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Algunas anotaciones
Rulo Kobashikawa
<akobashikawa@gmail.com>
Razón Áurea en el
Pentágono
Razón Áurea
Es una proporción tal
que el menor es al mayor
como el mayor es al total
a
(xa - a) / a = a / xa
xa - a
xa
Razón Áurea
Resolviendo la ecuación:
x2
- x - 1 = 0
x = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) = φ
a
(φa - a) / a = a / φa
φa - a
φa
φ
φ (phi) es llamado el número áureo
φ = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) ≈ 1.618
1
(φ - 1) / 1 = 1 / φ
φ - 1
φ
1/φ
1/φ (la inversa de phi) es llamada la sección
áurea
1/φ = (√5 - 1) / 2 = 2 / (√5 + 1) ≈ 0.618
1/φ
(1 - 1/φ) / (1/φ) = (1/φ) / 1
1 - 1/φ
1
1/φ
φ y su inversa se diferencian en 1
1/φ = φ - 1 = 0.618
1/φ
φ - 1
1 - 1/φ
2 - φ
1 1
1/φ
φ - 1
φ
El simbolismo de φ
El menor es al mayor
como el mayor es al
todo.
" Así como abajo es
arriba."
" Así en la tierra
como en el cielo."
φ en la serie de Fibonacci
Cada término de la serie es la suma de los dos
anteriores
F: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Se observa que la relación entre un número y
su anterior va tendiendo hacia φ mientras
oscila
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φ en la serie de Fibonacci
r = limn→∞
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= limn→∞
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= limn→∞
( F(n-1) / F(n-1) ) +
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( F(n-2) / F(n-1) )
= limn→∞
( F(n-1) / F(n-1) ) +
1 / limn→∞
( F(n-1) / F(n-2) )
= 1 + 1 / r (pues la serie es convergente)
entonces:
r = (√5 + 1) / 2 = φ
Algunas equivalencias de φ
● 1/φ = φ - 1
● 1 - 1/φ = 2 - φ = (φ - 1)2
● φ = 1 + 1/φ = (φ + 1) (φ - 1)
● φ2
= φ + 1, φ2
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= φn-1
/ (φ - 1)
● φ = limn→∞
( F(n) / F(n-1) )
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Fracción continua de φ
φ = 1 + 1/φ
= 1 + 1/(1 + 1/φ)
= 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(...)))))
φ ≈ 1 + 1 = 2
≈ 1 + 1/2 = (1+2)/2 = 3/2
≈ 1 + 2/3 = (2+3)/3 = 5/3
≈ 1 + 3/5 = (3+5)/5 = 8/5
≈ 1 + F(n-1)/F(n)
Trazando 1/φ
La idea es conseguir un segmento
de longitud √5 / 2 y luego restarle
1/2.
Si la altura mide 1, un pie
perpendicular de 1/2
determina un triángulo rectángulo
con hipotenusa √5 / 2
Proyectando la hipotenusa sobre el
pie, se le puede restar 1/2 para
obtener (√5 - 1) / 2 = 1 / φ
El área del rectángulo también es 1
/ φ.
Trazando φ
La idea es conseguir un
segmento de longitud √5 / 2 y
luego restarle 1/2.
Si la altura mide 1, un pie
perpendicular de 1/2
determina un triángulo
rectángulo con hipotenusa √5
/ 2
Proyectando la hipotenusa
sobre el pie, se le puede
agregar 1/2 para obtener (√5
+ 1) / 2 = φ
El área del rectángulo
también es φ.
φ en el pentágono
La razón áurea está presente en el pentágono.
¿Cómo se podría haber hallado eso?
Apotema de un triángulo
● OP divide AB en dos
partes iguales.
● AOP es semejante a
CAP
● AP = AC/2
● Entonces,
OP = AO/2
a = r/2
Apotema de un cuadrado
● OP divide AB en dos
partes iguales.
● OPA es isósceles
● Entonces,
OP = AO / √2
a = r / √2
Apotema de un pentágono
● OP divide AB en dos
partes iguales.
● QOB es la mitad de
OQB
● La bisectriz QM
determina los
triángulos isosceles
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● QOB es semejante a
BQM:
r / x = x / (r - x)
● Entonces, x = r / φ
● ONM es semejante a
OPB:
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● Entonces,
a = rφ / 2
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Además:
● PQ = r - a
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PQ
= r - r/(2φ)
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φ en el pentágono
Construyendo un pentágono
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conseguir primero
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decágono:
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para obtener el
lado del
pentágono ED.
Construyendo un pentágono
Luego copiar esa
longitud a lo largo
de la
circunferencia.
● En el triángulo isósceles de 36°, el que la
medida del ángulo de la base sea el doble
conduce a encontrar φ.
● El que φ y su inverso se diferencien en 1
conduce a equivalencias interesantes.
Me parece que
Enlaces
● Wikipedia: Número áureo explica la diferencia entre
número áureo (φ) y sección áurea (1/φ)
● Geogebra es el programa libre y open source para
realizar construcciones geométricas.
● Google Drive Slides permite hacer presentaciones
como esta.
