970 = 5̊ 33,8̓ E = 6,18 gEΔ Anual = 5,4 ̓ W = - 0,1 gΔ 34 años = 34 * 0,1 g= 3,4 gWSolución 1 (análisis gráfico).M∂ 2004 = M∂ 1970 - Δ 34 años = 6,18 g– 3,4 g= 2,78 gAzA-B Magnético 2004 = AzA-B Magnético 1970 + Δ34 años = 137,82 g+ 3,4 g= 141,22 gSolución 2 (uso de expresión).AzA-B Astronómico 1970 = AzA-B Magnético 1970+ ∂ M 1970 = 137,82g+ 6,18 gAzA-B Astronómico 1970 = 144,00 gAzA-B Magnético 2004 = AzA-B Astronómico 1970 - M∂ 2004=144,00 g– 2,78 gAzA-B Magnético 2004 = 141,22 g4.5. Relación entre el Norte Astronómico y Norte UTM.En el Hemisferio Sur y para nuestro país, en los meridianos centrales 69̊ y 75̊ ,podemos encontrar bases topográficas ubicadas al Este y Weste de dichosmeridianos, en tal caso, es necesario considerar el ángulo de convergencia (c),comprendido entre el meridiano verdadero o astronómico, y el meridiano UTM,para determinar la dirección astronómica o UTM de la base topográfica.Figura 23: Base topográfica A-B al Este y Weste de un Meridiano Central en el Hemisferio Sur.4.5.1. Obtención de c ángulo de convergencia entre los meridianos UTM yAstronómico, a partir de coordenadas geográficas.
  46. 46. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 46C= ((XII) p + (XIII) p3+ C5)/3600XII = Sin ϕ 104XIII = (Sin21̎ Sin ϕ Cos2ϕ )/3 (1+3 e ̍̍ 2Cos 2ϕ +2 e̍ 4Cos4ϕ ) 1012C5 = p5(Sin41̎ Sinϕ Cos4ϕ )/15 (2 – tg2ϕ ) 1020P = 0,0001 λΔλΔ = λ−MC *3600 ; MC : Meridiano Central.λΔ = λλ −0 ; 0λ = 69 ̊ ∨ 75 ̊Observación:Si λΔ < 0 ⇒ que el punto o base topográfica está al Weste del MC.Si λΔ > 0 ⇒ que el punto o base topográfica está al Este del MC.Ejemplo: Determinar el ángulo de convergencia entre meridianos para el puntoque tiene las siguientes coordenadas geográficas, para PSAD-56.=Pϕ S 29 ̊ 30 ̍ 14,32 ̎ Pλ = W 70 ̊ 27 ̍ 54,25 ̎e̍ 2= 0,0067681702366 0λ = 69 ̊Solución. Reemplazando el valor de ϕ y λ en XII, XIII y C5 se obtiene:XII = 4924.839836XIII = 2.96777548λΔ = 5274.25P = 0.527425C5 = 7.134764737E-05C = 0.8018268972 g= 0 ̊ 43 ̍ 17.92 ̎4.5.2. Obtención de c ángulo de convergencia entre los meridianos UTM yAstronómico, a partir de coordenadas UTM.C = (XV) q + (XVI) q3+ F5XV = (tg ϕ ̍ )/ (r sin 1 ̎ K0 ) 106XVI = tg ϕ ̍ /(3 r3Sin 1 ̎ ) (1 + tg2ϕ ̍ - e ̍ 2Cos2ϕ ̍ -2 e ̍ 4Cos4ϕ ) (1/K03) 1018F5 = q5tg ϕ ̍ /(15 r5Sin 1 ̎ ) (2 +5 tg2ϕ ̍ + 3 tg4ϕ ̍ ) (1/K05) 1030q = 0.000001 |E ̍ |E ̍ = 500000 – E4.6. Cálculo de direcciones por rumbos.Angulo comprendidoentre alineaciones.Agregar Primera letra0 – 1 R 0 Cambia1 R – 3 R -2 R No cambia> 3 R - 4 R Cambia
  47. 47. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 474.7. Cálculo de direcciones por azimutes.Angulo comprendido entrealineaciones.Agregar> 2 R - 2 R> 6 R - 6 R< 2 R + 2 R4.8. Cálculo de azimutes al radiar puntos desde una base topográfica.Angulo resultante Agregar> 4 R - 4 R< 4 R 0
  48. 48. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 484.9. Cálculo de coordenadas.En topografía para determinar las coordenadas rectangulares bi otridimensionales de un punto observado, es suficiente con conocer la posición deun punto estación, desde el cual se debe determinar directa o indirectamente laDH Pto. Estación- Pto. Observado (directamente con cinta, indirectamente con teodolito ymira, teodolito con cinta, Estación Total con jalón y prismas, Distanciómetro conJalón y prismas) y además debe medirse la dirección entre el punto estación y elpunto observado, es decir, el Azimut Pto. Estación- Pto. Observado o el rumbo Pto. Estación- Pto.Observado. Luego deben aplicarse las siguientes expresiones para obtener la posicióndel punto observado B:Δ : Estación topográfica de coordenadasconocidas.Ο : Punto observado o a determinar suscoordenadas.