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Razón Áurea en el Pentágono

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Razón Áurea en el Pentágono

  1. 1. Algunas anotaciones Rulo Kobashikawa <akobashikawa@gmail.com> Razón Áurea en el Pentágono
  2. 2. Razón Áurea Es una proporción tal que el menor es al mayor como el mayor es al total a (xa - a) / a = a / xa xa - a xa
  3. 3. Razón Áurea Resolviendo la ecuación: x2 - x - 1 = 0 x = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) = φ a (φa - a) / a = a / φa φa - a φa
  4. 4. φ φ (phi) es llamado el número áureo φ = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) ≈ 1.618 1 (φ - 1) / 1 = 1 / φ φ - 1 φ
  5. 5. 1/φ 1/φ (la inversa de phi) es llamada la sección áurea 1/φ = (√5 - 1) / 2 = 2 / (√5 + 1) ≈ 0.618 1/φ (1 - 1/φ) / (1/φ) = (1/φ) / 1 1 - 1/φ 1
  6. 6. 1/φ φ y su inversa se diferencian en 1 1/φ = φ - 1 = 0.618 1/φ φ - 1 1 - 1/φ 2 - φ 1 1 1/φ φ - 1 φ
  7. 7. El simbolismo de φ El menor es al mayor como el mayor es al todo. " Así como abajo es arriba." " Así en la tierra como en el cielo."
  8. 8. φ en la serie de Fibonacci Cada término de la serie es la suma de los dos anteriores F: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Se observa que la relación entre un número y su anterior va tendiendo hacia φ mientras oscila r: ..., 1, 2, 1.5, 1.67, 1.60, 1.625, 1.615, 1.619, 1.618, ...
  9. 9. φ en la serie de Fibonacci r = limn→∞ ( F(n) / F(n-1) ) = limn→∞ ( [ F(n-1) + F(n-2) ] / F(n-1) ) = limn→∞ ( F(n-1) / F(n-1) ) + limn→∞ ( F(n-2) / F(n-1) ) = limn→∞ ( F(n-1) / F(n-1) ) + 1 / limn→∞ ( F(n-1) / F(n-2) ) = 1 + 1 / r (pues la serie es convergente) entonces: r = (√5 + 1) / 2 = φ
  10. 10. Algunas equivalencias de φ ● 1/φ = φ - 1 ● 1 - 1/φ = 2 - φ = (φ - 1)2 ● φ = 1 + 1/φ = (φ + 1) (φ - 1) ● φ2 = φ + 1, φ2 - 1 = φ ● φ3 = (φ + 1) / (φ - 1) ● φn = φn-1 / (φ - 1) ● φ = limn→∞ ( F(n) / F(n-1) ) ● √5 = 2φ - 1 = 2/φ +1
  11. 11. Fracción continua de φ φ = 1 + 1/φ = 1 + 1/(1 + 1/φ) = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(...))))) φ ≈ 1 + 1 = 2 ≈ 1 + 1/2 = (1+2)/2 = 3/2 ≈ 1 + 2/3 = (2+3)/3 = 5/3 ≈ 1 + 3/5 = (3+5)/5 = 8/5 ≈ 1 + F(n-1)/F(n)
  12. 12. Trazando 1/φ La idea es conseguir un segmento de longitud √5 / 2 y luego restarle 1/2. Si la altura mide 1, un pie perpendicular de 1/2 determina un triángulo rectángulo con hipotenusa √5 / 2 Proyectando la hipotenusa sobre el pie, se le puede restar 1/2 para obtener (√5 - 1) / 2 = 1 / φ El área del rectángulo también es 1 / φ.
  13. 13. Trazando φ La idea es conseguir un segmento de longitud √5 / 2 y luego restarle 1/2. Si la altura mide 1, un pie perpendicular de 1/2 determina un triángulo rectángulo con hipotenusa √5 / 2 Proyectando la hipotenusa sobre el pie, se le puede agregar 1/2 para obtener (√5 + 1) / 2 = φ El área del rectángulo también es φ.
  14. 14. φ en el pentágono La razón áurea está presente en el pentágono. ¿Cómo se podría haber hallado eso?
  15. 15. Apotema de un triángulo ● OP divide AB en dos partes iguales. ● AOP es semejante a CAP ● AP = AC/2 ● Entonces, OP = AO/2 a = r/2
  16. 16. Apotema de un cuadrado ● OP divide AB en dos partes iguales. ● OPA es isósceles ● Entonces, OP = AO / √2 a = r / √2
  17. 17. Apotema de un pentágono ● OP divide AB en dos partes iguales. ● QOB es la mitad de OQB ● La bisectriz QM determina los triángulos isosceles OMQ y BQM ● QOB es semejante a BQM: r / x = x / (r - x) ● Entonces, x = r / φ ● ONM es semejante a OPB: a / (r/2) = r / x ● Entonces, a = rφ / 2
  18. 18. Apotema de un pentágono Además: ● PQ = r - a ● Entonces, PQ = r - r/(2φ) = (r/2)(φ - 1) / φ = (r/2) / φ2 = x / φ
  19. 19. Triángulos notables
  20. 20. Triángulos notables
  21. 21. φ en el pentágono
  22. 22. Construyendo un pentágono La idea es conseguir primero el lado del decágono: AD = r/φ. Luego unir dos lados de decágono para obtener el lado del pentágono ED.
  23. 23. Construyendo un pentágono Luego copiar esa longitud a lo largo de la circunferencia.
  24. 24. ● En el triángulo isósceles de 36°, el que la medida del ángulo de la base sea el doble conduce a encontrar φ. ● El que φ y su inverso se diferencien en 1 conduce a equivalencias interesantes. Me parece que
  25. 25. Enlaces ● Wikipedia: Número áureo explica la diferencia entre número áureo (φ) y sección áurea (1/φ) ● Geogebra es el programa libre y open source para realizar construcciones geométricas. ● Google Drive Slides permite hacer presentaciones como esta.
  26. 26. Presentado por Rulo Kobashikawa akobashikawa@gmail.com 2013/05/15

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