Presentado por
Rulo Kobashikawa
akobashikawa@gmail.com
2013/05/15

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Razón Áurea en el Pentágono y sus Propiedades Matemáticas

  • 2. Razón Áurea Es una proporción tal que el menor es al mayor como el mayor es al total a (xa - a) / a = a / xa xa - a xa
  • 3. Razón Áurea Resolviendo la ecuación: x2 - x - 1 = 0 x = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) = φ a (φa - a) / a = a / φa φa - a φa
  • 4. φ φ (phi) es llamado el número áureo φ = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) ≈ 1.618 1 (φ - 1) / 1 = 1 / φ φ - 1 φ
  • 5. 1/φ 1/φ (la inversa de phi) es llamada la sección áurea 1/φ = (√5 - 1) / 2 = 2 / (√5 + 1) ≈ 0.618 1/φ (1 - 1/φ) / (1/φ) = (1/φ) / 1 1 - 1/φ 1
  • 6. 1/φ φ y su inversa se diferencian en 1 1/φ = φ - 1 = 0.618 1/φ φ - 1 1 - 1/φ 2 - φ 1 1 1/φ φ - 1 φ
  • 7. El simbolismo de φ El menor es al mayor como el mayor es al todo. " Así como abajo es arriba." " Así en la tierra como en el cielo."
  • 8. φ en la serie de Fibonacci Cada término de la serie es la suma de los dos anteriores F: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Se observa que la relación entre un número y su anterior va tendiendo hacia φ mientras oscila r: ..., 1, 2, 1.5, 1.67, 1.60, 1.625, 1.615, 1.619, 1.618, ...
  • 9. φ en la serie de Fibonacci r = limn→∞ ( F(n) / F(n-1) ) = limn→∞ ( [ F(n-1) + F(n-2) ] / F(n-1) ) = limn→∞ ( F(n-1) / F(n-1) ) + limn→∞ ( F(n-2) / F(n-1) ) = limn→∞ ( F(n-1) / F(n-1) ) + 1 / limn→∞ ( F(n-1) / F(n-2) ) = 1 + 1 / r (pues la serie es convergente) entonces: r = (√5 + 1) / 2 = φ
  • 10. Algunas equivalencias de φ ● 1/φ = φ - 1 ● 1 - 1/φ = 2 - φ = (φ - 1)2 ● φ = 1 + 1/φ = (φ + 1) (φ - 1) ● φ2 = φ + 1, φ2 - 1 = φ ● φ3 = (φ + 1) / (φ - 1) ● φn = φn-1 / (φ - 1) ● φ = limn→∞ ( F(n) / F(n-1) ) ● √5 = 2φ - 1 = 2/φ +1
  • 11. Fracción continua de φ φ = 1 + 1/φ = 1 + 1/(1 + 1/φ) = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(...))))) φ ≈ 1 + 1 = 2 ≈ 1 + 1/2 = (1+2)/2 = 3/2 ≈ 1 + 2/3 = (2+3)/3 = 5/3 ≈ 1 + 3/5 = (3+5)/5 = 8/5 ≈ 1 + F(n-1)/F(n)
  • 12. Trazando 1/φ La idea es conseguir un segmento de longitud √5 / 2 y luego restarle 1/2. Si la altura mide 1, un pie perpendicular de 1/2 determina un triángulo rectángulo con hipotenusa √5 / 2 Proyectando la hipotenusa sobre el pie, se le puede restar 1/2 para obtener (√5 - 1) / 2 = 1 / φ El área del rectángulo también es 1 / φ.
  • 13. Trazando φ La idea es conseguir un segmento de longitud √5 / 2 y luego restarle 1/2. Si la altura mide 1, un pie perpendicular de 1/2 determina un triángulo rectángulo con hipotenusa √5 / 2 Proyectando la hipotenusa sobre el pie, se le puede agregar 1/2 para obtener (√5 + 1) / 2 = φ El área del rectángulo también es φ.
  • 14. φ en el pentágono La razón áurea está presente en el pentágono. ¿Cómo se podría haber hallado eso?
  • 15. Apotema de un triángulo ● OP divide AB en dos partes iguales. ● AOP es semejante a CAP ● AP = AC/2 ● Entonces, OP = AO/2 a = r/2
  • 16. Apotema de un cuadrado ● OP divide AB en dos partes iguales. ● OPA es isósceles ● Entonces, OP = AO / √2 a = r / √2
  • 17. Apotema de un pentágono ● OP divide AB en dos partes iguales. ● QOB es la mitad de OQB ● La bisectriz QM determina los triángulos isosceles OMQ y BQM ● QOB es semejante a BQM: r / x = x / (r - x) ● Entonces, x = r / φ ● ONM es semejante a OPB: a / (r/2) = r / x ● Entonces, a = rφ / 2
  • 18. Apotema de un pentágono Además: ● PQ = r - a ● Entonces, PQ = r - r/(2φ) = (r/2)(φ - 1) / φ = (r/2) / φ2 = x / φ
  • 21. φ en el pentágono
  • 22. Construyendo un pentágono La idea es conseguir primero el lado del decágono: AD = r/φ. Luego unir dos lados de decágono para obtener el lado del pentágono ED.
  • 23. Construyendo un pentágono Luego copiar esa longitud a lo largo de la circunferencia.
  • 24. ● En el triángulo isósceles de 36°, el que la medida del ángulo de la base sea el doble conduce a encontrar φ. ● El que φ y su inverso se diferencien en 1 conduce a equivalencias interesantes. Me parece que
  • 25. Enlaces ● Wikipedia: Número áureo explica la diferencia entre número áureo (φ) y sección áurea (1/φ) ● Geogebra es el programa libre y open source para realizar construcciones geométricas. ● Google Drive Slides permite hacer presentaciones como esta.