ΘA-B : RumboA-B, en el primer cuadrantetopográfico también representa alAzimutA-B.Figura 24: parámetros requeridos para determinar posición del Punto observado B.XB = XA + ΔXA-B = XA + DHA-B * Sin AzA-B = XA + DHA-B * Sin RboA-BYB = YA + ΔYA-B = YA + DHA-B * Cos AzA-B = YA + DHA-B * Cos RboA-BZB = ZA + DNA-B = ZA + hiA + HA-B + 6.66/10^8 * DiA-B^2 - hjB(XB, YB, ZB): Coordenadas Totales del Punto Observado B.(ΔXA-B, ΔYA-B, DNA-B) : Coordenadas Parciales A-BObservación: cuando se utiliza el RboA-B en el cálculo de las coordenadas, deberecordarse la convención 4.1 N,E (+) , S,W (-), es decir, debe anteponerse elsigno de la primera letra del RboA-B en el caso ΔYA-B , y el signo de la segunda letradel RboA-B en el caso ΔXA-B. Todo esto se debe a que el Rumbo siempre es unángulo agudo, luego las funciones coseno y seno siempre serían positivas, por loque los signos de las primeras letras antes indicadas le dan la característica de ladirección de la línea, tema tratado cuando se analizó el cuadrante donde se ubicael rumbo de la línea.
  49. 49. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 494.9.1. Aplicaciones de las coordenadas.4.9.1.1. Determinación de superficies utilizando coordenadas.Cuando se conocen las coordenadas bidimensionales del perímetro de unpredio, es posible determinar la superficie del terreno encerrada por dichoperímetro, para ello se utiliza la expresión del determinante alterado, es decir,siguiendo la dirección en el sentido horario (+) o antihorario (-) de los puntos querepresentan el perímetro del predio, se tabulan los datos ordenándolos en formasecuencial, y cuando se llega al último punto del contorno del predio, se repite elprimero, luego se multiplican desde arriba y cruzado obteniendo los productos XiYi+1 y después se calcula también desde arriba y cruzado los productos Xi Yi+1 ,aplicando la expresión en valor absoluto se obtiene lo requerido:Superficie = 1/2 )1111(121 YnXiYniiXXninYiYiX ++∑−=−∑=+−Para el caso de un predio de cuatro puntos el determinante alterado quedaríatabulado de la siguiente manera:Y1 X1Y2 X2Superficie=1/2 Y3 X3 = ½⏐(Y1X2 + Y2X3 + Y3X4 +Y4X1) – (X1Y2 + X2Y3 + X3Y4 + X4Y1)⏐Y4 X4Y1 X1Observaciones:1. El valor absoluto del determinante alterado es para preservar el valor positivodel cálculo de la superficie, dado que, cuando se ordena o tabula el determinante
  50. 50. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 50en la dirección contraria a los punteros del reloj, las superficies dan valoresnegativos.2. El cálculo de superficie se realiza en la proyección horizontal del plano (Y,X) o(X,Y), sin embargo en el caso de la ingeniería agrícola generalmente se requiereobtener el cálculo de la superficie de laderas de cerros, es decir, la superficie delplano inclinado, para ello se sugiere obtenerlo de la siguiente manera:PV: Plano Vertical.PH: Plano Horizontal.PI: Plano inclinado.α : ángulo de pendiente delterreno, el cual puede medirsecon el eclímetro de una brújula.Superficie PI ≈ Superficie PH/ CosαSuperficie PH =1/2 )141141(14241 YXiYiiXXniYiYiX ++∑−=−∑==+−Es evidente que la expresión propuesta se cumple para planos inclinadosperfectos, y para ángulos de pendientes uniformes, situaciones que en la realidadno suelen ocurrir, pero que pueden aproximarse a ella.4.9.1.2. Replanteo de puntos, ejes, y arcos a través de coordenadas.Una vez realizado el levantamiento y obtenido el plano topográfico, vienegeneralmente la etapa del diseño de algún proyecto, el cual involucra una serie deelementos geométricos coordenados tales como puntos, ejes, curvas y arcos quepueden representar diversos diseños de ingeniería, entre ellos ejes de galerías,caminos, canales, principios o fin de curvas, esquinas de edificios, centro depiques, etc. Los cuales deben materializarse en el terreno, para ello se recurre alas coordenadas de los puntos estaciones desde los cuales se realizó ellevantamiento, o a la creación de nuevos puntos coordenados.En rigor es necesario, tener una base topográfica desde la cual se puedainstalar el instrumento en uno de los extremos de la base y se cala u orienta el
