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Estática                                                                      Maurício R.L.




                ESTÁTICA
                                             Autor:
                                      Maurício Ruv Lemes
                      (Doutor em Ciência pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA)
                                      (Professor IDESA desde 1989)




1 – INTRODUÇÃO
A Estática é a parte da Física que estuda corpos em equilíbrio, como por exemplo: pontes,
edifícios, torres, etc. Para tal estudo teremos que nos preocupar com as condições que
garantem, por exemplo, que uma ponte não se mantenha estática mesmo que tenha que
suportar inúmeros carros que a atravessam. Qual é a “mágica” dessas estruturas que se
mantém num equilíbrio fantátisco. Por isso mesmo que começamos a desvendar o mundo
maravilhoso da Estática. Dividiremos esse assunto em três seções: (a) Para um corpo
permanecer em equilíbrio estático ele não pode transladar – Resultante das Forças nula; (b) o
corpo também não pode rotacionar – Soma dos momentos deve ser nula; (c) como essas
condições são aplicadas na prática.




2 – FORÇAS       SOBRE UM CORPO EM EQUILÍBRIO



                                                      1
Estática                                                       Maurício R.L.



   Se observarmos o prédio da CTI em Taubaté, notamos
   que ele está em equilíbrio estático, ou seja, está parado
   em relação ao solo. Do ponto de vista Físico o que
   garante isto? Quais são as Forças que agem sobre o
   prédio?

   Ao fazermos uma análise superficial existem as
   seguintes forças: Peso (a massa da estrutura sofrendo
   ação da gravidade); Normal (reação que o chão realiza
   sobre a estrutura do prédio).

   Para esse corpo estar em equilíbrio, com certeza, as
   duas forças devem ser iguais. Já que se uma fosse
   maior que a outra o prédio estaria subindo ou
   afundando. Evidentemente que esta é uma análise
   superficial.

Vamos analisar uma segunda situação e então tira uma conclusão substancial dos dois casos.

Supondo agora um homem empurrando uma caixa que não sai do
lugar. Por que a caixa não sai do lugar? Quais as Forças que agem
neste momento contribuindo para que a caixa não sai do lugar? A
solução deve ser que a Força que o homem faz deve ser igual à
Força de Atrito entre a caixa e o chão.


Após observarmos as duas situações notamos que existem algo em comum entre elas. Na
primeira a força para cima (Normal) deve ser igual a força para baixo (Peso) e na segunda a
força para esquerda (Atrito) deve ser igual a força para a direita (Empurrão do homem).
Lembrando o fato de Força ser grandeza vetorial, podemos dizer que para garantir que um
corpo não translade a soma vetorial das forças deve ser nula.
                                        
                                      F  0
Vejamos alguns casos de Forças aplicadas, primeiramente, em pontos materiais.

(a) Um ponto material com quatro forças sobre ele:




Aplicando que a soma das Forças na horizontal e na vertical devem ser nulas temos que:
                                     F1 = F3 e F4 = F2,


                                               2
Estática                                                         Maurício R.L.

                                          ou ainda:
                                                  
                               F1  F3  0 e F2  F4  0

(b) um ponto material preso por dois cabos:




Temos uma esfera equilibrada por dois fios, sabemos que a esfera está parada. Como resolver
este problema?

1> Analisar as forças que agem sobre a esfera.




Temos a força Peso e duas Trações, uma em cada cabo.
                                         
2> Impor as condições de Equilíbrio:   F  0        (no eixo x e y)




Temos um problema, a Tração T1 não está sobre o eixo.




3> No caso de Forças fora do eixo devemos decompô-las sobre os eixos:



                                                 3
Estática                                                        Maurício R.L.




4> Proceder como se não existisse T1 :

Logo: para o eixo x  T1x  T2 ;
       Para o eixo y T1y  P .
Lembrando que T1x e T1y fazem parte de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é T1, portanto:

                           T1x  T1 . cos  e T1y  T1 .sen

Finalmente podemos escrever que:

                               T1 . cos   T2 para o eixo x;

                                T1 .sen  P para o eixo y;

5> Existem outros métodos para resolver este tipo de problema como, por exemplo, encontrar
um triângulo e aplicar a lei dos senos. O seu professor irá lhe mostrar.

