Razón Áurea en el Pentágono

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Notas sobre el número Phi y la geometría del pentágono

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Razón Áurea en el Pentágono

  1. 1. Algunas anotacionesRulo Kobashikawa<akobashikawa@gmail.com>Razón Áurea en elPentágono
  2. 2. Razón ÁureaEs una proporción talque el menor es al mayorcomo el mayor es al totala(xa - a) / a = a / xaxa - axa
  3. 3. Razón ÁureaResolviendo la ecuación:x2- x - 1 = 0x = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) = φa(φa - a) / a = a / φaφa - aφa
  4. 4. φφ (phi) es llamado el número áureoφ = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) ≈ 1.6181(φ - 1) / 1 = 1 / φφ - 1φ
  5. 5. 1/φ1/φ (la inversa de phi) es llamada la secciónáurea1/φ = (√5 - 1) / 2 = 2 / (√5 + 1) ≈ 0.6181/φ(1 - 1/φ) / (1/φ) = (1/φ) / 11 - 1/φ1
  6. 6. 1/φφ y su inversa se diferencian en 11/φ = φ - 1 = 0.6181/φφ - 11 - 1/φ2 - φ1 11/φφ - 1φ
  7. 7. El simbolismo de φEl menor es al mayorcomo el mayor es altodo." Así como abajo esarriba."" Así en la tierracomo en el cielo."
  8. 8. φ en la serie de FibonacciCada término de la serie es la suma de los dosanterioresF: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...Se observa que la relación entre un número ysu anterior va tendiendo hacia φ mientrasoscilar: ..., 1, 2, 1.5, 1.67, 1.60, 1.625, 1.615, 1.619, 1.618, ...
  9. 9. φ en la serie de Fibonaccir = limn→∞( F(n) / F(n-1) )= limn→∞( [ F(n-1) + F(n-2) ] / F(n-1) )= limn→∞( F(n-1) / F(n-1) ) +limn→∞( F(n-2) / F(n-1) )= limn→∞( F(n-1) / F(n-1) ) +1 / limn→∞( F(n-1) / F(n-2) )= 1 + 1 / r (pues la serie es convergente)entonces:r = (√5 + 1) / 2 = φ
  10. 10. Algunas equivalencias de φ● 1/φ = φ - 1● 1 - 1/φ = 2 - φ = (φ - 1)2● φ = 1 + 1/φ = (φ + 1) (φ - 1)● φ2= φ + 1, φ2- 1 = φ● φ3= (φ + 1) / (φ - 1)● φn= φn-1/ (φ - 1)● φ = limn→∞( F(n) / F(n-1) )● √5 = 2φ - 1 = 2/φ +1
  11. 11. Fracción continua de φφ = 1 + 1/φ= 1 + 1/(1 + 1/φ)= 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(...)))))φ ≈ 1 + 1 = 2≈ 1 + 1/2 = (1+2)/2 = 3/2≈ 1 + 2/3 = (2+3)/3 = 5/3≈ 1 + 3/5 = (3+5)/5 = 8/5≈ 1 + F(n-1)/F(n)
  12. 12. Trazando 1/φLa idea es conseguir un segmentode longitud √5 / 2 y luego restarle1/2.Si la altura mide 1, un pieperpendicular de 1/2determina un triángulo rectángulocon hipotenusa √5 / 2Proyectando la hipotenusa sobre elpie, se le puede restar 1/2 paraobtener (√5 - 1) / 2 = 1 / φEl área del rectángulo también es 1/ φ.
  13. 13. Trazando φLa idea es conseguir unsegmento de longitud √5 / 2 yluego restarle 1/2.Si la altura mide 1, un pieperpendicular de 1/2determina un triángulorectángulo con hipotenusa √5/ 2Proyectando la hipotenusasobre el pie, se le puedeagregar 1/2 para obtener (√5+ 1) / 2 = φEl área del rectángulotambién es φ.
  14. 14. φ en el pentágonoLa razón áurea está presente en el pentágono.¿Cómo se podría haber hallado eso?
  15. 15. Apotema de un triángulo● OP divide AB en dospartes iguales.● AOP es semejante aCAP● AP = AC/2● Entonces,OP = AO/2a = r/2
  16. 16. Apotema de un cuadrado● OP divide AB en dospartes iguales.● OPA es isósceles● Entonces,OP = AO / √2a = r / √2
  17. 17. Apotema de un pentágono● OP divide AB en dospartes iguales.● QOB es la mitad deOQB● La bisectriz QMdetermina lostriángulos isoscelesOMQ y BQM● QOB es semejante aBQM:r / x = x / (r - x)● Entonces, x = r / φ● ONM es semejante aOPB:a / (r/2) = r / x● Entonces,a = rφ / 2
  18. 18. Apotema de un pentágonoAdemás:● PQ = r - a● Entonces,PQ= r - r/(2φ)= (r/2)(φ - 1) / φ= (r/2) / φ2= x / φ
  19. 19. Triángulos notables
  20. 20. Triángulos notables
  21. 21. φ en el pentágono
  22. 22. Construyendo un pentágonoLa idea esconseguir primeroel lado deldecágono:AD = r/φ.Luego unir doslados de decágonopara obtener ellado delpentágono ED.
  23. 23. Construyendo un pentágonoLuego copiar esalongitud a lo largode lacircunferencia.
  24. 24. ● En el triángulo isósceles de 36°, el que lamedida del ángulo de la base sea el dobleconduce a encontrar φ.● El que φ y su inverso se diferencien en 1conduce a equivalencias interesantes.Me parece que
  25. 25. Enlaces● Wikipedia: Número áureo explica la diferencia entrenúmero áureo (φ) y sección áurea (1/φ)● Geogebra es el programa libre y open source pararealizar construcciones geométricas.● Google Drive Slides permite hacer presentacionescomo esta.
  26. 26. Presentado porRulo Kobashikawaakobashikawa@gmail.com2013/05/15

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