  51. 51. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 51instrumento hacia el otro extremo de la base, se mide el ángulo horizontal horarioΩ Estación- Pto. Replanteo y la distancia DH Estación- Pto. Replanteo , se demarca en el terreno através de estacas los puntos en terreno, se unen los puntos y se originan los ejes;las curvas en superficie se replantean con ángulos de deflexiones y cuerdas que ala vez van generando los respectivos arcos, los cuales a través de estacas tambiénse van materializando. La situación se complica un poco en el subsuelo donde hayque realizar apertura del subsuelo por medio de la perforación y tronadura, paramayores detalles se sugiere revisar los ejercicios resueltos del apunte LaTopografía y sus Aplicaciones en los Laboreos subterráneos del suscrito, elcual se encuentra disponible en la plataforma moodle del Departamento deIngeniería de Minas: www.depminasuls.cl/moodleObtención de elementos de replanteo:DH Estación- Pto. Replanteo = ((XPto Replanteo – X Estación)2+ (YPto Replanteo – Y Estación)2)(1/2)Si el Az Estación- Pto. Replanteo < AzBase ⇒ Ω (+) “ángulo horario sería”:Ω Estación- Pto. Replanteo = 4R- (AzBase - Az Estación- Pto. Replanteo)Si el Az Estación- Pto. Replanteo > AzBase ⇒ Ω (+) “ángulo horario sería”:Ω Estación- Pto. Replanteo = Az Estación- Pto. Replanteo - AzBase
  52. 52. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 525. Métodos de levantamientos topográficos.Con el avance de la tecnología han surgido también nuevas metodologías pararealizar levantamientos topográficos, como es el caso de la topografía satelital, eneste capítulo se expondrán principalmente los métodos mas clásicos de mediciónen terreno, los cuales son aplicables a un sinnúmero de áreas y actividades de laingeniería.5.1. La radiación.Es un método topográfico que consiste en instalarse en uno de los puntos decoordenadas conocidas de una base topográfica, o sobre un punto de coordenadasconocidas (A), y orientándose por el otro punto de la base (B) o de un punto dedirección conocida (B), se mide la distancia horizontal DHA-P, entre el puntoestación (A) y el punto observado (P) y además se mide el ángulo horizontalhorario θA-P entre las líneas.Para la medición de distancia se puede utilizar teodolito con mira, teodolitocon cinta de acero, distanciómetro o estación total con jalón y prismas.5.1.1. Radiación a partir de una base topográfica.XP = XA + ΔXA-PYP = YA + Δ YA-PZP = ZA + DNA-P(XP, YP, ZP): coordenadas totales de P.ΔXA-P = DH A-P Sin AZA-PΔYA-P = DH A-P Cos AZA-PDNA-P = hi A + H A-P + 6.66 108DiA-P2- hjP(ΔXA-P, ΔYA-P, DNA-P): coord. parciales A-P.Figura 25 a: Radiación desde una base topográfica.Δ : símbolo que representa los puntos trigonométricos de la base topográfica,cuyas coordenadas son conocidas, en este caso el trío de puntos coordenados deA(X,Y,Z) y B(X,Y,Z).Ο : símbolo que representa el vértice al cual se desea conocer las coordenadas (P).ΘA-P : ángulo horizontal horario medido en terreno entre las líneas A-B y A-P.AZA-B= Azimut A-B medido en terreno.AZA-P = Azimut A-P necesario para calcular coordenadas de P.Observación: Cuando se utiliza un teodolito o taquímetro repetidor, debeverificarse la orientación (cero-cero) cada una cierta cantidad de puntoslevantados, aceptándose como tolerancia máxima la precisión del equipo demedición.