A seguir resolveremos uma lista de exercícios que irão nos ajudar a entender melhor o assunto.


                                         EXERCÍCIOS


1> Determine as trações nas cordas 1 e 2 da figura abaixo (Dado peso do bloco 600 N):




2> Determine as trações nas cordas A e B da figura abaixo (Dado peso do bloco 200 N):




                                              4
Estática                                                      Maurício R.L.




3> Determine as trações nas cordas 1 e 2 da figura abaixo (Dado peso do bloco 400 N):




4> No esquema em equilíbrio determine o peso de B e a tração no fio CD (Dado peso do
bloco A 100 N):




3 – MOMENTO         NUM CORPO EM EQUILÍBRIO

No caso de ponto material, basta garantir que o corpo não translade, estará garantido que o
corpo estará em equilíbrio. No caso de uma barra ou uma ponte (corpos extensos) teremos que
garantir que o corpo não rotacione também. A grandeza física que relaciona força e rotação
num ponto é chamada de momento ou torque. Discutiremos seu cálculo e aplicação nos
próximos parágrafos.

Definimos Momento (M) em relação a um referencial, no caso ponto A, o produto da força
aplicada a um corpo pela distância desta força até o ponto de referência.




                                    MA   F.d
                                             5
Estática                                                             Maurício R.L.



Momento é uma grandeza escalar, como tal, pode ser positiva ou negativa. O sinal segue a
seguinte convenção:

      Caso a Força aplicada fornece uma               Caso a Força aplicada fornece uma
      rotação em relação ao ponto de referência       rotação em relação ao ponto de referência
      no sentido anti-horário, teremos momento        no sentido horário, teremos momento
      positivo:                                       negativo:




                          UNIDADE NO SI:

                                F  Força  Newton (N)
                                d  distância  metro (m)
                           M  momento  Newton x metro (N.m)



            IMPORTANTE:

          Corpo Rígido é aquele em que as posições de suas partículas
          (macroscópicas) não se alteram em relação a um referencial
          fixado no próprio corpo.


Para garantirmos que um corpo permanece em equilíbrio estático teremos que impor a
condição que não permita rotação de nenhuma força aplicada, ou seja:



                                     M           A         0
                                         EXERCÍCIOS

5> Calcule o momento resultante em relação ao ponto O, em cada um dos itens abaixo:

(a)                                                   (b)




                                                  6
Estática                                                       Maurício R.L.

(c)




6> Uma barra (20 m) de massa 200 kg é apoiada nas suas extremidades por suportes A e B.
Uma pessoa começa a andar pela barra. Sabendo que a pessoa possui massa de 55 kg,
determine as forças nos suportes A e B para manter a barra em equilíbrio nas seguintes
situações:
(a) a pessoa está na extremidade A;
(b) a pessoa está na extremidade B;
(c) a pessoa está no centro da barra;
(d) a pessoa está a 5 m de uma das extremidades.


                                         EXERCÍCIOS
                                      COMPLEMENTARES

(UECE) 7> Duas forças concorrentes, ortogonais, de módulos 6 N e 8 N, respectivamente,
admitem resultante de intensidade:
(a) 14 N;     (b) 10 N;       (c) 7 N;  (d) 2 N;      (e) NRA.

 (UFSC) 8> É dado o sistema em equilíbrio, e:
sen 37o = 0,60 = cos 53o
sen 53o = 0,80 = cos 37o
Sabendo-se que a tração na corda 1 é de 300 N, a tração na corda 2 é:
(a) 500 kg;    (b) 400 N;    (c) 4 000 N; (d) 400 J;       (e) 4 N.