  53. 53. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 535.1.2. Radiación a partir de un punto con coordenadas y direcciónconocida.XP = XA + Δ XA-PYP = YA + ΔYA-PZP = ZA + DNA-P(XP, YP, ZP): coordenadas totales de P.Δ XA-P = DH A-P Sin AZA-PΔ YA-P = DH A-P Cos AZA-PDNA-P = hi A + H A-P + 6.66 108DiA-P2- hjP(Δ XA-P, Δ YA-P, DNA-P): coord. parciales A-P.Figura 25 b: Radiación desde un punto con coordenadas y dirección conocida.Δ : símbolo que representa un punto trigonométrico cuyas coordenadas sonconocidas, en este caso representa al trío de puntos coordenados de A(X,Y,Z).Ο : símbolo que representa al vértice de orientación (B) y al punto al cual se deseaconocer las coordenadas (P).ΘA-P : ángulo horizontal horario medido en terreno entre las líneas A-B y A-P.AZA-B= Azimut A-B medido en terreno.AZA-P = Azimut A-P necesario para calcular coordenadas de P.5.2 La intersección⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧InversaiónTrilateraciónTriangulacDirecta.2.2.1.15.2.1.1 La triangulación.La triangulación topográfica, por su precisión, ha sido uno de los métodosclásicos más usados en el levantamiento de coordenadas planimétricas de vérticesubicados a distancias kilométricas; dichos vértices sirven a su vez para ligardiversos trabajos topográficos.Este método, consiste básicamente en que a partir de una basetopográfica A-B conocida, se puede determinar la posición de un punto C, para ellola solución consiste en instalarse con un teodolito en las estaciones topográficasA, B y C y se miden por reiteración los ángulos horizontales interiores γβα y, ,además los ángulos verticales A-C, A-B, B-A, B-C, C-A, C-B, las alturasinstrumentales hiA, hiB, hiC , los hilos medios hmA, hmB y hmC.
  54. 54. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 54Δ : Base topográfica de coordenadas conocidas, porlo que se conocen implícitamente los azimutesAzA-B, AzB-A y la distancia horizontal DHA-B=DHB-A = C.Ο : Estación creada para determinar su posición.α , β ,γ : Angulos horizontales horarios promediosC-A-B, A-B-C y B-C-A respectivamente, resultantesde una serie de reiteraciones, en el caso detrabajos de 3erorden geodésico, es necesario medircuatro reiteraciones por cada ángulo.dα ,d β , dγ : desviación estándar de los valoresmás probables, de los ángulos respectivos γβα ,, .dα ,d β , dγ ≤ ± 0,0017g, para trabajos de 3erorden geodésico.Figura 26: Triangulación desde una base topográfica conocida.Condición angular de una triangulación.Teoría : α + β + γ = 2R R= 100gsistema centesimal.Práctica: α + β + γ = 2R + ε∠ R = 90º sistema sexagesimal.ε∠ : error de cierre angular obtenido.Obs. Para trabajos geodésicos de 3erorden el ε∠ Admisible ≤ ± 0,0030g.Si el ε∠ ≤ ε∠ Admisible ⇒ compensación εi = ± |ε∠ |/3α’= α + εi , si ε∠ > 0 ⇒ εi (-), si ε∠ < 0 ⇒ εi (+)β’ = β + εiγ’ = γ + εiCálculo de lados de una triangulación.sinγ’/c = sinα’/a = sin β’/b , α’,β’, γ’: ángulos horizontales ajustados.DHA-B = c “base conocida”DHB-C = a = sinα’/ sinγ’/c DHA-C = b = sin β’/ sinγ’/cCálculo de coordenadas de C (desde la estación A).XC = XA + ΔXA-C= XA + DHA-C sinAzA-C AzA-C = AzA-B - α’YC = YA + ΔYA-C = YA + DHA-C cosAzA-CZC = ZA + DNA-C= ZA + hiA + HA-C +6.66/108DiA-C2- hmCHA-C = DHA-C tg α = DHA-C/tgZ = - DHA-C/tgN , α, Z, N: ángulos verticales referidosal horizonte, al zenit y al nadir respectivamente.DiA-C= DHA-C/cosα = DHA-C/sinZ= DHA-C/sinN, DHA-C = b “Distancia Horizontal A-C”.