(Mack-SP) 9> Na situação abaixo, os fios e a mola M são ideais. O corpo suspenso está em
equilíbrio e a mola está deformada de 10 cm. Adote g = 110 m/s2. A constante elástica da mola
M é de:
(a) 4 x 10-2 N/m
(b) 4 x 10-1 N/m
(c) 4 x 10 N/m
(d) 4 x 102 N/m
(e) 4 x 103 N/m




                                              7
Estática                                                                  Maurício R.L.



(PUC-PR) 10> A barra homogênea e uniforme mostrada abaixo tem peso igual a 2000 N está
em equilíbrio sobre dois apoios. A Força de reação no apoio B vale:
(a) 2000 N; (b) 1000 N; (c) 1500 N; (d) 1250 N; (e) 2250 N.




(UFRGS-RS) 11> Uma barra homogênea de Peso P e comprimento 4,0 m é articulada no
ponto O, conforme a figura. Para se manter a barra em equilíbrio, é necessário exercer uma
força F = 80 N na extremidade livre. O peso da barra, em N, será:
(a) 20;       (b) 40;       (c) 60;         (d) 100;       (e) 160.




(Fuvest-SP) 12> Duas pessoas carregam um bloco de concreto que pesa 900 N, suspenso a
uma barra AB de peso desprezível, de 1,5 m de comprimento, cujas extremidades apóiam-se
nos respectivos ombros. O bloco está a 0,5 m da extremidade A. A força aplicada pela
extremidade B ao ombro do carregador será de:
(a) 1800 N; (b) 900 N;     (c) 600 N;     (d) 450 N;  (e) 300 N.


Enem 98 - 13> Um portão está fixo em um muro
por duas dobradiças A e B, conforme mostra a                          A
figura, sendo P o peso do portão.

                                                                      B


Caso um garoto se dependure no portão pela extremidade livre, e supondo que as reações máximas suportadas
pelas dobradiças sejam iguais,

(A)   é mais provável que a dobradiça A arrebente primeiro que a B.
(B)   é mais provável que a dobradiça B arrebente primeiro que a A.
(C)   seguramente as dobradiças A e B arrebentarão simultaneamente.
(D)   nenhuma delas sofrerá qualquer esforço.
(E)   o portão quebraria ao meio, ou nada sofreria.




                                                     8

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  • 1. Estática Maurício R.L. ESTÁTICA Autor: Maurício Ruv Lemes (Doutor em Ciência pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA) (Professor IDESA desde 1989) 1 – INTRODUÇÃO A Estática é a parte da Física que estuda corpos em equilíbrio, como por exemplo: pontes, edifícios, torres, etc. Para tal estudo teremos que nos preocupar com as condições que garantem, por exemplo, que uma ponte não se mantenha estática mesmo que tenha que suportar inúmeros carros que a atravessam. Qual é a “mágica” dessas estruturas que se mantém num equilíbrio fantátisco. Por isso mesmo que começamos a desvendar o mundo maravilhoso da Estática. Dividiremos esse assunto em três seções: (a) Para um corpo permanecer em equilíbrio estático ele não pode transladar – Resultante das Forças nula; (b) o corpo também não pode rotacionar – Soma dos momentos deve ser nula; (c) como essas condições são aplicadas na prática. 2 – FORÇAS SOBRE UM CORPO EM EQUILÍBRIO 1
  • 2. Estática Maurício R.L. Se observarmos o prédio da CTI em Taubaté, notamos que ele está em equilíbrio estático, ou seja, está parado em relação ao solo. Do ponto de vista Físico o que garante isto? Quais são as Forças que agem sobre o prédio? Ao fazermos uma análise superficial existem as seguintes forças: Peso (a massa da estrutura sofrendo ação da gravidade); Normal (reação que o chão realiza sobre a estrutura do prédio). Para esse corpo estar em equilíbrio, com certeza, as duas forças devem ser iguais. Já que se uma fosse maior que a outra o prédio estaria subindo ou afundando. Evidentemente que esta é uma análise superficial. Vamos analisar uma segunda situação e então tira uma conclusão substancial dos dois casos. Supondo agora um homem empurrando uma caixa que não sai do lugar. Por que a caixa não sai do lugar? Quais as Forças que agem neste momento contribuindo para que a caixa não sai do lugar? A solução deve ser que a Força que o homem faz deve ser igual à Força de Atrito entre a caixa e o chão. Após observarmos as duas situações notamos que existem algo em comum entre elas. Na primeira a força para cima (Normal) deve ser igual a força para baixo (Peso) e na segunda a força para esquerda (Atrito) deve ser igual a força para a direita (Empurrão do homem). Lembrando o fato de Força ser grandeza vetorial, podemos dizer que para garantir que um corpo não translade a soma vetorial das forças deve ser nula.   F  0 Vejamos alguns casos de Forças aplicadas, primeiramente, em pontos materiais. (a) Um ponto material com quatro forças sobre ele: Aplicando que a soma das Forças na horizontal e na vertical devem ser nulas temos que: F1 = F3 e F4 = F2, 2
  • 3. Estática Maurício R.L. ou ainda:       F1  F3  0 e F2  F4  0 (b) um ponto material preso por dois cabos: Temos uma esfera equilibrada por dois fios, sabemos que a esfera está parada. Como resolver este problema? 1> Analisar as forças que agem sobre a esfera. Temos a força Peso e duas Trações, uma em cada cabo.   2> Impor as condições de Equilíbrio: F  0 (no eixo x e y) Temos um problema, a Tração T1 não está sobre o eixo. 3> No caso de Forças fora do eixo devemos decompô-las sobre os eixos: 3
  • 4. Estática Maurício R.L. 4> Proceder como se não existisse T1 : Logo: para o eixo x T1x  T2 ; Para o eixo y T1y  P . Lembrando que T1x e T1y fazem parte de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é T1, portanto: T1x  T1 . cos  e T1y  T1 .sen Finalmente podemos escrever que: T1 . cos   T2 para o eixo x; T1 .sen  P para o eixo y; 5> Existem outros métodos para resolver este tipo de problema como, por exemplo, encontrar um triângulo e aplicar a lei dos senos. O seu professor irá lhe mostrar. A seguir resolveremos uma lista de exercícios que irão nos ajudar a entender melhor o assunto. EXERCÍCIOS 1> Determine as trações nas cordas 1 e 2 da figura abaixo (Dado peso do bloco 600 N): 2> Determine as trações nas cordas A e B da figura abaixo (Dado peso do bloco 200 N): 4