  55. 55. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 55Cálculo de coordenadas de C (desde la estación B).X’C = XB + ΔXB-C= XB + DHB-C sinAzB-C AzB-C = AzB-A + β’Y’C = YB + ΔYB-C = YB + DHB-C cosAzB-CZ’C = ZB + DNB-C= ZB + hiB + HB-C +6.66/108DiB-C2- hmCHB-C = DHB-C tg α = DHB-C/tgZ = - DHB-C/tgN , α, Z, N: ángulos verticales referidosal horizonte, al zenit y al nadir respectivamente.DiB-C= DHB-C/cosα = DHB-C/sinZ= DHB-C/sinN, DHB-C = a “Distancia Horizontal B-C”.Coordenadas definitivas de C.XC = (XC + X’C)/2YC = (YC + Y’C )/2ZC = (ZC +Z’C )/2Observaciones:1. Para triangulaciones de 3erorden geodésico los ángulos horizontalesinteriores γβα y, se miden c/u con cuatro reiteraciones.2. Los ángulos verticales referidos al α, Z y N, al horizonte, al zenit y al nadirrespectivamente se miden con tres reiteraciones para trabajos geodésicos de 3erorden, y el error de índice tolerable es ε∠ Admisible ≤ ± 0,0050g.3. De los métodos clásicos es el de mayor precisión y el de menor costo.5.2.1.2 La trilateración.Δ: Base topográfica de coordenadas conocidas, dondese conocen implícitamente los azimutes AzA-B, AzB-A yla distancia horizontal DHA-B= DHB-A = C.Ο : Estación creada para determinar su posición.DHB-C = DHC-B = a (se mide con instrumental electrónicode distancia en forma recíproca).DHA-C = DHC-A = b (se mide con instrumental electrónicode distancia en forma recíproca).Figura 27: Trilateración desde una base topográfica conocida.El surgimiento del método topográfico conocido como trilateración se iniciacon la aparición de una amplia gama de distanciómetros electrónicos y deestaciones totales, las operaciones consisten en medir las longitudes de los
  56. 56. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 56lados de los triángulos, para determinar con ellos por trigonometría los valores desus ángulos, es decir, el proceso inverso que se utiliza en la triangulación.La medición de los lados de los triángulos debe hacerse en forma recíproca ycon a lo menos cuatro mediciones en ambas direcciones. Las mediciones linealesdeben corregirse por presión y por temperatura, ingresándose además laconstante de los prismas, en 0,000 m en el lado de afuera o plano del portaprisma(of set) o en 0,030 m en el lado interior del portaprisma (in).Las operaciones en terreno consisten en instalarse en las tres estaciones A,By C con el distanciómetro o con una estación total, en los extremos opuestos seubican los prismas reflectores, y se miden recíprocamente las distancias A-B, A-C,B-A, B-C, C-B y C-A, además se deben medir los ángulos verticales con tresreiteraciones c/u (para lograr trabajos geodésicos entre el 3ery 4º orden) en lasdirecciones A-C, A-B, B-A, B-C, C-A y C-B, las alturas instrumentales hiA, hiB, hiC, asícomo también las alturas de jalón hjA, hjB y hjC..Cálculo de los ángulos α, β y γ de una trilateración.a2= b2+ c2– 2bc cosα ⇒ α = Arcos (b2+ c2- a2)/2bc)b2= a2+ c2– 2ac cosβ ⇒ β = Arcos (a2+ c2- b2)/2ac)c2= a2+ b2– 2ab cosγ ⇒ γ = Arcos (a2+ b2- c2)/2ab)Condición angular y cálculo de coordenadas de una trilateración.Idéntico a la triangulación, ver método de la triangulación en 5.2.1.1.Observaciones:Por el costo que significan las operaciones topográficas es el método menosutilizado, además de los costos de los materiales accesorios como los prismasreflectantes y el requerimiento de uso de radio de comunicaciones dada lasdistancias kilométricas entre estaciones.5.2.2 Intersección inversa o problema de la carta (Pothenot).La intersección inversa consiste en que a partir de tres puntos decoordenadas conocidas, un operador se puede instalar con teodolito sobre unaestación creada P y se miden los ángulos horizontales α’ y β, la altura instrumentalhiP, los hilos medios hmA, hmB y hmC, los ángulos verticales P-A, P-B o P-C yobtener la posición de la estación de instalación P.
  57. 57. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 57Δ : Vértice con coordenadas conocidas.Ο : Vértice sin coordenadas.∠ APB = α ’ , ∠ BPC = βAzimut B-A – Azimut B-C = θ = ∠ BCA∠ BAP = X , ∠ PCB = Y∠ BCP = Ω = 2R – ( β + Y)DHA-B = DHB-A = a , DHB-C = DHC-B = bDHB-P = DHP-B = dAzB-P = AzB-C + Ω , AzP-B = AzB-P – 2RFigura 28: Intersección inversa o problema de la carta.De la figura ABCP se puede obtener:i)∑==∠41intnieriores i = 2R(n – 2) = 4R, (n=4)i) x + θ + y + β + α’ = 4R, R= 100go R= 90ºi) x+y = 4R – (α’ + β + θ), si k= 4R – (α’ + β + θ)1) x = k- yDe la figura 1, triángulo ABP se puede obtener:sinα’/a = sinx/d ⇒ d= a sinx/sinα’De la figura 2, triángulo BCP se puede obtener:sinβ/b = siny/d’ ⇒ d’= b siny/sinβIgualando d = d’ ⇒ a sinx/sinα’ = b siny/sinβ2) sinx = b sinα’ siny/a sinβ1) x = k- yComo 1ª solución con las expresiones 1) y 2) se puede obtener la soluciónnumérica de una ecuación, utilizando la iteración por el método de Newton,obteniendo los valores angulares de x e y.
  58. 58. UNIVERSIDAD DE LA SERENADEPARTAMENTO INGENIERÍA DE MINAS Topografía para IngenieríaWaldo Valencia Cuevas – Académico 58Como 2ª solución se puede trabajar de la siguiente manera:1) x = k- y / sin (aplicando la función seno a la expresión 1).sinx = sin(k-y) = sink cosy – siny cosk1’) sinx = sink cosy – siny cosk2) sinx = b sinα’ siny/a sinβsink cosy – siny cosk = b sinα’ siny/a sinβsink cosy = siny (cosk+ b sinα’/a sin β)2’) tgy = sink/( cosk+ b sinα’/a sin β) ⇒ y = Arctg(sink/( cosk+ b sinα’/a sin β))El valor de y se debe interpretar para indicar en que cuadrante se encuentra elángulo buscado y, luego se reemplaza en 1) y se obtiene x.Cálculo de coordenadas de la estación P.XB = XP + ΔXP-BYB = YP + ΔYP-B Coordenadas totales del vértice de posición conocida B.ZB = ZP + DNP-BPto. Pto.Observado EstaciónXP = XB - ΔXP-BYP = YB - ΔYP-B Coordenadas totales de la estación de instalación P.ZP = ZB - DNP-BΔXP-B = DHP-B sin AzP-B =⎯d sin AzP-B ⎯d = (d+d’)/2ΔYP-B = DHP-B cos AzP-B =⎯d cos AzP-B Coordenadas parciales desde P-B.DNP-B = hiP + HP-B + 6.66/108Di2P-B - hjBHP-B = DHP-B tgα = DHP-B / tgZ = - DHP-B / tgN (α, Z, N ángulos verticales alhorizonte, zenit y nadir respectivamente).DiP-B = DHP-B/cosα = DHP-B/sinZ = DHP-B/sinNAzP-B = AzB-P – 2R , AzB-P = AzB-C + Ω , Ω= 2R – ( β + Y)

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