  • 5. Estática Maurício R.L. 3> Determine as trações nas cordas 1 e 2 da figura abaixo (Dado peso do bloco 400 N): 4> No esquema em equilíbrio determine o peso de B e a tração no fio CD (Dado peso do bloco A 100 N): 3 – MOMENTO NUM CORPO EM EQUILÍBRIO No caso de ponto material, basta garantir que o corpo não translade, estará garantido que o corpo estará em equilíbrio. No caso de uma barra ou uma ponte (corpos extensos) teremos que garantir que o corpo não rotacione também. A grandeza física que relaciona força e rotação num ponto é chamada de momento ou torque. Discutiremos seu cálculo e aplicação nos próximos parágrafos. Definimos Momento (M) em relação a um referencial, no caso ponto A, o produto da força aplicada a um corpo pela distância desta força até o ponto de referência. MA   F.d 5
  • 6. Estática Maurício R.L. Momento é uma grandeza escalar, como tal, pode ser positiva ou negativa. O sinal segue a seguinte convenção: Caso a Força aplicada fornece uma Caso a Força aplicada fornece uma rotação em relação ao ponto de referência rotação em relação ao ponto de referência no sentido anti-horário, teremos momento no sentido horário, teremos momento positivo: negativo: UNIDADE NO SI: F  Força  Newton (N) d  distância  metro (m) M  momento  Newton x metro (N.m) IMPORTANTE: Corpo Rígido é aquele em que as posições de suas partículas (macroscópicas) não se alteram em relação a um referencial fixado no próprio corpo. Para garantirmos que um corpo permanece em equilíbrio estático teremos que impor a condição que não permita rotação de nenhuma força aplicada, ou seja: M A 0 EXERCÍCIOS 5> Calcule o momento resultante em relação ao ponto O, em cada um dos itens abaixo: (a) (b) 6
  • 7. Estática Maurício R.L. (c) 6> Uma barra (20 m) de massa 200 kg é apoiada nas suas extremidades por suportes A e B. Uma pessoa começa a andar pela barra. Sabendo que a pessoa possui massa de 55 kg, determine as forças nos suportes A e B para manter a barra em equilíbrio nas seguintes situações: (a) a pessoa está na extremidade A; (b) a pessoa está na extremidade B; (c) a pessoa está no centro da barra; (d) a pessoa está a 5 m de uma das extremidades. EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (UECE) 7> Duas forças concorrentes, ortogonais, de módulos 6 N e 8 N, respectivamente, admitem resultante de intensidade: (a) 14 N; (b) 10 N; (c) 7 N; (d) 2 N; (e) NRA. (UFSC) 8> É dado o sistema em equilíbrio, e: sen 37o = 0,60 = cos 53o sen 53o = 0,80 = cos 37o Sabendo-se que a tração na corda 1 é de 300 N, a tração na corda 2 é: (a) 500 kg; (b) 400 N; (c) 4 000 N; (d) 400 J; (e) 4 N. (Mack-SP) 9> Na situação abaixo, os fios e a mola M são ideais. O corpo suspenso está em equilíbrio e a mola está deformada de 10 cm. Adote g = 110 m/s2. A constante elástica da mola M é de: (a) 4 x 10-2 N/m (b) 4 x 10-1 N/m (c) 4 x 10 N/m (d) 4 x 102 N/m (e) 4 x 103 N/m 7
  • 8. Estática Maurício R.L. (PUC-PR) 10> A barra homogênea e uniforme mostrada abaixo tem peso igual a 2000 N está em equilíbrio sobre dois apoios. A Força de reação no apoio B vale: (a) 2000 N; (b) 1000 N; (c) 1500 N; (d) 1250 N; (e) 2250 N. (UFRGS-RS) 11> Uma barra homogênea de Peso P e comprimento 4,0 m é articulada no ponto O, conforme a figura. Para se manter a barra em equilíbrio, é necessário exercer uma força F = 80 N na extremidade livre. O peso da barra, em N, será: (a) 20; (b) 40; (c) 60; (d) 100; (e) 160. (Fuvest-SP) 12> Duas pessoas carregam um bloco de concreto que pesa 900 N, suspenso a uma barra AB de peso desprezível, de 1,5 m de comprimento, cujas extremidades apóiam-se nos respectivos ombros. O bloco está a 0,5 m da extremidade A. A força aplicada pela extremidade B ao ombro do carregador será de: (a) 1800 N; (b) 900 N; (c) 600 N; (d) 450 N; (e) 300 N. Enem 98 - 13> Um portão está fixo em um muro por duas dobradiças A e B, conforme mostra a A figura, sendo P o peso do portão. B Caso um garoto se dependure no portão pela extremidade livre, e supondo que as reações máximas suportadas pelas dobradiças sejam iguais, (A) é mais provável que a dobradiça A arrebente primeiro que a B. (B) é mais provável que a dobradiça B arrebente primeiro que a A. (C) seguramente as dobradiças A e B arrebentarão simultaneamente. (D) nenhuma delas sofrerá qualquer esforço. (E) o portão quebraria ao meio, ou nada sofreria. 8